Slajd 1

Zadanie 1.
Dany jest obwód:

Napisać równania Kirchhoffa dla wyznaczenia prądów.

Liczba niewiadomych prądów:  3
Liczba niezależnych węzłów:     1
Liczba niezależnych oczek:        3 – 1=2

Prądowe prawo Kirchhoffa: I

Napięciowe prawo Kirchhoffa, oczko 1: I

oczko 2: I

Zadanie 2.
Przez rezystor o rezystancji R=(a+b)[mΩ] płynie prąd równy 10A.
Ile wynosi spadek napięcia na tym rezystorze?

Spadek napięcia na rezystorze jest: U=IR
czyli: U=10·(a+b)·10

-3

Niech a=8, b=6, to U=0.14 V lub U=140 mV

Zadanie 3.
Dany jest układ rezystorów:

a+b

Obliczyć rezystancję R

→

a+b=14

→





































Obwody prądu zmiennego

Siła elektromotoryczna sinusoidalnie zmienna

e(t)=E

sin(t+)

– amplituda,  - pulsacja,  - faza

0 0.008

0.016

0.024

0.032

0.04

e t

( )



=2πff – częstotliwość [Hz]

f=1/T

T - okres

Indukcyjność

i(t)

(t)

 
 





 





 































sin

cos

sin

0.010.020.030.04

i t

( )

uLt

( )

/2

Pojemność

i(t)

(t)

 





 





 











































sin

cos

sin

0 0.010.020.030.04

i t

( )

uCt

( )

/2

Szeregowe połączenie rezystancji i indukcyjności

e(t)=E

sin(t)

i(t)

(t)

i(t)=I

sin(t+)

(t)=Ri(t)

(t)=RI

sin(t+)

 
 













cos

Z napięciowego prawa Kirchhoffa mamy:

(t)+u

(t)=e(t)

sin(t+)+LI

cos(t+)=E

sin(t)

aby równanie: RI

sin(t+)+LI

cos(t+)=E

sin(t)

było spełnione dla dowolnej chwili czasowej musi mieć

postać: I

Zsin(t)= E

sin(t)

gdzie I

/Z.













 





 





 

sin

cos

sin

cos

sin

















































Podstawiamy:

 

sin

cos



















Z – nazywamy impedancją

po podstawieniu mamy:













 

  



  







 





 

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin





















































a więc aby powyższe równanie było spełnione dla

dowolnej chwili czasowej musi zachodzić równość:

=

 - faza prądu jest określana z równania:

a amplituda prądu I

jest:

 









 







Przebieg prądu i(t) oraz spadki napięcia u

(t) i u

(t)

przedstawiono na wykresach:

Moc

Moc chwilowa dostarczana do obwodu jest:

p(t)=e(t)i(t)

 

  



 





























cos

sin

Średnia moc jest:

 





po wykonaniu całkowania mamy:

 





cos

Moc średnią P nazywamy mocą czynną.

Jednostką mocy czynnej jest wat [W]

Wygodnie jest przekształcić zależność:

 











cos

i wprowadzamy wartości skuteczne:



Wzór na moc czynną przyjmuje postać:

 



 cos

Moc tracona w rezystancji: p

(t)=u

(t)i(t)

Ponieważ u

(t)=Ri(t) więc p

(t)=Ri

(t)

 

































cos

sin

i średnia moc jest: P

=RI

Ze względu na fakt, że kąt fazowy między spadkiem

napięcia u

(t)=RI

sin(t+) i prądem i(t)=I

sin(t+)

jest równy 0, więc Q

Chwilowa moc tracona w indukcyjności jest

(t)=u

(t)i(t)

ponieważ u

(t)=LI

cos(t+) więc moc chwilowa jest

(t)=LI

cos(t+)I

sin (t+)

czyli

 













sin

Moc średnia jest: P

Moc czynna pobierana przez indukcyjność jest równa

zeru.

e(t)=E

sin(t)

(t)

i(t)=I

sin(t+)

Obwód RC

 





 





 





 

   

cos

sin









































 

sin

cos

sin



















Impedancja:











Oznaczamy:

sin

cos











lub







i otrzymujemy:





 

sin















Warunkiem spełnienia równania dla dowolnej
chwili czasowej jest:









Przebieg prądu i spadków napięć przedstawiono
na wykresach:

Moce chwilowe:

     

 

   

 

   



Moc czynna = moc średnia

   

 







cos

Moc czynna tracona w rezystancji:

   





Moc czynna tracona w pojemności:

   





Obwód szeregowy RLC

e(t)=E

sin(t)

i(t)

(t)

i(t)=I

sin(t+)

(t)=Ri(t)

(t)=RI

sin(t+)

 
 





 

























cos

 

   





Podstawiając mamy:









 

sin

cos

sin



































Oznaczając:













impedancja obwodu.

















sin

cos

mamy:

  



  







 





 

sin

cos

sin

cos



































ostatnie równanie będzie spełnione dla dowolnej
chwili czasowej t, jeżeli:









czyli



















arctg

Pulsację 

, dla której









nazywamy pulsacją rezonansową szeregowego

obwodu RLC

Pulsację rezonansową określa zależność:





Częstotliwość rezonansowa f

obliczamy z zależności:











Korzystając z pulsacji rezonansowej przekształcamy
wyrażenie dla modułu impedancji:

























ponieważ





więc









































Wielkość:





nazywamy dobrocią szeregowego obwodu rezonansowego
i podstawiając mamy:



















Uwzględniając wprowadzone oznaczenia dla fazy mamy:







































arctg

Amplituda prądu:













Amplituda spadku napięcia na rezystancji R jest:













Amplituda spadku napięcia na indukcyjności jest:























Amplituda spadku napięcia na pojemności jest:











ale z definicji:







i mamy:















Charakterystyki częstotliwościowe obwodu

Dla otrzymania wyników ogólnych przedstawimy

amplitudę prądu I=I

, gdzie I

/R oraz =/

8 10

0.25

0.5

0.75

I  1







I  10







I  100





















I(,Q=1)

I(,Q=10)

I(,Q=100)



/

Spadek napięcia na indukcyjności w postaci
bezwymiarowej będzie:















i podobnie spadek napięcia na pojemności w postaci
bezwymiarowej jest:















Pasmo 3dB

Jest to szerokość pasma pulsacji bądź częstotliwości

po przekroczeniu, którego amplituda sygnału spada

o 3dB bo .

Szerokość pasma określa zależność dla napięcia
na pojemności:

gór

dol





















i ponieważ =/

, to

gór

dol

gór

dol



















log



dol

gór

f

0.882611

1.086737

0.20413f

0.945978

1.046482

0.10052f

0.994962

100

1.004963

0.01f

0.9995f

1000

1.0005f

0.001f

Mamy dla szerokości pasma 3dB zależność:





Równoległy obwód rezonansowy

e(t)=E

sin(t)

(t)

i(t)=I

sin(ωt+φ)

(t)

e(t)-u

(t)=0 → u

(t)=e(t)=E

sin(ωt)

 
 

 















sin

cos

 









 

sin

cos

sin























e(t)=E

sin(t)

(t)

i(t)=I

sin(ωt+φ)

(t)

(t)+u

(t)=e(t)

Przyjmując: i

(t)=I

sin(ωt+)

mamy:

Przyjmując podobnie jak w obwodzie RL:









lub

 

sin

cos













gdzie

 







mamy:





 

sin















Warunkiem spełnienia równości jest:









a więc prądy są:

 











sin

 























sin

Prąd źródła i(t) jest: i(t)=i

(t)+i

(t)

czyli:

































sin





 

   

 

   

























































sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

Przekształcamy tak aby otrzymać wyrażenie jak po
stronie lewej:

Przyjmując:

 

cos

sin

















– nazywamy modułem admitancji.

Podnosząc do kwadratu i biorąc pod uwagę, że

 

sin

cos









mamy:

 

sin













 

cos

sin













czyli

 













sin

Ponieważ

 

sin

cos













więc

 























cos

Jeżeli to φ=0 i wtedy mamy:

e(t)=E

sin(ωt) oraz i(t)= EmY

sin(ωt)

oznacza to, że prąd i napięcie są w fazie.

Zjawisko takie nazywamy rezonansem.









Zbadajmy kiedy:

 

















Pulsacja ω=0 jest nie interesująca, więc dzieląc przez ωC
mamy

 







Wprowadzając:

 - oporność krytyczna

mamy:

 









2
kr

Powyższe równanie jest spełnione dla rzeczywistych

wartości pulsacji ω, jeżeli: lub R<R

kr.



Tak więc warunkiem aby w obwodzie równoległym
był możliwy rezonans jest:

R 

Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, to pulsacja

rezonansowa ω

jest:

gdzie















Częstotliwość rezonansowa f

=ω

/(2π) jest:







Ze względu na fakt, że obwód składa się z dwóch

równoległych gałęzi rezonans nazywa się skrótowo

rezonansem równoległym

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t 314



(

)

iLR t 314



(

)

i t 314



(

)

e t 314



(

)

R>R

(t)

i(t)

e(t)

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t 314



(

)

iLR t 314



(

)

i t 314



(

)

e t 314



(

)

(t)

i(t)

e(t)

R=R

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t r







iLR t r







i t r







e t r







(t)

i(t)

e(t)

R=0.1R

ω=314.643s

-1

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t r







iLR t r







i t r







e t r







(t)

i(t)

e(t)

R=0.001R

Dobroć jest zdefiniowana:





Podstawiając:











mamy:







Jeżeli R

>>1, to i ω

=ω



Document Outline