Jednorównaniowy 

liniowy model 

ekonometryczny

Literatura

1.

A. D. Aczel: 

Statystyka w zarządzaniu

. PWN, Warszawa, 2000.

2.

J. Dziechciarz: 

Ekonometria. Metody, przykłady, zadania

. AE, 

Wrocław, 2003.

3.

D. Fiłatowa,  M. Grzywaczewski: 

Wstęp do ekonometrii 

teoretycznej

. Wyd. 

Politechniki Radomskiej, Radom, 2004.

4.

J.B. Gajda: 

Ekonometria praktyczna

. Absolwent, Łódź, 2002.

5.

J.B. Gajda

: 

Ekonometria. Wykład i łatwe obliczenia w programie 

komputerowym

. Wyd. C.H. BECK, Warszawa, 2004.

6.

A.S. Goldberger: 

Teoria ekonometrii

. PWE, Warszawa, 1972.

7.

A. Goryl, Z. Jędrzejczak, K. Kukuła, J. Osiewalski, A. Walkosz: 

Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach

. PWN, 

Warszawa, 2003.

8.

M. Gruszczyński, M. Podgórska: 

Ekonometria

. SGH, Warszawa, 

2003.

9.

B. Guzik, W. Jurek: 

Podstawowe metody ekonometrii

. AE, Poznań, 

2003.

10. T. Kufel: Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z 

wykorzystaniem programu GRETL. PWN, Warszawa, 2007.

2

GK (WEiP(01) - 2011)

Literatura (cd)

12.

G.S. Maddala: 

Ekonometria 

(tłum. z jęz. ang. „Introduction to 

Economectrics”, Wiley, Chichester England, 2001). PWN, Warszawa, 

2006.

13.

E. Nowak: 

Zarys metod ekonometrii. 

Zbiór zadań. PWN, Warszawa, 

2006.

14.

W. Ostasiewicz: 

Metody ilościowe w ekonomii. 

AE, Wrocław, 1999.

15.

A. Snarska: 

Statystyka. Ekonometria. Prognozowanie. Ćwiczenia z 

Excelem. 

Placet, Warszawa, 2005.

16.

J. Sołtysiak: 

Podstawy ekonometrii. Ekonomia – Statystyka – 

Matematyka. 

Wydawnictwo Gdańskiej Szkoły Humanistycznej, 

Gdańsk, 2007.

17.

D. Strahl, E. Sobczak, M. Markowska, B. Bal-Domańska: 

Modelowanie ekonometryczne z EXCELEM. Materiały pomocnicze 

do laboratoriów z ekonometrii.

 AE, Wrocław, 2002.

18.

H. Theil: 

Zasady ekonometria praktyczna. 

PWN, Warszawa, 1979.

19.

A. Welfe: 

Ekonometria.

 PWE, Warszawa, 2003.

20.

A. Welfe: 

Ekonometria. Zbiór zadań.

 PWE, Warszawa, 2003.

21.

J.W. Wiśniewski, Z. Zieliński: 

Elementy ekonometrii.

 UMK, Toruń, 

1998.

22.

A. Zeliaś: 

Teoria prognozy. 

PWE, Warszawa, 1979. 

23.

A. Zeliaś: 

Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania. 

PWN, Warszawa, 2004.

3

GK (WEiP(01) - 2011)

Badanie zależności między 

zjawiskami

Prowadzenie jakiejkolwiek działalności, szczególnie 

gospodarczej wymaga umiejętności przewidywania zachowania 
się (zmian) badanej wielkości, reprezentującej interesujące nas 
zjawisko w zależności od zmian innych zjawisk, których wpływ 
na zjawisko badane uważamy za istotny. Takie przewidywanie 
nosi nazwę 

prognozowania

. 

Zależności występujące między zjawiskami mogą być 

ustalane w sposób intuicyjny lub z wykorzystaniem metod 
formalnych. W pierwszym przypadku mówi się o 

modelowaniu 

intuicyjnym

, a w drugim – o 

modelowaniu ekonometrycznym

.

Modelowanie i prognozowanie intuicyjne 

polega na 

nieformalnej, intuicyjnej ocenie charakteru zmian badanego 
zjawiska w zależności od zmian innych zjawisk i wyciągnięciu na 
tej podstawie wniosku (prognozy), co do przyszłego zachowania 
badanego zjawiska, gdy zjawiska wpływające na jego zachowanie 
osiągną pewien stan. Stosuje się metody ekspertów oraz 
analogii.

Modelowanie i prognozowanie ekonometryczne 

można 

traktować jako formalne ujęcie intuicyjnie określonych 
zależności pomiędzy zjawiskiem badanym a zjawiskami na nie 
wpływającymi. Ta formalizacja jest zwykle dokonywana z 
wykorzystaniem metod z zakresu statystyki matematycznej. 
Modelowanie ekonometryczne obiektywizuje proces 
prognozowania. 

4

GK (WEiP(01) - 2011)

 

Między badanymi zjawiskami ekonomicznymi mogą 

zachodzić następujące wiążące je zależności:

•zależność przyczynowa 

– wynika ze związku przyczynowego, 

którego istnienie można wyjaśnić na gruncie wiedzy 
teoretycznej (np. wpływ wzrostu dochodów na wzrost 
wydatków),

•zależność symptomatyczna 

– wynika z istnienia przyczyny 

kształtującej zależność, chociaż nie ma wyjaśniającej jej teorii,

•zależność korelacyjna 

– stwierdzona na podstawie obserwacji 

o podobnym zachowaniu zjawisk, chociaż nie ma teorii 
potwierdzającej istnienie związku przyczynowego i nie 
wiadomo, czy taka teoria w ogóle istnieje, 

•zależność pozorna 

– występuje wtedy, gdy nie można znaleźć 

przyczyn, powodujących podobne zachowanie badanych zjawisk 
(np. korelacja pomiędzy liczbą bocianów a liczbą urodzin), 

•niezależność pozorna 

– występuje wtedy, gdy w wyniku badań 

nie udaje się potwierdzić powiązania między zjawiskami w 
rzeczywistości od siebie zależnymi. Taki przypadek może 
zachodzić w procesie modelowania ekonometrycznego i jest 
spowodowany niedostateczną precyzją prowadzonych badań 
(np. zbyt mała próba, błędny dobór narzędzi badawczych).

5

GK (WEiP(01) - 2011)

Badanie zależności między 

zjawiskami

 

O dwóch zjawiskach mówi się, że są skorelowane 

(statystycznie zależne), jeżeli zmianie wartości jednego z nich 
towarzyszy 

skłonność

 

drugiego z nich do zmiany swojej 

wartości. Zatem, zależność statystyczna nie oznacza, iż zmiana 
wartości jednego ze zjawisk jest przyczyną zmiany wartości 
drugiego z nich, chociaż tego nie można wykluczyć. 

Zależność statystyczną można badać na dwa sposoby: 

korzystając z 

analizy korelacji

 

oraz korzystając z 

analizy 

regresji

. Pierwsze podejście pozwala tylko na określenie siły i 

kierunku zależności pomiędzy badanymi zjawiskami 
(nieprzydatne do prognozowania), natomiast drugie podejście 
pozwala na określenie formalnej postaci wyrażenia 
opisującego zależności pomiędzy badanymi zjawiskami, które 
może być wykorzystane w procesie prognozowania. 

Ekonometria posługuje się drugim z wymienionych podejść.

Podstawą

 

modelowania ekonometrycznego

 

jest zjawisko 

zależności statystycznej

, 

inaczej 

korelacji

. 

6

GK (WEiP(01) - 2011)

Badanie zależności między 

zjawiskami

Co to jest ekonometria?

Ekonometria

 - nauka 

o metodach badania ilościowych 

zależności występujących między zjawiskami ekonomicznymi za 
pomocą wyspecjalizowanego aparatu statystyczno-matematycznego.

Ekonometria koncentruje się głównie na:
•ilościowej ocenie relacji między zjawiskami ekonomicznymi,
•konfrontacji teorii ekonomii z praktyką ekonomiczną,
•prognozowaniu wyników działalności gospodarczej.

Problemy ekonometryczne:
•weryfikowanie ogólnych praw i twierdzeń z zakresu ekonomii przy 
wykorzystaniu danych empirycznych,
•testowanie hipotez ekonomicznych,
•prognozowanie zjawisk ekonomicznych.

Wspólną cechą wymienionych grup problemów badawczych jest to, że ich 
merytoryczna weryfikacja jest oparta na danych empirycznych.

7

GK (WEiP(01) - 2011)

Model ekonometryczny

 

Model ekonometryczny

 jest 

kwantyfikowaną relacją zadaną w postaci 
jednego równania matematycznego lub 
układu takich równań, łączącą w sposób 
zgodny z teorią ekonomii dane 
empiryczne dotyczące zjawisk 
gospodarczych. Parametry tej relacji są 
przedmiotem estymacji.

8

GK (WEiP(01) - 2011)

 

Ze względu na rolę, jaką odgrywają zjawiska 

ekonomiczne uwzględniane w modelu, można je podzielić na 
dwa rodzaje: zjawiska ekonomiczne wyjaśniane przez model, 
nazywane 

zmiennymi objaśnianymi (endogenicznymi)

, oraz 

zjawiska ekonomiczne, które oddziałują na zmienne 
objaśniane, nazywane 

zmiennymi objaśniającymi 

(egzogenicznymi)

.

Ogólnie model ekonometryczny jest przedstawiany w 

następującej postaci formalnej:

gdzie:  

X=(X

1

,X

2

,…,X

k

)

 

- wektor wartości zmiennych 

objaśniających uznanych, jako istotnie oddziałujące na 
zmienną objaśnianą 

y

, 



 

- wektor parametrów strukturalnych 

modelu, charakteryzujących wpływ poszczególnych zmiennych 
objaśniających na kształtowanie się zmiennej objaśnianej, 

ε

 

- 

błąd modelu spowodowany czynnikami losowymi (tzw. składnik 
losowy lub odchylenie losowe modelu), 

 

f

 

– analityczna postać 

funkcji zmiennych objaśniających i parametrów 
strukturalnych, ustalana w trakcie budowy modelu.





ε

X,

f

y

,





9

GK (WEiP(01) - 2011)

Model ekonometryczny

Modele ekonometryczne można klasyfikować według różnych 
kryteriów, np.:

•

liczby zmiennych objaśniających

 

- modele z 

jedną

 

i

 

wieloma

 

zmiennymi objaśniającymi,

•

postaci analitycznej

 

- modele 

liniowe 

i

 

nieliniowe

,

•

liczby zmiennych objaśnianych (równań) w modelu

 

- modele 

jedno-

 i 

wielorównaniowe

.  W modelu jednorównaniowym 

występuje tylko jedna zmienna objaśniana,

•

interpretacji zmiennych objaśniających 

– modele 

przyczynowo-skutkowe

 

(wszystkie zmienne objaśniające są 

traktowane jako przyczyny kształtowania się zmiennej 
objaśnianej), modele 

symptomatyczne

 

(zmienne objaśniające 

są wybierane a priori i są traktowane jako symptomy pewnych 
zjawisk kształtujących zmienną objaśnianą),

•

roli czynnika czasu w modelu

 

- modele z 

statyczne

 i 

dynamiczne

, a wśród tych ostatnich - modele 

autoregresyjne

 

i 

modele 

tendencji rozwojowej

.

10

GK (WEiP(01) - 2011)

Model ekonometryczny

Etapy modelowania 
ekonometrycznego

1. Sformułowanie modelu 

ekonometrycznego.

2. Zgromadzenie odpowiednich danych 

empirycznych.

3. Dobór zmiennych modelu.
4. Estymacja parametrów modelu.
5. Weryfikacja merytoryczna i 

statystyczna modelu.

6. Interpretacja ekonomiczna 

uzyskanych wyników.

11

GK (WEiP(01) - 2011)

 

Dalej będzie rozpatrywany 

jednorównaniowy liniowy 

względem parametrów strukturalnych statyczny model 
ekonometryczny z wieloma zmiennymi objaśniającymi. 

Statycznym modelem ekonometrycznym jest model, 

który zawiera tylko zmienne egzogeniczne przypisane do tej 
samej chwili czasu co zmienna endogeniczna

. Postać 

analityczna (zapis macierzowy) takiego modelu jest

 

równaniem algebraicznym

 

postaci:

gdzie:

y 

- zmienna objaśniana (zmienna losowa), 

 

X

i

 

- zmienne 

objaśniające (zmienne nielosowe), 

α

i

 

- parametry strukturalne 

modelu (skalary),

 



 

- składnik losowy (zmienna losowa).

0

1

1

2

2

k

k

yα α X

α X

... α X

ε X a e

= +

+

+ +

+ =

+

12

GK (WEiP(01) - 2011)

Liniowy model ekonometryczny

 

W rozpatrywanym modelu ekonometrycznym 

występują wielkości znane (

y

 oraz 

X

i

)

 i nieznane, tzw. 

parametry. Wyróżnia się

 

parametry strukturalne

 (

α

i

 

) oraz

 

parametry struktury stochastycznej

 

modelu (dotyczą 

probabilistycznych własności  składnika losowego

 



 

). 

Praktyczna użyteczność modelu wymaga oszacowania 
wartości (estymacji) tych parametrów na podstawie zebranych 
danych empirycznych znanych wielkości występujących w 
modelu, tj.

 

y

 

oraz

 

X

i

 

i przyjętych założeń (zostaną 

przedstawione dalej).

Często jest stosowany inny równoważny (szczegółowy) 

zapis rozpatrywanego modelu:

gdzie:

y

t

 

- obserwacja zmiennej objaśnianej,

 

x

it

 

- obserwacja i-tej 

zmiennej objaśniającej, 

α

i

 

- i-ty parametr strukturalny 

modelu, 



t

 

- wartość składnika losowego w obserwowanej 

zmiennej objaśnianej, 

t

 

– numer kolejnej obserwacji.

,n)

1,2,

(t

t

kt

k

2t

2

1t

1

0

t

ε

x

α

x

α

x

α

α

y

...

,

...















13

GK (WEiP(01) - 2011)

Liniowy model ekonometryczny









































































































































kn

2n

1n

k2

22

12

k1

21

11

k

2

1

k

1

0

n

2

1

in

i2

i1

i

n

2

1

x

x

x

1

x

x

x

1

x

x

x

1

X

X

X

X

α

α

α

α

,

ε

ε

ε

ε

,

x

x

x

X

,

y

y

y

y

...

...

...

...

...

...

...

...

,

...

,

,

,

,

...

...

...

...

1

Powiązanie modelu w postaci ogólnej i szczegółowej:

14

GK (WEiP(01) - 2011)

Liniowy model ekonometryczny

Interpretacja parametrów strukturalnych modelu 
ekonometrycznego.

Warunkowa wartość oczekiwana zmiennej objaśnianej przy 
znanych wartościach zmiennych objaśniających jest równa:

a jej pochodna cząstkowa po

 

x

it

:

Stąd wynika, że parametr strukturalny 



i

 

mierzy oczekiwaną 

zmianę zmiennej objaśnianej

 

y

t

 

jako efekt zmiany 

i-tej

 

zmiennej objaśniającej  

x

it

 

o jedną jednostkę, 

gdy wartości 

innych zmiennych objaśniających modelu pozostają 
niezmienione

 

(warunek 

ceteris paribus

).





,n

1,2,

t

,

x

α

x

α

x

α

α

x

y

E

kt

k

2t

2

1t

1

0

T

t

t

...

...













 

.

i

it

T

t

t

α

x

x

y

E







15

GK (WEiP(01) - 2011)

Liniowy model ekonometryczny

 

Składnik losowy

 

(



) w modelu ekonometrycznym jest 

uwzględniany z następujących powodów:

•w modelu nie mogą być ujęte wszystkie zmienne 
objaśniające,

•postać modelu może być nieadekwatna do rzeczywistych 
zależności pomiędzy zmiennymi,

•zachowanie podmiotów ekonomicznych jest trudno 
przewidywalne,

•dane statystyczne reprezentujące poszczególne zmienne 
ujęte w modelu mogą być obarczone błędami,

•zmienność próby, tj. zmienność oszacowania parametrów 
strukturalnych modelu w zależności od danych empirycznych.

16

GK (WEiP(01) - 2011)

Liniowy model ekonometryczny

 

Estymacja (szacowanie wartości parametrów 

strukturalnych, wyznaczanie ocen parametrów strukturalnych) 
liniowego modelu ekonometrycznego jest dokonywana na 
podstawie danych empirycznych, opisujących kształtowanie się 
zmiennej objaśnianej oraz zmiennych objaśniających.  
Procedurę estymacji można sprowadzić do procedury w 
wyniku, której zostaną przypisane wartości liczbowe 
parametrom strukturalnym modelu, zapewniające jego 
najlepsze dopasowanie do zebranych danych empirycznych.

Najpowszechniejszą metodą szacowania (estymacji) 

parametrów strukturalnych rozpatrywanego liniowego modelu 
ekonometrycznego jest procedura aproksymacyjna nazywana

 

klasyczną metodą najmniejszych kwadratów (KMNK

). Idea tej 

metody sprowadza się do takiego wyznaczenia ocen 
parametrów 

α

0

, α

1

, α

2

,

, α

k 

, aby 

suma kwadratów odchyleń 

zaobserwowanych wartości zmiennej objaśnianej (dane 
empiryczne) od jej wartości obliczonych z modelu (tzw. 
wartości teoretyczne) była najmniejsza

.

Estymacja modelu liniowego

17

GK (WEiP(01) - 2011)

Zadanie estymacji parametrów strukturalnych 

α

0

, α

1

, 

α

2

,

, α

k

 

jest równoważne zadaniu estymacji wartości 

oczekiwanej zmiennej objaśnianej na podstawie danych 
empirycznych (próby statystycznej). Ponieważ przyjęto, że w 
rozpatrywanym modelu wartość ta wyraża się równaniem 
linii (hiperpłaszczyzny), więc poprzez odpowiedni dobór 
(estymację) wartości parametrów strukturalnych 

α

0

, α

1

, 

α

2

,

, α

k

 

poszukiwana jest linia najlepiej „dopasowana” do 

zebranych danych empirycznych. Za najlepiej „dopasowaną” 
linię w metodzie KMNK uważa się taką, która minimalizuje 
sumę kwadratów reszt 

e

tj. różnic które traktuje się jako realizacje składnika 
losowego

 



t

. 

Oszacowania (oceny) parametrów strukturalnych 

(wartości liczbowe tych parametrów), oznaczane dalej przez 

a

0

, a

1

, a

2

,

, a

k

 

różnią się od nieznanych ich rzeczywistych 

wartości 

α

0

, α

1

, α

2

,

, α

k

 

i mogą być różne dla różnych 

zbiorów danych empirycznych tej samej zmiennej 
objaśnianej i tych samy zmiennych objaśniających. 

t

t

t

ˆ

e

y

y ,

= -

18

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

Ideę KMNK można zapisać formalnie w sposób następujący:

gdzie:

przy czym

są oszacowaniami (wartościami)  parametrów strukturalnych 
modelu, uzyskanymi za pomocą KMNK.

 





a

a

ψ

min

yˆ

y

e

n

1

t

2

t

t

n

1

t

2

t

















,n)

1,2,

(t

,

x

a

x

a

x

a

a

y

kt

k

2t

2

1t

1

0

t

...

...

ˆ













k

1

0

a

,...,

a

,

a

19

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

 

Dalej zostanie rozpatrzony przypadek, gdy zmienna 

objaśniana jest kształtowana tylko przez jedną zmienną 
objaśniającą, liniowy model ekonometryczny przyjmuje postać 

równania linii prostej

 

w przestrzeni dwuwymiarowej, w której 

osią rzędnych jest oś wartości przyjmowanych przez zmienną 
objaśnianą, a osią odciętych – oś wartości przyjmowanych 
przez zmienną objaśniającą:

 

Obserwacje (dane empiryczne) zmiennej objaśnianej i 

zmiennej objaśniającej można traktować jako punkty w 
przestrzeni, których układ graficzny sugeruje liniową 
zależność między zmienną objaśnianą a objaśniającą.

Przy założeniu, że powyższy model spełnia 

założenia 

Gaussa-Markowa

, 

równanie postaci

:

wyznacza linię regresji populacji generalnej (regresja typu I), 
co oznacza, że przechodzi ona przez punkty, będące 
wartościami średnimi wielu niezależnych doświadczeń, 
których jedną realizację reprezentuje próba 

y

1

, y

2

,

, y

n

.

 

,n)

1,2,

(t

,

x

α

α

y

t

1

0

t

...











t

1

0

t

x

α

α

)

E(y





20

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

Zbiór 

y

1

, y

2

,

, y

n 

jest zbiorem niezależnych zmiennych 

losowych o rozkładzie normalnym o tej samej wariancji, ale o 
różnych wartościach oczekiwanych, tj.: 

Parametry

 

α

0

 

i

 α

1

 

nie są znane, ale mogą zostać oszacowane 

na podstawie próby statystycznej, tzn. wartości 
zaobserwowanych zmiennej objaśnianej 

y

 

i objaśniającej 

x

. Na 

podstawie próby otrzymuje się równanie linii regresji II 
rodzaju (w próbie) postaci:

gdzie:
- wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej 

y

 

odpowiadającej 

t

-

tej obserwacji,

- estymatory parametrów strukturalnych modelu, 
odpowiednio:

 

α

0

, α

1

. 

Ponieważ estymatory parametrów strukturalnych modelu są 
zmiennymi losowymi, więc w praktyce są stosowane ich 
realizacje w próbie, które noszą nazwę 

ocen

 

lub 

oszacowań 

parametrów strukturalnych 

i są oznaczane przez 

a

0

, a

1 

odpowiednio. Zatem wartości teoretyczne zmiennej 
objaśnianej będą wyznaczane z zależności:





.

,σ

x

α

α

N

:

y

t

1

0

t



)

...

ˆ

ˆ

y

ˆ

t

,n

1,2,

(t

,

x

α

α

t

1

0







t

yˆ

1

0

ˆ

,

ˆ





.

...

ˆ

,n)

1,2,

(t

,

x

a

a

y

t

1

0

t







21

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

Ponieważ reszty                    

są obliczane jako 

różnice pomiędzy wartościami empirycznymi 

zmiennej objaśnianej a jej wartościami teoretycznymi

, więc 

każda wartość empiryczna zmiennej objaśnianej może być 
traktowana jako suma wartości teoretycznej, obliczonej z 
wyestymowanego modelu ekonometrycznego i odpowiedniej 
reszty, tj.:

Występują zatem cztery następujące funkcje:
• linia regresji populacji generalnej:  
• linia regresji próby (wartości teoretyczne):
• wartości empiryczne w populacji generalnej: 
• wartości empiryczne w próbie:

t

t

t

yˆ

y

e





t

t

t

0

1 t

t

(t 1,2,...,n)

ˆ

y

y e a a x e ,

.

=

= + = +

+

,

t

1

0

t

x

α

α

)

E(y





,

ˆ

t

1

0

t

x

a

a

y





,

t

t

1

0

t

x

y













.

t

t

1

0

t

e

x

a

a

y







22

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

Rok

Liczba 

wyjazdów 

za 

granicę 

[mln]

Przeciętne 

wynagrodzen

ie brutto [zł]

199

1

20,8

205,63

199

2

29,3

289,73

199

3

31,4

390,43

199

4

34,3

525,02

199

5

36,4

690,92

199

6

44,7

874,30

199

7

48,6

1065,76

199

8

49,3

1232,69

199

9

55,1

1697,12

200

0

56,7

1893,74

200

1

53,1

2045,11

200

2

45,0

2097,83

Dane empiryczne

Graficzna prezentacja danych 
empirycznych

,12)

1,2,

(t

t

t

1

0

t

ε

x

α

α

y

...

,









Linie 
regresji 

 

 

x

a

a

y

1

1

1

0





 

 

x

a

a

y

2

1

2

0





23

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

y

x

x

a

a

yˆ

1

0





t

e

t

1

0

x

a

a 

x

α

α

)

y

E(

1

0





t

ε

t

1

0

x

α

α 

x

t

t

t

1

0

t

ε

x

α

α

y







y

t

24

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

 

min

a

n

1

t

2

t

e

a

ψ









     x

1     

x

2        

x

3      

x

4      

x

5      

x

6      

x

7                       

              

x

4

e

x

a

a

y

ˆ

1

0





y

25

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

Funkcja 

jest dodatnio określoną formą kwadratową parametrów 

a

0

 

i 

a

1

, 

zatem 

warunkiem koniecznym

 

istnienia jej minimum jest 

zerowanie się pierwszych pochodnych cząstkowych względem 
ocen parametrów strukturalnych, tj. zachodzenie równości:

a

 

warunkiem wystarczającym

 

– dodatniość drugich czystych 

pochodnych, tj.:

oraz dodatnio określony 

hesjan

, tj. 

H(a

0

,a

1

) > 0

, tj.



















n

1

t

t

e

ψ(a)

2

0

a

ψ(a)

0,

a

ψ(a)

1

0













0

a

ψ(a)

0,

a

ψ(a)

2

1

2

2

0

2













0

a

a

ψ(a)

a

a

ψ(a)

a

ψ(a)

a

ψ(a)

0

1

2

1

0

2

2

1

2

2

0

2





























26

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

Po wykonaniu różniczkowania funkcji 

(a)

 

względem

 

a

0

 

otrzymuje się:

stąd ostatecznie

Oznacza to, że 

suma reszt modelu jest równa zeru

.

0

)

x

a

a

(y

2

a

)

x

a

a

(y

a

ψ(a)

t

1

0

n

1

t

t

0

2

t

1

0

n

1

t

t

0





















































.

ˆ

0

e

y

y

x

a

a

y

n

1

t

t

n

1

t

t

t

n

1

t

t

1

0

t

























27

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

Po zróżniczkowaniu funkcji 

(a)

 

względem

 

a

1

 

otrzymuje się:

stąd ostatecznie

Oznacza to, że 

reszty modelu nie są skorelowane ze zmienną 

objaśniającą

.

0

)

x

a

a

(y

x

2

a

)

x

a

a

(y

a

ψ(a)

t

1

0

n

1

t

t

t

1

2

t

1

0

n

1

t

t

1





















































.

ˆ

0

e

x

y

y

x

x

a

a

y

x

n

1

t

t

t

n

1

t

t

t

t

n

1

t

t

1

0

t

t

























28

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

Warunkiem wystarczającym

 

istnienia minimum funkcji 

(a)

 

jest dodatnio określony hesjan tej funkcji postaci:

Jak łatwo zauważyć warunek istnienia minimum funkcji 

(a)

 

jest spełniony, bowiem hesjan

 

H(a

0

,a

1

) > 0

.

.













































n

1

t

2

j

i

n

1

t

2

t

n

1

t

t

n

1

t

t

2

1

2

0

1

2

1

0

2

2

0

2

1

0

)

x

(x

4

x

2

x

2

x

2

2n

a

ψ(a)

a

a

ψ(a)

a

a

ψ(a)

a

ψ(a)

)

,a

H(a

29

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

Minimum funkcji 

(a)

 

istnieje w punkcie, w którym 

są spełnione warunki konieczne istnienia ekstremum, tj. w 
punkcie, w którym pochodne cząstkowe funkcji 

(a)

 

po 

ocenach 

a

0

 

i 

a

1

 

parametrów strukturalnych 



0

 i 



1

 

przyjmują 

wartości równe zeru (0). Zatem punkt ten wyznacza 
następujący układ równań, nazywany

 

układem równań 

normalnych

:

 

Układ ten może być rozwiązany względem 

a

0

 

oraz 

a

1

 

za pomocą dowolnej znanej metody rozwiązywania układu 
równań algebraicznych. 













































0

)

x

a

a

(y

x

a

ψ(a)

0

)

x

a

a

(y

a

ψ(a)

t

1

0

n

1

t

t

t

1

t

1

0

n

1

t

t

0

30

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

Po rozwinięciu, układ równań normalnych przyjmuje postać:

Rozwiązując powyższy układ otrzymuje się następujące 
zależności do wyznaczania ocen 

a

0

 i 

a

1

 parametrów 

strukturalnych 



0

 

i 



1

 modelu:













































































1

0

n

1

t

t

n

1

t

t

t

1

n

1

t

t

0

n

1

t

t

a

a

x

y

x

    

          

a

x

na

y

n

1

t

2

t

x

x

a

y

a

1

0





2

n

1

t

t

t

n

1

t

t

n

1

t

2

2

t

n

1

t

t

t

1

)

x

(x

/

)

y

)(y

x

(x

x

n

x

/

y

x

n

y

x

a





































































31

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

Oszacowania (estymatory) parametrów strukturalnych 
modelu liniowego otrzymane za pomocą metody KMNK 
mają następujące własności:

•liniowość

 

– estymator jest sumą zmiennych losowych,

•nieobciążoność

 

– wartość oczekiwana estymatora jest 

równa wartości szacowanego parametru, tj. 

•efektywność 

– ma minimalną wariancję,

•zgodność

 

– estymator jest stochastycznie zbieżny do 

szacowanego parametru, tj.

0,1)

(i

,

α

)

E(a

i

i





.

1,

}

α

a

P{

lim

0,1)

(i

i

i

n















32

GK (WEiP(01) - 2011)

Estymacja modelu liniowego

KMNK – model z wieloma 

zmiennymi

 

Wszystkie dotychczasowe rozważania dotyczące 

modelu z jedną zmienną objaśniającą można łatwo rozszerzyć 
na przypadek liniowego modelu ekonometrycznego z 

wieloma

 

zmiennymi objaśniającymi

.

Postać analityczna (zapis macierzowy) takiego modelu 

jest następująca:

gdzie:

 

y 

- zmienna objaśniana (zmienna losowa),  

X

i

 

- zmienne 

objaśniające (zmienne nielosowe), 

α

i

 

- parametry strukturalne 

modelu (skalary), 



 

- składnik losowy (zmienna losowa).

Przyjmuje się, że powyższy model spełnia wszystkie 

założenia Gaussa-Markowa, umożliwiające zastosowanie 
KMNK do estymacji jego parametrów strukturalnych.





















X

ε

X

α

X

α

X

α

α

y

k

k

2

2

1

1

0

...

33

GK (WEiP(01) - 2011)

Kryterium

 

KMNK 

dla modelu z wieloma zmiennymi 

objaśniającymi jest takie samo jak dla modelu z jedną 
zmienna objaśniającą:

Warunkiem koniecznym

 

istnienia minimum funkcji 

(a)

 

jest:

a 

warunkiem wystarczającym

 

- dodatnia określoność 

hesjanu 

H(a

0

,a

1

)

 

tej funkcji.

0

a

ψ(a)

,

0,

a

ψ(a)

0,

a

ψ(a)

k

1

0



















...

 





min

n

1

t

2

t

t

n

1

t

2

t

yˆ

y

e

a

a

ψ

















34

GK (WEiP(01) - 2011)

KMNK – model z wieloma 

zmiennymi

Stąd układ równań normalnych przyjmuje postać:

 a hesjan:

k)

,

...

0,1,2,

(i

...

...





























































0,

)

x

a

x

a

x

a

a

(y

x

2

a

)

x

a

x

a

x

a

a

(y

a

ψ(a)

tk

k

t2

2

t1

1

0

n

1

t

t

ti

i

2

tk

k

t2

2

t1

1

0

n

1

t

t

i

.

...

...

...

...

...

...

...

...

2

k

2

1

k

2

0

k

2

k

0

2

2

1

2

0

1

2

k

0

2

1

0

2

2

0

2

k

1

0

a

ψ(a)

a

a

ψ(a)

a

a

ψ(a)

a

a

ψ(a)

a

ψ(a)

a

a

ψ(a)

a

a

ψ(a)

a

a

ψ(a)

a

ψ(a)

)

,a

,

,a

H(a



















































35

GK (WEiP(01) - 2011)

KMNK – model z wieloma 

zmiennymi

W praktyce wygodniej jest posługiwać się zapisem 
macierzowym modelu ekonometrycznego, tj.:

oraz

W zapisie macierzowym wektor reszt modelu wyrazi się 
zależnością:

Zatem w celu uzyskania oceny parametrów strukturalnych, 
zgodnie z ideą KMNK minimalizacji będzie podlegać funkcja 
postaci:







X

y

.

e

Xa

y





.

Xa

y

e





min

e

e

ψ(a)

a

T





36

GK (WEiP(01) - 2011)

KMNK – model z wieloma 

zmiennymi

W zapisie wektorowym 

warunek konieczny

 

(układ równań 

normalnych) istnienia minimum funkcji

 

(a)

 

przyjmie 

postać:

Stąd otrzymuje się równanie

po rozwiązaniu, którego uzyskuje się następujący wektor 
oszacowań parametrów strukturalnych modelu:

.

y

X

X)

(X

a

T

1

T







 















.

0

Xa

2X

y

2X

Xa

X

a

y

X

2a

y

y

a

Xa

X

a

y

X

a

Xa

y

y

y

a

Xa

y

Xa

y

a

a

e

e

a

ψ(a)

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T





















































y

X

Xa

X

T

T



37

GK (WEiP(01) - 2011)

KMNK – model z wieloma 

zmiennymi

Analizując zależność 

warto zwrócić uwagę na to, że występująca w niej macierz 

 tzw. macierz momentów może być przedstawiona w postaci:

y

X

X)

(X

a

T

1

T





X

X

T

.

...

...

...

...

...

...

...

...

...



















































































































n

1

t

2

kt

n

1

t

2t

kt

n

1

t

1t

kt

n

1

t

kt

n

1

t

kt

2t

n

1

t

2

2t

n

1

t

1t

2t

n

1

t

2t

n

1

t

kt

1t

n

1

t

2t

1t

n

1

t

2

1t

n

1

t

1t

n

1

t

kt

n

1

t

2t

n

1

t

1t

T

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n

X

X

38

GK (WEiP(01) - 2011)

KMNK – model z wieloma 

zmiennymi

Na podstawie uzyskanych oszacowań parametrów 
strukturalnych modelu i danych empirycznych wyznacza 
się:

•oszacowanie wariancji składnika losowego (wariancja 
reszt)

•oszacowanie macierzy wariancji i kowariancji ocen 
parametrów strukturalnych modelu

•standardowe błędy oszacowania parametrów 
strukturalnych modelu

gdzie 

d

ii

, (i=0,1,…,k) 

jest elementem z głównej przekątnej  

macierzy 

D

2

(a)

,

•przedziały ufności dla oszacowań parametrów 
strukturalnych modelu

1

k

n

e

1

k

n

e

e

S

n

1

t

2

t

T

2

e

















.

X)

(X

S

(a)

D

1

T

2

e

2





39

GK (WEiP(01) - 2011)

KMNK – model z wieloma 

zmiennymi

ii

i

d

)

S(a 





.

...,k)

0,1,2,

(i

,

γ

1

)

S(a

t

a

α

)

S(a

t

a

P

i

1)

(k

γ,n

i

i

i

1)

(k

γ,n

i























Należy mieć na względzie to, że 

średni 

błąd oszacowania każdego parametru 
strukturalnego 

modelu zależy zarówno od 

siły

 

wewnętrznej korelacji 

zmiennej 

objaśniającej związanej z parametrem 
strukturalnym z pozostałymi zmiennymi 
objaśniającymi, jak i od siły

 

korelacji 

zewnętrznej

, tj. między zmienną objaśnianą, 

a wszystkimi zmiennymi objaśniającymi.

  

40

GK (WEiP(01) - 2011)

KMNK – model z wieloma 

zmiennymi

Własności wektora 

a

 oszacowań parametrów 

strukturalnych modelu liniowego wyznaczonego metodą 
KMNK:









y

n

0

y

n

e

y

n

e

y

n

y

y

y

aX

y

y

0

e

X

a

e

(Xa)

e

y

0

Xa

X

y

X

Xa)

(y

X

e

X

0

y

1

y

1

e

1

,1

1,1,

1

Xa

y

e,

Xa

y

n

1

t

t

n

1

t

t

n

1

t

t

n

1

t

t

t

n

1

t

t

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

...

ˆ





































































41

GK (WEiP(01) - 2011)

KMNK – model z wieloma 

zmiennymi

KMNK może być stosowana w przypadkach, gdy spełnione są 
następujące założenia (Gaussa-Markowa):

Założenie 1.

 Model jest niezmienniczy ze względu na 

obserwacje

Założenie 2.

 

Model jest liniowy względem parametrów 

strukturalnych lub jest sprowadzalny do takiej postaci:

Założenie 3.

 Relacje występujące między zmiennymi w modelu 

są stabilne.

Założenie 4.

 Zmienne objaśniające są nielosowe.

n)

1,...,

(t

...

...

y

t









),

,ε

,x

,

,x

f(x

)

,ε

,x

,

,x

(x

f

t

kt

2t

1t

t

kt

2t

1t

t

ε

Xα

ε

X

α

X

α

X

α

α

y

k

k

2

2

1

1

0

















...

42

GK (WEiP(01) - 2011)

KMNK – założenia

Założenie 5. 

Elementy macierzy 

X

 

(wartości zmiennych 

objaśniających) są nielosowe i są ustalone w powtarzalnych 
próbach – 

warunek identyfikacji

. Przyjęcie tego założenia 

powoduje, że rozkład zmiennej objaśnianej nie jest 
rozkładem warunkowym względem zmiennych 
objaśniających, tzn. spełnione są:

Założenie 6.

 

Zmienne objaśniające są wolne od 

współliniowości, tzn., że żadna ze zmiennych objaśniających 
nie może być kombinacją liniową pozostałych. Formalnie 
oznacza to, iż macierz wartości zmiennych objaśniających 

X

 

ma pełny rząd kolumnowy, tj.: 

r(X) = k+1

 (w konsekwencji 

także 

r(X

T

X) = k+1

).

Założenie 7.

 

Liczba obserwacji (danych empirycznych) musi 

spełniać nierówność: 

n > k+1

.

.

...

,

...

)

(y

D

)

,x

,

,x

|x

(y

D

)

E(y

)

,x

,

,x

|x

E(y

t

2

kt

2t

1t

t

2

t

kt

2t

1t

t





43

GK (WEiP(01) - 2011)

KMNK – założenia

Założenie 8.

 

Składnik losowy 



 

ma

 n-wymiarowy

 

rozkład 

normalny:

Założenie 9

. Występujące zakłócenia, które reprezentuje 

składnik losowy mają tendencję do wzajemnej redukcji, co 
oznacza, że wartość oczekiwana tego składnika jest równa 
zeru: 

Założenie 10

. 

Składnik losowy jest sferyczny, co oznacza, że:

a. nie występuje 

autokorelacja

 

składnika losowego

:

b. składnik losowy jest 

homoskedastyczny

, (ma skończoną i 

stałą w czasie wariancję):

   





.

:

ε

,D

ε

E

N

2



 

.

0

ε

E



,

0

τ

0,

)

,ε

Cov(ε

τ

t

t







 

.

I

σ

ε

D

2

2



44

GK (WEiP(01) - 2011)

KMNK – założenia