1

ELEKTROTECHNIKA  II

WYKŁAD I

        

prof. dr hab. inż. T. Niedziela

2

Układy trójfazowe

3

Literatura

1. 

Bolkowski S

.: 

Elektrotechnika

.  Wydawnictwo 

Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna, Warszawa 

1993.
2. 

Bolkowski S

.: 

Elektrotechnika teoretyczna

, Tom 1, 

Teoria obwodów elektrycznych. Wydawnictwo 

Naukowo – Techniczne, Warszawa 1986.
3. Goźlińska E. Maszyny elektryczne. Wydawnictwo 

Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna, Warszawa 

1995r.
4. 

Lucyk C.

 

Zasady energoelektryki

. Oficyna 

Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 

2000.
5. 

Lucyk C

. 

Elektrotechnika podstawowa

, Warszawa 

2006. – 

http://www.it.pw.edu.pl

/-clucyk 

Wprowadzenie 

Wielkości 

charakteryzujące sygnały 

okresowe 

1. 

Wartością chwilową sygnału

 nazywamy 

wartość, jaką przyjmuje sygnał w danej chwili 
(np. f(t), i(t), u(t)).
2. 

Wartością średnią całookresową 

sygnału (i(t), 

u(t)) okresowego o okresie T nazywamy średnią 
arytmetyczną tego sygnału obliczoną dla 
jednego okresu T.

3.

Wartością skuteczną 

sygnału okresowego o 

okresie T nazywamy pierwiastek kwadratowy z 
wartości średniej kwadratu sygnału obliczonej 
dla jednego okresu T.

4. 

Wartością wyprostowaną

 nazywamy średnią z 

modułu sygnału.

 

 





T

dt

t

f

T

t

f

0

1

 

 

t

f

dt

t

f

T

F

T

2

0

2

1







 





T

dt

t

f

T

F

0

1

5. 

Współczynnikiem szczytu

 (k

sz

) sygnału 

okresowego nazywamy stosunek wartości 
maksymalnej (szczytowej)  sygnału do jego 
wartości skutecznej F.

        np:

6. 

Współczynnikiem kształtu

 (k

k

) sygnału 

okresowego nazywamy stosunek wartości 
skutecznej sygnału F do jego wartości średniej .

np:

 

 

F

m

F

sz

k 

U

u

u

sz

k

I

i

i

sz

k

max

,

max

,





 

t

f

F

k

k 

)

(

,

t

i

I

i

k

k



Współczynniki szczytu oraz kształtu prądu 

i napięcia sinusoidalnego

gdzie: 

i,

 

u,

 - faza początkowa odpowiednio 

prądu i napięcia.

Wartości skuteczne: 
Wartości wyprostowane: 

 Stąd:

Współczynniki szczytu, oraz współczynnik kształtu

)

sin(

)

(

)

sin(

2

)

sin(

)

(

u

t

m

U

t

u

i

t

I

i

t

m

I

t

i































2

,

2

m

U

U

m

I

I





m

U

U

m

I

śr

I

I





2

,

2







2

2

2

2

)

(sin

2

2

max

)

(sin





















m

I

m

I

I

I

k

k

m

I

m

I

I

i

sz

k

8

Wstęp



EEnergia elektryczna

 

przy napięciu i prądzie 

zmiennym

 

lepiej nadaje się do przesyłania na 

duże odległości niż energia elektryczna przy 
napięciu i prądzie stałym.



ZZatem wytwarzanie, przesyłanie i rozdzielanie 

energii elektrycznej 

aktualnie jest dokonywane 

przy użyciu urządzeń prądu zmiennego.



SZ pośród wszystkich stosowanych w 
elektrotechnice przebiegów zmiennych 
najbardziej rozpowszechnione są 

przebiegi o 

zmienności sinusoidalnej

 

w czasie.

9

9

9

Podstawowe pojęcia

Układ wielofazowy

 

 

to zbiór obwodów elektrycznych, 

w  których  działają  napięcia  źródłowe  sinusoidalnie 
zmienne  o  jednakowej  częstotliwości,  przesunięte 
względem 

siebie 

w 

fazie 

i 

wytwarzane 

(zamontowane)  w  jednym  źródle  energii  zwanym 

prądnicą

 

 

lub

 

 

generatorem wielofazowym.

 

Poszczególne 

obwody 

prądnicy 

wielofazowej 

nazywamy 

obwodami  fazowymi

  - 

fazami

 

 

(według 

(według 

normy PN-90/E-01242 oznaczeniami faz są

normy PN-90/E-01242 oznaczeniami faz są

 

 

L

1

, L

2

, L

2

 

 

i

 

 

N

)

)

.

.

Początki uzwojeń kolejnych faz prądnicy oznaczamy

 

 

U1, V1, W1

, a końce faz

 

 

U2, V2, W2 

.

10

W  prądnicy  trójfazowej  rozróżniamy

 

 

STATOR

 

 

(nazywany  stojanem)  –  w  którym  są  umieszczone 
uzwojenia,  oraz 

ROTOR

 

 

(

wirnik

) 

pełniący  rolę 

magneśnicy

 i wirujący ze stałą prędkością kątową. 

Zasada  działania  prądnicy

 

 

polega  na  przecinaniu 

polega  na  przecinaniu 

trzech,  przesuniętych  przestrzennie  (o  kąt  2π/3), 

trzech,  przesuniętych  przestrzennie  (o  kąt  2π/3), 

uzwojeń 

przez 

stały 

strumień 

magnetyczny 

uzwojeń 

przez 

stały 

strumień 

magnetyczny 

wytworzony w wirniku.

wytworzony w wirniku.

Do  wytwarzania  napięć  źródłowych  w  układzie 
trójfazowym 

służą

 

 

 

 

 

 

prądnice 

trójfazowe 

(generatory) .

W  każdym 

uzwojeniu  fazowym  indukuje  się 

napięcie źródłowe e sinusoidalnie zmienne

, przy 

czym  ze  względu  na  symetrię  układu  i 
przesunięcie  przestrzenne  uzwojeń  o  ten  sam 
kąt,  w  fazach  indukują  się  napięcia  o 
jednakowych 

amplitudach, 

o 

tej 

samej 

częstotliwości  i  przesunięte  względem  siebie  o 
1/3  okresu. 

Równania  napięć  chwilowych 

źródłowych (e

A

, e

B

,

 

e

C

)

 wytwarzanych w prądnicy 

trójfazowej mają postać:

11

11

sin

A

m

e

E

t

w

=

2

sin

3

B

m

e

E

t

p

w

�

�

=

-

�

�

�

�

2

sin

3

C

m

e

E

t

p

w

�

�

=

+

�

�

�

�

Równania napięć źródłowych (napięć 
fazowych) 

wytwarzanych w prądnicy 

trójfazowej, można przedstawić również 

w 

postaci zespolonej

Napięcie źródłowe fazy B 

opóźnia się o kąt 

2π/3 względem napięcia źródłowego fazy A, 
natomiast 

napięcie źródłowe fazy C 

 wyprzedza 

o 2π/3 napięcie źródłowe fazy A

 

natomiast 

opóźnia się o kąt 2π/3 względem napięcia 
źródłowego fazy B.

12

A

E

E

=

2

3

j

B

E

Ee

p

-

=

2

3

j

C

E

Ee

p

=

 

Układ napięć 

będziemy nazywać 

układem 

symetrycznym zgodnym

 (rys. 2a), gdy przy 

(zaznaczonym na rys. 2a) dodatnim 
kierunku wirowania, następstwo faz jest 
zgodne, przez co rozumiemy następstwo A, 
B, C.  

13

л

3

2

л

л

A

E

C

E

B

E

Rys 2.

 a



3

2

3

2

Układ napięć

 nazywamy 

układem 

symetrycznym przeciwnym

, gdy przy 

(zaznaczonym na rys. 2b) dodatnim kierunku 
wirowania, następstwo faz jest przeciwne w 
stosunku do przyjętego za zgodne, czyli   A

,

 C, 

B.
 

   

Rys 2b

14

л

3

2

л

A

E

B

E

C

E

A

E

B

E

C

E

c)



3

2

3

2

Układ  trójfazowy 

został  po  raz  pierwszy  zastosowany 

w  1889r. 

Ważnym  osiągnięciem

  było  wówczas 

opracowanie 

urządzeń 

do 

wytwarzania 

 

i 

przetwarzania energii prądu trójfazowego.

Zostały  zbudowane,  oprócz 

prądnicy  trójfazowej

, 

transformator  trójfazowy 

oraz 

silnik  indukcyjny 

trójfazowy

.

 

Silnik  trójfazowy 

okazał  się  najtańszym  i  bardzo 

wygodnym  przetwornikiem  energii  elektrycznej 
w mechaniczną.

Również 

przesyłanie  energii  elektrycznej 

za  pomocą 

linii  trójfazowych  jest  zarówno  ze  względów 
technicznych  jak  i  ekonomicznych  aktualnie 
niezastąpione. 

15

Klasyfikacja układów 

trójfazowych

Układ trójfazowy

 Klasyfikacja układów 
trójfazowych

Układ trójfazowy jest symetryczny

, jeśli prądnica trójfazowa 

symetryczna  jest  połączona  z  odbiornikiem  złożonym  z 

trzech identycznych impedancji zespolonych (Z)

.

Fazy prądnicy 

oraz 

impedancje odbiornika 

można kojarzyć w 

gwiazdę lub w trójkąt.

Prądnica

 jest połączona w 

gwiazdę

, jeśli końce uzwojeń (

U2, 

V2, W2

)

 

trzech faz są ze sobą połączone we wspólny punkt 

oznaczonym  literą 

N

,  a  początki  uzwojeń  (

U1,  V1,  W1

)

 

tworzą zaciski prądnicy. 

18

Z punktu widzenia 

sposobu połączenia źródła i odbiornika

 

można wyróżnić pięć różnych układów podstawowych:

-

 układ trójfazowy 

gwiazda - gwiazda trójprzewodowy

,

-

układ trójfazowy 

gwiazda - gwiazda czteroprzewodowy

,

-

układ trójfazowy 

trójkąt – trójkąt

,

-

układ trójfazowy 

trójkąt –gwiazda

,

-

układ trójfazowy 

gwiazda – trójkąt

.

19

Definicje podstawowe



Wspólny punkt trzech faz przy skojarzeniu w gwiazdę 
nazywamy 

punktem zerowym lub punktem neutralnym

.



Jeśli są połączone w gwiazdę fazy zarówno źródła, jak i 
odbiornika, to ponadto mogą być ze sobą połączone punkty 
zerowe. 



PPrzewód łączący punkty zerowe źródła i odbiornika 
nazywamy 

przewodem zerowym lub przewodem 

neutralnym

. 



PPozostałe trzy przewody nazywamy 

przewodami fazowymi

.

21

W układzie gwiazdowym napięcia 

pomiędzy punktem 

zerowym i końcem uzwojenia fazy 

lub między 

przewodem zerowym, a jednym z przewodów fazowych 
nazywamy

 

napięciem fazowym 

Napięcie

 

pomiędzy końcami faz

 

źródła lub odbiornika, 

a 

także napięcie pomiędzy przewodami fazowymi

 

nazywamy

 

napięciem międzyfazowym

Prąd płynący w przewodzie fazowym nazywamy 

prądem przewodowym 

22

W układzie 

gwiazda—gwiazda 

czteroprzewodowym

  prąd płynący w 

przewodzie zerowym (neutralnym) 
nazywamy 

prądem zerowym

 

lub 

neutralnym i oznaczamy I

0

  lub I

N

. 

W układzie trójkątowym prąd płynący w 
fazie źródła lub odbiornika nazywamy 
prądem fazowym. 

23

Układ trójfazowy gwiazda 

– gwiazda 

trójprzewodowy

Odbiornik

  można  skojarzyć  w  gwiazdę  łącząc  jedne 

(U2,  V2,  W2)  końcówki  impedancji  (Z

A

,  Z

B

,  Z

C

)  we 

wspólny  punkt,  a  trzy  (U1,  V1,  W1)  pozostałe 
końcówki wyprowadzając na zewnątrz.

 Układ trójfazowy gwiazda – gwiazda 

trójprzewodowy 

25

Napięcia fazowe źródła 

oznacza się jako (E

A

, E

B

, 

E

C

), 

impedancje  fazowe  odbiornika 

(Z

A

,  Z

B

,  Z

C

), 

napięcia fazowe odbiornika 

(U

A

, U

B

, U

C

), 

napięcia 

międzyfazowe 

(U

AB

, U

BC

, U

CA

), 

prądy przewodowe 

(I

A

, I

B

, I

C

).

26

Układ trójfazowy gwiazda 

– gwiazda 

czteroprzewodowy

Jeśli połączymy bezimpedancyjnie lub przez 
pewną impedancję (Z

NN

) punkty neutralne 

źródła i odbiornika, to otrzymamy 

układ 

trójfazowy gwiazda – gwiazda 
(niesymetryczny) czteroprzewodowy.

 

28

Układ trójfazowy gwiazda 

– gwiazda (symetryczny) 

czteroprzewodowy

 

30

Układ trójfazowy symetryczny (Z

A

 = Z

B

 = Z

C

 = Z) 

z odbiornikiem połączonym w gwiazdę z uziemionym 

punktem neutralnym (

uproszczony schemat źródła

) 

Układ trójfazowy 

trójkąt – trójkąt

Jeżeli  źródło  jest  połączone  w  trójkąt,  a  odbiornik 
również w trójkąt, to mamy 

układ trójfazowy trójkąt 

– trójkąt.

    

Prądnica może być połączona w trójkąt 

jeśli koniec 

pierwszej fazy połączymy z początkiem drugiej (U2, 
V1),  koniec  drugiej  fazy  z  początkiem  trzeciej,  a 
koniec  trzeciej  fazy  z  początkiem  z  początkiem 
pierwszej. 

Odbiornik też można połączyć w trójkąt

. 

32

Układ trójfazowy 

trójkąt – gwiazda

Jeżeli źródło jest połączone w trójkąt, a odbiornik w 
gwiazdę, to mamy 

układ trójfazowy trójkąt – 

gwiazda.

34

Układ trójfazowy 

gwiazda – trójkąt

Jeśli źródło jest połączone w gwiazdę, a odbiornik 
w trójkąt, to mamy 

układ trójfazowy gwiazda – 

trójkąt.

36

Definicje podstawowe

   

W układzie gwiazdowym 

napięcie występujące między punktem 

neutralnym  prądnicy  i  końcem  uzwojenia  fazy 

nazywamy 

napięciem  fazowym  źródła

  (E

A

,  E

B

,  E

C

).  Analogicznie  dla 

odbiornika określamy 

napięcie fazowe odbiornika 

(U

A

, U

B

, U

C

).

      Napięcia  międzyfazowe 

(U

AB

,  U

BC

,  U

CA

)  lub 

liniowe

  –  napięcie 

występujące  między  kolejnymi  parami  zacisków  prądnicy  lub 
odbiornika, czyli 

napięcia między przewodami fazowymi.

38

Prądy przewodowe 

(I

A

, I

B

, I

C

) – prądy płynące w 

przewodach fazowych.

       

Prądy  fazowe 

(I

AB

,  I

BC

,  I

CA

,)  –  prądy  płynące  w 

fazach odbiornika trójkątowego. 

39

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

WYKŁAD II

41

        

prof. dr hab. inż. T. Niedziela

ELEKTROTECHNIKA  II

UKLADY TRÓJFAZOWE 
SYMETRYCZNE 

(Obliczenie układów)

42

A

. 

Połączenie odbiornika w gwiazdę 

Układ  trójfazowy  jest  symetryczny, 

jeśli  prądnica  trójfazowa  symetryczna  jest 

połączona  z  odbiornikiem  symetrycznym  (tzn.  złożonym  z 

trzech  identycznych 

impedancji zespolonych 

(Z

A 

= Z

B 

= Z

C

).

Z  punktu  widzenia  sposobu  połączenia  źródła  i  odbiornika  (jak  już  powiedziano) 
możemy wyróżnić 

pięć różnych układów podstawowych.

Jednak  dla  obliczeń 

zasadnicze  znaczenie  ma  sposób  połączenia  odbiornika. 

Podłączenie  źródła  jest  tu  mniej  istotne,  ponieważ  przeważnie  odbiorniki  są 

dołączone do sieci systemu, w którym punkt neutralny transformatora trójfazowego, 

w zależności od sposobu jego połączenia, może być uziemiony lub izolowany. 

43

Układ  trójfazowy  czteroprzewodowy,  do 
którego  dołączono  odbiornik  połączony 
w  gwiazdę  z  uziemionym  punktem 
neutralnym

44

Ten  sam  układ  (

układ  trójfazowy  symetryczny  z 

odbiornikiem  połączonym  w  gwiazdę

)  może  być 

przedstawiony  następująco.  Dorysowanie  źródła 
ułatwia  zrozumienie  zależności  występujących  w 
tym układzie.

45 45

Obliczenie  układu 

polega  na 

wyznaczeniu 

prądów  przewodowych  i  fazowych  odbiornika, 
napięć fazowych odbiornika oraz mocy czynnej, 
biernej     i pozornej  pobieranej przez odbiornik.

 

Dla  uproszczenia  załóżmy  ze 

faza  początkowa 

napięcia

  źródłowego  (fazy  A)  jest  równa  zeru. 

Napięcia fazowe źródeł (E

A, 

E

B

, E

C

)

 przedstawimy 

w postaci zespolonej:

46

A

E

E

=

2

3

1

3

2

2

j

B

A

A

E

E e

E

j

p

-

�

�

-

=

=

- -

�

�

�

�

�

�

2

3

1

3

2

2

j

C

A

A

E

E e

E

j

p

�

�

-

=

=

- +

�

�

�

�

�

�

gdyż:

47

2

2

3

3

1

3

1

3

;

2

2

2

2

j

j

e

j

e

j

p

p

-

=- -

=- +

Z powyższych zależności (po dodaniu stronami) wynika, że:

0

A

B

C

E

E

E

+

+

=

W układzie trójfazowym symetrycznym  gwiazda - gwiazda 

potencjał  punktu  neutralnego  (N)  źródła  jest  równy 

potencjałowi punktu neutralnego odbiornika (N’).

W  takim razie jeżeli 

w układzie  trójfazowym symetrycznym gwiazda-gwiazda

 

potencjał 

punktu neutralnego źródła jest równy potencjałowi punktu neutralnego odbiornika , to

                                       E

A

 = U

A

                                       E

B

 = U

B

                                       E

C

 = U

C

 

 

  
    

zatem

 

stwierdzamy, że w układzie trójfazowym symetrycznym

 

przy połączeniu 

odbiornika w gwiazdę:

   

Suma wartości skutecznych zespolonych napięć fazowych 

odbiornika jest równa zeru.

48

0

A

B

C

U

U

U

+

+

=

Wobec 

równości 

potencjałów 

punktów 

neutralnych     N i N’ można te punkty zewrzeć, 

zatem prądy fazowe odbiornikowe:

49

0

A

B

C

U

U

U

+

+

=

A

A

A

B

B

B

C

C

C

E

U

I

Z

Z

E

U

I

Z

Z

E

U

I

Z

Z

=

=

=

=

=

=

Ponieważ impedancja każdej fazy odbiornika 
wynosi:

zatem

 

prądy fazowe

:

50

j

Z Ze

R jX

j

=

= +

2

2

3

3

2

2

3

3

j

j

A

A

A

j

j

j

B

B

A

j

j

j

C

C

A

E

I

e

I e

Z

E

I

e

e

I e

Z

E

I

e e

I e

Z

j

j

p

p

j

j

p

p

j

j

-

-

�

�

-

+

-

�

�

-

�

�

�

�

+

�

�

-

�

�

=

=

=

=

=

=

a

 

moduły prądów przewodowych (I

A

, I

B

, I

C

) są 

odpowiednio: 

Wniosek. Moduły prądów we wszystkich 
fazach są jednakowe

, ponadto wartości 

skuteczne zespolone:

51

A

A

B

C

p

E

I

I

I

I

Z

= = =

=

2

3

1

3

2

2

j

B

A

A

I

I e

I

j

p

-

�

�

-

=

=

- -

�

�

�

�

�

�

2

3

1

3

2

2

j

C

A

A

I

I e

I

j

p

�

�

=

=

- +

�

�

�

�

�

�

Zatem:

Wniosek.

 

Suma 

wartości 

skutecznych 

zespolonych 

prądów 

fazowych 

(przewodowych) jest równa zeru. 

Stąd wynika, 

że w układzie symetrycznym

 

prąd w przewodzie 

neutralnym jest równy zeru. 

Napięcie  międzyfazowe 

jest  różnicą  napięć 

fazowych, 

przy 

czym 

działania 

należy 

przeprowadzać 

na 

wartościach 

skutecznych 

zespolonych.

52

0

A

B

C

I

I

I

+ + =

Zatem:

Moduły napięć międzyfazowych są 
sobie równe:

a

 

suma wartości skutecznych zespolonych 

napięć międzyfazowych jest równa zeru,

 

czyli:

53

AB

A

B

BC

B

C

CA

C

A

U

U

U

U

U

U

U

U

U

=

-

=

-

=

-

AB

BC

CA

p

U

U

U

U

=

=

=

0

AB

BC

CA

U

U

U

+

+

=

 

Na  kolejnym  rysunku  zobrazujemy  wyniki 

naszych 

obliczeń 

w 

postaci 

wykresu 

wektorowego napięć       i prądów dla układu 
trójfazowego symetrycznego przy podłączeniu 
odbiornika w gwiazdę

54

Wykres wektorowy napięć i prądów dla 
układu trójfazowego symetrycznego 
przy połączeniu odbiornika w gwiazdę

55

Na  wykresie  wektorowym  przedstawiliśmy 

napięcia 

fazowe 

(U

A

, U

B

, U

C

), 

międzyfazowe

 

(U

AB

, U

BC

, U

CA

) 

oraz 

prądy  przewodowe,  które  są  równe  prądom 
fazowym  odbiornika 

(I

A

,  I

B

,  I

C

)  przy  połączeniu 

impedancji fazowych w gwiazdę.

 

Ponieważ

 

trzy wektory napięć międzyfazowych

 

(U

AB

, 

U

BC

,  U

CA

) 

tworzą  trójkąt

,  zatem  ich  suma  jest  równa 

zeru.

56

Z zależności dla trójkąta równoramiennego o 
bokach U

A

, U

B

, U

AB

 i o kątach 2π/3, π/6 i π/6 

wynika że 

moduł napięcia międzyfazowego 

U

AB

 = U

p

 jest pierwiastek z 3 razy większy 

od modułu napięcia fazowego U

f

,

 

czyli:

57

3

f

Up

U

=

Z zależności tej wynika, że w sieci o napięciu 
fazowym U

f 

= 220V, napięcie międzyfazowe:

Moc czynną P pobraną przez odbiornik 
trójfazowy symetryczny 

możemy obliczyć 

jako potrójną wartość (3P

f

) mocy pobieranej 

przez jedną fazę odbiornika:

przy czym R, jest rezystancją jednej fazy 
odbiornika.

58

3 220 380

P

U

V

=

�

=

2

P

ff

ff

U I cos

RI

j

=

=

Zatem moc czynna 

pobierana przez 

odbiornik 

trójfazowy symetryczny:

Po podstawieniu  otrzymujemy ,  

moc czynną P

  

jako:

Wzór ten jest najczęściej stosowany do 
obliczania mocy czynnej P pobieranej przez 
odbiornik trójfazowy symetryczny, gdyż 
uzależnia moc od wartości związanych z 
parametrami sieci zasilającej odbiornik (U

p

 oraz 

I

p

).

59

2

3P

3

ff

ff

P

U I cos

RI

j

=

=

=

3

cos

3

cos

3

p p

p p

P

U I

U I

j

j

=

=

 

Wykład II

60

B. Połączenie odbiornika w 

trójkąt

Na kolejnym rysunku zilustrujemy 

układ 

trójfazowy symetryczny

, w którym 

odbiornik 

połączono w trójkąt, 

natomiast źródło w 

gwiazdę.

 

Punktem wyjścia do naszych obliczeń 

prądów 

fazowych, napięć fazowych oraz mocy 

czynnej, biernej i pozornej odbiornika

  

są 

napięcia międzyfazowe.

Gdyby źródło było połączone np. w trójkąt, 

wówczas napięcia międzyfazowe są 

jednocześnie napięciami fazowymi źródła

.

61

B. Połączenie odbiornika w 

trójkąt

Układ trójfazowy symetryczny z 
odbiornikiem 

połączonym w 

trójkąt

62

Wyznaczone  za  pomocą  powyższych  równań 

napięcia  międzyfazowe  tworzą  układ 
trójfazowy  symetryczny  napięć

,  przy  czym 

po  założeniu

,  że  faza  początkowa  napięcia 

międzyfazowego 

U

AB

 

jest 

równa 

zeru 

otrzymamy:

63

AB

A

B

BC

B

C

CA

C

A

U

E

E

U

E

E

U

E

E

=

-

=

-

=

-

  Z powyższych zależności wynika, że wektory 

napięć fazowych (U

AB, 

U

BC

, U

CA

) odbiornika tworzą 

gwiazdę symetryczną gdzie ich suma jest równa 
zero.

64

2

3

2

3

1

3

2

2

1

3

2

2

AB

AB

j

BC

AB

AB

j

CA

AB

AB

U

U

U

U e

U

j

U

U e

U

j

p

p

-

=

�

�

=

=

- -

�

�

�

�

�

�

�

�

=

=

- +

�

�

�

�

�

�

a moduły tych napięć (napięć 

międzyfazowych) są  jednakowe

 (U

AB

 = U

BC 

= U

CA

 = U

f

) 

65

0

AB

BC

CA

U

U

U

+

+

=

Obliczone

 

napięcia międzyfazowe występują 

na zaciskach odbiornika

, którego 

impedancja każdej fazy

 

wynosi:

Prądy fazowe odbiornika (I

AB

, I

BC

, I

CA

) 

możemy wyznaczyć z prawa Ohma dla 
wartości skutecznych zespolonych:

66

j

Z Ze

R jX

j

=

= +

j

j

AB

AB

AB

AB

U

U

I

e

I e

Z

Z

j

j

-

-

=

=

=

Powyższe wyrażenia wskazują, że 

wektory 

prądów fazowych odbiornika tworzą gwiazdę 
symetryczna ale opóźnioną o kąt

 

φ

 

w stosunku 

do gwiazdy napięć fazowych. 

67

2

2

3

3

2

2

3

3

j

j

j

BC

AB

BC

AB

j

j

j

CA

AB

CA

AB

U

U

I

e

e

I e

Z

Z

U

U

I

e e

I e

Z

Z

p

p

j

j

p

p

j

j

�

�

-

+

-

�

�

-

�

�

�

�

+

�

�

-

�

�

=

=

=

=

=

=

Przy czym:

Stwierdzamy więc, moduły prądów 
fazowych płynących w gałęziach 
odbiornika połączonego w trójkąt są 
jednakowe i równe prądowi fazowemu I

f

 .

68

AB

AB

BC

CA

f

U

I

I

I

I

Z

=

=

=

=

Zatem:

Wniosek. 

Suma 

wartości 

skutecznych 

zespolonych prądów fazowych jest równa zeru.

Prądy 

przewodowe 

obliczamy 

jako 

różnicę 

odpowiednich

 

prądów  fazowych

.  Korzystając  z 

prawa Kirchhoffa dla kolejnych węzłów otrzymujemy:

69

2

3

2

3

1

3

2

2

1

3

2

2

j

BC

AB

AB

j

CA

AB

AB

I

I e

I

j

I

I e

I

j

p

p

-

�

�

-

=

=

- -

�

�

�

�

�

�

�

�

=

=

- +

�

�

�

�

�

�

0

AB

BC

CA

I

I

I

+

+

=

Moduły prądów przewodowych są sobie 
równe, 

tzn:

a

 

suma ich wartości skutecznych 

zespolonych jest równa zeru, 

czyli:

70

A

AB

CA

B

BC

AB

C

CA

BA

I

I

I

I

I

I

I

I

I

=

-

=

-

=

-

A

B

C

P

I

I

I

I

= = =

0

A

B

C

I

I

I

+ + =

Obliczenia  przedstawimy  na  wykresie  wektorowym. 

Wykreślamy  trzy 

wektory napięć międzyfazowych   

( faza początkowa U

AB

 jest równa zeru).

 

Prąd  fazowy 

w  każdej  fazie  jest  opóźniony  względem  napięcia  fazowego  o 

kąt φ.

Wektory prądów fazowych 

( I

AB

, I

BC

, I

CA 

) tworzą gwiazdę symetryczną.

Wektor  prądu  przewodowego   

opóźnia  się    względem  wektora  prądu 

fazowego o 30

0

 .

71

Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu 
trójfazowego  symetrycznego  przy  połączeniu 
odbiornika w trójkąt

72

Ponieważ trzy wektory prądów 
przewodowych 

(I

A

, I

B

, I

C

) 

tworzą trójkąt, 

zatem ich suma jest równa zeru

, co jest 

zgodne z obliczeniami. Z zależności trójkąta 
równoramiennego i kątów wynika, że

 

moduł 

prądu przewodowego (I

A

=I

B

=I

C

=I

p

) 

jest 

pierwiastek z trzech razy większy od modułu 
prądu fazowego 

(I

AB

=I

BC

=I

CA

=I

f

) .

Dla odbiornika połączonego w trójkąt

, moc 

pobieraną 

przez 

odbiornik 

trójfazowy 

symetryczny połączony w trójkąt obliczamy jako 
potrójną  wartość  mocy  pobieranej  przez  jedną 
fazę a zatem

 

moc czynna P

:

73

3

f

Ip

I

=

2

3P

3

3

ff

ff

P

U I cos

RI

j

=

=

=

Przy czym R jest rezystancją jednej fazy 
odbiornika.
Po podstawieniu I

f 

=I

p

/3

1/2

 oraz U

p

=U

f

  

moc 

czynna P jest równa:

Podobnie

 

moc bierną Q 

obliczymy jako potrójną 

wartość mocy biernej, pobieranej przez jedną fazę.

Po uwzględnieniu zależności na I

f  

oraz U

f

 , 

moc 

pozorna S

:

74

3

cos

3

cos

3

p p

p p

P

U I

U I

j

j

=

=

2

3

sin

3

ff

f

Q

U I

XI

j

=

=

3

p p

S

U I

=

WNIOSKI: 

1.  Niezależnie  od  sposobu  połączenia  faz  odbiornika 

trójfazowego  symetrycznego,  odpowiednio  moc  czynną, 
bierną i pozorną obliczamy z tych samych  wzorów.

2.  Do  obliczania  mocy  odbiornika    trójfazowego 

symetrycznego  połączonego  w  gwiazdę  i  trójkąt  jest 
potrzebna  znajomość  napięcia  międzyfazowego,  prądu 
przewodowego i kata fazowego odbiornika.

3.  Suma  prądów  fazowych  i  napięć  fazowych  odbiornika   

trójfazowego  symetrycznego  połączonego  zarówno  w 
gwiazdę i trójkąt jest równa zero.

75

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

76

Źródła:

„Elektrotechnika” – Bolkowski

Równania matematyczne napisano w 

programie: MathType 5.0

Schematy układów elektrycznych w nakładce 

programu MS Word.

77