1

Podstawowe pojęcia statystyki 
matematycznej.
Statystyka opisowa.

2

Zalecana literatura

1. Koronacki J., Mielniczuk J. – Statystyka dla 

studentów kierunków technicznych i 

przyrodniczych. 

    WNT, Warszawa.
2. Klonecki W. – Statystyka dla inżynierów. PWN, 

Warszawa.

3. Markiewska-Krawiec D., Krawiec B. - Podstawy 

statystyki matematycznej. Wyd. AR Szczecin.

4. Bruchwald A. – Statystyka matematyczna dla 

leśników. Wyd. SGGW.

3

Wprowadzenie

Geneza statystyki matematycznej 
jako dziedziny naukowej

Definicja statystyki – jest to nauka 
zajmująca się badaniem  
prawidłowości w masowych 
zjawiskach przypadkowych i 
opisywaniem ich za pomocą liczb.

4

Działy statystyki

S ta ty s t y k a  o p i s o w a

W n io s k o w a n i e  s t a ty s t y c z n e

S t a ty s t y k a  m a te m a ty c z n a

5

Statystyka opisowa

Zajmuje się metodami 
gromadzenia, opisu i 
przedstawiania danych w postaci 
sumarycznej
Opis statystyczny dokonywany jest 
za pomocą określonych 
charakterystyk (miar)

6

Wnioskowanie 

statystyczne

Oparte jest na rachunku 
prawdopodobieństwa, będącego działem 
matematyki
Zajmuje się - na podstawie prób 
statystycznych -szukaniem reguł o 
właściwościach populacji i relacjach 
między populacjami w celu wyciągania 
uogólnionych wniosków o nich.

    

7

Pojęcia i definicje:

Zbiorowość statystyczna – zbiór elementów 

objętych badaniem.
Populacja generalna – zbiór danych liczbowych 

charakteryzujących zjawisko.
Próba (populacja próbna) – podzbiór populacji 

generalnej.
Jednostka statystyczna – element zbiorowości 

statystycznej.
Cecha – właściwość jednostki statystycznej.
Materiał statystyczny – wyniki pomiarów lub 

obserwacji z jednostek statystycznych.
Szereg statystyczny – uporządkowany zbiór 

wartości cechy.

8

Podział cech

j a k o ś c io w e

( n i e m ie r z a ln e )

c i ą g łe

s k o k o w e

q u a s i - i lo ś c i o w e

( p o r z ą d k o w e )

i lo ś c i o w e

( m i e r z a ln e )

C e c h y

9

Rodzaje skal pomiarowych

Skala nominalna
Skala porządkowa
Skala przedziałowa
Skala ilorazowa

10

Rodzaje szeregów 

statystycznych

s z c z e g ó ło w e
( w y li c z a j ą c e )

p u n k t o w e

p r z e d z ia ło w e

c e c h   m i e r z a ln y c h

c e c h   n i e m i e r z a ln y c h

r o z d z ie lc z e
( s tr u k t u r a ln e )

p r z e s t r z e n n e
( g e o g r a fi c z n e )

m o m e n t ó w

o k r e s ó w

c z a s o w e
( d y n a m ic z n e )

s z e r e g i   s ta t y s t y c z n e

11

Rodzaje charakterystyk 

populacji (prób)

Miary skupienia
Miary rozproszenia
Miary kształtu

12

Miary skupienia 

(koncentracji)

ś r e d n ia   a r y tm e t y c z n a

ś r e d n ia   a r y tm a t y c z n a   w a ż o n a

ś r e d n i a  g e o m e t r y c z n a

ś r e d n i a   h a r m o n i c z n a

k la s y c z n e

m o d a   ( d o m i n a n t a )

m e d i a n a

k w a r t y le

d e c y le

k w a n t y le

p o z y c y j n e

ś r e d n ie

13

Miary rozproszenia 

(zmienności, dyspersji)

r o z s te p   ( a m p li t u d a   w a h a ń )

o d c h y le n i e   ć w i a r tk o w e

p o z y c y j n e

o d c h y le n i e   p r z e c i ę t n e

o d c h y le n i e   s ta n d a r d o w e

w a r ia n c ja

b łą d   s t a n d a r d o w y

k la s y c z n e

w s p ó łc z y n n i k   z m i e n n o ś c i

m i e s z a n e

m ia r y   r o z p r o s z e n ia

14

Miary kształtu

s k o ś n o ś ć

b e z w z g lę d n e

w s p ó łc z y n n ik   s k o ś n o ś c i

w z g lę d n e

m i a r y   a s y m e t r ii

w s p ó łc z y n n i k   s p ła s z c z e n ia

w s p ó łc z y n n i k   k o n c e n t r a c ji

L o r e n z a

m ia r y   z r ó ż n ic o w a n ia

m i a r y   k s z t a łtu

15

Średnia 

arytmetyczna:

n

x

x

n

i

i







1

• 

X

min

 < średnia  < X

max

• Suma odchyleń poszczególnych 
wartości zmiennej od średniej 
arytmetycznej jest równa 0

16

Średnia arytmetyczna c.d.

•Jeżeli każdą z wartości szeregu liczbowego 
zwiększymy (zmniejszymy, podzielimy, 
pomnożymy) o stałą, to średnia arytmetyczna 
będzie równa sumie (różnicy, ilorazowi, 
iloczynowi) średniej arytmetycznej pierwotnych 
danych i tej stałej.

•Na wartość średniej arytmetycznej duży 
wpływ mają wartości skrajne 
(ekstremalne)

17

Średnia arytmetyczna 

ważona:

•Jest stosowana, gdy warianty zmiennej (x

i

) 

występują z różną częstotliwością. Wtedy 
poszczególnym wariantom odpowiadają różne 
liczebności tzw. wagi (f

i

).







i

i

i

f

f

x

x

·

18

Średnia harmoniczna

•Średnią tą stosujemy przy wyliczaniu 
średniego tempa zjawisk, gdy mamy do 
czynienia z wielkością stosunkową w której 
zmienny jest mianownik. Jako wielkość 
stosunkową rozumiemy stosunek dwóch 
różnych wielkości (każda z nich mogłaby być 
niezależnie analizowana) np. wydajność pracy, 
prędkość, gęstość zaludnienia.





i

H

x

n

x

1

19

Średnia geometryczna

n

n

G

x

x

x

x

·....·

·

2

1



•Średnią tą stosujemy przy wyliczaniu średniej 
z szeregów dynamicznych (czasowych), cech 
przedstawionych w liczbach względnych

•Średnia ta jest mniej wrażliwa na wartości 
skrajne.

średnia arytmetyczna > średnia 
geometryczna > średnia harmoniczna

20

Moda (dominanta,

wartość najczęstsza)

•W przypadku cechy liczbowej skokowej jest to 
wartość powtarzająca się najczęściej. 

•W przypadku cechy liczbowej ciągłej jest to 
wartość, wokół której jest najwyższa 
koncentracja (gęstość) wyników. 

Mo

21

Mediana (wartość 

środkowa)

•Jest to wartość środkowa uporządkowanego 
szeregu liczbowego.

parzyste

gdy

2

e

nieparzyst

gdy

1

2

2

2

1

n

x

x

Me

n

x

Me

n

n

n











22

Kwartyle

•dzielą uporządkowany szereg liczbowy na 
cztery równe części

•drugi kwartyl jest jednocześnie medianą

•pierwszy kwartyl jest „medianą pierwszej 
połowy szeregu”

•trzeci kwartyl jest „medianą drugiej połowy 
szeregu”

Me

Q

2

Q

1

Q

3

x

min

x

max

23

Rozstęp (amplituda 

wahań)

Klasyczny

Kwartylowy

1

3

min

max

Q

Q

R

x

x

R









24

Odchylenie ćwiartkowe

2

1

3

Q

Q

Q





•Określa poziom zróżnicowania części szeregu 
liczbowego po odrzuceniu skrajnych 25 % 
obserwacji. Oznacza to, że odchylenie 
ćwiartkowe określa średnią rozpiętość wartości 
cechy w dwóch wewnętrznych ćwiartkach 
zbiorowości.

25

Odchylenie przeciętne

n

x

x

d

i







26

Wariancja

 

 

1

1

2

2

2

2

2



















n

n

x

x

s

n

x

x

s

27

Odchylenie standardowe

2

s

s 

28

Błąd standardowy (błąd 
średniej arytmetycznej)

n

s

s

x



29

Współczynnik   zmienności

(4)

   

V

(3)

   

%

100

V

(2)

  

%

100

)

1

(

   

%

100

(%)

1

3

1

3

Q3

-

Q1

Q

Q

Q

Q

Q

Me

Q

x

d

V

x

s

V

d













30

Współczynnik zmienności 

c.d.

• określa stopień zróżnicowania wyników w 

stosunku do średniej

• wyliczony ze wzorów (1) i (2) jest określany 

jako klasyczny

• wyliczony ze wzorów (3) i (4) jest określany 

jako pozycyjny

• wykorzystywany jest do:
a) określania ścisłości wykonania 

doświadczenia

b) porównania stopnia zmienności kilku cech w 

obrębie jednej populacji

c) porównania stopnia zmienności tej samej 

cechy w obrębie kilku populacji

31

Współczynnik skośności

o

e

M

M

x





s

M

x

A

o

s





A =0 brak asymetrii, A>0 asymetria 
prawostronna, A<0 asymetria 
lewostronna

32

Współczynnik skupienia

n

x

x

m

s

m

K









4

4

4

4

)

(

,

Rozkład jest normalny dla k=3, 
wysmukły k>3, spłaszczony k<3

33

Przykład 1

Scharakteryzować 

długość 

kłosa 

pszenżyta

ozimego odmiany Lamberto. 
Pobrano  próbę  o  liczebności  n=10 

kłosów i

uzyskano następujące wyniki (cm): 
21; 20; 19; 15;17; 19; 17; 18; 18; 16.

34

Tabela z wynikami i obliczeniami 

pośrednimi

i

x

i

x

i

2

|x

i

 -x

śr

|

1

21

441

3

2

20

400

2

3

19

361

1

4

15

225

3

5

17

289

1

6

19

361

1

7

17

289

1

8

18

324

0

9

18

324

0

10

16

256

2

x

i  

=

  

180

x

i

2

=327

0



|x

i

 -x

śr

|=14

35

Miary skupienia

cm

Q

cm

Q

cm

Q

cm

x

x

Me

cm

Mo

cm

n

x

x

n

n

19

18

17

18

2

18

18

2

19

;

18

;

17

21

;

20

;

19

;

19

;

18

;

18

;

17

;

17

;

16

;

15

18

10

180

3

2

1

1

2

2





























36

Miary rozproszenia

cm

n

s

s

x

s

V

cm

s

s

cm

n

n

x

x

s

cm

n

x

x

d

cm

Q

Q

Q

cm

Q

Q

R

cm

x

x

R

x

577

,

0

10

83

,

1

%

2

,

10

100

18

83

,

1

(%)

100

83

,

1

33

,

3

33

,

3

1

10

10

180

3270

1

40

,

1

10

14

1

2

17

19

2

2

17

19

6

15

21

2

2

2

2

2

2

1

3

1

3

min

max





































































































37

Przykład 2

Badano wysokość roślin trzech odmian pszenżyta 
(A,B,C). Pobrano próby n=10 roślin każdej 
odmiany. Wyliczono średnie i odchylenia 
standardowe i uzyskano następujące wyniki w cm:

Odmian

a A

Odmian

a B

Odmian

a C

120

125

127

s

1,5

2

2,5

x

38

39

Przykład 3

Badano wysokość roślin trzech odmian 
pszenżyta (A,B,C). Pobrano próby n=10 roślin 
każdej odmiany. Wyliczono średnie i 
odchylenia standardowe i uzyskano 
następujące wyniki w cm:

Odmian

a A

Odmian

a B

Odmian

a C

120

125

127

s

2,5

3,0

3,5

x

40

41

Przykład 4

Badano zawartość chlorofilu przy użyciu  

chlorofilometru SPAD 502 na roślinach pszenicy 

nawożonych trzema dawkami azotu (50, 100, 150 

kg N/ha). Dla każdej dawki azotu wykonano n=20 

pomiarów. Wyliczono średnie i odchylenia 

standardowe i uzyskano następujące wyniki:

50

100

150 

35

42

46

s

1,5

2,0

2,2

x

42