Analiza obwodów
liniowych
pobudzanych
okresowymi
przebiegami
niesinusoidalnymi
Analiza obwodów
liniowych
pobudzanych
okresowymi
przebiegami
niesinusoidalnymi
• Zajmujemy się analizą obwodów liniowych w
stanie ustalonym przy wymuszeniach
okresowych, niesinusoidalnych
• Odpowiedzi takich obwodów są również
okresowymi funkcjami niesinusoidalnymi
• Obwody pobudzane wymuszeniami
sinusoidalnymi o jednakowej pulsacji są
szczególnym przypadkiem rozważanych
obwodów
• Okresowe przebiegi niesinusoidalne są
nazywane odkształconymi
Zgodnie z twierdzeniem Fouriera
funkcję okresową f(t) o okresie T można
przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze
składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o
częstotliwościach kf, jeżeli funkcja ta spełnia
warunki Dirichleta:
1) w każdym przedziale o długości T funkcja
f(t) jest bezwględnie całkowana, czyli
2) w każdym przedziale o długości T funkcja
f(t) ma co najwyżej skończoną liczbę maksimów i
minimów,
3) funkcja f(t) może mieć w przedziale o
długości T co najwyżej skończoną liczbę
punktów nieciągłości, przy czym w każdym
punkcie nieciągłości istnieją granice –
lewostronna i prawostronna.
T
t
t
f
d
k
k
m
t
k
A
A
t
f
k
0
1
0
sin
)
(
T
2
0
harmoniczna zerowa (wartość
stała ):
pierwsza ( podstawowa )
harmoniczna:
gdzie:
2
0
0
C
A
1
0
1
sin
t
A
m
sin
cos
cos
sin
sin
0
0
0
t
k
A
t
k
A
t
k
A
k
m
k
m
k
m
k
k
k
k
sin
k
m
k
A
C
k
m
k
k
A
B
cos
t
k
B
t
k
C
t
k
A
k
k
k
m
k
0
0
0
sin
cos
sin
1
0
0
0
cos
sin
2
k
k
k
t
k
C
t
k
B
C
t
f
2
2
k
k
m
C
B
A
k
k
k
k
B
C
tg
arc
Funkcje przemienne:
Są to funkcje, których wartość średnia za okres
równa się zeru
0
d
0
t
t
f
T
T
C
t
t
f
T
2
d
0
0
0
0
C
t
T
0
f (t)
Funkcje parzyste:
Są to funkcje symetryczne względem osi
rzędnych
)
(
)
(
t
f
t
f
0
t
sinkω
B
k
2,
1,
0
k
B
k
2
T
2
T
0
f (t)
t
Funkcje nieparzyste:
Są to funkcje symetryczne względem początku układu
współrzędnych
)
(
)
(
t
f
t
f
0
ω
t
k
sin
C
k
0
/2
C
0
2,
1,
0
k
C
k
t
T
f (t)
2
T
0
-T
2
T
Funkcje antysymetryczne (o
odwrotnej zgodności półokresów):
Są to funkcje spełniające warunek:
)
(
2
t
f
T
t
f
0
/2
C
0
0
t
ω
k
sin2
B
2k
0
t
ω
k
2
cos
C
2k
0
0
C
0
2
k
B
2,
1,
0
2
k
C
k
t
T
f
(
t
)
2
T
0
Obliczanie współczynników szeregu
Fouriera
T
C
t
t
f
T
2
d
0
0
T
t
t
f
T
C
0
0
d
)
(
2
.
d
)
(
1
2
0
0
0
T
t
t
f
T
C
A
Zależności ułatwiające wyprowadzenie wzorów
na współczynniki C
k
oraz B
k
( k =1,2,... )
,
k
m
T
k
m
t
t
kω
t
mω
T
t
t
dla
2
≠
dla
0
∫
d
sin
sin
0
0
0
0
,
dla
2
≠
dla
0
d
∫
cos
cos
0
0
0
0
k
m
T
k
m
t
t
k
t
m
T
t
t
T
t
t
t
t
k
t
m
0
0
0
d
cos
sin
0
0
Korzystając ze wzorów oznaczonych gwiazdami
oraz ze wzoru:
otrzymujemy:
1
0
0
0
cos
sin
2
k
k
k
t
k
C
t
k
B
C
t
f
2
d
cos
d
cos
)
(
0
0
0
0
0
2
0
T
C
t
t
k
C
t
t
k
t
f
T
t
t
k
k
T
t
t
t
t
k
t
f
T
C
T
t
t
k
d
cos
2
0
0
0
2
=
∫
d
ω
sin
=
d
∫
ω
sin
)
(
+
0
2
+
0
0
0
0
0
T
B
t
t
k
B
t
t
k
t
f
k
T
t
t
k
T
t
t
t
t
k
t
f
T
B
T
t
t
k
d
∫
ω
sin
)
(
2
=
+
0
0
0
Funkcje parzyste
zachodzi relacja:
uwzględniając ją we wzorze na C
k
oraz
przyjmując:
otrzymujemy:
k=1, 2, ...
Funkcje nieparzyste
zachodzi relacja:
uwzględniając ją we wzorze na B
k
oraz
przyjmując:
otrzymujemy:
)
(
)cos
(
)cos
(
0
0
t
k
t
f
t
k
t
f
t
t
k
t
f
T
C
T
k
d
cos
)
(
4
0
2
0
2
0
T
t
2
0
T
t
....
2,
1,
d
sin
)
(
4
0
2
0
k
t
t
k
t
f
T
B
T
k
)
(
)sin
(
sin
)
(
0
0
t
k
t
f
t
k
t
f
Funkcje antysymetryczne
zachodzą relacje:
oraz
gdzie k jest nieparzyste
Podstawiając we wzorze na C
k
: t
0
= 0
otrzymujemy:
k = 1, 3,
5, ...
Postępując analogicznie ze wzorem na B
k
otrzymujemy:
k = 1, 3,
5, ...
2
cos
2
)cos
(
0
0
T
t
k
T
t
f
t
k
t
f
2
sin
2
)sin
(
0
0
T
t
k
T
t
f
t
k
t
f
,
dt
t
k
t
f
T
C
T
k
0
0
cos
)
(
2
d
cos
)
(
4
0
2
0
t
t
k
t
f
T
C
T
k
t
t
k
t
f
T
B
T
k
d
sin
)
(
4
2
0
0
Funkcje parzyste i antysymetryczne
zachodzi relacja:
uwzględniając wyżej przedstawioną zależność
we wzorze na C
k
dla funkcji antysymetrycznych
otrzymujemy:
k = 1, 3,
5, ...
.
cos
)
(
)cos
(
2
cos
2
2
2
cos
2
0
0
0
0
0
t
k
t
f
k
t
k
t
f
t
k
T
k
t
T
T
f
t
T
k
t
T
f
t
t
k
t
f
T
C
T
k
d
cos
)
(
8
4
0
0
Funkcje nieparzyste i
antysymetryczne
Zachodzi relacja analogiczna jak dla funkcji
parzystych i antysymetrycznych. Uwzględniając
tę zależność we wzorze na B
k
dla funkcji
antysymetrycznych otrzymujemy:
k = 1, 3,
5, ...
t
t
k
t
f
T
B
T
k
d
∫
ω
sin
)
(
8
=
4
0
0
Przykład
Rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji
trapezowej
Funkcja jest nieparzysta i
antysymetryczna, więc:
f (t)
A
0
__
T
2
(
- )
__
T
2
T
-A
0,
C
k
0
2
k
B
,
,
k
2
1
4
0
0
d
sin
)
(
8
T
k
t
t
k
t
f
T
B
Równanie funkcji w przedziale jest
następujące:
Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera jest
następujące:
t
f
4
0
T
,
4
0
)
(
T
t
A
t
t
A
t
f
0
2
0
0
4
0
0
sin
4
d
sin
d
sin
8
k
k
A
t
t
k
A
t
t
k
t
A
T
B
T
k
0
4
)
(
A
t
f
,...
,
k
k
t
k
k
3
1
2
0
0
sin
sin
Jeżeli , to otrzymujemy krzywą trójkątną i
na podstawie wyznaczonego powyżej wzoru
znajdujemy:
4
T
...
t
t
t
A
t
f
0
0
0
2
5
sin
25
1
3
sin
9
1
sin
8
)
(
f
(t)
A
0
_
_
T
4
_
_
T
2
T
t
-A
Jeżeli , to otrzymujemy krzywą
prostokątną i na podstawie wyznaczonego
powyżej wzoru znajdujemy:
0
k
A
k
k
k
A
B
k
4
sin
4
lim
0
0
0
...
t
t
t
A
t
f
0
0
0
5
sin
5
1
3
sin
3
1
sin
4
)
(
f (t)
0
-A
A
__
T
2
T
t
Wykładnicza postać szeregu
Fouriera
Weźmiemy pod uwagę szereg Fouriera funkcji
w postaci
Przyjmujemy oznaczenie:
t
f
1
0
0
0
cos
sin
2
)
(
k
k
k
t
k
C
t
k
B
C
t
f
.
e
e
2
1
cos
,
e
e
j
2
1
sin
0
0
0
0
j
j
0
j
j
0
t
k
t
k
t
k
t
k
t
k
t
k
1
j
j
0
0
0
e
2
j
e
2
j
2
)
(
k
t
k
k
k
t
k
k
k
B
C
B
C
C
t
f
0,1,2...
2
j
k
B
C
V
k
k
k
Badamy wyrażenie:
Wykres , określony dla dyskretnych wartości
, to widmo amplitudowe funkcji f(t). Ponieważ
, to widmo amplitudowe jest symetryczne względem
osi rzędnych. Wykres
, to widmo fazowe. Jest ono
symetryczne
względem
początku
układu
współrzędnych.
2
j
k
k
k
B
C
V
k
k
C
C
k
k
B
B
*
k
k
k
k
V
B
C
V
2
j
t
k
k
k
t
k
k
k
V
V
V
t
f
0
0
j
1
j
1
0
e
e
)
(
t
k
k
k
V
t
f
0
j
e
)
(
k
V
,...
,
,
k
2
1
0
k
k
V
V
k
k
V
V
arg
arg
t
)
t
(
f
T
V
T
t
t
t
k
k
d
e
1
0
0
0
j
Przykład
Jako przykład rozpatrujemy wyprostowaną
sinusoidę
Jejrównanie w przedziale jest
następujące:
Funkcja jest parzysta, stąd: oraz:
,
0
,
2
1
sin
)
(
0
T
t
t
A
t
f
T
,
0
0
k
B
t
t
k
t
f
T
C
T
k
d
cos
)
(
4
2
0
0
.
1
2
1
2
cos
2
1
1
1
2
1
2
cos
2
1
1
2
d
cos
2
1
sin
4
0
0
2
0
k
k
k
k
A
t
t
k
t
T
A
C
T
k
2
k
k
C
V
A
V
2
0
...
A
,
A
,
A
V
35
2
V
15
2
V
3
2
3
2
1
Stąd otrzymujemy:
f(t)
t
2T
3T
T
0
A
V
k
-3
-2
-1
0
1
2
3
k
2A
3
2A
15
2A
2A