PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA
PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA
PRZYBLIŻONYCH METOD
PRZYBLIŻONYCH METOD
ANALITYCZNYCH
ANALITYCZNYCH
ROZWIĄZYWANIA RÓWNANIA
ROZWIĄZYWANIA RÓWNANIA
OPERATOROWEGO
OPERATOROWEGO
0
)
(
f
u
L
PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA
PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA
PRZYBLIŻONYCH METOD
PRZYBLIŻONYCH METOD
ANALITYCZNYCH
ANALITYCZNYCH
ROZWIĄZYWANIA RÓWNANIA
ROZWIĄZYWANIA RÓWNANIA
OPERATOROWEGO
OPERATOROWEGO
0
)
(
f
u
L
Wykład
Wykład
Metody bazujące na danym równaniu
Metody bazujące na danym równaniu
operatorowym:
operatorowym:
-
-
metody ważonych residuów:
metody ważonych residuów:
-metoda Galerkina
-metoda Galerkina
-metoda najmniejszych kwadratów
-metoda najmniejszych kwadratów
-metoda kollokacji
-metoda kollokacji
Wykład
Wykład
Metody bazujące na funkcjonale:
Metody bazujące na funkcjonale:
-metoda Treftza
-metoda Treftza
-metoda Kantorowicza
-metoda Kantorowicza
We wszystkich tych metodach
We wszystkich tych metodach
postuluje się rozwiązanie przybliżone
postuluje się rozwiązanie przybliżone
w postaci:
w postaci:
i
N
i
i
a
y
x
y
x
y
x
u
y
x
u
)
,
(
)
,
(
)
,
(
ˆ
)
,
(
1
0
Wykład
Wykład
gdzie:
gdzie:
funkcja będąca dokładnym
funkcja będąca dokładnym
rozwiązaniem równania operatorowego
rozwiązaniem równania operatorowego
funkcja przybliżona
funkcja przybliżona
funkcja bazy, spełniająca
funkcja bazy, spełniająca
niejednorodne warunki brzegowe
niejednorodne warunki brzegowe
)
,
( y
x
u
)
,
(
ˆ
y
x
u
0
Wykład
Wykład
funkcja bazy spełniające
funkcja bazy spełniające
jednorodne warunki brzegowe
jednorodne warunki brzegowe
współczynniki
współczynniki
Funkcje bazy muszą spełniać warunki
Funkcje bazy muszą spełniać warunki
brzegowe zadania. Funkcje te należy
brzegowe zadania. Funkcje te należy
dobrać. Współczynniki a wyznacza
dobrać. Współczynniki a wyznacza
się .
się .
i
i
a
Wykład
Wykład
Przykład 1
Przykład 1
Do wyznaczenia jest funkcja
Do wyznaczenia jest funkcja
momentów zginających we
momentów zginających we
wsporniku. Do rozwiązania stosuje się
wsporniku. Do rozwiązania stosuje się
metody przybliżone oparte na danym
metody przybliżone oparte na danym
równaniu operatorowym.
równaniu operatorowym.
Wykład
Wykład
Rozwiązanie dokładne:
Rozwiązanie dokładne:
Poszukujemy
Poszukujemy
rozwiązania metodą:
rozwiązania metodą:
-Galerkina
-Galerkina
-kollokacji
-kollokacji
-najmniejszych
-najmniejszych
kwadratów
kwadratów
2
)
(
2
qx
x
M
Wykład
Wykład
Równanie różniczkowe wiążące
Równanie różniczkowe wiążące
moment zginający z obciążeniem:
moment zginający z obciążeniem:
(1)
(1)
Warunek brzegowy:
Warunek brzegowy:
0
)
(
,
0
)
(
l
x
l
x
M
qx
x
M
qx
x
T
dx
dM
)
(
)
(
0
Wykład
Wykład
Postuluje się rozwiązanie w ogólnej postaci:
Postuluje się rozwiązanie w ogólnej postaci:
Ograniczamy się do jednego wyrazu
Ograniczamy się do jednego wyrazu
szeregu
szeregu
i dobieramy tak aby spełnić w.b.
i dobieramy tak aby spełnić w.b.
(2)
(2)
(3)
(3)
i
N
i
i
a
y
x
y
x
y
x
u
y
x
u
)
,
(
)
,
(
)
,
(
ˆ
)
,
(
1
0
1
)
(
1
1
1
x
a
M
3
1
)
(
x
x
Wykład
Wykład
Podstawiając (2) do (1):
Podstawiając (2) do (1):
(3)
(3)
Równanie różniczkowe możemy zapisać:
Równanie różniczkowe możemy zapisać:
(4)
(4)
Jeżeli podstawimy do niego (3) to prawa
Jeżeli podstawimy do niego (3) to prawa
strona tego równania będzie różna od zera
strona tego równania będzie różna od zera
(bo nie jest to rozwiązanie dokładne).
(bo nie jest to rozwiązanie dokładne).
3
1
1
x
a
M
0
)
(
qx
x
M
Wykład
Wykład
Tą różnicę która pojawi się po prawej
Tą różnicę która pojawi się po prawej
stronie nazywamy
stronie nazywamy
residuum.
residuum.
Residuum równania (4):
Residuum równania (4):
Warunek na wyznaczenie -
Warunek na wyznaczenie -
warunek ortogonalizacji.
warunek ortogonalizacji.
qx
x
a
qx
x
M
r
2
1
1
1
3
)
(
1
a
Wykład
Wykład
Warunek ten ma postać:
Warunek ten ma postać:
Mamy zatem:
Mamy zatem:
Stąd:
Stąd:
0
1
0
1
dx
W
r
l
0
)
(
)
3
(
1
2
0
1
dx
x
W
qx
x
a
l
l
l
dx
x
W
x
dx
x
xW
q
a
0
1
2
0
1
1
)
(
3
)
(
Wykład
Wykład
W zależności od tego jaką postać
W zależności od tego jaką postać
przyjmiemy dla funkcji wagi
przyjmiemy dla funkcji wagi
otrzymamy rozwiązania dla różnych
otrzymamy rozwiązania dla różnych
metod.
metod.
1.
1.
METODA GALERKINA
METODA GALERKINA
-Funkcja wagi taka sama jak funkcja
-Funkcja wagi taka sama jak funkcja
bazy:
bazy:
)
(
1
x
W
Wykład
Wykład
Tak więc:
Tak więc:
Obliczając otrzymamy:
Obliczając otrzymamy:
Zatem podstawiając do przyjętego
Zatem podstawiając do przyjętego
rozwiązania przybliżonego
rozwiązania przybliżonego
otrzymuje się :
otrzymuje się :
Rozwiązanie przybliżone:
Rozwiązanie przybliżone:
3
1
1
)
(
)
(
x
x
x
W
1
a
l
q
a
5
2
1
1
a
l
q
x
x
a
x
M
3
3
1
1
4
,
0
)
(
Wykład
Wykład
2.
2.
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
Funkcja wagi – pochodna funkcji bazy.
Funkcja wagi – pochodna funkcji bazy.
Tak więc:
Tak więc:
Po obliczeniu:
Po obliczeniu:
Zatem:
Zatem:
Rozwiązanie przybliżone:
Rozwiązanie przybliżone:
2
1
1
1
3
)
(
x
x
dx
d
W
l
q
a
12
5
1
l
q
x
l
q
x
x
a
x
M
3
3
3
1
1
416
,
0
12
5
)
(
Wykład
Wykład
3.METODA KOLLOKACJI
3.METODA KOLLOKACJI
Funkcja wagi – funkcja delta Diraca
Funkcja wagi – funkcja delta Diraca
Tak więc:
Tak więc:
Po obliczeniu:
Po obliczeniu:
0
0
0
0
)
(
x
x
x
x
x
x
)
(
)
(
1
l
x
x
W
l
q
a
3
1
Wykład
Wykład
Rozwiązanie przybliżone:
Rozwiązanie przybliżone:
4. Uogólnienie metod:
4. Uogólnienie metod:
METODA
METODA
WAŻONYCH
WAŻONYCH
RESIDUÓW
RESIDUÓW
Funkcja wagi równa jedności:
Funkcja wagi równa jedności:
Po obliczeniu:
Po obliczeniu:
l
q
x
x
l
q
x
a
x
M
3
3
3
1
1
333
,
0
3
)
(
1
1
W
l
q
a
2
1
Wykład
Wykład
Rozwiązanie przybliżone:
Rozwiązanie przybliżone:
PORÓWNANIE METOD
PORÓWNANIE METOD
l
q
x
x
l
q
x
a
x
M
3
3
3
1
1
5
,
0
2
)
(
Wykład
Wykład
Wykład
Wykład
Przykład 2
Przykład 2
Do wyznaczenia jest funkcja naprężeń dla
Do wyznaczenia jest funkcja naprężeń dla
skręcanego pręta o przekroju kwadratowym.
skręcanego pręta o przekroju kwadratowym.
Rozwiązanie –
Rozwiązanie –
METODA RITZA
METODA RITZA
Wykład
Wykład
Równanie różniczkowe:
Równanie różniczkowe:
(1)
(1)
gdzie: - funkcja naprężeń
gdzie: - funkcja naprężeń
Warunki brzegowe:
Warunki brzegowe:
1
2
2
2
2
y
x
)
,
( y
x
1
0
)
,
(
1
0
)
,
(
x
y
x
x
y
x
Wykład
Wykład
Funkcjonał równoważny równaniu (1)
Funkcjonał równoważny równaniu (1)
ma postać:
ma postać:
(2)
(2)
Poszukujemy rozwiązania
Poszukujemy rozwiązania
przybliżonego w postaci:
przybliżonego w postaci:
dxdy
y
x
F
1
1
1
1
2
2
2
)
(
i
N
i
i
a
1
Wykład
Wykład
Przyjmujemy np. 2 wyrazy szeregu,
Przyjmujemy np. 2 wyrazy szeregu,
czyli N=2. Funkcje bazy przyjmuje się:
czyli N=2. Funkcje bazy przyjmuje się:
(3)
(3)
Postuluje się zatem rozwiązanie:
Postuluje się zatem rozwiązanie:
(4)
(4)
)
)(
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
2
2
2
2
2
2
2
1
y
x
y
x
y
x
)
)(
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
y
x
y
x
a
y
x
a
a
a
Wykład
Wykład
Podstawiając równanie (4) do
Podstawiając równanie (4) do
funkcjonału (3) sprowadzamy
funkcjonału (3) sprowadzamy
funkcjonał do funkcji wielu
funkcjonał do funkcji wielu
zmiennych:
zmiennych:
Mamy zatem zagadnienie poszukiwania
Mamy zatem zagadnienie poszukiwania
funkcji wielu zmiennych:
funkcji wielu zmiennych:
)
,
(
)
(
2
1
a
a
F
F
2
,
1
0
)
,
(
2
1
i
a
a
a
F
i
Wykład
Wykład
Minimalizując otrzymamy:
Minimalizując otrzymamy:
0592
,
0
292
,
0
45
42
4725
11264
525
1024
9
16
525
1024
45
266
2
1
2
1
2
1
a
a
a
a
a
a
Wykład
Wykład
Zatem rozwiązanie przybliżone ma
Zatem rozwiązanie przybliżone ma
postać:
postać:
)
(
0592
,
0
292
,
0
)
1
)(
1
(
)
,
(
2
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x