Momenty bezwładności
figur płaskich
Momenty bezwładności
figur płaskich
Przekroje poprzeczne prętów, wałów i
belek (figury płaskie) charakteryzują się
następującymi parametrami:
• polem powierzchni przekroju [mm
2
, cm
2
,
m
2
],
• położeniem środka ciężkości przekroju,
[mm],
• momentami statycznymi [cm
3
, m
3
],
• momentami bezwładności [cm
4
, m
4
].
Moment statyczny
• Definicja momentu
statycznego w
układzie osi X i Y:
• W zależności od położenia przekroju
względem osi układu współrzędnych
momenty statyczne mogą przyjmować
wartości dodatnie i ujemne.
• Wykorzystując znane ze statyki pojęcie
środka sił, dla środka ciężkości można
napisać:
Współrzędne środka ciężkości
przekroju
• Korzystając z tych zależności,
współrzędne środka ciężkości figury
płaskiej można obliczyć ze wzoru:
• Środek ciężkości przekrojów
złożonych podział przekroju na
figury proste.
Ai – pola powierzchni figur prostych,
xi, yi – współrzędne środków ciężkości
poszczególnych figur prostych.
PRZYKŁAD
• Określić położenie środka ciężkości fi-
gury przedstawionej na rysunku.
• Przekrój podzielono
na trzy prostokąty o
następujących
polach powierzchni:
• A1 = 1 x 1 = 1 cm
2
,
• A2 = 2 x 5 = 10
cm
2
,
• A3 = 2 x 2 = 4 cm
2
.
• Współrzędne środka ciężkości całej
figury wynoszą
Momenty bezwładności
• osiowe momenty bezwładności
• biegunowy moment bezwładności
• moment dewiacyjny (zboczenia, odśrodkowy)
• Momenty osiowe oraz moment
biegunowy są
zawsze dodatnie
,
natomiast moment dewiacyjny
może być
dodatni lub ujemny
• Momenty bezwładności figur złożonych
są sumą momentów bezwładności
prostych figur składowych.
• Figura złożona może składać się z figur
„pełnych” oraz „pustych”.
• Przy sumowaniu momentów
bezwładności figury „puste” uważa się
za figury z ujemnymi polami
powierzchni.
PRZYKŁAD
• Figury złożone przedstawione na
rysunku podzielić na figury proste.
PRZYKŁAD
• Figury złożone przedstawione na
rysunku podzielić na figury proste.
Twierdzenie Steinera
• Twierdzenie Steinera umożliwia obliczanie
momentów bezwładności figur płaskich
względem osi równolegle przesuniętych
w stosunku do osi centralnych (osi
przechodzących przez środek
ciężkości przekroju).
• Dla figury płaskiej o powierzchni A,
obliczyć momenty bezwładności
względem osi X–Y, równolegle
przesuniętych w stosunku do osi
centralnych (środkowych) X
0
–Y
0
o
odcinki a i b.
• Na podstawie definicji momentu
bezwładności moment osiowy
względem osi X dla y
1
= y + a
wyraża wzór:
• Osiowy moment bezwładności figury
płaskiej względem osi równoległej
odległej od środka ciężkości o określoną
wartość jest równy momentowi
względem osi równoległej
przechodzącej przez środek ciężkości
figury, powiększonemu o iloczyn
powierzchni figury i kwadratu odległości
między osiami.
• Moment dewiacyjny figury płaskiej
względem osi równolegle
przesuniętych jest równy momentowi
dewiacyjnemu względem osi
centralnych, powiększonemu o
iloczyn powierzchni i obu składowych
równoległego przesunięcia.
• Twierdzenie Steinera ma następująca
postać matematyczną:
