Wykład 21

Elementy

kombinatoryki.

Prawdopodobieństwo

dr Tomasz
Kowalski

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

2 /

Silnia

Niech n oznacza liczbę naturalną .
Iloczyn

oznaczamy symbolem n! i czytamy: n
silnia.

1 2 3

    



... (

)

Przyjmuje się dodatkowo, że 0! = 1.

Konwencja ta okaże się w dalszych
rozważaniach bardzo wygodna.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

3 /

Wartości n! Wzór Stirlinga

120

720

040

320

362

880

3 628

800

Jak widać, gdy n rośnie,
wartości silni wzrastają
bardzo szybko.

Dla dużych n
obliczanie n! staje się
sprawą kłopotliwą.

Posługujemy się
wówczas tzw.
wzorem Stirlinga:

n n e

�

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

4 /

Przykład

Obliczyć:

16!

12!

12! 13 14 15 16

� � � �

= 43
680

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

5 /

Przykład

Obliczyć:

100! 58!

98! 60!

�

100! 58!

98! 60!

�

98!

98! 99 100

� �

58!

�

58! 59 60

� � �

165

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

6 /

Przykład

Obliczyć:

(2 )! !

1)! (

2)!

n n

�

+ � -

(2 )! !

1)! (

2)!

n n

�

+ � -

(2 )!

(2 )! (2

� +

(

2)!

� -

(

2)! (

� -

�

(

- �

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

7 /

Symbol Newtona

Niech n, k N

oraz k  n. Symbolem

Newtona nazywamy

liczbę oznaczaną przez

i równą









! (

k n k

� -

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

8 /

Przykład

Obliczyć:

� �

10!

3! 7!

�

7! 8 9 10

2 3 7!

��

120

! (

k n k

� �

� -

� �

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

9 /

Własności symbolu Newtona

n
n

��

n k

� � �

�

� � �

�

� � �

�

� � �

� �

�

� � �

� �

�

� � �

� �

�

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

10 /

Trójkąt Pascala

Wartości symbolu Newtona można ustawić w
następującą tablicę zwaną trójkątem Pascala:

.......

..........

















































































...................................

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

11 /

Trójkąt Pascala

Zasady tworzenia trójkąta Pascala:

w najwyższym wierszu wpisujemy
jedynkę

w drugim wierszu od góry -
dwie jedynki

w trzecim wierszu kolejno 1,
2, 1,

w każdym następnym wierszu
o jedną liczbę więcej, niż w
poprzednim; na lewym i
prawym skraju jedynki,

1
1

1 2 1

3 3

3
3

1 4 6 4
1

1 5 10 10
5 1

a na każdym innym miejscu -
liczbę, która jest sumą
dwóch liczb widniejących w
poprzednim wierszu
bezpośrednio nad nią

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

12 /

Podstawy kombinatoryki

W kombinatoryce mamy w zasadzie do
czynienia z dwoma sposobami losowań:

losowanie, w którym jest istotna kolejność
wylosowanych elementów,

losowanie, w którym nie jest istotna kolejność
wylosowanych elementów, a jedynie ich
liczebność.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

13 /

Podstawy kombinatoryki

Jednocześnie możemy rozróżnić losowania, w
których:

elementy nie powtarzają się w doświadczeniu,

dopuszcza się powtarzanie elementów w
doświadczeniu.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

14 /

Permutacje

Wynik losowania, w którym wykorzystujemy
wszystkie elementy, ale te nie mogą się
powtarzać i kolejność wylosowanych elementów
jest istotna, nazywamy permutacją.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

15 /

Kombinacje

Wynik losowania, w którym kolejność
występujących elementów nie jest istotna, ale
też żaden z nich się nie powtarza nazywamy
kombinacją.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

16 /

Wariacje bez powtórzeń

Wynik losowania, w którym kolejność
występujących elementów jest istotna, ale
żaden z nich się nie powtarza nazywamy
wariacją bez powtórzeń.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

17 /

Wariacje z powtórzeniami

Wynik losowania, w którym kolejność
występujących elementów jest istotna, ale
elementy mogą się powtórzyć nazywamy
wariacją z powtórzeniami.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

18 /

Permutacje

Niech  V  będzie  n-elementowym zbiorem.
Każdy              n-wyrazowy różnowartościowy
ciąg, którego wyrazami są elementy zbioru
V  nazywamy permutacją (bez powtórzeń)
tego zbioru.

Inaczej: Permutacja zbioru to jakiekolwiek
uporządkowanie tego zbioru.

Jeżeli zbiór V ma n elementów, to liczba
wszystkich permutacji tego zbioru wynosi

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

19 /

Przykład

Permutacjami zbioru

A={ a, s, i }

są ciągi

3! 1 2 3 6.

P = = ��=

(a,s,i), (a,i,s), (s,i,a), (s,a,i), (i,a,s), (i,s,a),

a liczba permutacji zbioru 3-

elementowego wynosi

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

20 /

Przykład

W urnie jest 5 kul o numerach 1, 2, 3, 4,
5. Wyciągamy kolejno wszystkie kule i
notujemy ich numery według kolejności
wyciągnięcia. Ile można tym sposobem
otrzymać różnych liczb?

5! 1 2 3 4 5 120.

P = = ��=

Wynik doświadczenia jest ciągiem
utworzonym z pięciu liczb.

Wszystkich takich ciągów, a więc i różnych
liczb, jest zatem:

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

21 /

Przykład

40320

4! 8! 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 24 40320 967680.

� = ��= �

14 2 43 1 4 44 2 4 4 43

Na ile sposobów można przydzielić
czterem studentkom i ośmiu studentom
dwanaście ponumerowanych miejsc tak by
studentki zajęły cztery pierwsze miejsca?

Studentki można ustawić na 4! sposobów.
Do każdego z tych sposobów można
dołączyć 8! sposobów ustawienia
studentów. Zatem będzie to ostatecznie 4!
·8! sposobów

K K K K M M M M M M M M

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

22 /

Kombinacje (bez powtórzeń)

Kombinacją k-elementową (bez powtórzeń)
zbioru V mającego n elementów nazywamy
każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru.

Inaczej: Kombinacja zbioru to wynik
jakiekolwiek losowania bez zwracania
elementów tego zbioru.

Jeżeli zbiór V ma n elementów i k  n,

to liczba wszystkich k-elementowych
kombinacji tego zbioru jest równa

! (

k n k

� -

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

23 /

Przykład

2! 2!

��

�

��

3 4

��

2! 1 2

��

4! 0!

��

�

��

�

Wypisać wszystkie kombinacje utworzone z
liter x, y, w, z.

Kombinacje 1-
elementowe:

{x}, {y},
{w}, {z},

Kombinacje 2-
elementowe:

{x, y}, {x, w}, {x, z}, {y, w},
{y, z}, {w, z},

Kombinacje 3-
elementowe:

{x, y, w}, {x, y, z}, {x, w,
z}, {y, w, z},

1! 3!

Razem

��

�

��

1! 3!

�

3! 1!

��

�

��

�

Kombinacje 4-
elementowe: {x, y, w,

z}.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

24 /

Przykład

W grze lotto losuje się 6 kul bez zwracania
spośród 49 ponumerowanych kul. Ile jest
możliwych wyników?

Wynik losowania jest kombinacją 6-
elementową ze zbioru 49-elementowego.
Wszystkich możliwych wyników losowań jest
zatem:

49!

43!

6! 43!

� �

�

� �

44 45 46 47 48 49

1 2 3 4 5 6 43!

� � � � � �

��

�

153

46 47 48

� � �

122

1 2

�

� 3

� 4

� 5

� 6

�

13983816

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

25 /

Wariacje bez powtórzeń

Każdy  k-elementowy ciąg różnowartościowy,
którego wyrazami są elementy  n-
elementowego zbioru  V nazywamy  k-
wyrazową wariacją bez powtórzeń tego
zbioru.

Inaczej: Wariacje to uporządkowane
kombinacje.

Jeżeli zbiór V ma n elementów i k  n,

to liczba wszystkich k-elementowych
wariacji bez powtórzeń tego zbioru jest
równa

(

n k

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

26 /

Przykład

Ile można wykonać różnych dwukolorowych
chorągiewek z sześciu barw?

Każdą chorągiewkę można
utożsamiać z dwuelementowym
różnowartościowym ciągiem,
którego wyrazy pochodzą ze zbioru
6-elementowego.

(6 2)! 4!

V =

= =

5 6

��

Liczba chorągiewek
wynosi:

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

27 /

Wariacje z powtórzeniami

Każdy  k-elementowy ciąg, którego wyrazami
są elementy  n-elementowego zbioru  V
nazywamy  k-wyrazową wariacją z
powtórzeniami tego zbioru.

Jeżeli zbiór V ma n elementów, to liczba
wszystkich k-elementowych wariacji z
powtórzeniami tego zbioru jest równa

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

28 /

Przykład

Ile różnych trzycyfrowych liczb można
utworzyć z cyfr: 1, 2, 3, 4, jeżeli cyfry mogą
się powtarzać?

Każdą trzycyfrową liczbę można
utożsamiać z trójelementowym ciągiem,
którego wyrazy pochodzą ze zbioru 4-
elementowego.

W = =

Ilość takich liczb
wynosi:

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

29 /

Zdarzenia elementarne. Przestrzeń

probabilistyczna

Najprostsze wyniki doświadczenia
losowego nazywamy zdarzeniami
elementarnymi i oznaczamy zwykle .

Zbiór wszystkich wyników doświadczenia
(zdarzeń elementarnych związanych z
doświadczeniem) nazywamy przestrzenią
probabilistyczną lub zdarzeniem pewnym
i oznaczamy symbolem .

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

30 /

Zdarzenia

Dowolny podzbiór przestrzeni
probabilistycznej nazywamy zdarzeniem.

Jeżeli zdarzenie elementarne  jest

elementem zbioru A, to mówimy, że sprzyja
ono zdarzeniu A.

Zdarzeniem niemożliwym nazywamy
podzbiór pusty przestrzeni .

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

31 /

Działania na zdarzeniach

Zdarzenia są zbiorami – zatem
działania na zdarzeniach i prawa
działań są takie same jak w
przypadku zbiorów.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

32 /

Zawieranie się zdarzeń

Jeżeli każde zdarzenie elementarne
sprzyjające zdarzeniu  A  sprzyja również
zdarzeniu  B, to mówimy, że A  zawiera się
w  B  i piszemy A  B .

(

)

A B

�W

� �

� � �

�

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

33 /

Iloczyn (koniunkcja) zdarzeń

Iloczynem (koniunkcją) zdarzeń A i B
nazywamy zdarzenie, któremu sprzyjają
zdarzenia elementarne sprzyjające
jednocześnie A i B. Zdarzenie to oznaczamy
symbolem AB .



AB

{ :

}

A B

w w

� =

� � �

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

34 /

Zdarzenia wykluczające się

Zdarzenia A i B nazywamy
wykluczającymi się, jeżeli AB = 



Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

35 /

Suma (alternatywa) zdarzeń

Sumą (alternatywą) zdarzeń  A  i  B  nazywamy
zdarzenie, któremu  sprzyjają zdarzenia
elementarne sprzyjające A  lub B. Zdarzenie to
oznaczamy symbolem AB .



{ :

}

A B

w w

� =

� � �

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

36 /

Suma (alternatywa) zdarzeń

Sumą (alternatywą) zdarzeń  A  i  B  nazywamy
zdarzenie, któremu  sprzyjają zdarzenia
elementarne sprzyjające A  lub B. Zdarzenie to
oznaczamy symbolem AB .



{ :

}

A B

w w

� =

� � �

AB

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

37 /

Różnica zdarzeń

Różnicą  zdarzeń  A  i  B  nazywamy
zdarzenie, któremu sprzyjają zdarzenia
elementarne sprzyjające  A  i nie sprzyjające
B.  Zdarzenie to oznaczamy symbolem  A \ B
lub symbolem A - B.



{ :

}

A B

w w

� � �

A \ B

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

38 /

Zdarzenie przeciwne

Zdarzenie



\ A nazywamy zdarzeniem

przeciwnym do A i oznaczamy symbolem
A



{

}

= �W

�

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

39 /

Definicja prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję
P, która każdemu zdarzeniu A  

przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę
P(A) spełniającą warunki:

1. 0

( ) 1,

P A

�

( ) 1,

P W =

3. Jeżeli

, to (

)

( )

( ).

A B

P A B

P A

P B

� =�

�

Liczbę p = P(A) nazywamy
prawdopodobieństwem zdarzenia A.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

40 /

Inne definicje

prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna (Laplace'a) z
roku 1812.

Jeżeli zbiór  składa się z n () zdarzeń

elementarnych jednakowo możliwych i wśród
nich dokładnie n(A) sprzyja zdarzeniu A, to

( )

n A

P A

Wszystkie
zdarzenia

Zdarzenia

sprzyjające A

Zdarzenia

sprzyjające A

P (A) =

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

41 /





={(i,j): i,j

=1,2,3,4,5,6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że

suma wyrzuconych oczek:
a) wynosi dokładnie 7,
b) jest większa od 8,
c) jest podzielna przez 5?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) =



={(i,j): i +j =

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

42 /





={(i,j): i,j

=1,2,3,4,5,6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że

suma wyrzuconych oczek:
a) wynosi dokładnie 7,
b) jest większa od 8,
c) jest podzielna przez 5?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,
6)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,
5)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,
4)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,
3)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,
2)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,
1)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) =



={(i,j): i +j =

7} n(A) = 6

( )

( ) 36 6

n A

P A

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

43 /





={(i,j): i,j

=1,2,3,4,5,6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że

suma wyrzuconych oczek:
a) wynosi dokładnie 7,
b) jest większa od 8,
c) jest podzielna przez 5?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) =



={(i,j): i +,j >

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

44 /





={(i,j): i,j

=1,2,3,4,5,6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że

suma wyrzuconych oczek:
a) wynosi dokładnie 7,
b) jest większa od 8,
c) jest podzielna przez 5?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,
6)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,
5)

(4,
6)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,
4)

(5,
5)

(5,
6)

(6,1
)

(6,2
)

(6,
3)

(6,
4)

(6,
5)

(6,
6)

n( ) =



={(i,j): i +,j >

8} n(B) =

( ) 10

( )

( ) 36 18

n B

P B

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

45 /





={(i,j): i,j

=1,2,3,4,5,6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że

suma wyrzuconych oczek:
a) wynosi dokładnie 7,
b) jest większa od 8,
c) jest podzielna przez 5?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) =



={(i,j): 5| (i

+,j)}

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

46 /





={(i,j): i,j

=1,2,3,4,5,6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że

suma wyrzuconych oczek:
a) wynosi dokładnie 7,
b) jest większa od 8,
c) jest podzielna przez 5?

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,
4)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,
3)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,
2)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,
1)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,
6)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,
5)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,
4)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) =



={(i,j): 5| (i

+,j)}n(C) = 7

( )

( ) 36

n C

P C

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

47 /

Przykład

RRR

RRO
ROR

ROO

ORR

ORO
OOR

OOO

 = {RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR,

OOO}

Rzucono trzy razy symetryczną monetą.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że orzeł
wypadł 2 razy.

STAR
T

Wyniki pierwszego
rzutu

Wyniki dwóch
rzutów

Wyniki trzech
rzutów

n() = 8

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

48 /

Przykład

RRR

RRO
ROR

ROO

ORR

ORO
OOR

OOO

 = {RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR,

OOO}

Rzucono trzy razy symetryczną monetą.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że orzeł
wypadł 2 razy.

STAR
T

Wyniki pierwszego
rzutu

Wyniki dwóch
rzutów

Wyniki trzech
rzutów

n() = 8

n(A) = 3

( ) 3

( )

( ) 8

n A

P A

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

49 /

Prawdopodobieństwo geometryczne

Definicja klasyczna nie pozwala obliczać
prawdopodobieństwa w przypadku, gdy zbiory A i
Ω są nieskończone.

Jeżeli jednak zbiory te mają
interpretację
geometryczną, zamiast
liczebności zbiorów można
użyć miary geometrycznej
(długość, pole powierzchni,
objętość).

( )

m A

p A

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

50 /

Z przedziału  = [0,4] wybieramy losowo punkt.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany
punkt będzie należał do przedziału A = [1,2]?

Miary odpowiednich zbiorów – tutaj długości
przedziałów – są równe odpowiednio: l() = 4 i l(A)

= 1.

Prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia
wynosi:

( ) 1

( )

( ) 4

l A

P A

Przykład

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

51 /

Przykład

Z odcinka [0;1] wybieramy losowo i niezależnie od
siebie dwie liczby p i q, a następnie tworzymy
równanie x

+ px + q = 0 . Jakie jest

prawdopodobieństwo, że mieć ono będzie
pierwiastki rzeczywiste?

 = {(p,q): 0  p  1, 0 

q  1 }



A = {(p,q): p

– 4q  0 }

�

1
4

( )

m A

P A

( ) 1

m W =

( )

m A

p dp

�

( )

P A =

�

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

52 /

Zadanie Buffona

Płaszczyznę podzielono prostymi równoległymi
odległymi o D. Na płaszczyznę tę rzucamy w
sposób przypadkowy igłę o długości L < D. Jakie
jest prawdopodobieństwo przecięcia przez igłę
jednej z tych prostych?

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

53 /

Zadanie Buffona



sin

d 

 

 

y 



Igła przetnie linię, gdy

sin .

y L

�



Położenie igły można opisać przy pomocy
dwóch liczb:



- kąt, jaki tworzy igła z dowolną prostą równoległą do

narysowanych,

y – odległość skrajnego końca igły do najbliższej linii
znajdującej się powyżej tego końca.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

54 /







sin

y L

 = {(



, y): 0 



 , 0  y

 D }

A = {(



, y): y  L sin



}

Zadanie Buffona

( )

m A

P A

( )

W =

( )

sin

m A

q q

�

( )

P A

[

]

cos

cos0

p +

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

55 /

Symulacja rzutów Buffona

( )

P A

liczba igiel przecinających linię

P(przecięcia)

liczba rzuconych igiel

�

2 liczba wszystkich rzuconych igiel

liczba igiel przecinających

p � �

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

56 /

Symulacja rzutów Buffona

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

57 /

Symulacja rzutów Buffona

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

58 /

Symulacja rzutów Buffona

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

59 /

Paradoks urodzin – pytania

Na sali znajduje się n przypadkowych ludzi. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwoje z
nich obchodzi urodziny tego samego dnia?
(Przyjąć, że rok ma 365 dni).

Jeżeli przyjmiemy, że p(n) oznacza szukane
prawdopodobieństwo, to określić n, dla którego:

a) p(n) > 50 %,

b) p(n) > 99 %,

c) p(n) > 99,99996
%,

d) p(n) = 100 %.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

60 /

Paradoks urodzin – odpowiedzi

Wyznaczymy prawdopodobieństwo , że każdy
z n przypad-kowych ludzi, obchodzi urodziny
innego dnia.

( )

p n

364

363

365 (

( ) 1 (

) (

)

365

p n

= �

�

( ) 1

( )

p n

= -

Prawdopodobieństwo, że trzeci

człowiek ma inną date

urodzenia niż dwaj pierwsi.

Dla pierwszego

człowieka to

prawdopodobieństwo

wynosi 1.

Prawdopodobieństwo, że drugi

człowiek ma inną date

urodzenia niż pierwszy.

365!

(365) (365

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

61 /

Paradoks urodzin – odpowiedzi

a) Dla 23 i więcej ludzi

–

p(n) > 50 %.

b) Dla 60 i więcej ludzi

–

p(n) > 99 %.

c) Dla 100 i więcej ludzi

–

p(n) > 99,99996

d) Dla 366 i więcej ludzi

–

p(n) = 100 %.

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

62 /

Ilustracja graficzna paradoksu

urodzin

2
3

6
0

10
0

x - liczba przypadkowych
osób

p – prawdop. przynajmniej
jednej wspólnej daty
urodzin

Tomasz Kowalski - Matematyka. Wykład 21: Kombinatoryka.
Prawdopodobieństwo

Slajd

63 /

Document Outline

Slide 1
Slide 2
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
Slide 32
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
Slide 38
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
Slide 62
Slide 63