Weryfikacja i testy
statystyczne
Weryfikacja i testy
statystyczne
Weryfikacja H
0
• H
0
: hipoteza zerowa (
1
=
2
)
•
H
1
: hipoteza alternatywna (
1
2,
)
• W oparciu o wynik obliczonego testu z danych z próby
możemy H
0
: odrzucić lub nie.
• Nie wiemy czy H
0
: zachodzi
w populacji.
• Zatem można popełnić:
• błąd I rodzaju jeśli odrzucimy H
0
jeśli jest prawdziwa w
populacji
• błąd II rodzaju jeśli nie odrzucimy H
0
wtedy kiedy jest
ona fałszywa w populacji
• W naukach medycznych przyjmujemy poziom istotności
=
0,05
Błędy przy wnioskowaniu
= prawdopodobieństwo popełnienia błędu
I rodzaju
= prawdopodobieństwo popełnienia błędu
II rodzaju
Populacja
H
0
jest
prawdziw
a
H
0
jest fałszywa
Czyli prawdziwa
jest
H
1
Decyzja
z
wynikó
w
oblicze
ń
z
próby
Przyjęcie
H
0
1-
Błąd II rodzaju
Odrzucenie
H
0
Błąd I
rodzaju
1-
Schemat weryfikacji hipotez
Sformułować hipotezę zerową H
o
i alternatywną H
1
oraz dobrać odpowiedni test do weryfikacji
Wykonać obliczenia i wybrać potrzebne wyniki,
przede
wszystkim
wartość
p
określającą
prawdopodobieństwo popełnienia błędu odrzucenia
H
o
, gdy jest prawdziwa w populacji (błąd I rodzaju).
Przyjąć poziom istotności , ale mniejszy niż lub
równy 0,05.
Podjąć decyzję o hipotezie zerowej H
o
:
jeżeli obliczona wartość p ≤ , odrzucamy H
o
i
przyjmujemy H
1
jeżeli obliczona wartość p > , to brak podstaw do
odrzucenia H
o
.
• Wniosek w populacji z obliczeń w grupie
.
Test t-Studenta
Założenie:
Cecha X ma rozkład normalny w obu
populacjach o jednorodnych wariancjach, czyli N(
1
,
)
i
N(
2
,
)
• H
0
:
1
=
2
hipoteza zerowa
•
H
1
:
1
2,
hipoteza alternatywna
• Gdzie
dane, średnie i liczebności w próbach
• W pakiecie statystycznym wyliczamy t i wartość p równą
prawdopodobieństwu popełnienia błędu I rodzaju (odrzucenie prawdziwej
H
0
)
• Wartość p porównujemy z przyjętym poziomem istotności
• Jeżeli p<
odrzucamy H
0
i stwierdzamy istotną różnicę między średnimi
• Przykłady w STATISTICA
)
1
1
(
2
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
t
i
i
j
j
ij
n
x
x
,
,
Przykład
n Średnia Odch.std. n
Średnia Odch.std.
WZROST (m) 65
1,72
0,05
81
1,67
0,05
6,25 0,000
1,22
0,40
Cecha
Równość średnich
jednorodność
wariancji
Mężczyźni
Kobiety
t
p
iloraz F
p
H
0
: średni wzrost mężczyzn= średni wzrost kobiet w populacji
H
0
: średni wzrost mężczyzn średni wzrost kobiet w populacji
Analiza wariancji
-
kilka populacji
• Dodatkowym założeniem które powinno być
spełnione to jednorodność wariancji. Należy
więc zweryfikować hipotezę zerową
H
o
:
2
1
=. . .
=
2
k
kontra alternatywnej
H
1
: wariancje są
niejednorodne (test Levene’a)
• ANOVA
Hipoteza zerowa H
o
:
1
=. . . =
k
H
1
: średnie są różne pomiędzy sobą.
• Jeżeli stwierdza się istotność różnic pomiędzy
średnimi, to należy znaleźć pomiędzy
którymi
średnimi te różnice są istotne (test Scheffego)
Tablica z wynikami analizy wariancji
Ź
r
ó
d
ł
o
S
u
m
a
k
w
a
d
r
a
t
ó
w
S
t
o
p
n
i
e
s
w
o
b
o
d
y
Ś
r
e
d
n
i
a
k
w
a
d
r
a
t
ó
w
W
a
r
t
o
ś
ć
F
(
W
a
r
t
o
ś
ć
p
)
Z
m
i
e
n
n
o
ś
ć
m
i
ę
d
z
y
g
r
u
p
o
w
a
S
S
m
k
-
1
V
m
=
1
m
S
S
k
m
b
V
F
V
B
ł
ą
d
S
S
b
n
-
k
V
b
=
b
S
S
nk
G d z ie: k – licz b a g r u p ; n – licz b a w sz y stk ich o só b z e w sz y stk ich g r u p
2
2
1
1
1
(
) ;
(
)
j
n
k
k
m
j
j
b
ij
j
j
j
i
S S
n x
x
S S
x
x
x
ij
w y n ik cech y u i-tej o so b y w j-tej g r u p ie, n
j
– licz b a o só b w j-tej g r u p ie
x
j
– śr ed n ia w j -tej g r u p ie, x – śr ed n ia z w sz y stk ich p o m ia r ó w
Jeżeli wartość p <0,05 to są różnice między średnimi, należy
znaleźć między którymi (test Scheffe’go)
Przykład ANOVA
n
x
s
chirurgia
21
39,1
2,8
interna
21
53,9
3,4
ginekologia
21
58,4
3,6
oddział
wiek
Źródło
SS
Stopnie
V
F
p
oddział
4265,4
2
2132,7 198,00
0,00
Błąd
646,3
60
10,8
Test Scheffego
oddział
chirurgia interna
ginekologia
chirurgia
0,000
0,000
interna 0,000
0,000
ginekologia 0,000
0,000
Bieżący efekt: F(2, 60)=198,00, p=0,0000
Pionowe słupki oznaczają 0,95 przedziały ufności
chirurgia
interna
ginekologia
oddział
35
40
45
50
55
60
65
w
ie
k
Test Levene'a
F
p
wiek
1,61 0,21
Test Manna-Whitneya
Stosowany do oceny różnic jednej cechy pomiędzy
dwoma populacjami, gdy nie spełnione założenia przy
teście t_Studenta
Dane: x
11
, . . . x
n1
z 1-szej populacji; x
12
, . . . x
m2
z 2-giej populacji.
Porządkujemy obie próby razem i nadajemy im rangi oddzielnie.
Wartość tego testu wyliczana jest z wzoru:
1
(
1)
2
n n
U nm
R
gdzie: n, m liczebności grup, R
1
jest sumą rang w 1-szej grupie.
Jeżeli p<
stwierdzamy istotną różnicę analizowanej cechy między populacjami
Przykład
U kobiet tętno w cukrzycy
Test U Manna-Whitneya (bazaStomat)
Wzg.zmienn. Cukrzyca
zmienna
Sum.rang
NIE
Sum.rang
TAK
U poziom p
Tętno
2470
1717
771
0,038
Wykres ramka-wąsy dla grup
Zmienna: Tętno
Mediana
25%-75%
Min.-Maks.
NIE
TAK
Cukrzyca
50
60
70
80
90
100
110
120
Tę
tn
o
Shapiro-Wilk W=,93951,
p=,00037
Histogram: Tętno
50
60
70
80
90
100
110
X <= Granica klasy
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Li
cz
b
a
o
b
s.
Test Chi
2
Dane w tabeli czteropolowej:
X
Cechy
1
0
1
a
b
Y
0
c
d
H
0
: cechy X, Y są niezależne
H
1
: cechy X, Y są zależne
C
h
i
2
=
2
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
a
db
cabcd
acbdabcd
Jeżeli wartość p <0,05 to cechy X, Y są zależne
Przykład
Cukrzyca i płeć
Tabela liczności (bazaStomat)
Tabela:Płeć(2) x Cukrzyca(2)
Płeć
Cukrzyca
NIE
Cukrzyca
TAK
Wiersz
Razem
M
53
28 81
K
48
43 91
Ogół grp
101
71 172
Płeć x Cukrzyca
Statystyki:
Chi-kwadr.
p
Chi kwadrat Pearso
2,844759
p=,09168
Rozkład dwuwymiarowy: Płeć x Cukrzyca
Korelacja prostoliniowa Pearsona
Jeżeli r>0 to zależność między cechami jest wprost proporcjonalna
Jeżeli r<0 to zależność między cechami jest odwrotnie
proporcjonalna
H
0
: cechy X, Y są niezależne
H
1
: cechy X, Y są zależne
Dane: x
1
, . . . x
n
wyniki 1-szej cechy; y
1
, . . . y
n
2-giej cechy
w n-elementowej próbie.
W
a
r
t
o
ś
ć
w
s
p
ó
ł
c
z
y
n
n
i
k
a
1
2
2
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
n
i
i
i
n
n
j
j
i
i
x xy y
r
x x
y y
Jeżeli wartość p <0,05 to cechy X, Y są zależne
Regresja prostoliniowa
y=ax+b
• Współczynniki regresji a i b liczymy wtedy
jeżeli x i y są skorelowane
Dane: x
1
, . . . x
n
wyniki 1-szej cechy; y
1
, . . . y
n
2-giej cechy
w n-elementowej próbie.
1
2
1
;
(
)(
)
(
)
n
i
i
i
n
j
i
x
x y
y
a
b y ax
x
x
Przykład: waga i wzrost
Korelacje
Zmienna
WAGA (kg)
WZROST (m)
r=0,4340
p=,000
WZROST (m) vs. WAGA (kg)
WAGA (kg) = -48,32 + 75,884 * WZROST (m)
Korelacja: r = ,43400
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
WZROST (m)
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
W
A
G
A
(
k
g
)
Propozycja doboru testu statystycznego w zależności
od rodzaju cechy i typu analizy
Rodzaj cechy
Ilościowa
Spełnione założenia stosowania testu
parametrycznego
Typ analizy
Tak
Testy parametryczne
Nie
Testy
nieparametryczne
Jakościowa
1 cecha
2
grupy
Test t-Studenta
dla prób
niezależnych
Test Manna-
Whitney’a
Wilcoxona
Test
2
1 cecha
Więcej
niż 2
grupy
Analiza
wariancji
ANOVA
Test
Kruskala-
Wallisa
Test
2
1 cecha
mierzona
2 razy
1
grupa
Test t-Studenta
dla prób
zależnych
Test rang
Wilcoxona
dla prób
zależnych
Test
2
lub test McNemary
2 cechy
1
grupa
Współczynnik
korelacji
prostoliniowej
Pearsona
Współczynnik
korelacji rang
Spearmana
Test
2
i współczynniki
siły związku