MECHANIKA

Zasada pierwsza.

Punkt  materialny,  na  który  nie  działają  żadne  siły  lub
działają  siły  wzajemnie  równoważące  się,  pozostaje
względem  układu  odniesienia  w  spoczynku  lub  ruchu
jednostajnym prostoliniowym.

Zasady dynamiki klasycznej Newtona

Zasada druga.

Zmiana ilości ruchu (pędu) jest proporcjonalna
względem siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż
której ta siła działa.

)









Rys. 1

Zasada czwarta.

Jeśli na punkt materialny o masie

działa jednocześnie

kilka sił, to punkt uzyskuje przyspieszenie równe sumie
geometrycznej przyspieszeń, jakie uzyskałby w wyniku
niezależnego działania każdej z sił.
Zasadę czwartą nazwano

prawem superpozycji.

Zasady dynamiki klasycznej Newtona

Rys. 3







i 1

...









i 1

...



Zasada piąta.

Każde dwa punkty materialne przyciągają się
wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu
mas (

, m

) i odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu

odległości

między nimi. Kierunek siły leży na prostej

łączącej te punkty.
Prawo to nazywamy

prawem grawitacji.





stała

grawitacji



Rys. 4

Zasady dynamiki klasycznej Newtona

Wyobraźmy  sobie,  że  pchając  wózek  nadajemy  mu
przyspieszenie            .  Do  wózka  przyłożyliśmy  siłę
pochodzącą  od  naszych  mięśni  równą

gdzie  m-masa  wózka  (pomijamy  tarcie  wózka  przy
toczeniu).  Jednocześnie  zgodnie  z  zasadą  akcji  i  reakcji
do  naszych  rąk  przyłożona  jest  siła  pochodząca  od
działania wózka, równa sile    , lecz zwrócona przeciwnie,
czyli  siła                      .  Siłę  tę  będziemy  nazywali  siłą

bezwładności lub siłą d’Alemberta

(rys. 5).

Siła bezwładności. Zasada D’Alemberta

a











Rys. 5

Podobnie  ciężarek  o  masie  m
obracany  na  nici  wokół  punktu  0
poddany jest działaniu siły
działającej  do  środka  0.  Nić
natomiast jest rozciągana siłą
          .  Jest  to  siła  bezwładności.
Nazywamy

ją

czasem

siłą

odśrodkową (rys. 6).

Rys. 6











Siła bezwładności. Zasada D’Alemberta

Niech po dowolnym torze porusza się punkt materialny
o  masie  m.  Na  punkt  ten  działa  siła            nadając,  mu
przyspieszenia  całkowitego          .  Siłę  F  oraz
przyspieszenie  a  rozłożymy  na  kierunek  styczny  i
normalny do toru, otrzymamy (rys. 7)



a

siła styczna
-

siła
normalna -









Rys. 7

Siła bezwładności. Zasada D’Alemberta

Poruszającemu

się

punktowi

przypiszemy

siłę

bezwładności          ,       równą co do modułu sile     ,
lecz  zwróconą  przeciwnie.  Siłę  tę  możemy  również
rozłożyć  na  kierunek  styczny  i  normalny  do  toru.
Otrzymamy  wtedy  tzw.  styczną  i  normalną  siłę
bezwładności. Będzie mianowicie

Rys. 7

Siła bezwładności. Zasada D’Alemberta









styczna

siła

bezwładności -

normalna

siła

bezwładności -













W rzeczywistości siła bezwładności nie jest przyłożona
do poruszającego się punktu, jest dla tego punktu siłą
pomyślaną. Przyjęcie tej siły prowadzi do bardzo
dogodnej

metody

rozwiązywania

zagadnień

dynamicznych. Przeprowadzone rozumowanie jest
treścią zasady d'Alemberta, która w odniesieniu do
swobodnego punktu materialnego będzie brzmiała, jak
następuje:

Przyjmiemy, że po dowolnym torze porusza się punkt
materialny  na  skutek  działania  nań  sił
nadających mu przyspieszenia całkowitego      . Jeżeli
do  punktu  materialnego  oprócz  sił  czynnych
przyłożymy  jeszcze  siłę  bezwładności                              ,
otrzymany układ sił będzie w równowadze.



,....,

a







Siła bezwładności. Zasada D’Alemberta

W ruchu swobodnego punktu

materialnego układ sił czynnych

równoważy się z pomyślaną siłą

bezwładności.

Możemy ją przedstawić za pomocą wzoru, który jest
konsekwencją równania

czyli





)

(











Siła bezwładności. Zasada D’Alemberta

W ruchu punktu nieswobodnego

siły czynne i reakcje więzów

równoważą się z pomyślaną silą

bezwładności.

W  przypadku  ruchu  punktu  nieswobodnego  oprócz  sił
czynnych      , na punkt taki działają reakcje więzów
    .  Wprowadzając  pomyślaną  siłę  bezwładności                ,
zasadę

d'Alemberta

dla

punktu

nieswobodnego

stwierdzamy:









)

( a

m



)

(











Siła bezwładności. Zasada D’Alemberta

Tak więc wprowadzając do zagadnień dynamiki siłę
bezwładności sprowadzamy je do zagadnień statyki.
Metodę tę nazywamy metodą kinetostatyki.

Dla przykładu rozpatrzmy ruch
masy m zawieszonej na końcu liny
rozwijającej się z bębna (rys. 8).
Załóżmy,

że

przyspieszenie

opadającej masy wynosi .

rozważaną

masę

działa

siła

ciężkości i siła napięcia w linie .
Wprowadzając

pomyślaną

siłę

bezwładności    ,  zwróconą  przeciw
przyspieszeniu,  stosujemy  warunek
równowagi  (warunek  rzutów  na  oś
liny):

Siła bezwładności. Zasada D’Alemberta

Rys. 8

a





D



Rys. 8

Siła bezwładności. Zasada D’Alemberta



D











)





g 





czyli

stąd

W przypadku swobodnego spadku masy , siła
napięcia będzie równa zeru. Przy jednostajnym ruchu
masy siła w linie będzie równa sile ciężkości.

Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem sił
. Zgodnie z podstawowym równaniem dynamiki
możemy napisać

ale , zakładając więc, że masa punktu jest stała,
napiszemy

PĘD MASY. IMPULS SIŁY

Wektor nazywamy

pędem

lub

ilością ruchu

punktu materialnego. Jest to wektor o module m razy
większym od modułu wektora prędkości, mający
kierunek i zwrot taki jak wektor prędkości.



,....,













)





W układzie kartezjańskim wektor pędu przedstawimy w
następujący sposób:

PĘD MASY. IMPULS SIŁY



















Jednostką pędu w układzie SI

1 kgm/s = 1

Ns.

Uwzględniając wprowadzone pojęcie pędu, równanie
(1.5) możemy przedstawić w postaci

(1.6)









(1.7)

Równanie  to  przedstawia  drugą  zasadę  Newtona,
wyrażoną poprzednio za pomocą wzoru          . Jest to
sformułowanie  ogólne,  słuszne  również  w  mechanice
relatywistycznej.  W  przypadku  szczególnym,  przy
założeniu  m  =  const,  równanie  to  prowadzi  do
równania               .









W przypadku gdy na punkt nie działają siły lub siły
działające równoważą się, czyli , równanie (1.7)
przyjmie postać







const



p

Widzimy więc, że drugą zasadę Newtona możemy napisać
w następujący sposób:

Pochodna pędu punktu materialnego względem
czasu jest równa sumie sił działających na dany
punkt.

(1.8
)

Wniosek powyższy, obowiązujący również w mechanice
relatywistycznej, gdzie masa jest zmienna, jest treścią
zasady zachowania pędu punktu materialnego.

PĘD MASY. IMPULS SIŁY

Pęd punktu materialnego jest wektorem stałym,
jeżeli suma geometryczna sil działających na punkt
materialny jest równa zeru.

Równanie (1.5) przepiszemy w postaci

)

d(m





(1.9
)

gdzie







Wektor                   nazywamy elementarnym impulsem
siły. Jest to
wektor  o  kierunku  i  zwrocie  takim  jak  wypadkowa  sił
działających      .
Równanie (1.9) możemy opisać następująco:

Impuls elementarny siły działającej na punkt
materialny jest równy przyrostowi elementarnemu
pędu tego punktu.







PĘD MASY. IMPULS SIŁY

Całkując obustronnie równanie (1.9)
otrzymamy

)

(









lub
,oznaczając









-impuls całkowity siły F w przedziale
czasu t

-t

otrzymamy











(1.10)

Przyrost pędu masy poruszającego się punktu jest

równy impulsowi całkowitemu sił działających.

PĘD MASY. IMPULS SIŁY

Stwierdzamy więc, że dla zmiany pędu masy niezbędny

jest określony czas działania siły. Siły działające
nieskończenie krótko lub, praktycznie biorąc, mające
bardzo

krótki

czas

działania

nazywamy

siłami

chwilowymi

(działanie nogi gracza na piłkę, siły przy

uderzeniu kul bilardowych) w odróżnieniu od

sił ciągłych

do której zaliczamy np. siłę ciężkości.

Równanie (1.10) podaje nam dogodny sposób określania

impulsu sił. Stosujemy je często w przypadku działania sił
chwilowych.

Z równania tego wynika, że zmiana wektora pędu
będzie tym intensywniejsza, im większa będzie siła
oraz

mniejsza

będzie

masa

pęd

początkowy .



p

PĘD MASY. IMPULS SIŁY

KRĘT PUNKTU MATERIALNEGO

Po  dowolnym  torze  porusza  się  punkt  o  masie  m,  z
prędkością             .  Pęd  tego  punktu           jest wektorem o
takim samym kierunku i zwrocie jak wektor    . Obierzmy
dowolny  punkt  0  jako  początek  układu  stałego  x,  y,  z  i
połączmy  go  z  poruszającym  się  punktem  promieniem-
wektorem





v

r

Krętem

poruszającego

się

punktu

materialnego

względem obranego bieguna 0 nazywamy wektor równy
iloczynowi wektorowemu promienia

przez pęd

poruszającego się punktu.

Kręt jest więc momentem pędu

(momentem ilości ruchu) względem obranego bieguna.

r

p

mom







Jeżeli przez obrany biegun 0 przeprowadzimy dowolną oś
i  zrzutujemy  na  nią  wektor  krętu      ,  to  otrzymamy  kręt
poruszającego  się  punktu  względem  tej  osi.  W
szczególności,  względem  osi  współrzędnych  x,  y,  z  kręt
ma następujące składowe:



)

m(y







)

m(z







)

m(x







gdzie x, y, z - współrzędne poruszającego się punktu
materialnego. Zróżniczkujemy względem czasu
równanie (1.11)

czyl
i

)























KRĘT PUNKTU MATERIALNEGO

ale iloczyn wektorowy wektorów równoległych             ,
natomiast  iloczyn              przedstawia  moment  sił
działających  na  poruszający  się  punkt  materialny
względem obranego bieguna 0. Tak więc



 





(1.13

)

K 



Pochodna wektora krętu względem czasu jest równa

momentowi głównemu wszystkich sil działających na

dany punkt materialny.

Z równania (1.13) wynika, że

jeżeli moment sil

działających na poruszający się punkt materialny jest
względem jakiegoś bieguna

równy zeru ( ), to kręt poruszającego się
punktu względem tego bieguna jest wektorem
stałym.



KRĘT PUNKTU MATERIALNEGO

Fakt ten stanowi

zasadę zachowania krętu

dla punktu

materialnego. Płaszczyznę prostopadłą do wektora krętu
nazywamy płaszczyzną niezmienną. W układzie SI
jednostką krętu jest 1 Nms.

DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

Równanie to, przedstawiające związek między masą,
przyspieszeniem i siłą, nazywamy dynamicznym
równaniem ruchu. Powyższy związek podany jest w
postaci wektorowej. Uwzględniając znane zależności







ora
z



















Dynamiczne równanie ruchu w postaci wektorowej
można zastąpić trzema równaniami analitycznymi:













Napiszmy jeszcze raz równanie przedstawiające drugą
zasadę dynamiki.





Przy  analizie  ruchu  punktu  stosuje  się  w  mechanice
oprócz  układu  kartezjańskiego  również  inne  układy
ortogonalne.  Równania  ruchu  w  tych  układach
otrzymamy  uwzględniając  znane  z  kinematyki  wzory
przedstawiające przyspieszenia w tych układach.
Tak

przykład

biegunowym

układzie

współrzędnych

dynamiczne równania ruchu maja

postać:

)











)





układzie współrzędnych walcowych

, równania te

będą wyglądały następująco:

)











)





m 



DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

W  kinematyce  podaliśmy  składowe  przyspieszenia  w
naturalnym  układzie  współrzędnych.  Opierając  się  na
tych  składowych  napiszemy  dynamiczne  równania  ruchu
w

naturalnym układzie współrzędnych



Wreszcie podamy jeszcze dynamiczne równania ruchu we

współrzędnych kulistych

)

sin



















)















cos

sin

2 









)

sin





DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

Rozwiązanie równań dynamicznych sprowadza się do
dwóch zagadnień zwanych niekiedy

dwoma

zadaniami

dynamiki

1. Zadanie pierwsze

polega na tym, że mamy

parametryczne równania toru, po którym porusza się
punkt materialny, czyli mamy określone równania

)

x 

)

y 

)

z 

Chcemy  natomiast  wyznaczyć  siłę          ,  pod  której
wpływem  porusza  się  punkt  materialny  Zadanie  to
rozwiązuje się w prosty sposób. Różniczkując dwukrotnie
względem  czasu  równania  parametryczne,  określamy
składowe

przyspieszenia,

podstawiając

dynamicznych równań ruchu znajdujemy szukane
składowe siły działającej, a więc i wektor siły.



DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

2. Bardziej złożone jest drugie zadanie dynamiki

Polega ono na wyznaczeniu (przy danej masie i sile)
przyspieszenia, prędkości i toru poruszającego się
punktu.

W zadaniu tym musimy mieć określoną siłę

działającą.

Możemy

rozróżnić

następujące

przypadki.

a) Siła jest wektorem stałym, np. siła ciężkości,

tarcie,

b) Siła jest funkcją czasu, np. siła odśrodkowa

wahadła,

c) Siła zależy od położenia, np. siła sprężystości, siła

ciężkości przy uwzględnieniu dużego obszaru,

d) Siła zależy od prędkości poruszającego się punktu,

np. opór powietrza.

W najogólniejszym przypadku równania ruchu w

współrzędnych kartezjańskich b miały postać

)

(



 

)

(



 

)

(



 

DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

Całka  ogólna  tych  równań  (o  ile  istnieje)  ma  postać
trzech  równań  zawierających  sześć  stałych  całkowania.
Różniczkując  te  równania  i  uwzględniając  warunki
początkowe dla t=0

x 



 

y 



 

z 



 

określimy parametryczne
równania toru

)

(





)

(





)

(





Ten układ równań określa ruch punktu, na który działają
znane siły i który w chwili początkowej zajmował
określone

położenie

miał

określoną

prędkość

początkową.

DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU

MATERIALNEGO

CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU

Określenie siły na podstawie parametrycznych

równań toru.

Masa m = 4 kg porusza się po torze

określonym parametrycznymi równaniami











,
m.

Określić działająca siłę.

Różniczkujemy dwukrotnie względem czasu i znajdujemy
składowe przyspieszenia







y 



Podstawiając je do równań ruchu znajdujemy
szukaną siłę

96t





 



 

lub w postaci
wektorowej

16)

96t





(

Ruch pod wpływem siły

W tym przypadku

równanie dynamiczne ma postać





, czyli



m



r

Po scałkowaniu i przyjęciu, że w chwili t = 0
, otrzymamy



 



 

Całkując drugi raz i uwzględniając, że dla t = 0
, otrzymamy

r 









 t

Dochodzimy w ten sposób do znanych równań ruchu
jednostajnego i prostoliniowego.

CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU

Po dwukrotnym scałkowaniu i przyjęciu warunków
początkowych:

dla t = 0 oraz dla będzie

Ruch pod wpływem siły stałej .

Napiszemy

równanie ruchu w postaci

const













 

r 











CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU

Ruch pod wpływem siły, która jest funkcją
położenia.

Jako przykład rozpatrzmy ruch punktu materialnego o
masie m wystrzelonego z planety o masie M (rys. 9).
Równanie ruchu ma postać







ale





CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU









lu
b

Po całkowaniu otrzymujemy
równanie















2
o

Rys. 9

Obliczymy,  na  jaką  wysokość  H  wzniesie  się  punkt
materialny  wyrzucony  z  planety  o  promieniu  R,  jeżeli
nadano  mu  prędkość  początkową  v

. Podstawimy więc v

= 0, x = H, x

= R otrzymamy









2
o

lub po
przekształceniu

kMR

2
o





Zastanówmy się, z jaką prędkością należy wyrzucić

punkt materialny z planety, aby na nią nie wrócił,
czyli aby stał się satelitą planety.

Prędkość tę, zwaną prędkością ucieczki v

∞

otrzymamy, podstawiając do wzoru v

= v

∞

oraz H =

∞. Na prędkość ucieczki otrzymamy wyrażenie





CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU

Na powierzchni Ziemi siła grawitacji ma
wartość



Prędkość ucieczki dla Ziemi będzie





Przyjmując w szczególności R = 6340 km oraz g = 9,81
m/s

otrzymamy

∞

≈ 11,8 km/s ≈ 42 500 km/h.

Jest to prędkość, jaką należy nadać ciału, aby stało się
ono satelitą Ziemi.

CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU

RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch postępowy

Względem układu stałego ruch punktu jest określony
równaniem











W układzie ruchomym ruch określony jest więc
równaniem









oraz







w którym                         nazywamy siłą bezwładności
unoszenia. Jest ona równa iloczynowi masy punktu przez
przyspieszenie unoszenia i jest zwrócona przeciwnie niż
     .



(17)

RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch postępowy

Równanie ruchu przyjmuje następującą postać:









Względem ruchomego układu odniesienia wykonującego

ruch postępowy punkt materialny porusza się tak, jakby

działała na niego, oprócz sił danych, jeszcze pomyślana

siła bezwładności unoszenia.

Zasada względności mechaniki klasycznej:

Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie możemy

wykazać

istnienia prostoliniowego, jednostajnego ruchu

postępowego układu

odniesienia.

RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch postępowy

Rys. 8



cos

sin







D 



cos

sin







Ostatecznie:

Dla punkt materialny będzie poruszał się
w dół. W przeciwnym przypadku punkt będzie poruszał
się do góry.

Gdy , punkt pozostanie w spoczynku lub w
ruchu jednostajnym prostoliniowym (względem ruchomej
płaszczyzny).









RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

W układzie stałym równanie ruchu będzie następujące:











oraz

Równanie ruchu w układzie ruchomym przyjmie postać:









– siła bezwładności unoszenia,

– siła bezwładności unoszenia Coriolisa.













(18)

RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy









Względem ruchomego układu odniesienia wykonującego

ruch obrotowy punkt materialny porusza się tak jakby

działała na niego, oprócz sil danych, jeszcze pomyślana

siła bezwładności unoszenia i pomyślana siła

bezwładności Coriolisa.

W ruchu obrotowym przyspieszenie całkowite jest sumą
geometryczną przyspieszenia obrotowego i doosiowego,
czyli















w związku z tym

(19)

(20)

RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

– obrotowa (styczna) siła bezwładności,

– poosiowa (normalna) siła bezwładności,













przy czym













sin







RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

Rys. 9

Ruch punktu wzdłuż prostej l opisuje
równanie



sin

cos





















sin

cos







Rozwiązaniem ogólnym będzie
wyrażenie

Document Outline