„Są plusy dodatnie i plusy
ujemne.”
Lech Wałęsa
„Są plusy dodatnie i plusy
ujemne.”
Lech Wałęsa
Działania na liczbach
wymiernych.
Dodawanie,
odejmowanie,
mnożenie
i
dzielenie liczb to podstawowe umiejętności
bez których nie da się poznać głębiej
matematyki. Rachunki na liczbach oparte są
na kilku prostych zasadach, które poznaje się
już w szkole podstawowej. W tej lekcji
przypomnimy te zasady i pokażemy jak je
stosować
w
działaniach
na
liczbach
wymiernych – czyli wszystkich dodatnich i
ujemnych, które da się dokładnie zmierzyć i
zaznaczyć na osi liczbowej.
DEFINICJA LICZBY
WYMIERNEJ.
Liczby wymierne to takie, które można
przedstawić w postaci ilorazu liczb
całkowitych, innymi słowy są to liczby, które
można przedstawić w postaci ułamka
zwykłego:
gdzie m i n są liczbami całkowitymi i m ≠ 0.
PRZYKŁADY LICZB WYMIERNYCH:
KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA
DZIAŁAŃ.
Działania na liczbach wykonujemy w
następującej kolejności:
1.Działania w nawiasach (zaczynamy od
„najmniejszych” czyli (…) ).
2.Potęgowanie i pierwiastkowanie.
3.Mnożenie i dzielenie.
4.Dodawanie i odejmowanie.
W podpunkcie 3 i 4 działania wykonujemy
według kolejności występowania od lewej
do prawej.
PRZYKŁAD:
2 + 2 · 2 = 2 + 4 = 6
najpierw mnożenie,
potem dodawanie
DODAWANIE I ODEJMOWANIE
LICZB WYMIERNYCH
DODATNICH.
•Dodając lub odejmując ułamki zwykłe należy
sprowadzić je do wspólnego mianownika.
•Wspólny mianownik powinien być najmniejszą
wspólną wielokrotnością mianowników dodawanych
ułamków (najmniejszą liczbą podzielną przez
wszystkie mianowniki dodawanych ułamków).
•Dodając liczby mieszane możemy osobno
dodawać całości i osobno ułamki.
•Przy odejmowaniu liczb mieszanych, gdy
odejmowany ułamek jest większy niż ten od
którego odejmujemy, możemy „pożyczyć” 1 z
całości.
PRZYKŁADY.
Wspólny mianownik: 12. Pierwszy
ułamek rozszerzamy przez 3, a
drugi przez 4.
Wspólny mianownik:
14. Osobno
dodajemy całości i
osobno ułamki.
Wspólny mianownik: 6.
„Pożyczamy” 1 z 3 i dodajemy do ułamka. 1
zapisane w postaci ułamka o mianowniku 24
to
24
24
„EKSPRESOWY” SPOSÓB
NA WSPÓLNY MIANOWNIK.
Poniższe przykłady pokazują uniwersalny
sposób
na
znalezienie
wspólnego
mianownika.
Wystarczy „górę” i „dół” pierwszego ułamka
pomnożyć przez „dół” drugiego i na odwrót.
DODAWANIE I
ODEJMOWANIE LICZB
WYMIERNYCH DODATNICH.
•Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków
dziesiętnych możemy działania wykonywać
pisemnie
pamiętając
o
podpisywaniu
ułamków „przecinek pod przecinkiem”.
•Kiedy w jednym wyrażeniu występują
liczby zapisane w postaci ułamków zwykłych
i dziesiętnych przed obliczeniem zapisujemy
je w jednej postaci (ułamków zwykłych lub
dziesiętnych).
PRZYKŁADY.
346,23 + 21,487 = 357,717
Obliczenia wykonujemy pisemnie
pamiętając o zasadzie „przecinek pod
przecinkiem”.
MNOŻENIE I DZIELENIE
LICZB WYMIERNYCH
DODATNICH.
•Mnożąc ułamki zwykłe mnożymy licznik
przez licznik i mianownik przez mianownik
(„góra” razy „góra”, „dół” razy „dół”).
•Zanim pomnożymy lub podzielimy
ułamki zapisane w postaci liczb mieszanych,
należy zapisać je jako ułamki niewłaściwe.
•Skracać ułamki można tylko przy
mnożeniu.
•Dzielenie ułamków zwykłych
zamieniamy na mnożenie przez odwrotność.
PRZYKŁADY.
Licznik razy licznik, mianownik razy
mianownik.
Liczby
mieszane
zamieniamy
na ułamki
niewłaściwe.
Przy mnożeniu możemy skracać ułamki po przekątnej.
Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez
odwrotność.
MNOŻENIE I DZIELENIE
LICZB WYMIERNYCH
DODATNICH.
•Ułamki dziesiętne możemy mnożyć
pisemnie, pamiętając, że w wyniku należy
odciąć tyle miejsc po przecinku ile miały
wszystkie czynniki.
•Dzieląc ułamki dziesiętne pamiętajmy,
żeby doprowadzić je do takiej postaci, aby
dzielnik nie był ułamkiem.
•Gdy w wyrażeniu występują ułamki
dziesiętne i zwykłe, zapisujemy wszystkie w
jednej postaci i dopiero wykonujemy działania.
PRZYKŁADY.
2,25 ∙ 1,2 = 2,7
1,26 : 0,003 =
Aby dzielnik był liczbą całkowitą i dzielną i
dzielnik pomnóżmy przez 1000:
1260 : 3 = 420
PRZYKŁADY.
5,17 : 4,7
Aby dzielnik był liczbą całkowitą i dzielną i
dzielnik pomnóżmy przez 10:
51,7 : 47
DODAWANIE I ODEJMOWANIE
LICZB WYMIERNYCH.
Dla przypomnienia kilka prostych przykładów
działań na liczbach całkowitych dodatnich i
ujemnych:
2 + (-3) = 2 – 3 = -1
-3 + 5 = 2
-4 + (-7) = -11
-5 – (-12) = -5 + 12 = 7
(-2) · 4 = -8
(-3) · (-7) = 21
(-15) : (-3) = 5
Dodając liczby o przeciwnych znakach od
większej odejmujemy mniejszą i zapisujemy
znak, który stał przy większej.
Suma liczb ujemnych jest liczbą
ujemną.
Po opuszczeniu nawiasu odejmowanie
zamienia się na dodawanie.
Mnożenie lub dzielenie liczb o przeciwnych
znakach daje liczbę ujemną.
Mnożenie lub dzielenie liczb o jednakowych
znakach daje liczbę dodatnią.
DODAWANIE I ODEJMOWANIE
LICZB WYMIERNYCH.
Dodając lub odejmując liczby wymierne
należy postępować według następujących
zasad:
Aby dodać dwie liczby o różnych znakach
należy:
zapisać znak stojący przy większej
liczbie
od większej liczby odjąć mniejszą
(działając tak, jakby obie były dodatnie)
Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą
ujemną.
Odejmowanie liczb ujemnych można
zamienić na dodawanie po przez
opuszczenie lub wstawienie nawiasu.
PRZYKŁADY.
Dodając lub odejmując liczby wymierne
należy postępować według następujących
zasad:
Suma liczb
ujemnych jest
liczbą ujemną.
Dodając liczby o
przeciwnych
znakach od większej
odejmujemy
mniejszą i
zapisujemy znak,
który stał przy
większej.
PRZYKŁADY.
Odejmowanie liczb ujemnych można zamienić na dodawanie
po przez opuszczenie lub wstawienie nawiasu.
MNOŻENIE I DZIELENIE LICZB
WYMIERNYCH.
W przypadku mnożenia i dzielenia liczb
wymiernych określanie znaku jest bardzo
proste:
Iloczyn/iloraz dwóch liczb o tych
samych znakach jest liczbą dodatnią.
„-” · „-” → „+”
„+” · „+” → „+”
„-” : „-” → „+”
„+” : „+” → „+”
Iloczyn/iloraz dwóch liczb o
przeciwnych znakach jest liczbą ujemną
„-” ·„+” →„-”
„+” · „-” →„-”
„-” : „+” →„-”
„+” : „-” →„-”
PRZYKŁADY.
„+” · „-”
→„-”
„-” · „-” → „+”
„-” : „-” → „+”
2,5 : (-0,25) = -(250 : 25) = -10
„+” : „-” →„-”