Geodezja II

Dr inż. Tadeusz Szczutko
Pok. 205

Literatura

• Ćwiczenia z geodezji II. Praca zbiorowa pod redakcją Józefa Belucha. 

Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH. Kraków 2008.

• Jagielski A.; Ćwiczenia z geodezji II, Wydawnictwo P.W. STABILL Kraków 

2003.

• Lazzarini T. I inni; Geodezja. Geodezyjna osnowa szczegółowa. PPWK, 

Warszawa-Wrocław 1990.
Pozycje uzupełniające:

• Osada E.; Geodezja. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 

2002.

• Płatek A.; Elektroniczna technika pomiarowa w geodezji. Wydawnictwa AGH, 

Kraków 1995.

• Michalski T.; Triangulacja szczegółowa. PPWK Warszawa 1960
• Instrukcja techniczna G-1. Szczegółowa osnowa pozioma. (tzw. stara)
• Instrukcja techniczna G-2. Szczegółowa pozioma i wysokościowa osnowa 

geodezyjna i przeliczenia współrzędnych między układami (nowa).

• Wytyczne techniczne G-1.5. Szczegółowa osnowa pozioma. Projektowanie, 

pomiar i opracowanie wyników (stare).

• Wytyczne techniczne G-2.5. Szczegółowa osnowa pozioma. Projektowanie, 

pomiar 

i opracowanie wyników (nowe).  

Dostępne na www.gugik.gov.pl

Semestr III

• Osnowa szczegółowa
Metody pomiaru kątów:
- pojedynczego kąta
- kierunkowa
- wypełnienia horyzontu
- inne - modyfikacje metody 

kierunkowej: 

m. sektorowa, m. Schreibera 

(stosowane dawniej w triangulacji)

Metoda pojedynczego kąta

Stosowana w pomiarze ciągów poligonowych
Metoda trzech statywów – sprzęt:
• Tachimetr + statyw 
• Dwie spodarki, dwa pionowniki, dwa 

reflektory, dwa statywy

Jeżeli instrument ma pionownik wbudowany 

w spodarkę, należy stosować identyczne 

spodarki z nośnikiem reflektora zamiast 

pionownika. 

Przed pomiarem należy pionowniki sprawdzić; 

zaleca się metodę precyzyjną.

Pomiar wykonuje się sprawniej z zastosowaniem 

4 statywów.

Metoda pojedynczego kąta

W sieciach szczegółowych III klasy 

pomiar wykonuje się w 2 seriach. 

Pozwala to na:
- zwiększenie dokładności pomiaru
- obliczenie błędu pomiaru kąta na 

podstawie różnic pomiędzy seriami (z 
par spostrzeżeń)

- Obliczenie błędów średnich 

pomiaru służy do obliczenia wag w 
procesie ścisłego wyrównania sieci

Równania błędów dla 

obserwacji

• Dla błędów prawdziwych:

    l

i

 + ε

i

 = X

gdzie:
l

i

 – obserwacja np.wynik pomiaru 

kąta

ε

i

 – błąd prawdziwy pomiaru

X – wartość prawdziwa pomiaru 

(zazwyczaj nieznana)

Obliczymy dla obu serii 
wartości l

i 

dla każdej serii:

l

1

 = X – ε

1

 

l

2

 = X – ε

2

a następnie różnice d między 

nimi:

d = (X – ε

1

 ) – ( X – ε

2 

)

d = ε

2  

– ε

1 

• Dla błędów pozornych:

    l

i

 + v

i

 = x

gdzie:
v

i

 – poprawka (błąd pozorny 

pomiaru)

x – wartość najbardziej 

prawdopodobna 
(np. średnia arytmetyczna)

Wniosek:
     Różnica d między 

seriami 
ma charakter błędów 
prawdziwych

Obliczenie błędu pomiaru 

kąta

   

Należy zastosować wzór na błąd średni 

liczony 
na podstawie błędów prawdziwych:

• błąd pojedynczego spostrzeżenia 

(błąd pomiaru kąta w jednej serii):
 

m

0

 = ±   [εε] /N    zatem

m

0

 = ±   

[dd] /2n

• gdzie: n – liczba mierzonych kątów
               2n – liczba wykonanych obserwacji
• błąd kąta średniego z dwóch serii 

(błąd średniej arytmetycznej)
m

x

 = m

0

 /   2 

m

x

 = ± ½  [dd]/n 

Metoda kierunkowa

• Wskazane 

stosowanie dla 
liczby celów n>3

• dla n = 3 nakład 

pracy jest 
identyczny jak przy 
pomiarze metodą 
pojedynczego kąta

• Nie należy mierzyć 

metoda 

kierunkową jeżeli:

• oświetlenie celów 
    jest skrajnie 

nierównomierne

• podłoże stanowiska 

jest niestabilne 

(np. grunt b. 

nawilgocony)

Metoda kierunkowa

    Wyniki pomiaru redukuje się do kierunku wyjściowego (jest 

to tzw. mira) :

    Ostateczne kierunki układają się tak jak odczyty na 

limbusie wykonywane kolejno do obserwowanych punktów

    Pomiar w I poł. lunety (KL) wykonuje się zgodnie 

z ruchem wskazówek zegara z odczytem ponownym 
kierunku pierwszego jako zamykającego – w obliczeniach 
kierunek ten traktujemy tak jak pozostałe kierunki,

    Pomiar w II poł. lunety (KP) wykonywany jest w kierunku 

odwrotnym do ruchu wskazówek zegara, również z 
odczytem kierunku początkowego (zamykającego),
Obliczenia polegają na odjęciu od każdego odczytu 
kierunku (średniej z dwóch odczytów) uśrednionej wartości 
kierunku początkowego.
Średnia wartość kierunku zamykającego 

f

K

 = φ

0k 

- φ

0

 

stanowi odchyłkę niezamknięcia horyzontu

Skąd bierze się odchyłka 

kątowa

• lub:
• Jest spowodowana 

tylko błędem 
odczytu 
i celowania 

    (czyli błędami 

przypadkowymi)

 

• Stanowi czynnik 

systematyczny spowodowany:

• Porywem limbusa (teodolity 

optyczne),

• Obrotem instrumentu na 

głowicy statywu (często 
występuje w instrumentach 
z leniwka ciągłą bez 
zacisków),

• Skrętem statywu 

spowodowanym 
nierównomiernym 
nagrzaniem np. ruchem 
słońca (wniosek: stosować 
statywy dobrej jakości, nie 
stosować statywów 
aluminowych)

Co robimy z odchyłką niezamknięcia 

horyzontu

(warianty wyrównania stacyjnego)

• Poprawiamy kolejne 

kierunki ze wzoru:

    v

k 

 = - f

k

 (i-1) / n

    gdzie: 
    i – numer kolejnego 

kierunku,

    n – liczba kierunków

Wartość kierunku jest 
średnią z s serii

• Uśredniamy odczyt 

początkowy i końcowy

Metoda wypełnienia 

horyzontu

• Metoda nazywana również m. Czarnoty-Krováka; 

wykorzystywana podczas pomiaru triangulacji w 

pasie granicy polsko-czeskiej.

• Polega na pomiarze wszystkich kątów w 

horyzoncie – ich suma powinna dać 400

g

• Należy stosować nawet przy większej liczbie 

celów na stanowisku niestabilnym (czas pomiaru 

pojedynczego kąta powinien być możliwi krótki)

• Odchyłka niezamknięcia horyzontu na 

stanowisku: 

    

  ω = [ α ] - 400

g

    Na podstawie wartości ω można obliczyć błąd 

kąta

Metoda wypełnienia horyzontu – analiza 

dokładności

• m

α2 

+ m

β2 

+ m

γ2 

+...+ m

δ2 

 = ω

2

• Założenie: m

α

 = m

β

 = m

γ

 =...= m

δ 

= m

α

•           n

k

 m

α2 

= ω

2 

 

• czyli: m

α2 

= ω

2

/n

k

• gdzie: 
    n

k

 – liczba kątów mierzonych na stanowisku 

• Jeżeli wykonano pomiar na m stanowiskach 

to:

    m

α2 

= (m

α12 

+ m

α22 

+ m

α32 

+...+ m

αm2) 

/ m

    Zatem:
      m

α2 

=  ±  [ωω]/(n

k

m)

Co zrobić z odchyłką ω

• Pomiar 

jednostkowy, np. w 
celu wyznaczenia 
stanowiska 
wcięciem wstecz:

    Rozrzucić na 

poszczególne 
kąty:

    v

α 

 = - ω / n

k

 

• Pomiar w sieci:

    Pozostawić bez 

zmian, program 
wyrównania sieci 
wprowadzi 
poprawki zależnie 
od wzajemnego 
ułożenia 
obserwacji

Czy rozrzucenie odchyłki ω 

po równo jest prawidłowe ?

• Przykład: pomierzono kąty metodą wypełnienia 

horyzontu, 
                  każdy w 3 seriach.

• Uzyskano błędy średnich wartości kątów: 
     

m

α1 

, m

α2 

, m

α3

 , m

αn

• Wagi kątów są odwrotnie proporcjonalne do kwadratów 

błędów średnich:

p

α 

= 1/m

α2

• Poprawki v

α

 do kątów będą odwrotnie proporcjonalne do 

wag (większa waga – mniejsza poprawka), zatem: 

v

α 

= - ω (1

/

p

α

 / ( 1/p

α1

 + 1/p

α2

 +...+1/p

αn

 ) 

v

α

 = - ω  m

α2

 / [ m

αi2

 ]

Błąd m (cc)

m m

v (cc)

1.2

1.44

4.6

0.5

0.25

0.8

1.0

1.00

3.2

2.2

4.84

15.4

Suma

7.53

24 odchyłka

Przykład liczbowy

Źródła błędów w pomiarach 

kątów

• Osobowe          =>

• Instrumentalne =>

• Zewnętrzne       =>

• błąd celowania
• błąd odczytu (t. 

optyczne)

• błąd odczytu (t. 

elektron.)

• błąd centrowania 

instrumentu i sygnałów

• błędy instrumentalne 

(redukowane przez 
pomiar w 2 położeniach 
lunety)

• wibracja
• skręty statywu
• refrakcja boczna
• nierówne oświetlenie celu