ROZKŁAD
WIELOMIANU
NA CZYNNIKI
ROZKŁAD
WIELOMIANU
NA CZYNNIKI
METODY ROZKŁADU WIELOMIANU NA CZYNNIKI:
I.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias:
a) w(x)=x
3
+6x
2
w(x)=x
2
(x+6)
czynniki: x
2
; x+6
b) w(x)=4x
3
-6x
2
w(x)=2x
2
(2x-3)
czynniki: 2; x
2
; 2x-3
c) w(x)=x
6
+4x
4
w(x)=x
4
(x
2
+4)
czynniki: x
4
; x
2
+4
d) w(x)=x
3
+x
2
+5x
w(x)=x(x
2
+x+5)
czynniki: x; x
2
+x+5
II. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia:
a) w(x)=x
3
-9x
w(x)=x(x
2
-9)
w(x)=x(x-3)(x+3)
b) w(x)=x
4
-36x
2
w(x)=x
2
(x
2
-36)
w(x)=x
2
(x-6)(x+6)
c) w(x)=x
6
-1
w(x)=(x
3
)
2
-1
2
w(x)=(x
3
-1)(x
3
+1)
w(x)=(x-1)(x
2
+x+1)(x
3
+1)=(x-1)(x
2
+x+1)(x+1)(x
2
-
x+1)
d) w(x)=x
3
+8
w(x)=x
3
+2
3
w(x)=(x+2)(x
2
-2x+4)
III. Wykorzystanie wzorów na deltę i postać
iloczynową funkcji kwadratowej:
a) w(x)=x
3
+6x
2
+5x
w(x)=x(x
2
+6x+5)
a=1 b=6 c=5
=36-20=16 delta jest większa od zera,
x
1
=-5 x
2
=-1 wykorzystujemy wzór na
postać
iloczynową:
y=a(x-x
1
)(x-x
2
)
x
2
+6x+5=(x+5)(x+1)
w(x)=x(x+5)(x+1)
b) w(x)=2x
3
-8x
2
+8x
w(x)=2x(x
2
-4x+4)
a=1 b=-4 c=4
=16-16=0 delta jest równa zero, wtedy
x
0
=2 wykorzystujemy wzór na postać
iloczynową:
y=a(x-x
0
)(x-x
0
)
w(x)=2x(x-2)
2
y=a(x-x
0
)
2
c) w(x)=-3x
3
-6x
2
-15x
w(x)=-3x(x
2
+2x+5)
a=1 b=2 c=5
=4-20=-16
<
0 - brak rozkładu na czynniki
w(x)=-3x(x
2
+2x+5)
d) w(x)=2x
3
-6x
2
-8x
w(x)=2x(x
2
-3x-4)
a=1 b=-3 c=-4
=9+16=25
x
1
=-1 x
2
=4
y=a(x-x
1
)(x-x
2
)
x
2
-3x-4=(x+1)(x-4)
w(x)=2x(x+1)(x-4)
IV. Wykorzystanie metody grupowania wyrazów:
a) w(x)=x
3
-2x
2
-9x+18 -
grupujemy po dwa wyrazy
w(x)=(x
3
-2x
2
)+(-9x+18)
w(x)=x
2
(x-2)+(-9)(x-2)
w(x)=(x-2)(x
2
-9)
w(x)=(x-2)(x-3)(x+3)
b) w(x)=4x
3
-4x
2
-x+1
w(x)=(4x
3
-4x
2
)+(-x+1)
w(x)=4x
2
(x-1)+(-1)(x-1)
w(x)=(x-1)(4x
2
-1)
w(x)=(x-1)(2x-1)(2x+1)
c) w(x)=x
3
-x
2
-4x+4
w(x)=(x
3
-x
2
)+(-4x+4)
w(x)=x
2
(x-1)+(-4)(x-1)
w(x)=(x-1)(x
2
-4)
w(x)=(x-1)(x-2)(x+2)
Zadanie: Wykorzystując odpowiednią metodę rozłóż
na czynniki wielomiany:
a) w(x)=x
4
+5x
3
+8x+40
w(x)=(x
4
+5x
3
)+(8x+40)
w(x)=x
3
(x+5)+8(x+5)
w(x)=(x+5)(x
3
+8)
w(x)=(x+5)(x+2)(x
2
-2x+4)
a=1 b=-2 c=4
=4-16=-12
<
0 - brak rozkładu na czynniki
w(x)=(x+5)(x+2)(x
2
-2x+4)
b) w(x)=x
6
+5x
4
w(x)=x
4
(x
2
+5)
a=1 b=0 c=5
=0-20=-20
< 0 - brak rozkładu na czynniki
w(x)=x
4
(x
2
+5)
c) w(x)=x
3
+5x
2
+4x
w(x)=x(x
2
+5x+4)
a=1 b=5 c=4
=25-16=9
x
1
=-4 x
2
=-1 wykorzystujemy wzór na
postać
iloczynową:
y=a(x-x
1
)(x-x
2
)
x
2
+5x+4=(x+4)(x+1)
w(x)=x(x+4)(x+1)
d) w(x)=x
3
+3x
2
+6x+18
w(x)=(x
3
+3x
2
)+(6x+18)
w(x)=x
2
(x+3)+6(x+3)
w(x)=(x+3)(x
2
+6)
a=1 b=0 c=6
=0-24=-24
< 0 - brak rozkładu na czynniki
w(x)=(x+3)(x
2
+6)
e) w(x)=-2x
4
-10x
3
-8x
2
w(x)=-2x
2
(x
2
+5x+4)
a=1 b=5 c=4
=25-16=9
x
1
=-4 x
2
=-1 wykorzystujemy wzór na
postać
iloczynową:
y=a(x-x
1
)(x-x
2
)
x
2
+5x+4=(x+4)(x+1)
w(x)=-2x
2
(x+4)(x+1)
f) w(x)=x
3
-9x
w(x)=x(x
2
-9)
wykorzystujemy wzory skróconego
mnożenia
w(x)=x(x+3)(x-3)
g) w(x)=x
4
-16
w(x)=(x
2
)
2
-4
2
w(x)=(x
2
-4)(x
2
+4)
w(x)=(x-2)(x+2)(x
2
+4)
a=1 b=0 c=4
=0-16=-16
< 0 -
brak rozkładu na czynniki
w(x)=(x-2)(x+2)(x
2
+4)
h) w(x)=-4x
3
-12x
2
+x+3
w(x)=(-4x
3
-12x
2
)+(x+3)
w(x)=-4x
2
(x+3)+1(x+3)
w(x)=(x+3)(-4x
2
+1)
w(x)=(x+3)(1-4x
2
)
w(x)=(x+3)(1-2x)(1+2x)
i) w(x)=x
4
-6x
3
+9x
2
w(x)=x
2
(x
2
-6x+9)
a=1 b=-6 c=9
=36-36=0
x
0
=3 wykorzystujemy wzór na postać
iloczynową:
y=a(x-x
0
)
2
x
2
-6x+9=(x-3)
2
w(x)=x
2
(x-3)
2
j) w(x)=x
5
+3x
4
+x
3
+3x
2
w(x)=x
2
(x
3
+3x
2
+x+3)
w(x)=x
2
[(x
3
+3x
2
)+(x+3)]
w(x)=x
2
[x
2
(x+3)+1(x+3)]
w(x)=x
2
(x+3)(x
2
+1)
a=1 b=0 c=1
=0-4=-4
< 0 - brak rozkładu na czynniki
w(x)=x
2
(x+3)(x
2
+1)
k) w(x)=2x
4
+x
3
+3x
2
+x+1
w(x)=(2x
4
+x
3
+x
2
)+(2x
2
+x+1)
w(x)=x
2
(2x
2
+x+1)
+1
(2x
2
+x+1)
w(x)=(x
2
+1)
(2x
2
+x+1)
a=1 b=0 c=1
a=2 b=1 c=1
=0-4=-4
=1-8=-7
< 0
< 0
-
brak rozkładu na czynniki
w(x)=(x
2
+1)(2x
2
+x+1)
l) w(x)=5x
3
-6x+1
w(x)=5x
3
-5x-x+1
w(x)=(5x
3
-5x)+(-x+1)
w(x)=5x(x
2
-1)+(-1)(x-1)
w(x)=5x
(x-1)
(x+1)+(-1)
(x-1)
w(x)=[5x(x+1)-1]
(x-1)
w(x)=[5x
2
+5x-1]
(x-1)
m) w(x)=x
4
-9
w(x)=(x
2
-3)(x
2
+3)
w(x)=(x-√3)(x+√3)(x
2
+3)
n) w(x)=x
3
-5x
2
+x-5
w(x)=(x
3
-5x
2
)+(x-5)
w(x)=x
2
(x-5)+1(x-5)
w(x)=(x-5)(x
2
+1)
o) w(x)=3x
4
+2x
3
+3x
2
+2x
w(x)=(3x
4
+2x
3
)+(3x
2
+2x)
w(x)=x
3
(3x+2)+x(3x+2)
w(x)=(x
3
+x)(3x+2)
w(x)=x(x
2
+1)(3x+2)
p) w(x)=x
2
-25
w(x)=(x-5)(x+5)