Algorytmy i struktury danych

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Wykład : Realizacje dynamicznych

struktur danych



Dynamiczne realizacje struktur listowych (definiowanie
elementu listy, dołączanie i usuwanie elementu listy,
wyszukiwanie elementu w liście, przestawianie
elementów w liście);



Dynamiczne realizacje struktur drzewiastych
(definiowanie elementu drzewa, dołączanie i usuwanie
elementu drzewa, wyszukiwanie elementu w drzewie);



Dynamiczne realizacje tablic;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Statyczna a dynamiczna struktura

danych

Statyczna struktura danych:



Posiada z góry ustalony rozmiar (bez możliwości jego
zmiany);



Jej deklaracja poprzedza uruchomienie głównej
procedury programu;



Liczba zmiennych o typie statycznych musi być z góry
znana;



Pamięć jest przydzielana na wstępie a oddawana po
zakończeniu programu;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Statyczna a dynamiczna struktura

danych

Dynamiczną strukturę danych odróżnia sposób przydziału

pamięci operacyjnej:



ilość wymaganej pamięci przez struktury danych nie

musi być znana przed uruchomieniem programu;



przydział pamięci następuje dynamicznie w czasie

realizacji odpowiedniej części programu;



po wykonaniu zadań struktury danych powinny być

usunięte a przydzielona pamięć dynamicznie

zwolniona;



zaleta tego podejścia:



możliwość dynamicznego tworzenia struktur danych o

różnych „kształtach”;



„brak” ograniczeń na wielkość struktury;



wada: złożone operacje dodawania i usuwania

elementów struktury;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Arytmetyka wskaźników –

przypomnienie



Utworzenie struktury dynamicznej możliwe jest
poprzez zastosowanie wskaźników, adresów,
referencji;



Czy potrafimy odróżnić pojęcie i właściwości:



zmiennej,



wskaźnika,



adresu,



referencji?

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Arytmetyka wskaźników –

przypomnienie



Deklaracja zmiennej ‘var’ o typie ‘type’:



type var;



Przykład:



int x = 8;



Deklaracja zmiennej wskaźnikowej ‘name’ do typu ‘type’ :



type *name;



Przykład:



int *ip;

/*wskaźnik na typ integer*/



float *fp;

/*wskaźnik na typ float */



Przypisanie adresu zmiennej x do wskaźnika ip;



ip = &x;



& oznacza ‘adres’ i zwraca adres stojącej przy nim
operandy;



ip teraz wskazuje na x;

i
p
f
p

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Arytmetyka wskaźników –

przypomnienie



Pobranie wartości wskazywanej przez wskaźnik :



int y;



y = *ip;



y teraz posiada wartość równą x;

Reprezentacja logiczna

600000

500000

600000

Fizyczna reprezentacja w pamięci

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Arytmetyka wskaźników –

przypomnienie



Przeanalizuj i wyjaśnij poniższy fragment kodu:

int x=1, y=2, z[10];
int *ip, *iq;

ip = &x;

y = *ip;

*ip = 0;

*ip += 1;
y = *ip+2;
ip = &z[0];
iq = ip;

/* ip wskazuje na x

/* y = 1

/* x przypisano 0

/* x zwiększone o 1 */
/* y = 3

/* ip wskazuje na z[0]

/* iq wskazuje na z[0]

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Arytmetyka wskaźników –

przypomnienie



Przykład operacji dla typu prostego:



int *px;



px += 2;



px = (adres px) + 2 * rozmiar obiektu wskazywanego

przez px;



dla px równe jest 3000 i rozmiaru 4 dla int:



3000 + 2 * 4 = 3008;



Przykład dla tablicy:



int a[4];



int *pa;



pa = a; /* lub pa=&a[0]; */



pa ++;

/*pa wskazuje na a[1] */



pa =+ 2;

/*pa wskazuje na a[3] */



pa --; /*pa wskazuje na a[2] */

a[0] a[1] a[2] a[3]

3000 3004 3008 3012

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne zarządzanie pamięcią

operacyjną



Dynamiczny przydział pamięci (alokacja):



malloc() /* z biblioteki stdlib.h */



Przykład:



void * malloc(size_t size);



‘void’ pozwala na wskazanie danych dowolnego typu;



argumentem funkcji jest rozmiar przydzielanej pamięci;



pamięć przydzielana jest z obszaru zwanego kopcem;



sizeof() – operator do określenia wielkości pamięci:



sizeof(int) – zwróci rozmiar pamięci potrzebny dla
przechowania danych typu integer;



sizeof(struct node) – zwróci rozmiar pamięci potrzebny dla
przechowania danych typu zadeklarowanej struktury
‘node’;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne zarządzanie pamięcią –

polecenia

rekursywn

deklaracja

struktury



Przykład użycia malloc() i sizeof():



(1)

int x=1, y;

y = sizeof x;

lub y = sizeof (int);



(2)

struct node {

char data;
struct node *nextPtr };

struct node *newPtr;
newPtr = malloc(sizeof(struct node));

newPt
r

Dane

nextPtr

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne zarządzanie pamięcią –

polecenia



Dynamiczne zwolnienie pamięci (na kopiec):



free()

/* z biblioteki stdlib.h */



Przykład:

struct node {

char data;
struct node *nextPtr };

struct node *newPtr;
newPtr = malloc(sizeof(struct node));
…
/* operacje na danych*/
…
free (newPtr);

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Definiowanie elementu listy;



Dołączanie i usuwanie elementu listy;



Wyszukiwanie elementu w liście;



Przestawianie elementów w liście;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Model grafowy listy jednokierunkowej (dwukierunkowej)

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Element listy zawiera:



Dane elementarne,



Odwzorowanie relacji następstwa – informacja o
dowiązaniu do innych elementów;

dane

dowiązanie

start

NULL

ogon

głowa

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

dane

elementar

dowiązani

e do

kolejnego

elementu

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Deklaracja elementu listy:

struct Node {

   char data;
   struct Node *next;
  };

typedef struct Node *NodePtr;

/* pomocniczy typ wskaźnikowy do struktury ‘Node’

/* zmienna ‘start’ tego typu wskazywać będzie

głowę listy */

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm dołączania elementu do listy
jednokierunkowej (1):



Cel:



Dodanie nowego elementu do listy;



Dane wejściowe:



Dowiązanie głowy listy ‘startPtr’;



Nowa dana elementarna;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm dołączania elementu do listy
jednokierunkowej (2):



Utwórz element i ustal dane elementarne;



Znajdź miejsce wstawienia elementu w
liście;



Wstaw element do listy:



Wstaw element jako pierwszy w liście;



(lub) Wstaw element we wskazane miejsce w
liście;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm dołączania elementu do listy
jednokierunkowej (3):



Utwórz element i ustal dane elementarne
int insert (NodePtr *startPtr, char nazwa)
{

Node *newPtr, *currPtr, *prevPtr;
int retcode=1;
/* Utwórz element Node */

newPtr = (Node *)malloc(sizeof(Node));

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Schemat algorytmu cz.3

startPtr

currPtr

prevPtr

newPtr

NULL

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm dołączania elementu do listy jednokierunkowej (4):



Utwórz element i ustal dane elementarne
int insert (NodePtr *startPtr, char nazwa)

{
Node *newPtr, *currPtr, *prevPtr;

int retcode = 1;
/* Utwórz element Node */

newPtr = (Node *)malloc(sizeof(Node));

if (newPtr == NULL) /* weryfikacja przydzielonej pamięci*/

retcode = 0;
else

{ /* Ustal dane elementarne w Node */

newPtr -> data = nazwa;
newPtr -> next = NULL;

/* Inicjalizacja wskaźników pomocniczych */

currPtr = *startPtr; /* ustaw wskaźnik na głowę listy */

prevPtr = NULL;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Schemat działania algorytmu cz.4

startPtr

currPtr

prevPtr

newPtr

NULL

NUL
L

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm dołączania elementu do listy jednokierunkowej
(5):



Utwórz element i ustal dane elementarne



Znajdź miejsce wstawienia elementu w liście



Dopóki currPtr jest różny od NULL oraz dane elementu
wstawianego są ‘większe’ od currPtr->data:

• Ustaw prevPtr na currPtr;
• Przesuń currPtr na następny element listy;

…
/* Znajdź miejsce wstawienia */
while ((currPtr != NULL) && (nazwa > currPtr->data))
{
prevPtr = currPtr;
currPtr = currPtr -> next;
}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Schemat algorytmu cz.5

startPtr

currPtr

prevPtr

newPtr

NULL

NUL
L

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm dołączania elementu do listy jednokierunkowej
(6):



Utwórz element i ustal dane elementarne



Znajdź miejsce wstawienia elementu w liście



Zainicjalizuj currPtr na start listy a prevPtr na NULL;



Dopóki currPtr jest różny od NULL i wartość wstawiana jest
większa od currPtr->data:

• Ustaw prevPtr na currPtr;
• Przesuń currPtr na następny element listy;



Wstaw element do listy:



Wstaw element jako pierwszy w liście:

• Ustaw pole next elementu wstawianego na pierwszy element listy;
• Ustaw wskaźnik do listy na element wstawiony;



(lub) Wstaw element we wskazane miejsce w liście:

• Ustaw pole next elementu prevPtr na element wstawiany;
• Ustaw pole next elementu wstawianego na element currPtr;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm dołączania elementu do listy
jednokierunkowej (7):

/* Wstaw element */
if (prevPtr == NULL)
/* Wstaw element jako pierwszy w liście */
{

newPtr -> next = *startPtr;
*startPtr = newPtr;

}

startPtr

currPtr

prevPtr

newPtr

NULL

NUL
L

startPtr

newPtr

prevPtr

currPtr

NULL

NUL
L

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm dołączania elementu do listy
jednokierunkowej (8):

/* Wstaw element */
…
/* Wstaw element w miejsce między prevPtr a currPtr
*/
else

{

newPtr->next = currPtr;
prevPtr->next = newPtr;
}
retcode = 1;
}
return retcode;

}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Schemat algorytmu cz.8

startPtr

currPtr

prevPtr

newPtr

NULL

NUL
L

startPtr

newPtr

currPtr

prevPtr

NUL
L

startPtr

currPtr

prevPtr

newPtr

NULL

NUL
L

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Uwagi do dołączania elementu do listy
dwukierunkowej:



każdy element posiada dodatkowe pole (dowiązanie)
prev, które dla pierwszego elementu listy jest równe
NULL;



lista może być przeglądana w obydwu kierunkach;



często pamięta się dowiązania do pierwszego i
ostatniego elementu;



należy zawsze uaktualniać dowiązania w obydwu
kierunkach (wartości czterech pól);

Czy potrafisz dostosować zaprezentowany

algorytm do list dwukierunkowych?

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Uwagi do dołączania elementu do listy cyklicznej:



brak dowiązań wskazujących na NULL;



w liście jednoelementowej dowiązania wskazują na
ten sam element;



aby uniknąć pętli nieskończonej podczas
przeglądania listy, należy zastosować ‘strażnika’ –
dowiązanie do pierwszego elementu (umownego);

Czy potrafisz dostosować zaprezentowany

algorytm do list cyklicznych?

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Przykład dołączania

elementu do listy



#include "lista.h"

void LISTA::dorzuc1(int x) // dolaczamy rekord na

koniec listy



{ // (ver.1 - bez "sortowania")



ELEMENT *q=new ELEMENT;



q->wartosc=x;



q->nastepny=NULL;

if (inf.glowa==NULL) // lista pusta



inf.glowa=inf.ogon=q;



else // cos jest w liscie



{

(inf.ogon)->nastepny=q;



inf.ogon=q;

}}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Przykład dołączania

elementu do listy



Jak działa zaprezentowany kod?



W przypadku listy pustej obydwa pola początkowe
struktury lista są inicjowane wskaźnikiem na nowo
powstały element



Jeśli lista nie jest pusta nowy element zostaje podpięty do
końca listy stając się jej ogonem a element pierwszy
zapewnia relację wejścia w listę



Oczywiście można pierwszy element ustawiać jako
początek listy czyli głowa. Założeniem było ze przydział
pamięci na wskaźnik nastąpi i będzie różny od zera



Zaprezentujemy realizacje połączenia dwóch zadanych
list utworzonych wg pliku lista.h o kodzie napisanym w
C++ z elementami programowania obiektowego. Na tych
listach wykonanych będzie kilka operacji szukania,
dopisywania, usuwania.

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm szukania elementu w liście
jednokierunkowej (1):



Cel:



Wyszukanie elementu w liście;



Dane wejściowe:



Dowiązanie głowy listy ‘startPtr’;



Kryterium poszukiwania, np. wartość danej
elementarnej;



Uwagi:



W skrajnym przypadku należy przejrzeć wszystkie
elementy (złożoność O(n));

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm szukania elementu w liście
jednokierunkowej (2):



Rozpocznij od pierwszego elementu listy;



Dopóki aktualny element listy jest różny od NULL oraz
dane szukane są różne od danych aktualnego
elementu, to przemieść się do następnego elementu
listy;



Daj dowiązanie do aktualnego elementu;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm szukania elementu w liście
jednokierunkowej (3):

Node *Find (NodePtr *startPtr, char nazwa)
{

NodePtr currPtr = *startPtr; /* pierwszy element
listy */
while ((currPtr != NULL) && (currPtr -> data !=
nazwa))

currPtr = currPtr -> next;

return currPtr;

}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

startPtr

currPtr

prevPtr

newPtr

NULL

NUL
L

startPtr

NUL
L

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm szukania elementu w liście
jednokierunkowej (4):



Przykład:
Node *ele = Find (startPtr, ‘C’);

currPtr

Nazwa szukana: C

currPtr: startPtr

currPtr -> data: A

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

startPtr

currPtr

prevPtr

newPtr

NULL

NUL
L

startPtr

NUL
L

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm szukania elementu w liście
jednokierunkowej (5):



Przykład:
Node *ele = Find (startPtr, ‘C’);

currPtr

Nazwa szukana: C

currPtr: currPtr -> next

currPtr -> data: B

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

startPtr

currPtr

prevPtr

newPtr

NULL

NUL
L

startPtr

NUL
L

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm szukania elementu w liście
jednokierunkowej (6):



Przykład:
Node *ele = Find (startPtr, ‘C’);

currPtr

Nazwa szukana: C

currPtr: currPtr -> next

currPtr -> data: C

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm usuwania elementu z listy
jednokierunkowej (1):



Cel:



Usunięcie elementu z listy;



Dane wejściowe:



Dowiązanie głowy listy ‘startPtr’;



Opis elementu, np. wartość danej elementarnej;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm usuwania elementu z listy
jednokierunkowej (2):



Jeżeli dane są zgodne z danymi pierwszego elementu
listy



Usuń pierwszy element listy;



W p.p. znajdź element do usunięcia w liście;



Jeżeli nie znaleziono elementu, generuj komunikat;



W p.p. usuń znaleziony element;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm usuwania elementu z listy jednokierunkowej (3):



Jeżeli dane są zgodne z danymi pierwszego elementu listy



Usuń pierwszy element listy;

int delete (NodePtr *startPtr, char nazwa)

{

NodePtr prevPtr, currPtr, tempPtr;

int retcode;
if (*startPtr == NULL)

/* Lista pusta */

retcode = 0;

else

{

if (nazwa == (*startPtr)->data) /* Usuń pierwszy element

listy */
{
tempPtr = *startPtr;

*startPtr = (*startPtr)->next;

free (tempPtr);

retcode = 1;

}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm usuwania elementu z listy jednokierunkowej

(4):



Jeżeli dane są zgodne z danymi pierwszego elementu

listy



Usuń pierwszy element listy;



W p.p. znajdź w liście element do usunięcia:

…
else

{ /* znajdź w liście element do usunięcia */

prevPtr = *startPtr;

/* początek listy */

currPtr = (*startPtr)->next; /* drugi element*/

while (currPtr != NULL && currPtr -> data != nazwa)

{

prevPtr = currPtr;

currPtr = currPtr -> next;

}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm usuwania elementu z listy jednokierunkowej (5):



Jeżeli dane są zgodne z danymi pierwszego elementu listy



Usuń pierwszy element listy;



W p.p. znajdź element do usunięcia w liście:



Jeżeli nie znaleziono elementu, generuj komunikat;



W p.p. usuń znaleziony element;

…
if (currPtr == NULL)

retcode = 0; /* node not found */

else
{ /* Usuń znaleziony element */

tempPtr = currPtr;

prevPtr->next = currPtr->next;

free (tempPtr);

retcode = 1;

} } }

return retcode;
}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

listowych



Algorytm usuwania elementu z listy
jednokierunkowej (6):

startPtr

Przed
usunięciem:

NULL

startPtr

Po usunięciu:

NULL

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Definiowanie elementu drzewa;



Dołączanie i usuwanie elementu drzewa;



Wyszukiwanie elementu w drzewie;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Drzewiastą strukturą danych nazywamy strukturę
danych

S=(D, R, e)

, w której relacja porządkująca

opisuje kolejne, rekurencyjne powiązania pomiędzy
danymi elementarnymi drzewa, tworzącymi kolejne
„poddrzewa”.



Przykład struktury drzewiastej

Uniwersytet

Wydział

Instytut

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Istnieje wiele sytuacji w których przetwarzane
informacje



mają strukturę hierarchiczna lub zagnieżdżoną, jak:
drzewo

genealogiczne lub diagram struktury organizacyjnej.



Abstrakcje modelującą strukturę hierarchiczną
nazywamy

drzewem – jest to jeden z najbardziej podstawowych

modeli

danych w informatyce.

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Kiedy mówimy o reprezentowaniu drzew, w pierwszej
kolejności mamy na myśli sposób reprezentowania węzłów.



Różnica miedzy reprezentacjami drzew dotyczy miejsca w
pamięci komputera gdzie przechowywana jest struktura
zawierająca węzły.



W języku C możemy stworzyć przestrzeń dla struktur
reprezentujących wierzchołki za pomocą funkcji

malloc

standartowej biblioteki

stdhlib.h

, co powoduje,

e do

umieszczonych  w  pamięci  węzłów  mamy  dostęp  tylko  za
pomocą  wskaźników.  Rozwiązaniem  alternatywnym  jest
stworzenie  tablicy struktur i wykorzystanie jej elementów
do  reprezentowania  węzłów.  Możemy  uzyskać  dostęp  do
węzłów  nie  wykorzystując  ścieżek  w  drzewie.  Wadą  jest  z
góry  określony  rozmiar  tablicy  (musi  istnieć  ograniczenie
maksymalnego rozmiaru drzewa).

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Drzewo binarne (dwójkowe):



Drzewo o stopniu 2 (każdy węzeł ma co najwyżej
dwóch następników – potomków: lewego i
prawego);



Ostatnimi potomkami są liście (elementy, które nie
mają potomków);

poziom 1

poziom 2

poziom 3

Czy drzewo z jednego z poprzednich slajdów

(Uniwersytet) jest drzewem binarnym?

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Zupełne drzewo binarne (dwójkowe):



Każdy węzeł, z wyjątkiem liści, ma dokładnie dwóch

potomków;



Drzewo poszukiwań binarnych (BST):



Dla każdego węzła (nie liścia) wszystkie wartości

przechowywane w lewym poddrzewie są mniejsze od

jego wartości oraz przeciwnie dla drzewa prawego;



Drzewo AVL (1962 – Adelson-Velskii, Landis)



Drzewo BST jest drzewem AVL wtedy, kiedy dla każdego

wierzchołka wysokości dwóch jego poddrzew różnią się o

co najwyżej 1 poziom;



Kopiec



Wartości przechowywane w potomkach każdego węzła są

mniejsze od wartości węźle;



Drzewo jest szczelnie wypełniane od lewego poddrzewa;



Liście leżą na co najwyżej dwóch sąsiednich poziomach;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Jednym z najprostszych sposobów reprezentowania drzewa jest
wykorzystanie dla każdego węzła struktury składającej się z
pola lub pól reprezentujących etykietę oraz tablicy wskaźników
do dzieci tego węzła.



typedef struct NODE *pNODE



struct NODE{



int info;



pNODE children[BF];



};



Info

reprezentuje

etykietę węzła

. Stała

jest

rozmiarem

tablicy



wskaźników

. Reprezentuje maksymalna liczbę dzieci

dowolnego węzła, czyli

czynnik rozgałęzienia

(ang.

branching

factor

). i-ty element tablicy reprezentującej węzeł zawiera

wskaźnik do i-tego dziecka tego węzła. Brakujące połączenia
możemy reprezentować za pomocą wskaźnika pustego

NULL

inf
o

.......... p

bf-1

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Zestawienie reprezentacji drzew



Reprezentacja oparta na tablicy wskaźników

umożliwia nam dostęp do  -tego dziecka dowolnego
węzła w czasie O(1). Taka reprezentacja   wiąże się
jednak ze znacznym marnotrawstwem przestrzeni
pamięciowej,  jeśli tylko kilka węzłów ma wiele dzieci.
W takim wypadku większość wskaźników w tablicy

children

będzie równa

NULL



Reprezentacja skrajnie lewy potomek-prawy element

siostrzany

wymaga mniejszej przestrzeni

pamięciowej.  Nie wymaga również istnienia
maksymalnego czynnika rozgałęzienie węzłów.
Możemy reprezentować   węzły z dowolna wartością
tego czynnika, nie modyfikując  jednocześnie
struktury danych.

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Element drzewa zawiera:



Dane elementarne,



Realizację relacji następstwa – dowiązania do
następników;

Dane

Dowiązanie na

prawego

potomka

Dowiązanie na

lewego potomka

Korzeń

Liść

Potomek

Przodek

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

dane

elementar

dowiązani

e do

prawego

potomka

dowiązani

e do

lewego

potomka

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Deklaracja elementu drzewa binarnego:

struct Node {
int

data;

   struct Node *llink;
   struct Node *rlink;
  };

typedef struct Node *NodePtr;

/* pomocniczy typ wskaźnikowy do struktury ‘Node’ */

/* zmienna ‘start’ tego typu wskazywać będzie korzeń
*/

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Podstawowe operacje na drzewach binarnych:



szukanie elementu w drzewie,



przeglądanie drzewa;



dołączanie elementu do drzewa,



usuwanie elementu z drzewa,



Uwaga:



Operacje te często są realizowane
rekurencyjnie;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm szukania elementu w drzewie binarnym (1):



Cel:



uzyskanie dowiązania do węzła;



można je interpretować jako identyfikację węzła;



Dane wejściowe:



Dowiązanie do korzenia drzewa ‘Root’;



Kryterium poszukiwania, np. wartość danej
elementarnej;



Uwagi:



kolejność przeszukiwania dowolna – w skrajnym
przypadku należy przejrzeć wszystkie węzły w drzewie
(złożoność O(n));



stosowane rozwiązania: pętla lub rekurencja;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm szukania elementu w drzewie binarnym (2):



Ustaw aktualne dowiązanie na korzeń drzewa;



Dopóki aktualne dowiązanie jest różne od NULL:



Jeżeli wartość szukana jest mniejsza od danej
aktualnego węzła, to szukaj w jego lewym poddrzewie;



Jeżeli wartość szukana jest większa od danej aktualnego
węzła, to szukaj w jego prawym poddrzewie;



Jeżeli wartość szukana jest równa danej aktualnego
węzła, to koniec – daj dowiązanie do węzła;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

przejście

do lewego

poddrzew

przejście

prawego

poddrzew

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm szukania elementu w drzewie binarnym (3):



Wersja procedury z pętlą:
NodePtr find (int inValue, NodePtr node)
{

while (node) {

  if (inValue == node -> data)
    return node;
  else if (inValue < node -> data)
    node = node -> llink;
  else if (inValue > node -> data)
    node = node -> rlink;

return NULL;

}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

wywołanie

procedury

dla

lewego

poddrzew

wywołanie

procedury

dla

prawego

poddrzew

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm szukania elementu w drzewie binarnym (4):



Wersja procedury rekurencyjnej:
NodePtr find (int inValue, NodePtr node)
{

if (node) {

  if (inValue == node -> data)
    return node;
  else if (inValue < node -> data)
    return find ( inValue, node > llink);
  else if (inValue > node -> data)
    return find ( inValue, node > rlink);

else return NULL;

}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego (1):



Cel:



jednokrotne „odwiedzenie” każdego elementu
drzewa;



można je interpretować jako umieszczenie wszystkich
węzłów w jednej linii – linearyzacja drzewa;



Dane wejściowe:



Dowiązanie do korzenia drzewa ‘Root’;



Uwagi:



kolejność przejścia dowolna – liczba możliwych
ścieżek w drzewie o n węzłach wynosi n!
(permutacja?, prawda czy fałsz???);



najczęściej stosowane sposoby: wszerz i w głąb;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(2):



Wersja „inorder” – LVR (porządek symetryczny)



Przejście do lewego poddrzewa (L);



Odwiedzenie węzła (V);



Przejście do prawego poddrzewa (R);



Wersja „preorder” – VLR (porządek prosty)



Odwiedzenie węzła (V);



Przejście do lewego poddrzewa (L);



Przejście do prawego poddrzewa (R);



Wersja „postorder” – LRV (porządek odwrotny)



Przejście do lewego poddrzewa (L);



Przejście do prawego poddrzewa (R);



Odwiedzenie węzła (V);

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb (3):



Wersja procedury „inorder” – LVR



porządek symetryczny (lewe-korzeń-prawe)

void inorder (NodePtr node)
{

if (node)

{
  inorder (node -> llink);
  visit (node);
  inorder (node -> rlink);
}
}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb (4):



Wersja procedury „preorder” – VLR



porządek prosty (korzeń-lewe-prawe)

void preorder (NodePtr node)
{

if (node)

{
  visit (node);
  preorder (node -> llink);
  preorder (node -> rlink);
}
}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb (5):



Wersja procedury „postorder” – LRV



porządek odwrotny (lewe-prawe-korzeń)

void postorder (NodePtr node)
{

if (node)

{
  postorder (node -> llink);
  postorder (node -> rlink);
  visit (node);
}
}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(6):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik:

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(7):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik:

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(8):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik:

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(9):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik: 9

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(10):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik: 9

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(11):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik: 9

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(12):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik: 9, 11

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(13):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik: 9, 11

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(14):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik: 9, 11, 15

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(15):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik: 9, 11, 15

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(16):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik: 9, 11, 15

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(17):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik: 9, 11, 15,
28

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm przeglądanie drzewa binarnego w głąb
(18):



Przykład dla procedury „inorder” – LVR

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Root

inorder (node ->
llink);
visit (node);
inorder (node ->
rlink);

Wynik: 9, 11, 15,
28

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm dołączania elementu do drzewa
binarnego (1):



Cel:



dodanie nowego elementu do drzewa;



Dane wejściowe:



Dowiązanie do korzenia drzewa ‘Root’;



Nowa dana elementarna;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm dołączania elementu do drzewa binarnego
(2):



Utwórz element i ustal dane elementarne;



Znajdź miejsce wstawienia elementu w drzewie;



Wstaw element do drzewa:



Wstaw element jako pierwszy w drzewie;



(lub) Wstaw element we wskazane miejsce w drzewie;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

rekurenc

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm dołączania elementu do drzewa binarnego (3):

void Insert (int inValue, NodePtr &next) {
if (next == NULL ) {
next = (Node *)malloc(sizeof(Node));

next -> llink = NULL;

         next -> rlink = NULL;
         next -> data = inValue;
    }
    else if ( inValue  <   next -> data )
        Insert( inValue, next -> llink ) ;
    else if ( inValue  >   next -> data )
        Insert( inValue, next -> rlink );
}

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm dołączania elementu do drzewa binarnego
(4):



Wstawienie do drzewa elementu z wartością ’11’;



Insert ( 11, Root);

1
5

2
8

Root

NULL

inValue = 11

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm dołączania elementu do drzewa binarnego
(5):



Dopóki (inValue < next -> data)



Insert ( 11, next -> llink);

1
5

2
8

next

NULL

inValue = 11

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm dołączania elementu do drzewa binarnego
(6):



Dopóki (inValue > next -> data)



Insert ( 11, next -> rlink);

1
5

2
8

next

NULL

inValue = 11

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm dołączania elementu do drzewa binarnego

(7):



if (next == NULL ) {



next = (Node *)malloc(sizeof(Node));



next -> llink = NULL;



next -> rlink = NULL;



next -> data = inValue;



}

1
5

2
8

next

NULL

inValue = 11

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm dołączania elementu do drzewa binarnego
(8):



Drzewo po wstawieniu elementu z wartością ’11’;

1
5

2
8

next

NULL

1
1

NULL

Root

inValue = 11

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm usuwania elementu z drzewa
binarnego (1):



Cel:



Usunięcie węzła z drzewa;



Dane wejściowe:



Dowiązanie do korzenia drzewa ‘Root’;



Opis elementu usuwanego, np. wartość danej
elementarnej;



Uwagi:



Przypadek 1: węzeł jest liściem;



Przypadek 2: węzeł ma jednego potomka;



Przypadek 3: węzeł ma dwóch potomków;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm usuwania elementu z drzewa binarnego (2):



Przypadek 1: węzeł jest liściem:



Znajdź element w drzewie;



Usuń węzeł z drzewa;

1
5

2
8

NULL

1
5

2
8

NULL

NULL

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm usuwania elementu z drzewa binarnego (3):



Przypadek 2: węzeł ma jednego potomka:



Znajdź element w drzewie;



Usuń węzeł z drzewa;



Zastąp węzeł usunięty jego potomkiem (zmiana
dowiązania w przodku węzła usuwanego)

1
5

2
8

NULL

1
5

2
5

NULL

NULL

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm usuwania elementu z drzewa binarnego (4):



Przypadek 3: węzeł ma dwóch potomków:



Znajdź element w drzewie;



Usuń węzeł z drzewa;



Zastąp węzeł usunięty: najmniejszym z prawego
poddrzewa lub największym z lewego poddrzewa;

1
5

2
8

NULL

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm usuwania elementu z drzewa binarnego (5):



Przypadek 3: węzeł ma dwóch potomków:



Wersja z przesunięciem najmniejszego elementu z
prawego poddrzewa (skrajnie lewy wierzchołek tego
poddrzewa);

1
5

2
8

NULL

2
5

NULL

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm usuwania elementu z drzewa binarnego (6):



Przypadek 3: węzeł ma dwóch potomków:



Wersja z usunięciem największego elementu z lewego
poddrzewa (skrajnie prawy wierzchołek);

1
5

2
8

NULL

1
1

NULL

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Dynamiczne realizacje struktur

drzewiastych



Algorytm usuwania elementu z drzewa binarnego (7):



Jeżeli w „Przypadku 3” przesuwany:



skrajnie prawy węzeł (największy element) z lewego
poddrzewa posiada potomka lewego;



skrajnie lewy węzeł (najmniejszy element) z prawego
poddrzewa posiada potomka prawego;



to należy zastosować dla węzła przesuwanego
dodatkowo algorytm usuwania z „Przypadku 2”
(usuwanie węzła z jednym potomkiem);



Inne rozwiązanie dla operacji usuwania zobaczymy na
wykładzie dotyczącym działań na rodzajach drzew
binarnych;

Algorytmy i struktury danych, wykład 3

Podsumowanie



Omówiliśmy podstawowe zagadnienia związane ze
strukturami danych: listy i drzewa;



Przestudiuj jeszcze raz poszczególne algorytmy (ze
szczególną uwagą usuwanie elementów);



Spróbuj dokonać modyfikacji w kodzie prezentowanych
procedur dla list i drzew;



Zauważ, że podane algorytmy tworzą pewien zestaw
standardu postępowania ze strukturami danych i
szczegółowe postaci algorytmów zależą tylko od
analizowanej struktury danych.

Dziękuję za uwagę

Document Outline