Ile rozwiązań może 
mieć układ równań?

Opracowanie: Beata Szabat

 

 

Ile rozwiązań może mieć układ 
równań?

Przypomnienie.
Przy rozwiązywaniu równań liniowych z jedną 

niewiadomą możemy wyróżnić następujące 

przypadki: 

1.

równanie spełnia każda liczba- równanie jest 

wtedy nazywane tożsamościowym i ma 

nieskończenie wiele rozwiązań;

2.

równanie nie spełnia żadna liczba- równanie jest 

nazywane sprzecznym i nie ma rozwiązania;

3.

równanie spełnia jedna liczba – równanie jest 

nazywane oznaczonym i ma jedno rozwiązanie.

 

 

Ile rozwiązań może mieć układ 
równań?

Przyjrzyj się następującemu układowi:

Czy znasz takie liczby, których różnica jednocześnie  jest 

równa 1 i równa 2?

Oczywiście nie ma takiej pary liczb, która spełniałaby ten 

układ. 

Taki układ nie ma rozwiązania i go nazywamy 

sprzecznym.















2

1

y

x

y

x

 

 

Ile rozwiązań może mieć układ 
równań?

Przyjrzyj się następującemu układowi:

Czy widzisz związek między tymi równaniami?
Każda para liczb, która spełnia pierwsze 

równanie spełnia również równanie drugie.

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i 

nazywa się układem nieoznaczonym.

 

Uwaga! 

Nie oznacza to jednak, że każda para spełnia 

ten układ.















6

3

3

2

y

x

y

x

 

 

Ile rozwiązań może mieć układ 
równań?

Przykłady rozwiązań układu:

Niech x=1, to 1-y=2, stąd y=-1

  x=5, to 5-y=2, stąd y=3
  y=0, to x-0=2, stąd x=2.

Zauważ, że dla dowolnie wybranej 

niewiadomej, drugą spełniającą 

równanie można odpowiednio dobrać 















6

3

3

2

y

x

y

x

 

 

Ile rozwiązań może mieć układ 
równań?

Rozwiązaniami układu 
są między innymi:















6

3

3

2

y

x

y

x

































2

0

3

5

1

1

x

y

y

x

y

x

 

 

Ile rozwiązań może mieć układ 
równań?

Jak rozpoznać, że układ równań jest sprzeczny?
 Po czym rozpoznać, że układ jest nieoznaczony? 
Rozwiązanie układów:





































2

1

2

)

1

(

/

1

y

x

y

x

y

x

y

x

1

0





































6

3

3

6

3

3

6

3

3

)

3

(

/

2

y

x

y

x

y

x

y

x

0

0

Równanie sprzeczne

Równanie 
nieoznaczone

 

 

Ile rozwiązań może mieć układ 
równań?

Podsumowanie:
Ze względu na ilość rozwiązań 

wyróżniamy układy:

-

oznaczone- ma jedno rozwiązanie;

-

nieoznaczone- ma nieskończenie wiele 
rozwiązań;

-

sprzeczne – nie mają rozwiązania.

 

 

                Zadania