1

Badanie 
współzależności 
zjawisk

KORELACJA I REGRESJA 
LINIOWA

2

Wstęp



Prezentowane dotychczas metody statystyczne dotyczyły 
analizy struktury zbiorowości i opierały się na 
obserwacjach jednej zmiennej (cechy). Tymczasem 
jednostki tworzące zbiorowość charakteryzowane są 
zazwyczaj za pomocą więcej niż jednej cechy. Cechy te nie 
są od siebie odizolowane, ale wzajemnie się warunkują. 
Zachodzi zatem potrzeba ich łącznego badania. Celem 
tego rodzaju analizy jest stwierdzenie, czy między 
badanymi zmiennymi zachodzą jakieś zależności, jaka jest 
ich siła, kształt i kierunek. Dział statystyki zajmujący się 
badaniem związków między kilkoma zmiennymi nosi 
nazwę teorii współzależności.

3

Rodzaje zależności



Zależność funkcyjna (deterministyczna) – występuje, 

gdy ściśle określonej wartości jednej zmiennej (tzw. 

zmiennej niezależnej) odpowiada ściśle określona i 

zawsze ta sama wartość drugiej zmiennej (tzw. 

zmiennej zależnej).



Zależność korelacyjna – występuje, gdy ściśle 

określonej wartości zmiennej niezależnej odpowiada 

przybliżona wartość zmiennej zależnej.
Zależność korelacyjna jest szczególnym przypadkiem 

zależności stochastycznej tj. takiej, że z  każdą 

wartością zmiennej niezależnej związana jest 

populacja wartości zmiennej zależnej o określonym 

rozkładzie prawdopodobieństwa.

4

Rodzaje zależności 
korelacyjnych



Ze względu na liczbę zmiennych:

-  proste - jedna zmienna zależna i jedna zmienna 

niezależna,

-

złożone – jedna (wiele) zmiennych zależnych i 

wiele (jedna) zmienna niezależna.



Ze względu na postać zależności:

-

zależność liniowa,

-

zależność krzywoliniowa.

W dalszej części wykładu ograniczymy się do 

interpretacji prostej zależności liniowej.

5

Metody oceny istnienia 
zależności

1.

Ocena kształtu rozkładu punktowego wykresu 
korelacyjnego.

2.

Ocena wartości współczynnika korelacji.

3.

Wyliczenie równania prostej regresji i ocena 
współczynnika kierunkowego prostej.

4.

Analiza wariancji w regresji.

6

Punktowy wykres 
korelacyjny

7

Ocena siły zależności na 
wykresie

8

Współczynnik korelacji 
liniowej 









 



 

 









 

zmiennych

 tych 

e

standardow

 

odchylenia

 

- 

y,

 i

x 

zmiennych 

 

a

kowariancj

 

- 

,

cov

:

,

cov

var

var

,

cov

2

2

2

2

2

2

,

y

x

i

i

i

i

i

i

i

i

y

x

i

i

i

i

y

x

s

s

y

x

gdzie

y

y

n

x

x

n

y

x

y

x

n

s

s

y

x

y

x

y

x

y

y

x

x

y

y

x

x

r













































9

Współczynnik korelacji - 
interpretacja

Dla oceny korelacji linowej posługujemy się 

współczynnikiem korelacji Pearsona „r”. Jego 

wartość waha się w zakresie <-1;1> Wartość „0” 

wskazuje na brak istnienia zależności. W miarę 

wzrostu wartości bezwzględnej zależność wzrasta. 

Znak przed współczynnikiem określa kierunek 

zależności. W przypadku „-” oznacza to, że wraz ze 

wzrostem wartości zmiennej niezależnej – wartość 

zmiennej zależnej maleje. W przypadku „+” – wraz 

ze wzrostem wartości zmiennej niezależnej, 

wartość zmiennej zależnej także wzrasta.

10

Ocena siły współczynnika 
korelacji

Przy ocenie siły związku zwykle stosuje się 

następującą skalę:

-

r = 0 – brak korelacji,

-

0 < r < 0,1 – korelacja nikła,

-

0,1 < r < 0,3 – korelacja słaba,

-

0,3 < r < 0,5 – korelacja przeciętna,

-

0,5 < r < 0,7 – korelacja wysoka,

-

0,7 < r < 0,9 – korelacja bardzo wysoka,

-

0,9 < r < 1 – korelacja prawie pełna

11

Ocena istotności 
współczynnika korelacji



Do oceny istotności współczynnika korelacji można 

posłużyć się tablicami istotności. Po wyliczeniu 

wartości współczynnika korelacji (na podstawie 

pobranej próby), który określimy jako empiryczny 

(r

emp

) jego wartość porównujemy z wartością 

krytyczną odczytaną z tablic dla określonego przez 

nas poziomu istotności  liczby zmiennych 

porównywanych k (dla korelacji prostej k=2) i liczby 

stopni swobody  = n - k. W przypadku, gdy wartość 

empiryczna jest większa od krytycznej dla 0,05 

– korelacja jest istotna (a dla  = 0,01 – wysoce 

istotna)

12

Współczynnik determinacji



Współczynnik determinacji „d” określa w jakim 
stopniu zmiany zmiennej zależnej spowodowane 
są zmianami zmiennej niezależnej, a w jakim 
innymi zmiennymi, których nie badaliśmy. 
Wyrażany jest w przedziale od <0;1> lub po 
przemnożeniu przez 100 w „%”

d = r

2

13

Równanie regresji liniowej i 
ocena jego współczynników



Ogólna postać prostej regresji dana jest wzorem:

ŷ = a + bx

gdzie:
ŷ – szacowana wartość zmiennej zależnej,
a – wyraz wolny równania, decydujący na wykresie 

o miejscu przecięcia prostej z osią OY,

b – współczynnik kierunkowy prostej, który w 

interpretacji na wykresie określa kąt pomiędzy 

osią OX, a prostą regresji

14

Wyliczenie i interpretacja 
współczynnika regresji b



Współczynnik ten określa, o ile zmieni się 
wartość zmiennej zależnej, jeśli wartość zmiennej 
niezależnej zmieni się o jednostkę

 

x

xy

b

var

cov



15

Odchylenie standardowe regresji 

(błąd standardowy estymacji) s

y/x



Mówi o przeciętnym odchyleniu punktów

 od prostej regresji

)

2

(

 

var

)

 

(cov

var

2

)

(

2

2

^

/















n

n

x

xy

 y

n

y

y

s

i

i

x

y

16

Błąd standardowy

 współczynnika regresji s

b

x

s

n

s

x

y

b

 

var

2

/





jest miarą błędu oszacowania współczynnika b

17

Wyliczenie równania prostej 
regresji

Mając wyliczony współczynnik kierunkowy prostej b,
łatwo jest określić pełne równanie prostej regresji:

Po wyliczeniu wartości współrzędnych dwóch punktów
można wykreślić prostą regresji.

 

x

x

b

y

y







ˆ

18

Ocena istotności 
współczynników równania 
regresji liniowej



Stosując test t-Studenta można ocenić niezależnie 
istotność współczynnika kierunkowego prostej i wyrazu 
wolnego równania wg wzorów,

(gdzie s

b

 i s

a

 – błędy standardowe odpowiednich współczynników)

porównując te wartości z wartościami z tablic dla danego
poziomu istotności i liczby stopni swobody n-2.

a

emp

b

emp

s

a

t

s

b

t





 

;

19

Ocena istotności 
współczynników równania 
regresji - interpretacja

Hipoteza zerowa zakłada, że dany współczynnik  równa 

się zero, hipoteza alternatywna – że jest różny od 
zera.

H

0 

: b = 0

 H

0 

: a = 0

H

1 

: b ≠ 0

 H

1 

: a ≠ 0

W sytuacji, gdy współczynnik regresji nie różni się 

istotnie od zera oznacza to, że brak jest istotnej 
zależności między zmiennymi. Ocena istotności 
wyrazu wolnego ma jedynie znaczenie pomocnicze.

20

Analiza wariancji w regresji



Analiza wariancji w regresji jest jedną z metod 

oceny istotności zależności między zmiennymi. 

Dzieli ona wariancję próby na dwa rodzaje:

-

wynikającą z istnienia zależności, która powoduje 

że wartości zmiennej zależnej odchylają się od 

wartości średniej,

-

wynikającą z istnienia zmienności błędu, do 

którego zaliczamy wszystkie czynniki, których nie 

jesteśmy w stanie skontrolować, a które to 

odchylają wyniki od ich wartości teoretycznej 

wyliczonej na podstawie równania.

21

Analiza wariancji w regresji – ilustracja 
zasady na wykresie

 

zmienność
ogólna

zmienność 
wyjaśniona regresją

zmienno
ść
losowa 
(błąd)

S

2 

= S

2

E

+S

2

R



y

^

y

i

y

X

i

22

Obszar ufności i krzywe 
ufności

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

W ie k   -   x

1 1 0

1 2 0

1 3 0

1 4 0

1 5 0

1 6 0

1 7 0

1 8 0

W

zro

st 

- y

y   =  8 8 ,7  +  4 ,3 0 x

n   =   1 5 ;
r   =   0 , 9 9 7 ;
p   =   0 , 0 0 0 0 ;

23

Przykła
d

W celu określenia zależności 

między zawartością tłuszczu (%) w 
mleku a mlecznością [l/dobę] badano 
obie cechy 
u dziewięciu krów (n = 9) i uzyskano 
następujące wyniki:

24



x

Mleczność

[l/doba]

x

Tłuszcz 

(%)

y

x

2

y

2

xy

27

3,8

729

14,44

102,6

20

3,9

400

15,21

78

15

4,2

225

17,64

63

15

4,5

225

20,25

67,5

21

4,1

441

16,81

86,1

24

3,9

576

15,21

93,6

18

3,8

324

14,44

68,4

26

3,6

676

12,96

93,6

13

4,1

169

16,81

53,3

179

35,9

3765

143,77

706,1

19,9

3,99

25

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

2 2

2 4

2 6

2 8

  M le c z n o ś ć   [l/ d o b a ]

3 , 5

3 , 6

3 , 7

3 , 8

3 , 9

4 , 0

4 , 1

4 , 2

4 , 3

4 , 4

4 , 5

4 , 6

Z

aw

ar

to

ść

 tłu

sz

cz

u [

%

]

PUNKTOWY WYKRES KORELACYJNY

26

 

 

05

,

0

7

2

9

;

05

,

0

;

05

,

0

2

2

2

2

2

2

666

,

0

734

,

0

83

,

5

1844

2

,

71

9

,

35

77

,

143

9

179

3765

9

9

,

35

179

1

,

706

9

r

r

r

r

y

y

n

x

x

n

y

x

xy

n

r

emp

k

n

emp







































































 

 

 

%

 

0386

,

0

1844

2

,

71

179

3765

9

9

,

35

179

1

,

706

9

var

cov

2

2

2

/







































x

x

n

y

x

xy

n

x

xy

b

x

y

Współczynnik korelacji

Współczynnik regresji

194

,

0

)

2

9

(

9

1844

)

2

,

71

(

83

,

5

)

2

(

 

var

)

 

(cov

var

2

2

/

















n

n

x

xy

 y

x

y

S

Odchylenie standardowe regresji

27

 

x

y

x

y

x

y

x

x

b

y

y

0386

,

0

76

,

4

ˆ

768

,

0

0386

,

0

99

,

3

ˆ

)

9

,

19

)(

0386

,

0

(

99

,

3

ˆ

ˆ

























Równanie regresji

0135

,

0

1844

194

,

0

9

 

var

2

2

/











x

s

n

x

y

Sb

Błąd standardowy s

b

28

Przedstawienie 
graficzne

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

2 2

2 4

2 6

2 8

    M le c z n o ś ć   -   x   [l/ d o b a ]

3 , 5

3 , 6

3 , 7

3 , 8

3 , 9

4 , 0

4 , 1

4 , 2

4 , 3

4 , 4

4 , 5

4 , 6

Z

aw

ar

to

ść

 tłu

sz

cz

u -

 y

[%

]

y  =  4 ,7 6  -  0 ,0 3 8 6 x

r   =   - 0 , 7 3 4 ;
r

2

  =   0 , 5 3 7

p   =   0 , 0 2 4 ;