WYKŁAD
WYKŁAD
SFORMUŁOWANIE
SFORMUŁOWANIE
WARIACYJNE-
WARIACYJNE-
Przybliżone metody
Przybliżone metody
rozwiązywania
rozwiązywania
WYKŁAD
WYKŁAD
SFORMUŁOWANIE
SFORMUŁOWANIE
WARIACYJNE-
WARIACYJNE-
Przybliżone metody
Przybliżone metody
rozwiązywania
rozwiązywania
WYKŁAD
WYKŁAD
Sformułowanie wariacyjne
Sformułowanie wariacyjne
zastosowane do
zastosowane do
układów kontynualnych, mających nieskończenie
układów kontynualnych, mających nieskończenie
wiele stopni swobody, umożliwia wyznaczenie
wiele stopni swobody, umożliwia wyznaczenie
rzeczywistych pól wielkości fizycznych, opisujących
rzeczywistych pól wielkości fizycznych, opisujących
zachowanie się tych układów.
zachowanie się tych układów.
Rzeczywiste pola uzyskuje się z warunku
Rzeczywiste pola uzyskuje się z warunku
stacjonarności funkcjonałów, co oznacza zerowanie
stacjonarności funkcjonałów, co oznacza zerowanie
się ich pierwszej wariacji.
się ich pierwszej wariacji.
Prowadzi to do równań różniczkowych Eulera, które
Prowadzi to do równań różniczkowych Eulera, które
należy rozwiązać.
należy rozwiązać.
Wykonalność takiego zadania ogranicza się do
Wykonalność takiego zadania ogranicza się do
klasy stosunkowo prostych funkcjonałów, raczej o
klasy stosunkowo prostych funkcjonałów, raczej o
teoretycznym niż praktycznym znaczeniu.
teoretycznym niż praktycznym znaczeniu.
WYKŁAD
WYKŁAD
Dlatego poszukuje się rozwiązań przybliżonych
Dlatego poszukuje się rozwiązań przybliżonych
przez zakładanie niezależnych wielkości funkcyjnych
przez zakładanie niezależnych wielkości funkcyjnych
w postaci skończonego zbioru znanych funkcji,
w postaci skończonego zbioru znanych funkcji,
spełniających pewne warunki i zawierających
spełniających pewne warunki i zawierających
skończoną liczbę parametrów, traktowanych jako
skończoną liczbę parametrów, traktowanych jako
niewiadome.
niewiadome.
W ten sposób
W ten sposób
funkcjonały przekształcają się w
funkcjonały przekształcają się w
funkcje wielu zmiennych
funkcje wielu zmiennych
, a układy ciągłe zostają
, a układy ciągłe zostają
zdyskretyzowane.
zdyskretyzowane.
Warunkiem stacjonarności nie jest teraz zanikanie
Warunkiem stacjonarności nie jest teraz zanikanie
pierwszej wariacji, ale różniczki zupełnej, obliczonej
pierwszej wariacji, ale różniczki zupełnej, obliczonej
względem wprowadzonych parametrów.
względem wprowadzonych parametrów.
WYKŁAD
WYKŁAD
W rezultacie otrzymuje się nie równania
W rezultacie otrzymuje się nie równania
różniczkowe Eulera, ale układ równań
różniczkowe Eulera, ale układ równań
algebraicznych, których rozwiązanie jest
algebraicznych, których rozwiązanie jest
stosunkowo proste.
stosunkowo proste.
Takie metody postępowania nazywają się
Takie metody postępowania nazywają się
bezpośrednimi, ponieważ wyniki uzyskuje
bezpośrednimi, ponieważ wyniki uzyskuje
się przez bezpośrednie wykorzystanie
się przez bezpośrednie wykorzystanie
funkcjonałów.
funkcjonałów.
WYKŁAD
WYKŁAD
Metody te można podzielić na:
Metody te można podzielić na:
analityczne –
analityczne –
Ritza, Treftza, Kantorowicza
Ritza, Treftza, Kantorowicza
numeryczne –
numeryczne –
WMRS, MES
WMRS, MES
Przemieszczeniowy model MES
Przemieszczeniowy model MES
Podstawą otrzymania modelu przemieszczeniowe-
Podstawą otrzymania modelu przemieszczeniowe-
go jest funkcjonał całkowitej energii potencjalnej
go jest funkcjonał całkowitej energii potencjalnej
w odniesieniu do elementu:
w odniesieniu do elementu:
WYKŁAD
WYKŁAD
.
.
dS
dV
I
S
T
S
V
T
B
T
u
f
u
f
u
D
u
u
)
(
)
(
2
1
)
(
)
,
,
(
z
y
x
WYKŁAD
WYKŁAD
Jedyną zmienną niezależną od której zależy
Jedyną zmienną niezależną od której zależy
przedstawiony funkcjonał jest pole
przedstawiony funkcjonał jest pole
przemieszczeń.
przemieszczeń.
Zakłada się opis tego pola, zgodnie z
Zakłada się opis tego pola, zgodnie z
algorytmem MES w postaci:
algorytmem MES w postaci:
N
u
-macierz jednokolumnowa, zawierająca
wartości przemieszczeń węzłowych elementu
WYKŁAD
WYKŁAD
Macierz N zawiera funkcje aproksymacyjne
Macierz N zawiera funkcje aproksymacyjne
odpowiadające poszczególnym
odpowiadające poszczególnym
parametrom węzłowym (składowym
parametrom węzłowym (składowym
wektora
wektora
)
Są to tzw. funkcje kształtu .
Występujący w funkcjonale symbol nabla
można teraz przedstawić:
B
N
N
u
)
(
gdzie B – macierz odkształceń
WYKŁAD
WYKŁAD
Podstawiając przyjęty opis pola u i
Podstawiając przyjęty opis pola u i
uwzględniając
uwzględniając
B
u
Funkcjonał całkowitej
energii potencjalnej ma postać:
δ
Q
δ
k
δ
T
T
u
I
2
1
)
(
gdzie:
dV
T
V
B
D
B
k
nazywa się macierzą sztywności
elementu
WYKŁAD
WYKŁAD
.
.
dS
dV
T
S
S
T
V
B
N
f
N
f
Q
siły skupione w węzłach od
obciążenia masowego i
powierzchniowego
Parametry węzłowe
należy wyznaczyć z
warunku stacjonarności funkcjonału całkowitej
energii potencjalnej, który w tym przypadku jest
warunkiem ekstremum (minimum):
0
)
(
T
T
u
I
Q
k
δ
δ
WYKŁAD
WYKŁAD
Stąd:
Stąd:
Q
δ
k
Jest to macierzowe równanie równowagi dla
elementu skończonego, będące układem równań
algebraicznych względem
i
, stanowiące opis
modelu przemieszczeniowego.
WYKŁAD
WYKŁAD
Przykładowo: ELEMENT BELKOWY
Przykładowo: ELEMENT BELKOWY
Wyrażenie na energię deformacji sprężystej:
dx
dx
x
w
d
EJ
l
e
d
2
0
2
2
)
(
2
1
WYKŁAD
WYKŁAD
Zakładamy:
Zatem:
przy założeniu EJ=const.
4
4
3
3
2
2
1
1
2
2
1
1
4
3
2
1
)
(
N
N
N
N
w
w
N
N
N
N
x
w
e
δ
N
dx
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
EJ
l
e
d
2
0
4
2
4
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
WYKŁAD
WYKŁAD
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
1
0
4
2
4
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
w
dx
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
EJ
l
dx
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
4
2
4
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
w
e
d
0
)
(
δ
δ
L
d
C
2
1
2
0
4
2
4
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
dx
N
d
dx
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
EJ
l
WYKŁAD
WYKŁAD
Podobnie:
Podobnie:
1
e
d
2
2
2
0
4
2
4
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
dx
N
d
dx
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
EJ
l
2
w
e
d
2
3
2
0
4
2
4
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
dx
N
d
dx
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
EJ
l
2
e
d
2
4
2
0
4
2
4
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
dx
N
d
dx
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
w
dx
N
d
EJ
l
WYKŁAD
WYKŁAD
Otrzymujemy zatem:
Otrzymujemy zatem:
2
2
1
1
0
2
,
4
,
3
,
4
2
,
3
,
2
,
4
,
2
,
3
2
,
2
,
1
,
4
,
1
,
3
,
1
,
2
2
,
1
w
w
N
sym
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
EJ
l
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
e
e
δ
k
2
2
,
dx
N
d
xx
N
gdzie:
WYKŁAD
WYKŁAD
A więc jawna postać elementu macierzy
A więc jawna postać elementu macierzy
sztywności
sztywności
dx
N
N
EJ
k
xx
j
l
xx
i
ij
,
0
,
Funkcje kształtu elementu belkowego:
3
2
4
3
3
3
2
2
3
1
8
8
8
8
4
1
4
3
2
1
8
8
8
8
4
1
4
3
2
1
e
e
e
e
e
e
e
e
l
l
l
l
N
N
l
l
l
l
N
N
WYKŁAD
WYKŁAD
Podstawiając funkcje kształtu do wyrażenia
Podstawiając funkcje kształtu do wyrażenia
opisującego macierz sztywności elementu i
opisującego macierz sztywności elementu i
dokonując zaznaczonych całkowań
dokonując zaznaczonych całkowań
otrzymuje się:
otrzymuje się:
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
l
sym
l
l
l
l
l
l
l
l
l
EJ
4
6
12
2
6
4
6
12
6
12
2
3
2
2
3
2
3
k
Jest to znana postać macierzy sztywności elementu
belkowego.
WYKŁAD
WYKŁAD
Wariacyjne sformułowanie problemu
Wariacyjne sformułowanie problemu
brzegowego na przykładzie danego
brzegowego na przykładzie danego
równania różniczkowego
równania różniczkowego
0
)
(
)
(
,
)
(
2
2
b
u
a
u
a
x
b
x
f
dx
u
d
gdzie f(x) jest funkcją daną
WYKŁAD
WYKŁAD
Równanie to może reprezentować problem
Równanie to może reprezentować problem
statyki struny obciążonej obciążeniem f(x).
statyki struny obciążonej obciążeniem f(x).
Rozwiązaniem tego problemu brzegowego
Rozwiązaniem tego problemu brzegowego
jest funkcja, która spełnia warunki:
jest funkcja, która spełnia warunki:
1) u(x) ma ciągłe pochodne do drugiej
1) u(x) ma ciągłe pochodne do drugiej
włącznie w przedziale [a,b]
włącznie w przedziale [a,b]
2) u(a)=u(b)=0
2) u(a)=u(b)=0
)
(
2
2
x
f
dx
u
d
3)
dla każdego
]
,
[ b
a
x
WYKŁAD
WYKŁAD
Kryteria 1) i 2) definiują klasę funkcji,
Kryteria 1) i 2) definiują klasę funkcji,
nazywaną
nazywaną
]
,
[
2
0
b
a
C
co można zapisać:
0
)
(
)
(
]
,
[
|
)
(
]
,
[
2
0
b
u
a
u
i
b
a
x
u
b
a
C
ma ciągłe II-gie pochodne
Tę klasę funkcji nazywa się
przestrzenią rozwiązania
dla danego problemu brzegowego.
WYKŁAD
WYKŁAD
Kryterium 3) jest dużo trudniejsze do
spełnienia niż kryteria 1) i 2). Przyczyna
tkwi w tym, że w przedziale [a,b] jest
nieskończona liczba punktów x , więc
spełnienie równości 3) jest bardzo
mocnym
warunkiem nałożonym na funkcję u(x).
Stąd też sformułowanie w tej postaci
nazywane jest
sformułowaniem mocnym
(lub też lokalnym).
WYKŁAD
WYKŁAD
Jest wiele funkcji, które spełniają obydwa
Jest wiele funkcji, które spełniają obydwa
kryteria 1) i 2), ale
kryteria 1) i 2), ale
jest tylko jedna
jest tylko jedna
funkcja u(x),
funkcja u(x),
która spełnia wszystkie
która spełnia wszystkie
trzy kryteria.
trzy kryteria.
Funkcję tę nazywa się
Funkcję tę nazywa się
mocnym
mocnym
rozwiązaniem
rozwiązaniem
problemu brzegowego.
problemu brzegowego.
WYKŁAD
WYKŁAD
Rozważmy przedstawiony problem
Rozważmy przedstawiony problem
brzegowy jako problem reprezentujący
brzegowy jako problem reprezentujący
przemieszczenia struny poddanej
przemieszczenia struny poddanej
obciążeniu f(x), które jest przyłożone
obciążeniu f(x), które jest przyłożone
punktowo w postaci siły skupionej.
punktowo w postaci siły skupionej.
Widoczne jest, że ugięcie u(x) struny nie ma żadnej
ciągłej pochodnej.
WYKŁAD
WYKŁAD
Tak więc nie ma
Tak więc nie ma
mocnego rozwiązania
mocnego rozwiązania
tego problemu w świetle kryteriów 1), 2),
tego problemu w świetle kryteriów 1), 2),
3).
3).
Aby „obejść” ten problem można poszukać
Aby „obejść” ten problem można poszukać
alternatywnego sposobu rozwiązania.
alternatywnego sposobu rozwiązania.
Wprowadźmy definicję
funkcji residuum
r(x,u):
0
)
(
)
,
(
2
2
x
f
dx
u
d
x
u
r
dla każdego
]
,
[ b
a
x
WYKŁAD
WYKŁAD
Dla każdego branego pod uwagę
Dla każdego branego pod uwagę
rozwiązania u(x),
rozwiązania u(x),
jeżeli r(x,u) jest równe
jeżeli r(x,u) jest równe
zeru, to u(x) jest wtedy mocnym
zeru, to u(x) jest wtedy mocnym
rozwiązaniem.
rozwiązaniem.
Weźmy pod uwagę całkę z funkcji
Weźmy pod uwagę całkę z funkcji
residuum względem funkcji wagowej
residuum względem funkcji wagowej
(zwykle nazywanej funkcją testową):
(zwykle nazywanej funkcją testową):
b
a
x
v
x
u
r
0
)
(
)
,
(
WYKŁAD
WYKŁAD
Funkcja residuum ma fizykalną
Funkcja residuum ma fizykalną
interpretację
interpretację
błędu w rozwiązywaniu
błędu w rozwiązywaniu
równania różniczkowego.
równania różniczkowego.
Jeżeli u(x) jest
dokładnym rozwiązaniem równania
różniczkowego to r(x,u) jest równe zeru.
Jeżeli oznaczymy przez
)
(
ˆ x
u
aproksymację
rozwiązania dokładnego to residuum
)
ˆ
,
( u
x
r
nie będzie równe zeru.
WYKŁAD
WYKŁAD
Forma
Forma
b
a
x
v
x
u
r
0
)
(
)
,
(
znana jako
forma słaba
jest wyrażona jako forma całkowa równania
różniczkowego, jako iloczyn skalarny r(u,x) i v(x).
• Całka z r(u,x) i v(x) jest nazywana
ważonym
residuum.
Należy zauważyć, że jakikolwiek problem, który
dopuszcza mocne rozwiązanie dopuszcza także
identyczne rozwiązanie słabe.
WYKŁAD
WYKŁAD
Do rozważanego problemu brzegowego
Do rozważanego problemu brzegowego
struny
struny
definiujemy
definiujemy
słabe rozwiązanie
słabe rozwiązanie
przez
przez
zastąpienie kryterium 3) przez następujący
zastąpienie kryterium 3) przez następujący
warunek:
warunek:
0
)
(
)
(
2
2
dx
x
v
x
f
dx
u
d
b
a
dla dowolnej ciągłej v(x), takiej że
v(a)=v(b)=0
Funkcja v(x) nazywana jest funkcją testową i należy
do przestrzeni funkcji testowych, czyli klasy funkcji
ciągłych, które są zerowe na końcach a i b.
WYKŁAD
WYKŁAD
Jeżeli do rozważanego problemu struny
Jeżeli do rozważanego problemu struny
zastosujemy obciążenie o wielkości F w
zastosujemy obciążenie o wielkości F w
punkcie
punkcie
x=c (a<c<b) możemy rozważyć, że
x=c (a<c<b) możemy rozważyć, że
pochodne funkcji u(x) spełniają
pochodne funkcji u(x) spełniają
następującą definicję:
następującą definicję:
stalymi
sa
c
i
c
gdzie
c
b
c
u
b
u
c
dx
du
i
dx
u
d
b
x
c
dla
a
c
a
u
c
u
c
dx
du
i
dx
u
d
c
x
a
dla
2
1
2
2
2
1
2
2
)
(
)
(
0
)
(
)
(
0
WYKŁAD
WYKŁAD
W punkcie x=c jest „skok” pierwszej
W punkcie x=c jest „skok” pierwszej
pochodnej funkcji u(x), który jest równy
pochodnej funkcji u(x), który jest równy
wielkości (c2-c1).
wielkości (c2-c1).
Prowadzi to do ważnego wniosku, że
Prowadzi to do ważnego wniosku, że
2
2
dx
u
d
zachowuje się jak funkcja delta Diraca
)
(
c
x
c
x
dla
c
x
c
x
dla
c
x
0
)
(
)
(
WYKŁAD
WYKŁAD
Tak więc
Tak więc
)
(
c
x
jest symbolicznym zapisem
jednostkowego obciążenia działającego w punkcie
x=c.
Sformułowanie mocne rozważanego problemu
Brzegowego możemy zatem symbolicznie zapisać:
0
)
(
)
(
)
(
2
2
b
u
a
u
i
c
x
F
dx
u
d
Delta Diraca jest pomnożona przez F, gdyż obciąże-
nie ma wartość F, a nie wartość jednostkową.
WYKŁAD
WYKŁAD
Odpowiednio też możemy sformułować
Odpowiednio też możemy sformułować
symbolicznie słabą formę rozważanego
symbolicznie słabą formę rozważanego
problemu brzegowego:
problemu brzegowego:
b
a
b
a
x
v
ej
dowo
dla
c
v
F
dx
x
v
c
x
F
dx
x
v
dx
u
d
)
(
ln
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
Można zauważyć, że jeżeli v(x) jest interpretowana
( w analogii do u(x)) jako przemieszczenie to całka
przedstawia jednostkową pracę i Fv(c) jest pracą
wykonaną przez siłę działającą na tzw. wirtualnym
przemieszczeniu v(x).
WYKŁAD
WYKŁAD
Tak więc
Tak więc
zasada prac wirtualnych
zasada prac wirtualnych
jest
jest
przykładem
przykładem
sformułowania słabego.
sformułowania słabego.
Problemem jaki pojawia się przy
Problemem jaki pojawia się przy
przedstawionym sformułowaniu słabym
przedstawionym sformułowaniu słabym
rozważanego problemu jest to, że
rozważanego problemu jest to, że
wymagana jest druga pochodna u(x) w
wymagana jest druga pochodna u(x) w
funkcji podcałkowej i tylko prosta ciągłość
funkcji podcałkowej i tylko prosta ciągłość
funkcji testowej v(x).
funkcji testowej v(x).
WYKŁAD
WYKŁAD
Trudność tę można przezwyciężyć
Trudność tę można przezwyciężyć
redukując rząd pochodnej funkcji u(x),
redukując rząd pochodnej funkcji u(x),
zarazem zwiększając rząd pochodnej
zarazem zwiększając rząd pochodnej
funkcji testowej v(x).
funkcji testowej v(x).
Wykorzystać można w tym celu całkowanie
Wykorzystać można w tym celu całkowanie
przez części
przez części
dx
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
WYKŁAD
WYKŁAD
.
.
b
a
x
g
x
f
b
a
x
g
x
f
b
a
b
a
b
a
x
g
x
f
b
a
x
f
x
v
dx
dx
dv
dx
du
dx
du
x
v
x
f
x
v
dx
dx
u
d
x
v
x
v
x
u
r
)
(
)
(
|
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
WYKŁAD
WYKŁAD
Ale v(a)=v(b)=0 występuje jawnie w
Ale v(a)=v(b)=0 występuje jawnie w
definicji przestrzeni funkcji testowych więc
definicji przestrzeni funkcji testowych więc
0
|
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
b
a
dx
du
x
v
I otrzymujemy prostszy zapis formy słabej:
0
)
(
)
(
dx
fv
dx
dv
dx
du
dx
x
v
x
f
dx
dx
dv
dx
du
b
a
b
a
b
a
WYKŁAD
WYKŁAD
Zauważyć można, że zostały przez to
Zauważyć można, że zostały przez to
osłabione wymogi nałożone na rozwiązanie
osłabione wymogi nałożone na rozwiązanie
u(x) :
u(x) :
z drugiej ciągłej pochodnej (warunek mocny)
z drugiej ciągłej pochodnej (warunek mocny)
na całkowalność dwóch pierwszych
na całkowalność dwóch pierwszych
pochodnych (słaby warunek).
pochodnych (słaby warunek).
Równanie formy słabej można zapisać w
Równanie formy słabej można zapisać w
postaci:
postaci:
0
)
(
)
,
(
)
(
)
(
v
l
v
u
B
dx
x
v
x
f
dx
dx
dv
dx
du
b
a
b
a
gdzie B(u,v) i l(v) – odp. składnik biliniowy i liniowy
WYKŁAD
WYKŁAD
Ilekroć funkcjonał B(u,v) jest symetryczny,
Ilekroć funkcjonał B(u,v) jest symetryczny,
B(u,v)=B(v,u),
B(u,v)=B(v,u),
funkcjonał kwadratowy
funkcjonał kwadratowy
stowarzyszony z formą słabą
stowarzyszony z formą słabą
(wariacyjną)
(wariacyjną)
otrzymuje się z zależnosci:
otrzymuje się z zależnosci:
)
(
)
,
(
2
1
)
(
u
l
u
u
B
u
I
Tak więc otrzymuje się:
ZEWN
SIL
PRACA
b
a
SPR
DEF
EN
b
a
dx
x
u
x
f
dx
dx
du
u
)
(
)
(
2
1
)
(
2
.
.
WYKŁAD
WYKŁAD
Rozwiązaniem tego problemu
Rozwiązaniem tego problemu
brzegowego opisanego przez
brzegowego opisanego przez
funkcjonał
funkcjonał
)
(u
jest
funkcja
u(x), która minimalizuje ten funkcjonał
i
i podlega ograniczeniom u(a)=u(b)=0
Kroki sformułowania wariacyjnego (słabego):
•Pomnożenie równania różniczkowego przez funkcję
testową v(x) i scałkowanie w granicach danego
obszaru
WYKŁAD
WYKŁAD
Całkowanie przez części w celu osłabienia wymogów
Całkowanie przez części w celu osłabienia wymogów
nałożonych na rozwiązanie u(x)
nałożonych na rozwiązanie u(x)
Jeżeli część biliniowa formy słabej jest symetryczna,
Jeżeli część biliniowa formy słabej jest symetryczna,
możemy zdefiniować
możemy zdefiniować
funkcjonał, znany jako całkowita energia
funkcjonał, znany jako całkowita energia
potencjalna
potencjalna
Rozwiązanie definiujemy jako problem
Rozwiązanie definiujemy jako problem
minimaliza-
minimaliza-
cji funkcjonału.
cji funkcjonału.