Elementy szczególnej
teorii względności
Wykład 2
Opracowano np. skryptu A. Rogalski i
wykładu prof. M. Demianiuka
1
Elementy szczególnej
teorii względności
Wykład 2
Opracowano np. skryptu A. Rogalski i
wykładu prof. M. Demianiuka
1
PRZYPOMINAM - Zasady zaliczania w
semestrze I
• Przedmiot w tym semestrze jest zaliczany na
ostatnich zajęciach
• Zaliczanie w formie pracy pisemnej polega na
odpo-wiedzi na 6 pytań definicyjnych i jedno
opisowe. (
Obowiązuje materiał z kursu i
wykładów)
• Podstawą do wpisania do indeksu zaliczenia
przed-miotu jest wcześniejsze zaliczenie
ćwiczeń rachun-kowych i kursu.
• Osoby które nie zaliczą przedmiotu na ostatnich
zaję-ciach przed kolejnym zaliczeniem muszą
uzyskać po-zytywny wpis z ćwiczeń i zaliczyć kurs.
Ruch mechaniczny
• Ruch mechaniczny – zmiana położenia ciała konieczne
wskazanie innych ciał względem, których ruch się odbywa
(względne przemieszczanie się ciał)
– Ruch – zmiana w przestrzeni i w czasie
• Układ odniesienia – zbiór nieruchomych względem siebie
ciał służący do rozpatrywania ruchu innych ciał i zegar
odmierzający czas
– Ruch tego samego ciała względem różnych układów odniesienia
różny charakter (pasażer w pociągu)
• opis ruchu – podanie położenia dla każdej chwili czasu
• Punkt materialny – ciało o znikomo małych rozmiarach w
warunkach danego zagadnienia, o danej masie i położeniu,
które można określić jak położenie punktu geometrycznego
Dynamika
• badanie przyczyn ruchu
• badanie związków między ruchem
ciała a siłami działającymi na ciało
– określenie ruchu ciała pod
działaniem znanych sił
– wyznaczenie sił działających na ciało,
gdy znany jest jego ruch
4
Masa, pęd, siła
• masa – wielkość skalarna
– charakteryzuje właściwości inercjalne ciała, czyli jego
uległość wobec oddziaływań na niego innych ciał
– mechanika klasyczna masa ciała nie zależy od prędkości
– określenie masy poprzez porównanie z masą innego ciała
wzorca
• pęd – wielkość wektorowa
– wielkość dynamiczna charakteryzująca ruch ciała
– pęd p – iloczyn masy i prędkości ciała
• siła – wielkość wektorowa
– będąca miarą oddziaływań prowadzących do zmiany
prędkości – jeśli ciało o masie m porusza się z
przyspieszeniem a, to pozostaje ono pod działaniem siły F
definiowanej jako
v
m
p
a
m
F
5
Elementy szczególnej teorii
względności
Zasada względności Galileusza
Historia
Doświadczenie Michelsona - Morley’a
Postulaty teorii względności
Transformacje Lorentza
6
Konsekwencje transformacji Lorentza
Dodawanie prędkości
Skrócenie długości
Wydłużenie przedziałów czasowych
Mechanika relatywistyczna
Masa i pęd
Definicja siły
Relatywistyczna energia kinetyczna
Energia całkowita
Efekt Dopplera dla fal elektromagnetycznych
Grawitacja a ogólna teoria względności
7
Prekursorzy rozwiązania problemu względności w
fizyce
Transformacje Galileusza
Galileusza
cji
transforma
k
niezmienni
a
a
a
dt
x
d
ut
x
dt
d
dt
x
d
a
u
u
dt
dx
dt
dx
'
'
'
)
'
(
;
'
2
2
2
2
2
v
v
ma
ma
'
Zasada względności Galileusza
Nie istnieje takie doświadczenie
mechani-czne,
przy
pomocy
którego można by stwierdzić
istnienie ruchu absolutnego lub
można by wyróżnić którykolwiek z
ukła-dów inercjalnych lub inaczej:
ze względu na prawa
mechaniki
wszystkie
układy
inercjalne
są
równoważne
.
Względność według Galileusza-Newtona
Pojęcie przestrzeni i czasu według Galileusza
•-istnieje absolutna przestrzeń niezależna od ciał;
•-ciała są "zanurzone" w tej przestrzeni;
•-istnieje
absolutny
czas
płynący
wszędzie
jednakowo i niezależnie od niczego;
•-w przestrzeni obowiązują prawa geometrii
Euklidesa;
•-informacja o zdarzeniach dociera do obserwatora
natychmiast niezależnie od ruchu układu;
•-ciała uczestniczą w dwóch ruchach: jedno
względem drugiego - i tu obowiązuje zasada
względności, oraz w ruchu względem przestrzeni
absolutnej i tu zasada względności nie może być
stosowana.
Względność w fizyce pojmowana była w sensie
mechanicznej interpretacji praw przyrody.
Postulaty teorii
względności
W końcu XIX w. Maxwell i Hertz zaproponowali
koncepcję,
że
światło
jest
promieniowaniem
elektromagnetycznym.
Od kiedy stało się wiadome, że światło ma
właściwości fa-lowe, fizykom wydało się naturalną
koniecznością zapropono-wanie ośrodka, który ten ruch
falowy miałby przenosić. Ośrodek ten był powszechnie
zwany eterem świetlnym.
W 1887 r. Michelson i Morley zaproponowali i
przepro-wadzili eksperyment w celu sprawdzenia natury
eteru świetlnego i wyznaczenia prędkości światła
względem niego.
Gdyby eter istniał, to musiałby przenikać całą
przestrzeń i musiałby być pierwotnym i bezwzględnym
układem odniesienia dla światła.
12
13
Fizycy wyciągnęli zatem wniosek, że Ziemia musi
albo pozostawać w spoczynku w tym eterze albo
poruszać się wzglę-dem niego, a w konsekwencji
inercjalny układ odniesienia dla światła musi być w
spoczynku lub poruszać się względem Ziemi.
Doświadczenie Michelsona - Morley’a
A A’ A”
ct
3
ct
3
L B B’ B”
ct
1
S P ct
2
L u
ct
L ut
t
L
c u
ct
L ut
t
L
c u
t
t
L
c
u
c
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
;
;
;
3
2
1
2
2
3
2
3
2
2
3
2
1
2
2
)
(
)
(
t
t
t
c
u
c
L
t
ut
L
ct
”Negatywny” wynik doświadczenia Michelsona-
Morleya spowodował przewrót w sposobie myślenia
fizyków. Powstała konieczność głębszego spojrzenia w
naturę przestrzeni i czasu.
Doświadczenie
Michelsona-Morleya
prowadzi
również do wniosku, że nie ma wyróżnionego układu
odniesienia, względem którego ośrodek w którym
rozchodziłyby się fale elektromagnetyczne byłby w
spoczynku. Z tego powodu Einstein odrzucił pojęcie eteru
i w 1905 r.
sformułował szczególną zasadę względności:
wszystkie prawa fizyki muszą być takie same we
wszystkich układach inercjalnych poruszających się
względem
siebie
ruchem
jednostajnym
prostoliniowym.
Nie
można
też
stwierdzić
bezwzględnego
spoczynku jakiegokolwiek układu.
15
Postulaty STW –Einsten 1905r
c=cons
t!
•Prędkość światła jest taka sama we
wszystkich
iner-cjalnych
układach
odniesienia
•Zasada względności obowiązuje
dla wszystkich praw fizyki.
Teoria względności opiera się na
dwóch postulatach:
o
szczegółowej
zasadzie
względności;
o stałości prędkości światła w
próżni.
18
Wielkości bezwzględne i względne
Wielkości względne
•
prędkość v
•
odległość x
•
czas
t
Wielkości
bezwzględne
•
Prędkość światła c
•
masa spoczynkowa m
•
“interwał”
czasoprzestrzenny
•
2
2
2
2
dx
dt
c
ds
Pewne
wielkości
fizyczne
są
niezależnie
od
układu odniesienia
i obserwatora, a
inne
zależą
od
wzglę-dnego ruchu
obserwato-rów
ct
x
ds
dx
cd
t
Transformacje Lorentza
Transformacje Galileusza nie odpowiadają postulatom
teorii względności, ponieważ według teorii względności
prędkość światła jest równa w różnych układach
inercjalnych.
Później
przedstawimy
sposób
wyprowadzenia nowych transformacji, które będą
odpowiadały postulatom teorii względności; noszą one
nazwę transformacji Lorentza.
v
r
1
r
2
Rozważmy sytuację w
której układ inercjalny
O
1
jest w spoczynku,
a układ inercjalny O
2
porusza się ruchem
jednostajnym
prostolinio-wym
z
prędkością v=const w
kierunku osi x.
20
v
r
1
r
2
W chwili t
1
= t
2
= 0 ze
wspólnego początku układów
O
1
i O
2
wysłany jest promień
światła zdążający do punktu
P
o
współrzędnych
przestrzennych i czasowych
równych odpowie-dnio:
x
1
, y
1
, z
1
, t
1
i
x
2
, y
2
, z
2
, t
2
w układach O
1
i O
2
. Odległości r
1
i r
2
z odpowiednich
początków układów do punktu P są określone wzorami:
r
1
= ct
1
;
r
2
= ct
2
. (12)
Jesteśmy więc zmuszeni przyjąć, że czasy t
1
i t
2
mierzone
przez obserwatorów O
1
i O
2
są różne, pomimo że jest to
sprzeczne z naszym życiowym doświadczeniem. Na
podstawie wyrażeń (12) otrzymamy
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
t
c
z
y
x
t
c
z
y
x
(13)
a z warunku symetrii y
1
= y
2
oraz z
1
= z
2
. Uwzględniając
to w wyrażeniach (13) mamy:
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
t
c
x
t
c
x
(14)
Związki transformacyjne pomiędzy układami O
1
i O
2
powinny spełniać pewne warunki formalne:
o
transformacja musi być liniowa; tzn. zdarzeniu w
jednym
układzie
inercjalnym
musi
odpowiadać
pojedyncze zdarzenie w drugim układzie o jednoznacznie
określonych współrzędnych;
o ruch jednostajny musi przekształcać się w ruch
jednostajny;
o dla małych prędkości transformacja musi sprowadzić
się do transformacji Galileusza.
22
W związku z powyższym
1
1
2
x
b
t
a
t
z
z
y
y
vt
x
x
1
2
1
2
1
1
2
gdzie γ, a oraz b są stałymi. Wstawimy teraz wyrażenia
(15) do równania (14), otrzymujemy
(15)
0
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
c
c
a
v
γ
t
bc
a
v
γ
t
x
c
b
a
γ
x
Ponieważ wyrażenie to jest tożsamościowo równe zeru,
więc
0
0
2
2
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
c
a
v
γ
bc
a
v
γ
c
b
a
γ
(16) Równania te
rozwiązujemy
względem stałych γ,
a i b
23
Otrzymujemy wówczas
2
1
1
c
v
a
2
c
v
b
„czynnik
Lorentza”
=
β
Wzory transformacyjne (15) przybierają teraz
postać:
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
x
c
β
t
γ
β
x
c
v
t
t
z
z
y
y
vt
x
γ
β
vt
x
x
(19)
24
Transformacje odwrotne są dane wzorami:
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
x
c
β
t
γ
β
x
c
v
t
t
z
z
y
y
vt
x
γ
β
vt
x
x
Transformacje te znane są jako transformacje
Lorentza, od nazwiska holenderskiego fizyka H.A.
Lorentza, który wprowadził je w 1890 r.
25
Transformacja Lorentza
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
x
c
β
t
γ
β
x
c
v
t
t
z
z
y
y
vt
x
γ
β
vt
x
x
Konsekwencje transformacji
Lorentza
Dodawanie prędkości
W celu wyprowadzenia relatywistycznego prawa
dodawania prędkości musimy użyć transformacji
Lorentza (19). Prędkość wzdłuż osi x w układzie O
1
wyraża się wzorem ,
zaś w układzie O
2
wzorem
(dla
uproszczenia
rozważamy
przypadek
jednowymiarowy). Różniczkując pierwsze i ostatnie
równanie (19) otrzymujemy:
1
1
1
dt
dx
v
2
2
2
dt
dx
v
2
1
1
2
1
vdt
dx
dx
2
1
2
1
2
1
dx
c
v
dt
dt
27
stąd
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
dt
dx
c
v
v
dt
dx
dx
c
v
dt
vdt
dx
dt
dx
v
2
1
1
2
1
c
v
v
v
v
v
Otrzymaliśmy wzór na
doda-wanie prędkości,
który jest ogólniejszy od
wzoru klasy-cznego.
28
Skrócenie długości
Z teorii względności wynika, że ciała ruchome doznają
skrócenia swoich wymiarów w kierunku ich ruchu.
Załóżmy, że pewien pręt ma długość l
o
i porusza się wraz
z układem O
2
. Pręt ten w układzie O
2
spoczywa i położony
jest równolegle do osi x. Długość tego pręta jest wtedy
zdefiniowana jako różnica między współrzędnymi jego
końców A i B w układzie O
2
2
2
A
B
o
x
x
l
W układzie O
1
, pręt ten będzie się poruszał z prędkością
v. W celu wyznaczenia długości l tego pręta w układzie
O
1
należy wyznaczyć w tej samej chwili współrzędne jego
końców x
B1
i x
A1
, gdy je pręt mija. Z transformacji
Lorentza
2
1
1
2
1
c
v
vt
x
x
B
B
2
1
1
2
1
c
v
vt
x
x
A
A
29
Wobec tego
2
2
2
1
1
1
c
v
)
x
x
(
x
x
A
B
A
B
Widzimy więc, że długość l
o
obserwator w układzie O
1
oceni jako
2
2
1
c
v
l
l
o
a więc krótszą
Ogólnie możemy powiedzieć,
że liniowe rozmiary
ciała są największe w tym układzie, względem
którego ciało spoczywa
. Skrócenie długości
zachodzi tylko w przypadku długości mierzonych
równolegle do kierunku ruchu względnego.
Należy tu wspomnieć, że Lorentz i Fitzgerald uważali, że
zjawisko
skrócenia (kontrakcji) przedmiotu znajdującego się w ruchu jest
spowodowane pewną siłą działającą na ten przedmiot w czasie
jego przechodzenia przez stacjonarny eter
. Einstein przyjął
zupełnie odmienny punkt widzenia, a mianowicie, że skrócenie to
jest właściwością samej przestrzeni jako takiej i że
bezwzględny lub wyróżniony spośród innych układ odniesienia nie
istnieje.
30
Skrócenie długości w układzie poruszającym
się widziane przez obserwatora nieruchomego
2
2
2
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
0
1
'
1
'
1
'
'
1
'
'
;
'
'
0
1
'
'
c
u
L
L
c
u
L
c
u
x
x
L
c
u
ut
x
x
ut
x
c
u
ut
x
x
k
k
k
Skrócenie długości w układzie nieruchomym
widziane przez obserwatora ruchomego
Załoga statku kosmicznego mierzy jego długość i
otrzymuje wynik l
o
= 400m. Jaką długość statku
zmierzy obserwator na Ziemi, jeśli wiadomo, że
prędkość statku u = 0.8c
240
64
.
0
1
400
)
/
8
.
0
(
1
400
/
1
2
2
2
0
c
c
c
u
l
l
Przykład
Długość w kier. prostopadłym do kier. ruchu układu
nie ulega zmianie
'
l
l
Wydłużenie przedziałów
czasowych
Następnym
ważnym
wnioskiem
z
teorii
względności jest niejednakowy przebieg czasu w
układach inercjalnych.
Wyobraźmy sobie zdarzenie zachodzące w punkcie A i
chwili t
A
(rys.). Rozważmy następnie inne zdarzenie
zachodzące w tym samym punkcie, ale w innym czasie
t
B
. Oba zdarzenia są rejestrowane w układzie O
2
, w
którym punkt A jest w spoczynku. Przedział czasu
między dwoma zdarzeniami jest równy
2
2
2
A
B
t
t
T
x
A 2
y
A 2
O
1
O
2
x
2
x
1
y
1
y
2
A
v
35
Rozważmy teraz tę samą parę zdarzeń, ale obserwowaną
z układu O
1
, poruszającego się równolegle do osi x układu
O
2
, z prędkością względną –v. Oczywiście przedział
czasowy obserwowany z układu O
1
jest określony wzorem
1
1
1
A
B
t
t
T
ale
w
układzie
O
1
wartości
współrzędnych
przestrzennych pierwszego zdarzenia nie będą takie
same jak drugiego zdarzenia, jak to było w układzie
spoczynkowym O
2
. Chwili początkowej t
A1
odpowiada
współrzędna x
A1
, chwili końcowej t
B1
– współrzędna x
B1
.
Z transformacji Lorentza (19) mamy
2
1
2
1
2
1
c
v
x
c
v
t
t
A
A
A
2
1
2
1
2
1
c
v
x
c
v
t
t
B
B
B
Po
odjęciu
stronami
tych
równości,
otrzymujemy
36
2
1
1
2
1
2
1
c
v
x
x
c
v
T
T
A
B
ale
1
1
1
vT
x
x
A
B
czyli
2
1
2
1
c
v
T
T
1
2
T
T
Zatem
przedział czasu, który rozdziela dwa
następujące po sobie zdarzenia, w każdym
układzie poruszającym się względem układu
spoczywającego, jest dłuższy niż w układzie
spoczywającym.
Ponieważ
mierzony
przedział
czasowy może zostać wydłużony jedynie wskutek
zwolnienia chodu zegara używanego do pomiaru tego
przedziału, więc powyższy wniosek jest równoważny
stwierdzeniu, że poruszające się zegary chodzą wolniej
niż zegary w spoczynku.
37
Wydłużenie czasu. Czas własny
2
2
1
'
c
u
T
T
2
2
1
'
c
u
T
T
Dylatacja czasu
Czas w ruchu jest zwany czasem
własnym
Czas własny płynie wolniej !!!
2
2
1
1
c
u
0
0
2
2
0
1
t
c
u
t
t
γΔt
gdzi
e
Dylatacja czasu
2
2
)
2
(
t
u
d
l
2
2
0
2
2
)
2
(
)
2
(
2
)
2
(
2
2
t
u
t
c
c
t
u
d
c
c
l
t
0
t
Mavis mierzy
odstęp czasu
:
Stanley mierzy odstęp
czasu:
Czas własny płynie wolniej !!!
t
c
d
t
2
0
Względność jednoczesności zdarzeń
Dwa zdarzenia jednoczesne w jednym układzie odniesienia nie
są jednoczesne z punktu widzenia obserwatora znajdującego się
w układzie odniesienia poruszającym się względem pierwszego.
Mavis twierdzi, że piorun uderzył najpierw w prawe drzwi wagonu,
bo zbliża się do fali nadbiegającej od strony tych drzwi a oddala
od fali nadbiegającej od lewej strony. Wg. Stanleya, piorun
uderzył jednocześnie w prawe i lewe drzwi.
Skrócenie długości Lorentza - paradoks „tyczki w
stodole”
L
c
L
2
2
1
2
v
2
2
1
L
c
L
2
v
Dokładność GPS zależy od STW!
(GPS) Global Positioning
System
•Błąd pomiaru czasu rzędu
miliardowej części sekundy
powoduje błąd pomiaru
położenia rzędu 50 cm.
•Ze względu na ruch satelity
czas płynie wolniej o ok. 10
-8
s.
Mniejsza grawitacja nieznacznie
zmniejsza tę różnicę.
•Koniecznie zatem należy
uwzględnić STW i OTW!
Prędkość światła
c
c
czyli
c
c
ux
x
c
c
ux
x
t
x
c
c
u
x
c
u
c
x
t
c
u
c
x
u
x
x
'
;
1
'
'
'
;
1
'
;
1
'
2
2
2
2
2
Czasoprzestrzeń.
x
y
t
zdarzenie
zdarzenie
w terazniejszosci
zdarzenie
w przeszlosci
w przyszlosci
czas
czas
T E R A Z
J U T R O
W C Z O R A J
PUNKT
SWIATA
Linia swiata(droga zycia)
punktu substancjonalnego
Czasoprzestrzeń.
ict
x=ct (stożek światła)
Informacja
o zdarzeniu w t=0,x=0
,y=0
x
y
absolutna przeszłość
absolutna przyszłość
Mechanika relatywistyczna
Masa i pęd
W mechanice klasycznej pęd ciała jest definiowany
jako
v
m
p
Prawo zachowania pędu izolowanego układu cząstek
jest najbardziej fundamentalnym prawem fizyki.
Izolowany układ cząstek m
1
, m
2
, ...., m
n
, nie
podlegający
działaniu
sił
zewnętrznych,
będzie
zachowywał się w czasie i przestrzeni w taki sposób, że
const
v
m
i
i
i
Kiedy zdarzenie obserwuje się z różnych, poruszających
się układów odniesienia, nie ma powodu oczekiwać, że
przestrzeń stanie się niejednorodna. Musimy zobaczyć,
jak zachowuje się powyższe równanie gdy zastosujemy
transformację Lorentza dla poruszających się układów
współrzędnych.
47
Przewidując komplikacje dotyczące masy jakie mogą
powstać, przypisujemy masie specjalny symbol m
o
.
Masa m
o
jest masą ciała w spoczynku, mierzoną w
naszym układzie odniesienia i nosi nazwę masy
spoczynkowej.
y
1
y
2
x
1
x
2
O
1
O
2
p r z e d z d e r z e n ie m
( a )
v
2
A
v
2
B
v
y
1
y
2
x
1
x
2
O
1
O
2
p o z d e r z e n iu
( b )
'
2
B
v
'
2
A
v
v
Rys. (a) Obserwator O
2
widzi dwie kule zbliżające się do siebie
z jednakowymi prędkościami. (b) Obserwator O
2
będzie widział
kule odskakujące z równymi ale przeciwnie skierowanymi
prędkościami.
48
Rozważmy dwie identyczne i idealnie sprężyste kule w
poruszającym się układzie O
2
, każda o masie
spoczynkowej m
o
(rys.). W poruszającym się układzie
O
2
, kule A i B mają prędkości odpowiednio równe
V
v
V
v
B
A
2
2
W wyrażeniach na prędkość zastosujemy transformację
Lorentza, aby powiązać obserwacje tego samego
zjawiska z obu układów. Z transformacji Lorentza
wynika, że w układzie O
1
c
V
v
V
c
v
v
v
v
A
A
A
1
1
2
2
1
c
V
v
V
c
v
v
v
v
B
B
B
1
1
2
2
1
Gdzie
= v/c
(31)
(32)
49
Jeżeli suma mas obserwowana z układu O
1
jest równa
M, to ta masa pozostanie stała w procesie zderzenia i
w chwili zderzenia mamy
Mv
v
m
v
m
B
B
A
A
1
1
1
1
gdzie
1
1
B
A
m
m
M
Zatem, podczas gdy obserwator O
2
widzi masy chwilowo
w spoczynku, obserwator O
1
widzi, że poruszają się one z
prędkością v. Z ostatniego równania mamy
1
1
1
1
1
1
1
1
A
A
B
B
B
B
A
A
v
v
M
v
v
m
v
v
M
v
v
m
(34)
Po zastosowaniu równań
transformacyjnych (31) i
(32)
i
uproszczeniu,
stosunek wyrażeń (34)
wynosi
c
V
c
V
m
m
B
A
1
1
1
1
(35)
50
Korzystając z wyrażenia (31) otrzymujemy
co można przekształcić algebraicznie, otrzymując
Podobnie, korzystając z równania (32), otrzymujemy
2
2
2
2
2
1
1
1
1
c
V
c
v
V
c
v
A
c
V
c
V
c
v
A
1
1
1
1
2
2
2
2
1
c
V
c
V
c
v
B
1
1
1
1
2
2
2
2
1
Czynniki
oraz
mogą być teraz wyznaczone z powyższych równań i
podsta-wione do równania (35).
c
V
1
c
V
1
c
V
v
V
c
v
v
v
v
A
A
A
1
1
2
2
1
c
V
c
V
m
m
B
A
1
1
1
1
51
Otrzymujemy w ten sposób następujące wyrażenie na
stosunek dwóch mas widzianych z układu O
1
2
1
2
1
1
1
1
1
c
v
c
v
m
m
A
B
B
A
Zatem masa widziana z poruszającego się układu
odniesienia nie jest równa m
o
, ale jest odwrotnie
proporcjonalna do czynnika Lorentza , który jest
zawsze większy od 1, ale zbliża się do 1 gdy prędkość
staje się bardzo mała w porównaniu z prędkością
światła c. Pozwala to sformułować ogólne twierdzenie,
że
2
1
1
c
/
v
o
B
B
A
A
m
c
v
m
c
v
m
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
Czyli >>>
52
o
o
m
m
m
2
1
Masa ciała nie jest zatem w ogólności stała ani taka
sama dla wszystkich obserwatorów, ale jest wielkością
która:
> zależy od układu odniesienia z jakiego jest
obserwowana,
> jest równa m
o
kiedy ciało jest w spoczynku w
układzie odniesienia z którego jest obserwowane.
Właściwości czynnika Lorentza powodują, że masa
staje się bardzo duża i w końcu zbliża się do
nieskończoności, kiedy prędkość względna zbliża się
do c.
53
Zgodnie
ze
wzorem
na
masę,
wyrażenie
relatywistyczne na pęd ma postać
a na zachowanie pędu układu izolowanego
v
m
v
m
p
o
const
v
m
v
m
i
n
i
oi
i
n
i
i
1
1
Teraz podam wyrażenia na kolejne wielkości bez
ich wyprowadzeń
54
Pęd klasyczny
i
pęd
relatywistyczny
p
m
0
c
2m
0
c
3m
0
c
4m
0
c
5m
0
c
2
2
1
c
m
p
o
v
v
v
0
m
p
v
0
.2c .4c .
6c
.8c
c
Definicja siły
Chociaż prawa mechaniki klasycznej nie są na tyle
uniwersalne,
aby
opisywały
także
zjawiska
relatywistyczne, to drugie prawo Newtona
jest na tyle ogólne, że stosuje się również w
mechanice relatywistycznej. Zróżniczkowanie ww.
równania prowadzi do wyrażenia
gdzie m oznacza teraz
m
o
.
v
m
dt
d
dt
p
d
F
dt
dm
v
dt
v
d
m
F
56
Siła i przyśpieszenie relatywistyczne
Równanie Newtona dp/dt=d/dt(mv)=F nie
jest niezmiennicze względem transformacji
Lorentza ponieważ prędkość ciała względem
układu nieruchomego wynosi v=(u+v’)/(1+
uv’/c
2
), a nie jak w przypadku transformacji
Galileusza v=u+v’ , a przyśpieszenie d
2
x’/dt’
2
nie będzie równe dx
2
/dt
2
lecz wyniesie
v
dt
d
dt
dp
m
F
2
2
3
2
2
2
2
dt
x
d
c
v
1
1
dt'
x'
d
'
a
Przyśpieszenie relatywistyczne
Rozważmy pochodną po czasie
następującego wyrażenia
v
v
c
1
2
2
d
dt
v
v
c
dv
dt
v
c
v
c
dv
dt
v
c
v
c
d x
dt
v
c
d x
dt
v
c
v
c
d x
dt
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
Porównajmy teraz wynik różniczkowania z wzorem na
przyśpieszenie
2
2
3
2
2
2
2
dt
x
d
c
v
1
1
dt'
x'
d
'
a
Siła, pęd i masa relatywistyczna
2
2
o
2
2
0
c
1
m
dt
d
dt'
x'
d
m
a
m
'
F
v
v
'
0
2
2
0
v
1
c
m
m
Siła
relatywistyczna
Zatem pęd
relatywistyczny
masa
relatywistyczna
dt
dp
F
'
Z
drugie
j
strony
2
2
0
1
c
m
p
v
v
Energia relatywistyczna
v
v
v
x
x
p
x
x
k
c
v
v
vd
m
c
v
v
m
vd
vdp
dp
dt
dx
dx
dt
dp
Fdx
E
0
2
2
0
0
0
2
2
0
0
1
1
2
1
2
1
v
k
c
v
v
vd
m
E
0
2
2
0
1
Kinetyczna energia relatywistyczna
v
k
c
v
v
vd
m
E
0
2
2
0
1
Obliczmy prawą stronę
tego równania wykonując
całkowanie przez części
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
0
1
1
1
1
c
m
mc
c
m
c
v
c
m
c
c
v
c
m
c
v
vdv
c
v
v
m
E
V
k
Energia relatywistyczna
Stąd energia
całkowita
2
0
2
c
m
E
mc
E
k
2
0
2
2
0
2
2
2
0
1
c
m
mc
c
m
c
v
c
m
E
k
Energia spoczynkowa
Dla m
0
= 1 gram
2
0
0
c
m
E
1kg odważnik = 1000 gramów =1000 bomb 20-kilotonowych
Co odpowiada jednej 20-kilotonowej bombie
atomowej
J
s
m
kg
E
13
2
8
3
0
10
9
10
3
10
Energia kinetyczna relatywistyczna i
klasyczna
E
mc
v
c
mc
m v
m
v
c
m v
k
0
2
2
2
1 2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
1
1
2
3
8
1
2
/
...
Rozwijając pierwszy wyraz w nawiasie na szereg dwumianowy o
wykładniku ujemnym
1
1
1
1
2
2
2
0
2
0
2
2
2
0
c
v
c
m
c
m
c
v
c
m
E
k
...
8
3
2
1
1
1
2
4
2
2
2
/
1
2
2
c
v
c
v
c
v
Otrzymamy na energię kinetyczną wzór, który dla
małych prędkości w porównaniu z c przechodzi w
znany wzór z dynamiki klasycznej E
k
=1/2 mv
2
Zasada względności Einsteina
1) Układy inercjalne transformują się według wzorów
Lorentza. Względem tych przekształceń prawa
mechaniki i elektrodynamiki są niezmiennicze. Jeśli
wszystkie siły przyrody kształtują się według tych
samych praw co siły elektromagnetyczne, to
wszystkie
prawa
przyrody
muszą
być
niezmiennicze względem transformacji Lorentza
;
2)
Niemożliwym jest wykrycie ruchu absolutnego. Z
niemożliwości wykrycia ruchu absolutnego
wynika
równoważność wszystkich układów inercjalnych
.
Nie ma potrzeby zajmowania się pojęciem eteru jako
absolutnego
układu
odniesienia.
Pole
elektromagnetyczne w próżni jest realnością fizyczną i
prawa nim rządzące nie wymagają istnienia
specjalnego ośrodka (eteru);
3)
Na podstawie analizy faktów doświadczalnych i
rozważań zawartych w tzw. szczególnej teorii
względności Einstein formułuje zasadę względności w
stwierdzeniu, że
:
Wszystkie układy
inercjalne są
równoważne przy
formułowaniu praw
przyrody.
Relatywistyczna energia
kinetyczna
Aby znaleźć wyrażenie relatywistyczne na energię
kinetyczną, obliczamy pracę wykonaną w celu
zwiększenia prędkości cząstki od zera do końcowej
wartości v. Żeby uprościć to zadanie, zakładamy, że
siła i przesunięcie mają ten sam kierunek.
r
r
d
F
K
0
2
c
m
m
K
o
67
Energia całkowita
K
E
E
o
2
c
m
E
o
o
gdzie
Energia
spoczynkowa
a skoro
to
Należy zauważyć, że ta definicja energii całkowitej w
mechanice relatywistycznej nie zawiera energii
potencjalnej.
Równoważność masy i energii jest jedną z
najważniejszych konsekwencji szczególnej
teorii względności.
2
2
c
m
m
c
m
E
o
o
2
mc
E
68
Efekt Dopplera dla fal elektromagnetycznych
zależy tylko od względnego ruchu źródła i
obserwatora, gdyż fale elektromagnetyczne
mogą rozchodzić się w próżni
.
Nie wymagają ośrodka, który mógłby stanowić układ
odniesienia.
Aby obliczyć wielkość efektu Dopplera dla fal
elektromagnetycznych,
musimy
stosować
teorię
względności.
69
Efekt Dopplera dla fal
elektromagnetycznych
v
D e te k t o r
Ź r ó d ło
y
1
y
2
x
2
x
1
0
1
0
2
Na rys. pokazano źródło światła i detektor oddalające
się ze względną prędkością v. Załóżmy, że w obu
układach mamy identyczne zegary wskazujące zero w
chwili gdy układy O
1
i O
2
znajdowały się w tym samym
miejscu. Przypuśćmy, że źródło emituje impuls światła,
gdy jego zegar wskazuje czas T
2
. Chcemy obliczyć czas
T
1
, gdy impuls dochodzi do detektora w układzie O
1
. Z
teorii względności wiemy, że obserwator w układzie
spoczywającym O
1
widzi, że zegar biegnie szybciej niż
poruszający się zegar w układzie O
2
.
70
Według obserwatora O
1
(8.104)
W układzie odniesienia O
1
czas przelotu impulsu jest
równy x
1
/c. Jeżeli t
1
jest momentem przybycia impulsu
światła do O
1
, to w układzie odniesienia O
1
mamy
Wyeliminujemy x
1
biorąc pod uwagę relację (8.104) i x
1
=
vt
1
. Wówczas
czyli
2
2
1
1
c
v
T
t
c
x
t
przelotu
czas
t
T
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
c
v
c
vT
c
v
T
T
2
2
1
1
1
T
c
v
c
v
T
71
Okres czasu między dwoma kolejnymi impulsami, czyli
okres drgań, wynosi
(8.105)
gdzie
2
jest okresem zmierzonym przy źródle. Związek
między częstością a okresem jest dany wzorem f = 1/
.
W związku z tym na podstawie (8.105) otrzymujemy
Źródło i detektor oddalają się
(8.106)
W przypadku gdy źródło się przybliża, znak przy v/c
będzie odwrócony
(8.107)
2
2
1
1
1
c
v
c
v
2
1
1
1
f
c
v
c
v
f
2
1
1
1
f
c
v
c
v
f
72
Przy małych prędkościach względnych (v << c), po
rozwinięciu dwóch ostatnich zależności w szereg,
możemy pominąć (v/c)
2
oraz człony o wyższych
potęgach. Otrzymamy wtedy
(8.108)
przy czym znak + odnosi się do v < 0, zaś znak – do v >
0.
Zjawisko Dopplera dla fal elektromagnetycznych
ma liczne praktyczne zastosowania, np. w fizyce
atomowej, w astronomii do określenia prędkości
odległych świecących ciał niebieskich, w
radiolokacji do pomiaru prędkości i odległości
ruchomych obiektów.
2
1
1
f
c
v
f
73
Grawitacja a ogólna teoria
względności
To co dotychczas rozważaliśmy, nazywamy szczególną
teorią względności w odróżnieniu od ogólnej teorii
względności. Pierwsza z nich była całkowicie rozwinięta
przez Einsteina w 1905 r., podczas gdy druga – w zasadzie
w 1911 r. Ogólna teoria względności stanowi współczesną
teorię grawitacji.
Prawo powszechnego ciążenia, zwane również prawem
grawitacji, zostało sformułowane przez Newtona w 1687 r.
Prawo to mówi, że dwa ciała o masach m
1
i m
2
przyciągają
się wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i
odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich odległości r,
Współczynnik proporcjonalności G nosi nazwę stałej
grawitacji, która wynosi 6,6710
–11
Nm
2
/kg
2
.
2
2
1
r
m
m
G
F
74
Siła grawitacyjna jest przykładem często spotykanej w
fizyce siły centralnej, tzn. siły której kierunek działania
przechodzi przez centrum i której wartość zależy od
odległości od tego cen-trum. Innymi przykładami siły
centralnej są siła elektrostatyczna i siła sprężystości.
Niezwykle ważną cechą siły centralnej jest to, że
moment tej siły względem centrum wynosi zero, co
oznacza, że w ruchu pod wpływem siły centralnej musi
być zachowany moment pędu cząstki. Każda z sił
centralnych jest siłą zachowawczą.
Można wykazać, że pod działaniem siły centralnej ciało
może poruszać się po krzywej stożkowej: elipsie,
paraboli lub hiperbo-li w zależności od warunków
początkowych w jakich ciało to do-staje się w pole
działania siły. Wynikają stąd sformułowane przez
Keplera w latach 1609–1619, a więc jeszcze przed
odkry-ciami Newtona, trzy prawa ruch planet.
75
W teorii grawitacji Newtona przyjmuje się, że siła
działa natychmiast, a to oznacza, że sygnał bądź
energia przekazywane są natychmiast od masy m
1
do
masy m
2
.
W ten sposób naruszone jest jedno z
podstawowych założeń teorii względności, że żaden
sygnał (żadna postać energii) nie może się rozchodzić
z prędkością większą od prędkości światła
.
Równoważność masy i energii oznacza, że światło
powinno ulegać przyciąganiu grawitacyjnemu
. I tak np.
światło przebiegające w pobliżu Słońca na drodze
porównywalnej ze średnicą Słońca równej 1,4410
9
m
w czasie t = 1,4410
9
/c = 5 s powinno ”spaść” o h =
(1/2)g
s
t
2
= 3,710
3
m, gdzie g
s
oznacza przyśpieszenie
w pobliżu Słońca. Wówczas kąt odchylenia promienia
wynosi a = h/R
s
= 510
–6
radiana czyli około 1
’’
.
Zjawisko to zaobserwowano podczas zaćmienia Słońca
jako zmianę położenia pewnych gwiazd.
76
Ogólna teoria względności odgrywa dużą rolę w dziale
astrofizyki zwanej kosmologią – nauce o powstaniu,
rozmiarach i budowie Wszechświata.
Wyjaśnia ona takie zjawiska jak:
zwiększenie długości fali przy emitowaniu światła przez
ciała o dużej masie,
zakrzywienie promienia świetlnego przechodzącego w
pobliżu powierzchni Słońca w kierunku środka Słońca,
czy też mechanizm powstawania tzw. ”czarnych dziur”
(specjalnego typu gwiazd).
77