Ruch drgający
Ruch drgający
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
•
Ruch harmoniczny prosty
Ruch harmoniczny prosty
•
Wahadło matematyczne
Wahadło matematyczne
•
Wahadło torsyjne
Wahadło torsyjne
•
Wahadło fizyczne
Wahadło fizyczne
•
Ruch harmoniczny prosty a ruch jednostajny po okręgu
Ruch harmoniczny prosty a ruch jednostajny po okręgu
•
Składanie ruchów harmonicznych
Składanie ruchów harmonicznych
Ruch harmoniczny tłumiony
Ruch harmoniczny tłumiony
Drgania wymuszone
Drgania wymuszone
Rezonans
Rezonans
Wykład
Wykład
6
6
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
definicje
definicje
Wykład
Wykład
6
6
Jeżeli punk materialny porusza się ruchem okresowym tam i z powrotem
po tej samej drodze, to ruch taki nazywamy ruchem drgającym.
Tego rodzaju przemieszczenie punktu materialnego można zawsze
wyrazić przy pomocy funkcji sinus i cosinus. Funkcje te nazywane są
funkcjami harmonicznymi i dlatego ruch który one opisują nazywamy
ruchem harmonicznym.
sin
s A
t
w
=
wychylenie punktu z
położenia równowagi
wielkości stałe
w danym ruchu
czas
A s A
- � �
sin
1 sin
1
y
x
x
=
- �
�
y
x
1
-1
amplituda ruchu
harmonicznego
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
definicje
definicje
Wykład
Wykład
6
6
2
T
p
w
=
położenie równowagi
Zasadniczą cechą ruchu
harmonicznego jest
okresowość.
Czas trwania jednego
pełnego drgnienia
nazywany jest okresem:
maksymalne wychylenie
z położenia równowagi A
0
2
2
0
t
t
w
p
p
w
� �
� �
x
s
sin
0
2
s A
x
x
p
=
� �
A
-A
0
2
3
2
2
t
t
t
t
t
p
w
p
w
p
w
p
w
=
=
=
=
=
położenie równowagi
położenie równowagi
maksymalne wychylenie
z położenia równowagi -A
Poszczególne fazy
ruchu powtarzają
się w tym samym
rytmie.
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
definicje
definicje
Wykład
Wykład
6
6
1
2
T
w
n
p
= =
Częstotliwość drgań, czyli liczba
pełnych drgnień dokoła położenia
równowagi wykonanych w jednostce
czasu definiujemy jako odwrotność
okresu:
2
2
T
p
w
w
pn
=
=
Stała zwana jest pulsacją
czyli częstością kątową.
2
sin
s A
t
T
p
=
Równanie ruchu
harmonicznego
prostego:
t
s
A
-A
0
T/4
2T/4
3T/4
T
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
ruch harmoniczny prosty -
ruch harmoniczny prosty -
kinematyka
kinematyka
Wykład
Wykład
6
6
2
sin
s A
t
T
p
=
Prędkość w ruchu harmonicznym:
2
cos
ds
v
A
t
dt
T
p
w
=
=
2
2
sin
dv
a
A
t
s
dt
w
w
w
=
=-
=-
Przyspieszenie w ruchu harmonicznym:
A
-A
t
0
T/4
T/2
3T/4
T
Droga w ruchu harmonicznym:
A
-A
2
A
Uwagi:
1. Przyspieszenie jest
proporcjonalne do
wychylenia z położenia
równowagi.
2. Zwrot przyspieszenia
jest zawsze przeciwny do
zwrotu wychylenia z
położenia równowagi.
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
ruch harmoniczny prosty -
ruch harmoniczny prosty -
dynamika
dynamika
Wykład
Wykład
6
6
2
F
m s
ks
w
=-
=-
2
2
2
2
0
d s
d s
m
ks
m
ks
dt
dt
=-
+ =
Z drugiej zasady dynamiki Newtona
-x
1
x
1
0
v
a
F (=ma)
siła sprężystości
współczynnik
sprężystości
Jest to równanie różniczkowe, nazywane
równaniem oscylatora harmonicznego,
którego rozwiązanie prowadzi do znalezienia
zależności s(t).
m
x
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
ruch harmoniczny prosty – rozwiązywanie równania
ruch harmoniczny prosty – rozwiązywanie równania
oscylatora
oscylatora
Wykład
Wykład
6
6
2
2
2
2
0
d x
d x
k
m
kx
x
dt
dt
m
+ =
=-
Aby znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego musimy znaleźć pewną funkcję
x(t), której druga pochodna równa się jej samej ze znakiem przeciwnym i ze
stałym współczynnikiem k/m.
Taką własność ma funkcja sinus i cosinus.
2
2
cos
sin ,
cos
sin
cos
d
d
d
t
t
t
t
t
dt
dt
dt
=-
=-
=-
Własność ta zostaje zachowana jeżeli funkcję tę pomnożymy przez stały czynnik A.
Proponujemy rozwiązanie w postaci:
(
)
cos
x A
t
w j
=
+
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
ruch harmoniczny prosty – rozwiązywanie równania
ruch harmoniczny prosty – rozwiązywanie równania
oscylatora
oscylatora
Wykład
Wykład
6
6
(
)
sin
dx
A
t
dt
w
w j
=-
+
(
)
2
2
2
cos
d x
A
t
dt
w
w j
=-
+
(
)
cos
x A
t
w j
=
+
(
)
(
)
2
cos
cos
k
A
t
A
t
m
w
w j
w j
-
+ =-
+
2
k
m
w =
Jeżeli
to x w zadanej postaci
spełnia równanie oscylatora
harmonicznego.
Wracając do fizyki
2
2
/
T
m k
p
p
w
=
=
Okres drgań sprężyny zależy od masy
drgającej i od współczynnika
sprężystości materiału, z którego
wykonana jest sprężyna.
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
ruch harmoniczny prosty – rozwiązywanie równania
ruch harmoniczny prosty – rozwiązywanie równania
oscylatora
oscylatora
Wykład
Wykład
6
6
(
)
cos
x A
t
w j
=
+
cos
sin
2
2
x A
t
A
t
p
p
j
w
w
�
�
=-
=
-
=
�
�
�
�
czyli przemieszczenie jest
zerowe w chwili t równej zero
0
cos
x A
t
j
w
=
=
Amplituda i faza początkowa drgań zależą od początkowego położenia i prędkości
oscylującego ciała. Cząstka raz wprawiona w ruch będzie drgać ze stałą amplitudą,
częstością i stałą fazą tak długo, jak długo inne siły nie podziałają na układ.
faza ruchu
faza początkowa
czyli przemieszczenie jest
maksymalne w chwili t równej zero
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
różne rozwiązania równania oscylatora
różne rozwiązania równania oscylatora
harmonicznego
harmonicznego
Wykład
Wykład
6
6
x
t
A
T
=45°
=0
T
t
A
=0
=0
A
t
T
T
=0
=0
taka sama amplituda i okres; różne fazy
takie same okres i faza; różne amplitudy
taka sama amplituda i faza; różne okresy
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
ruch harmoniczny prosty
ruch harmoniczny prosty
Wykład
Wykład
6
6
x=A
x=-A
a=-A
2
a=A
2
v=-A
v=A
F=-kx
F=-kx
v=0
v=0
F=0
x=0
a=0
F=0
x=0
a=0
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
energia w ruchu harmonicznym
energia w ruchu harmonicznym
prostym
prostym
Wykład
Wykład
6
6
(
)
2
2 2
2
1
1
sin
2
2
K
mv
m A
t
w
w j
=
=
+
(
)
cos
x A
t
w j
=
+
2
k
m
w =
(
)
2
2
1
sin
2
K
kA
t
w j
=
+
Energia kinetyczna
Energia potencjalna
(
)
2
2
2
1
1
cos
2
2
U
kx
kA
t
w j
=
=
+
T
t
2
max
max
1
2
K U K
U
kA
+ =
=
=
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
energia w ruchu harmonicznym
energia w ruchu harmonicznym
prostym
prostym
Wykład
Wykład
6
6
2
max
max
1
2
E K
U
kA
=
=
=
( )
2
1
2
K x
mv
=
( )
2
1
2
U x
kx
=
x
E
0
A
-A
l
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
wahadło matematyczne
wahadło matematyczne
Wykład
Wykład
6
6
sin
F
mg
b
=-
x
mg
F
mg
mg
x
l
l
b
=-
=-
=-
mg cos
mg sin
mg
N
siła, będąca składową styczną jest siłą
przywracającą równowagę
Uwaga:
Siła ta nie jest proporcjonalna do przemieszczenia
kątowego , lecz do sin.
Ruch ten nie jest prostym ruchem harmonicznym
Założenie:
sinb b
@
x lb
=
m
k
2
2
2
/
m
m
l
T
k
mg l
g
p
p
p
=
=
=
Okres wahadła:
15°=0.2618 rad sin15°=0.25882 1.14%
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
wahadło torsyjne
wahadło torsyjne
czyli kątowy ruch
czyli kątowy ruch
harmoniczny
harmoniczny
Wykład
Wykład
6
6
2
2
2
2
d
d
I
dt
dt
I
q
q
k
kq
q
-
=
=-
W układzie takim
działa moment
siły skręconego
pręta i jest on
momentem siły
przywracającej
równowagę.
moment kierujący
M
kq
=-
z prawa Hooke’a
2
2
d
d
M I
I
I
dt
dt
w
q
a
=
=
=
równanie ruchu
równanie oscylatora
harmonicznego dla
ruchu kątowego
- przemieszczenie kątowe
Rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego dla ruchu
kątowego jest proste drganie harmoniczne we współrzędnej
kątowej
(
)
max
cos t
q q
w j
=
+
2
I
T
p
k
=
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
wahadło fizyczne
wahadło fizyczne
Wykład
Wykład
6
6
sin
M
mgd
q
kq
=-
@-
W układzie takim
ciężar wahadła
dostarcza
momentu siły
przywracającego
równowagę
moment kierujący
2
2
d
d
M I
I
I
dt
dt
w
q
a
=
=
=
równanie ruchu
2
2
2
2
d
d
I
dt
dt
I
q
q
k
kq
q
-
=
=-
równanie oscylatora
harmonicznego dla
ruchu kątowego
oś obrotu
2
2
I
I
T
mgd
p
p
k
=
=
mg
d
mg
d
d sin
środek masy
Dowolny kształt
zawieszony na
dowolnej osi
Wahadło fizyczne stosuje się przy
dokładnych pomiarach przyspieszenia g.
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
wahadło fizyczne a wahadło
wahadło fizyczne a wahadło
matematyczne
matematyczne
Wykład
Wykład
6
6
zred
l
I
g
k
=
2
I ml
mgl
k
=
=
zred
Ig
I
l
md
k
=
=
Pojęcie długości zredukowanej wiąże się ze związkami pomiędzy wahadłem
fizycznym i matematycznym. Przez długość zredukowaną wahadła fizycznego
rozumie się długość wahadła matematycznego mającego ten sam okres wahań.
wzór na okres
wahadła
matematyczneg
o
2
2
I
l
T
g
p
p
k
=
=
odległość od osi obrotu
do środka masy wahadła
fizycznego
Wahadło matematyczne można uważać za przypadek szczególny
wahadła fizycznego.
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
związek z ruchem jednostajnym po
związek z ruchem jednostajnym po
okręgu
okręgu
Wykład
Wykład
6
6
Ruch harmoniczny można zatem opisać jako rzut
jednostajnego ruchu po okręgu na jego średnicę.
x
y
Jasne kuleczki poruszają się po
okręgu, a ciemne kuleczki poruszają
się ruchem oscylacyjnym
P
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
związek z ruchem jednostajnym po
związek z ruchem jednostajnym po
okręgu
okręgu
Wykład
Wykład
6
6
(
)
cos
x A
t
w j
=
+
x
y
P
R
0
t=0
- faza początkowa
x
y
R
0
t+
t>0
(t+) – faza ruchu
amplituda równa promieniowi okręgu
częstość kątowa równa prędkości
kątowej ruchu po okręgu
P
x
y
R
0
t+
(
)
sin
x
v
A
t
w
w j
=-
+
v
x
a
x
(
)
2
cos
x
a
A
t
w
w j
=-
+
A
2
A
(
)
sin
y A
t
w j
=
+
Gdybyśmy rzutowali na oś y, to
równanie ruchu miałoby postać:
Jedyną różnicą w porównaniu z x
jest różnica faz.
(
)
cos
sin
2
t
t
p
w j
w j
�
�
+ -
=
+
�
�
�
�
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
związek z ruchem jednostajnym po
związek z ruchem jednostajnym po
okręgu
okręgu
Wykład
Wykład
6
6
2
2
x
y
v
v
v
A
w
=
+ =
2
2
2
x
y
a
a
a
A
w
=
+
=
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
cos
sin
r
x
y
A
t
A
t
A
w j
w j
=
+ =
+ +
+ =
Rzut ruchu jednostajnego po okręgu na dowolną jego średnicę daje
prosty ruch harmoniczny.
Jednostajny ruch po okręgu można przedstawić jako kombinację
dwóch ruchów harmonicznych prostych zachodzących wzdłuż linii
wzajemnie prostopadłych, mających tę samą amplitudę i częstość
lecz różniących się w fazie o 90°. Kiedy jedna składowa ma
maksymalne wychylenie, druga składowa znajduje się w położeniu
równowagi.
Wielkości charakteryzujące ruch jednostajny po okręgu o promieniu A.
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
składanie ruchów harmonicznych
składanie ruchów harmonicznych
Wykład
Wykład
6
6
(
)
(
)
cos
cos
y
y
x
x
y A
t
x A
t
w j
w j
=
+
=
+
(
)
(
)
cos
cos
y
y
x
x
t
A
y
x
A
t
w j
w j
+
� �
=� �
+
� �
y
x
j
j
=
1.
y
x
A
y
x
A
=
Równanie prostej ze współczynnikiem
nachylenia zależnym od amplitud
dwóch ruchów składowych
= 1
A
x
A
x
= 2
A
x
A
x
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
składanie ruchów harmonicznych
składanie ruchów harmonicznych
Wykład
Wykład
6
6
(
)
(
)
cos
sin
2
cos
y
x
y
x
x
x
y A
t
A
t
x A
t
p
w j
w j
w j
�
�
=
+ -
=
+
�
�
�
�
=
+
2
y
x
p
j
j
= -
2.
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
cos
sin
1
x
x
x
y
x
y
t
t
A
A
w j
w j
+
=
+
+
+
=
y
x
A
A
Równanie elipsy o półosiach będących
amplitudami dwóch ruchów składowych
= 2
A
x
A
x
A
x
A
x
= 1
= 1
A
x
A
x
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
składanie ruchów harmonicznych
składanie ruchów harmonicznych
Wykład
Wykład
6
6
(
)
(
)
( )
(
) ( )
(
)
(
)
cos
cos
cos
sin
sin
cos
y
x
y
x
x
x
x
y A
t
A
t
t
x A
t
w j
j
w j
j
w j
j
w j
=
+ -
=
+
+
+
=
+
Wyprowadzenie:
1.
Wstawić cosinus z drugiego równania do równania
pierwszego
2.
Zostawić po jednej stronie sinusy i podnieść obustronnie do
kwadratu
3.
Zamienić sinus kwadrat na jeden minus cosinus kwadrat i
podstawić cosinus z drugiego równania
4.
Zostawić po prawej stronie sinus kwadrat a po lewej
stronie skorzystać z jedynki trygonometrycznej
5.
Podzielić obustronnie przez sinus kwadrat
(
)
(
)
2
2
2
2
2
cos
2
1
sin
sin
sin
y x
x
y
x
y
xy
A A
A
A
j
j
j
j
+
-
=
y
x
j
j
j
= -
3.
y
x
A
A
Równanie obróconej
elipsy
= 2
A
x
A
x
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
składanie ruchów harmonicznych
składanie ruchów harmonicznych
1
2
:
1:3
2
x
y
w w
p
j
j
j
=
=
-
=
Wykład
Wykład
6
6
1
2
:
1:2
2
x
y
w w
p
j
j
j
=
= -
=
We wszystkich rozważanych przypadkach okres drgania wypadkowego
równa się okresowi drgań składowych, ponieważ częstość kątowa była
stała.
Tory zakreślane prze punkty materialne odbywające dwa ruchy harmoniczne
wzajemnie prostopadłe noszą nazwę krzywych lub figur Lissajous.
1
2
:
2:3
3
x
y
w w
p
j
j
j
=
= -
=
Ruch harmoniczny tłumiony
Ruch harmoniczny tłumiony
2
2
F ma
dx
d x
kx b
m
dt
dt
=
-
-
=
2
2
2
2
0
2
0
2
0
d x b dx k
x
dt
m dt m
d x
dx
x
dt
dt
d
w
+
+
=
+
+
=
Wykład
Wykład
6
6
(
)
0
cos
t
x A e
t
d
w j
-
=
+
W wyniku działania tarcia amplituda drgań zmniejsza się stopniowo do
zera. Mówimy, że taki ruch jest tłumiony przez tarcie i nazywamy go
ruchem harmonicznym tłumionym.
Z drugiej zasady dynamiki Newtona
siła sprężystości
przywracająca
równowagę
siła hamująca
ruch jest
proporcjonalna
do prędkości i
skierowana do
niej przeciwnie
stała tłumienia
współczynnik oporu
częstość drgań
własnych, bez
tłumienia
początkowa
maksymalna
amplituda
częstość drgań
tłumionych
amplituda drgań
tłumionych zmienia
się wykładniczo
k
m
b
Ruch harmoniczny tłumiony
Ruch harmoniczny tłumiony
2
2
0
w
w
d
=
-
Wykład
Wykład
6
6
(
)
(
)
0
cos
0
t
x A e
t
d
w
j
-
=
+ =
(
)
(
)
0
0
cos
0
x A
t
w
j
=
+ =
x
t
2
2
0
d
w
<
W ośrodku o silnym
tłumieniu powstaje
ruch aperiodyczny.
warunek powstania
drgań tłumionych
periodycznych
Drgania wymuszone
Drgania wymuszone
cos
x A
t
w
=
Wykład
Wykład
6
6
( )
2
2
d x
kx F t
dt
=-
+
2
2
0
0
cos
cos
cos
m A
t m A
t F
t
w
w
w
w
w
-
=
+
Drgania wymuszone powstają gdy na oscylator działa siła zewnętrzna.
Równanie oscylatora ma wówczas postać:
Siła zewnętrzna może mieć
różną zależność funkcyjną
od czasu.
( )
( )
0
cos
F t
F
t
w
=
Siła o częstości różnej od
częstości własnej układu
(
)
0
2
2
0
F
A
m w
w
=
-
Masa m drga z tą samą częstością co siła, ale z
amplitudą zależną zarówno od częstości siły jak i od
częstości własnej oscylatora.
częstość
przyłożona
częstość
własna
Rezonans
Rezonans
(
)
sin
x A
t
w j
=
-
Wykład
Wykład
6
6
(
) ( )
2
2
2
2
0
0
d
b
d
w
w
w
w
�
�
-
+
�
�=
2
0
2
cos
d x
dx
kx b
F
t
dt
dt
w
=-
-
+
(
)
2
2
2
0
2
2
0
4
2
0
1
2
r
b
b
w w
w
w
w
w
-
-
+
=
=
-
(
)
0
2
2
2
2
2
2
2 2
0
0
arctan
F
b
A
m
b
w
j
w
w
w
w
w
=
=
-
-
+
Drgania wymuszone osiągają maksymalną amplitudę A gdy wyrażenie
podpierwiastkowe ma minimum. Gdy pulsacja siły wymuszającej jest tak dobrana,
aby drgania wymuszone odbywały się z maksymalną amplitudą to mamy do
czynienia ze zjawiskiem rezonansu.
Częstość
rezonansowa
Rezonans
Rezonans
Wykład
Wykład
6
6
2
2
0
1
2
r
b
w
w
=
-
Częstość rezonansowa jest zawsze
mniejsza od częstości drgań własnych
układu. Różnica pomiędzy tymi
częstościami rośnie ze wzrostem
współczynnika oporu.
Dla układów o bardzo małym tłumieniu
można przyjąć, że pulsacja rezonansowa
siły wymuszającej jest równa pulsacji
drgań własnych.
Document Outline