Podstawy automatyki

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Do analizy

stabilności

liniowych układów

automatyki wykorzystuje się:

 kryterium analityczne Hurwitza,

 kryterium graficzne Nyquista.

Do oceny

jakości regulacji

w stanie

przejściowym stosuje się:

 parametry odpowiedzi skokowej,

 wskaźnik regulacji,

 kryteria całkowe.

Do określenia

uchybu ustalonego

regulacji

służy twierdzenie o wartości końcowej
przekształcenia Laplace’a.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Stabilność wyraża własność pozostawania

rozwiązań równań różniczkowych opisujących

układ dynamiczny w określonym obszarze

ograniczonym.

Układ sterowania jest

stabilny

, jeżeli po

wytrąceniu ze stanu równowagi sam wraca do

stanu poprzedniego.

Pojęcie to odnosi się zarówno do zamkniętych

jak i otwartych liniowych układów sterowania.

O stabilności układu sterowania można

wnioskować na podstawie równania

różniczkowego, opisującego związek między

wielkością wyjściową y(t) a wejściową x(t).

ZAPAS STABILNOŚCI

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Dokonując przekształcenia Laplace'a równania
różniczkowego można wyznaczyć transformatę
odpowiedzi układu Y(s) w postaci:

Wielomian M(s) w mianowniku transmitancji G(s)

określa właściwości dynamiczne tego układu i

nazywa się

wielomianem

charakterystycznym

 

   

 

   

























prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Rozwiązanie równania różniczkowego,

stanowiące odpowiedź układu sterowania, jest

sumą składowej wymuszonej y

(t) i składowej

przejściowej y

(t):

y(t)= y

(t) +

(t)

Składowa wymuszona jest określona przez

parametry układu oraz przebieg wymuszenia i

nie musi być brana pod uwagę przy badaniu

stabilności układu.
O tym czy układ nadąża za zmianami wielkości

sterującej, decyduje przebieg składowej

przejściowej, zależny od właściwości

dynamicznych układu.
Badanie stabilności układu sterowania można

zatem ograniczyć do analizy składowej

przejściowej, która jest rozwiązaniem

jednorodnego równania różniczkowego badanego

układu.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Przebieg składowej przejściowej jest określony

przez

równanie charakterystyczne

, które

otrzymuje się poprzez przyrównanie wielomianu

charakterystycznego do zera:

M(s) = a

+ a

n-1

+ ... + a

s +

= 0

Jeżeli pierwiastki równania charakterystycznego

są jednokrotne, to składowa przejściowa

wyraża się kombinacją liniową funkcji

wykładniczych:

 





Na przebieg składowej przejściowej i stabilność

układu sterowania ma wpływ położenie

pierwiastków równania charakterystycznego s

płaszczyźnie zmiennej zespolonej.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Pierwiastki rzeczywiste:

 













przy

 











przy

 





prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Pierwiastki zespolone:

 



































cos

 































cos

 





















cos

jbt

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Aby procesy przejściowe zanikały, czyli żeby

badany układ był

stabilny

, wszystkie pierwiastki

rzeczywiste muszą być ujemne, a zespolone mieć

ujemną część rzeczywistą.
Jeżeli chociażby jeden z pierwiastków równania

charakterystycznego ma dodatnią część

rzeczywistą, to układ sterowania jest

niestabilny

W przypadku, w którym istnieją pierwiastki

jednokrotne o części rzeczywistej równej zeru,

układ znajduje się na

granicy stabilności

Przy czym dla pierwiastków rzeczywistych

odpowiedź jest aperiodyczna, a dla pierwiastków

zespolonych odpowiedź układu ma charakter

oscylacyjny.

Koniecznym i dostatecznym warunkiem

stabilności asymptotycznej (układ wraca

do poprzedniego stanu ustalonego) jest

aby Re(s

)<0

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Liniowy układ sterowania jest stabilny

jeżeli wszystkie pierwiastki równania

charakterystycznego mają część

rzeczywistą mniejszą od zera, czyli leżą w

lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej

Twierdzenia, pozwalające ocenić stabilność bez
obliczania pierwiastków równania
charakterystycznego układu (biegunów),
nazywane są

kryteriami stabilności

Wyróżnia się:

• kryteria analityczne, np. Hurwitza lub Routha

• kryteria graficzne częstotliwościowe, np.
Nyquista

• kryteria grafo-analityczne, np. Michajłowa.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Układ automatyki jest stabilny tylko wówczas,

gdy współczynniki równania charakterystycznego

M(s)=a

+ a

n-1

+ ... + a

s + a

= 0

układu zamkniętego

: (a

, a

n-1

, ..., a

)

oraz podwyznaczniki W

, W

, ... ,W

n-1

wyznacznika Hurwitza W

są większe od zera.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

...



















prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Przykład

Transmitancja układu otwartego ma postać:

Należy wyznaczyć graniczną wartość
współczynnika wzmocnienia k, taką aby układ
zamknięty był stabilny dla: T

= 5 sek, T

= 2

sek, T

= 1,4 sek

  









Transmitancja układu

zamkniętego:

Równanie charakterystyczne układu:

+(T

)s+1+k = 0

  









prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

stąd k > -1, zaś w praktyce k >
0

Wyznacznik Hurwitza:

gdzie:

= T

> 0 a

= T

+ T

> 0

= T

+ T

> 0 a

= 1+k > 0

= a

= 5 · 2 + 2 · 1.4 + 1.4 · 5= 19.8 > 0

= a

- a

= 19.8 · 8.4 - 14(1 + k) > 0

K< 10.88

Układ zamknięty będzie stabilny dla:
0 < k < 10.88

W 

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Transmitancja układu otwartego G

(s):

(s) = G

(s) G

(s)

 

   

 















prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Transmitancja układu zamkniętego:

Równanie charakterystyczne:

M(j)=1 + G

(j)=0

stąd G

(j) = -1

Warunek graniczny stabilności:

Warunek graniczny stabilności:
-

amplituda: |G



= 1

faza: φ = -π

czyli przejście charakterystyki amplitudowo-

fazowej układu otwartego przez punkt (-1, j0)

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to
układ zamknięty jest również
stabilny, jeżeli charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu
otwartego nie obejmuje punktu (-1,
j0).

Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i ma k

pierwiastków na prawej półpłaszczyźnie, to układ

zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka

amplitudowo-fazowa układu otwartego obejmuje

punkt (-1, j0) k/2 razy.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Logarytmiczne kryterium Nyquista





























prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Dla dobrze

dobranego

regulatora

zapas

amplitudy

powinien

wynosić

od 6 do 12 dB,

a zapas fazy

zapas fazy

od 30

do 60

  





















prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

JAKOŚĆ REGULACJI

W STANACH PRZEJŚCIOWYCH

Kryteria czasowe

Tworzą parametry odpowiedzi układu (uchybu

regulacji e lub wielkości regulowanej y) na

skokowe zmiany wielkości zadanej lub zakłóceń:

czas regulacji

jako czas po upływie którego uchyb

regulacji staje się mniejszy niż przyjęta wartość

dopuszczalna e, najczęściej przyjmuje się t

 min oraz

e = (0,02 ÷ 0,05) y

przeregulowanie

æ = e

/ e

· 100% = 10 ÷ 30 % ,

najczęściej przyjmuje się 20%

Czas regulacji określający szybkość działania układu, w
praktyce można ocenić w przybliżeniu jako: t

= (3 ÷ 5)

zast ob

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Wskaźnik regulacji

Za wskaźnik regulacji przyjmuje się stosunek
transformaty Laplace`a uchybu regulacji układu
zamkniętego E

(s) (z regulatorem)

do transformaty Laplace`a uchybu sterowania
układu otwartego E

(s) (bez regulatora)

Jest wskaźnikiem efektywności tłumienia
zakłóceń przez układ ze sprzężeniem zwrotnym.

 





 



prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

W paśmie tłumienia zakłóceń 0<ω<ω

dla którego |

q(jω)|<1, wpływ zakłóceń na wielkość regulowaną
jest q razy słabszy dla obiektu regulowanego niż
dla obiektu nieregulowanego.

W paśmie rezonansowym ω

<ω<ω

, dla którego |

q(jω)|>1, wpływ zakłóceń jest q razy silniejszy dla
obiektu regulowanego.

W paśmie nad rezonansowym ω>ω

, dla którego |

q(jω)|=1, wpływ zakłóceń na wielkość regulowaną
jest taki sam jak dla obiektu nieregulowanego.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

 

min









 

min









 

min









ITSE - integral of time multiplied

by squared error

IAE - integral value of error

ITAE - integral of time multiplied

by absolute value of error

 









min

 

min









IE - integral error

ISE - integral squared error

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

DOPUSZCZALNY UCHYB USTALONY

Za miarę dokładności statycznej regulacji

przyjmuje się wartość uchybu regulacji w stanie

ustalonym:

e(t) = y

(t) – y(t)

Wartość tą można wyznaczyć analitycznie

wykorzystując twierdzenia o wartości końcowej

rachunku operatorowego Laplace’a.

Oczywistym jest, że najbardziej pożądaną

wartością tego uchybu jest wartość zero.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Transformata wielkości wyjściowej y(t) jest sumą

składowej wywołanej zmianą wartości zadanej i

składowej spowodowanej oddziaływaniem

zakłóceń:

Y(s) = G

(s) G

(s) E(s) + G

(s) Z

(s)+Z

(s)

nastepnie

E(s) = Y

(s) – Y(s)

E(s) = Y

(s) – G

(s) G

(s) E(s) – G

(s) Z

(s)-Z

(s)

(s) = G

(s) G

(s)

 

   

 

   













prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Biorąc pod uwagę, że zakłócenia są
przypadkowe i nie można przewidzieć, jaki
będzie moduł i argument transformat Z

(s) i

(s), dlatego znak minus można zastąpić

znakiem plus:

E(s) = G

(s) Y

(s) + G

(s) G

(s) Z

(s)+G

(s) Z

(s)

gdzie

nazywa się

transmitancją uchybową

układu

zamkniętego.

 





prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Uchyb nadążania i zakłóceniowy

Na podstawie ostatniej zależności można wyrazić

składową transformaty uchybu wnoszoną przez

zmiany wielkości zadanej y

(t) jako

uchyb

nadążania

za zmianami wartości zadanej:

(s) = G

(s) Y

(s)

a składową wywołaną oddziaływaniem zakłóceń

w postaci

uchybu zakłóceniowego

(s) = G

(s) G

(s) Z

(s)+G

(s) Z

(s)

Wartość tych składowych w stanie ustalonym

wyznacza się korzystając z twierdzenia o

wartości końcowej przekształcenia Laplace’a.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

Wartości składowych uchybu ustalonego

wyznacza się z następujących zależności:

Dla układów z całkowaniem

uchyb ustalony jest równy zero

(1/s w G

(s) - regulator lub w G

(s) - obiekt)

 

   

lim

ust











 

   

 

   













lim

ust

Document Outline