POLECANA LITERATURA
B.Winkinson: Układy cyfrowe. Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa
2000.
A.Skorupski: Podstawy techniki cyfrowej. Wydawnictwa Komunikacji i Łączności,
Warszawa 2000.
H.Kamionka-Mikuła, H.Małysiak, B.Pochopień: Układy cyfrowe - teoria i przykłady.
Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice, 2000.
G.De Michelli: Synteza i optymalizacja układów cyfrowych. WNT, Warszawa 1999.
SYSTEMY
LICZBOWE
Rodzaje informacji (analogowe i cyfrowe)
Rodzaje informacji (analogowe i cyfrowe)
System dwójkowy
System dwójkowy
System heksadecymalny
System heksadecymalny
RODZAJE INFORMACJI
RODZAJE INFORMACJI
Informacje
Informacje
analogowe
analogowe
Informacje dyskretne
Informacje dyskretne
(cyfrowe)
(cyfrowe)
U(t)
Umax
Umax
0
0
R=(0,Umax)
nieskończony
zbiór możliwych
wartości
U(t)
Umaxq
Umax
0
0
R=(
U, 2U,
3U, 4U
)
moc zbioru R
wynosi 4
U - kwant
wartości
MASZYNA
MASZYNA
ANALOGOWA
ANALOGOWA
WE
WY
MASZYNA
MASZYNA
CYFROWA
CYFROWA
#
#
#
#
a/c
c/a
INFORMACJA CYFROWA
INFORMACJA CYFROWA
(1)
(1)
Def.1. Informacją cyfrową nazywamy informację przedstawioną w
Def.1. Informacją cyfrową nazywamy informację przedstawioną w
postaci słów cyfrowych
postaci słów cyfrowych
Def.1. Informacją cyfrową nazywamy informację przedstawioną w
Def.1. Informacją cyfrową nazywamy informację przedstawioną w
postaci słów cyfrowych
postaci słów cyfrowych
Def.2. Słowem cyfrowym nazywamy dowolny ciąg składający się z
Def.2. Słowem cyfrowym nazywamy dowolny ciąg składający się z
symboli 0 i/lub 1
symboli 0 i/lub 1
Def.2. Słowem cyfrowym nazywamy dowolny ciąg składający się z
Def.2. Słowem cyfrowym nazywamy dowolny ciąg składający się z
symboli 0 i/lub 1
symboli 0 i/lub 1
Długość słowa
Długość słowa
Oznaczenie
Oznaczenie
symboliczne
symboliczne
Nazwa
Nazwa
1
1
4
4
8
8
16
16
32
32
64
64
a
a
0
0
a
a
3
3
...a
...a
0
0
a
a
7
7
.....a
.....a
0
0
a
a
15
15
.......a
.......a
0
0
a
a
31
31
.........a
.........a
0
0
a
a
63
63
...........a
...........a
0
0
bit
bit
tetrada, kęs
tetrada, kęs
bajt
bajt
słowo 16-bitowe, słowo
słowo 16-bitowe, słowo
podwójne słowo, dwusłowo
podwójne słowo, dwusłowo
słowo 64-bitowe, czterosłowo
słowo 64-bitowe, czterosłowo
1b - oznacza 1 bit
1b - oznacza 1 bit
1B=8b
1B=8b
1B - oznacza 1 bajt
1B - oznacza 1 bajt
1kB=1024B (2
1kB=1024B (2
10
10
)
)
1MB=1024kB
1MB=1024kB
1GB=1024MB
1GB=1024MB
Przykład: 20 MB jest ilością informacji ośmiokrotnie większą niż 20Mb
Przykład: 20 MB jest ilością informacji ośmiokrotnie większą niż 20Mb
INFORMACJA CYFROWA
INFORMACJA CYFROWA
(2)
(2)
W słowach cyfrowych wyróżnia się najstarszą i najmłodszą pozycję,
W słowach cyfrowych wyróżnia się najstarszą i najmłodszą pozycję,
tj.
tj.
bit najbardziej znaczący
bit najbardziej znaczący
zwany najstarszym (ang.
zwany najstarszym (ang.
MSB
MSB
- Most
- Most
Significant Bit
Significant Bit
)
)
oraz
oraz
bit najmniej znaczący
bit najmniej znaczący
zwany najmłodszym (ang.
zwany najmłodszym (ang.
LSB
LSB
-
-
Least
Least
Significant Bit
Significant Bit
)
)
a
a
n-1
n-1
......................... a
......................... a
0
0
MSB
MSB
LSB
LSB
Analogicznie możemy mówić o starszym i
Analogicznie możemy mówić o starszym i
najmłodszym bajcie lub o starszej lub młodszej
najmłodszym bajcie lub o starszej lub młodszej
tetradzie
tetradzie
DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY
DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY
Do zapisu dowolnej liczby system
Do zapisu dowolnej liczby system
wykorzystuje dziesięć symboli (cyfr):
wykorzystuje dziesięć symboli (cyfr):
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Dowolną liczbę w systemie dziesiętnym
Dowolną liczbę w systemie dziesiętnym
możemy przedstawić jako następująca sumę:
możemy przedstawić jako następująca sumę:
(a
(a
n-1
n-1
...a
...a
1
1
a
a
0
0
)
)
D
D
= a
= a
n-1
n-1
*10
*10
(n-1)
(n-1)
+...+ a
+...+ a
1
1
*10
*10
1
1
+ a
+ a
0
0
*10
*10
0
0
=
=
gdzie:
gdzie:
i - numer pozycji w liczbie,
i - numer pozycji w liczbie,
a
a
i
i
- dowolna z cyfr od 0 do 9,
- dowolna z cyfr od 0 do 9,
n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie
n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie
Przykład:
Przykład:
425
425
D
D
= 4*10
= 4*10
2
2
+ 2*10
+ 2*10
1
1
+ 5*10
+ 5*10
0
0
pozycja jedynek
pozycja jedynek
(0)
(0)
pozycja
pozycja
dziesiątek (1)
dziesiątek (1)
pozycja setek (2)
pozycja setek (2)
1
n
0
i
i
i
10
a
DWÓJKOWY SYSTEM LICZBOWY
DWÓJKOWY SYSTEM LICZBOWY
Do zapisu dowolnej liczby system
Do zapisu dowolnej liczby system
wykorzystuje dwa symbole (cyfry):
wykorzystuje dwa symbole (cyfry):
0, 1
0, 1
Dowolną liczbę w systemie dwójkowym
Dowolną liczbę w systemie dwójkowym
możemy przedstawić jako następująca
możemy przedstawić jako następująca
sumę:
sumę:
(a
(a
n-1
n-1
...a
...a
1
1
a
a
0
0
)
)
B
B
= a
= a
n-1
n-1
*2
*2
(n-1)
(n-1)
+...+ a
+...+ a
1
1
*2
*2
1
1
+ a
+ a
0
0
*2
*2
0
0
=
=
gdzie:
gdzie:
i - numer pozycji w liczbie,
i - numer pozycji w liczbie,
a
a
i
i
- dowolna z cyfr (0 lub 1),
- dowolna z cyfr (0 lub 1),
n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie
n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie
Przykład:
Przykład:
10100
10100
B
B
= 1*2
= 1*2
4
4
+ 0*2
+ 0*2
3
3
+ 1*2
+ 1*2
2
2
+ 0*2
+ 0*2
1
1
+ 0*2
+ 0*2
0
0
1
n
0
i
i
i
2
a
KONWERSJA LICZB
KONWERSJA LICZB
1.
1.
10100
10100
B
B
= 1*2
= 1*2
4
4
+
+ 0*2
0*2
3
3
+ 1*2
+ 1*2
2
2
+
+ 0*2
0*2
1
1
+ 0*2
+ 0*2
0
0
=
=
= 1*16 +
= 1*16 + 0*8
0*8
+ 1*4 +
+ 1*4 + 0*2
0*2
+ 0*1 =
+ 0*1 = 20
20
D
D
3.
3.
0,725*2 =
0,725*2 =
1,45
1,45
0,45 *2 =
0,45 *2 =
0,9
0,9
0,9 *2 =
0,9 *2 =
1,8
1,8
0,8 *2 =
0,8 *2 =
1,6
1,6
0,6 *2 =
0,6 *2 =
1,2
1,2
0,2 *2 =
0,2 *2 =
0,4
0,4
...
...
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
...
...
k
ie
ru
n
e
k
o
d
c
zy
tu
k
ie
ru
n
e
k
o
d
c
zy
tu
w
y
n
ik
u
w
y
n
ik
u
czyli 0,725
czyli 0,725
D
D
=0,101110
=0,101110
B
B
0,10111
0,10111
B
B
= 0,1011
= 0,1011
B
B
nadmiar
nadmiar
4.
4.
0,101110
0,101110
B
B
=
= 1*2
1*2
-1
-1
+ 0*2
+ 0*2
-2
-2
+
+ 1*2
1*2
-3
-3
+ 1*2
+ 1*2
-4
-4
+
+ 1*2
1*2
-5
-5
+
+
0*2
0*2
-6
-6
=
=
=
= 1*1/2
1*1/2
+ 0*1/4 +
+ 0*1/4 + 1*1/8
1*1/8
+ 1*1/16 +
+ 1*1/16 + 1*1/32
1*1/32
+
+
0*1/64 =
0*1/64 = 0,71875
0,71875
D
D
2.
2.
20:2 = 10
20:2 = 10
10:2 = 5
10:2 = 5
5:2 = 2
5:2 = 2
2:2 = 1
2:2 = 1
1:2 = 0
1:2 = 0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
k
ie
ru
n
e
k
o
d
c
zy
tu
k
ie
ru
n
e
k
o
d
c
zy
tu
w
y
n
ik
u
w
y
n
ik
u
czyli 20
czyli 20
D
D
=
=
10100
10100
B
B
reszta
reszta
HEKSADECYMALNY (SZESNASTKOWY)
HEKSADECYMALNY (SZESNASTKOWY)
SYSTEM LICZBOWY
SYSTEM LICZBOWY
Do zapisu dowolnej liczby system
Do zapisu dowolnej liczby system
wykorzystuje szesnaście symboli (cyfr i
wykorzystuje szesnaście symboli (cyfr i
liter):
liter):
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Dowolną liczbę w systemie
Dowolną liczbę w systemie
heksadecymalnym możemy przedstawić
heksadecymalnym możemy przedstawić
jako następująca sumę:
jako następująca sumę:
(a
(a
n-1
n-1
...a
...a
1
1
a
a
0
0
)
)
H
H
= a
= a
n-1
n-1
*16
*16
(n-1)
(n-1)
+...+ a
+...+ a
1
1
*16
*16
1
1
+
+
a
a
0
0
*16
*16
0
0
=
=
gdzie:
gdzie:
i - numer pozycji w liczbie,
i - numer pozycji w liczbie,
a
a
i
i
- dowolna cyfra heksadecymalna,
- dowolna cyfra heksadecymalna,
n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie
n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie
Przykład:
Przykład:
1C2
1C2
H
H
= 1*16
= 1*16
2
2
+ C*16
+ C*16
1
1
+ 2*16
+ 2*16
0
0
1
n
0
i
i
i
16
a
KONWERSJA LICZB
KONWERSJA LICZB
(1)
(1)
1.
1.
2.
2.
1C2
1C2
H
H
= 1*16
= 1*16
2
2
+ C*16
+ C*16
1
1
+ 2*16
+ 2*16
0
0
=
=
= 1*256 + 12*16 + 2*1 = 450
= 1*256 + 12*16 + 2*1 = 450
D
D
450:16 =
450:16 =
28
28
28:16 = 1
28:16 = 1
1:16 = 0
1:16 = 0
reszta=
reszta=
2
2
reszta=
reszta=
C
C
reszta=
reszta=
1
1
k
ie
ru
n
e
k
k
ie
ru
n
e
k
o
d
c
zy
tu
o
d
c
zy
tu
w
y
n
ik
u
w
y
n
ik
u
czyli 450
czyli 450
D
D
=
=
1C2
1C2
H
H
reszty zapisujemy w
reszty zapisujemy w
postaci cyfry
postaci cyfry
heksadecymalnej
heksadecymalnej
KONWERSJA LICZB
KONWERSJA LICZB
(2)
(2)
Do konwersji zapisu binarnego na
Do konwersji zapisu binarnego na
heksadecymalny i odwrotnie wykorzystuje
heksadecymalny i odwrotnie wykorzystuje
się tabelę:
się tabelę:
cyfra heksadecymalna liczba binarna liczba dziesiętna
0
0000
0
1
0001
1
2
0010
2
3
0011
3
4
0100
4
5
0101
5
6
0110
6
7
0111
7
8
1000
8
9
1001
9
A
1010
10
B
1011
11
C
1100
12
D
1101
13
E
1110
14
F
1111
15
KONWERSJA LICZB
KONWERSJA LICZB
(3)
(3)
1C2
1C2
H
H
=
=
= 0001 1100
= 0001 1100
0010 =
0010 =
= 000111000010
= 000111000010
=
=
= 111000010
= 111000010
B
B
111000010
111000010
B
B
=
=
=
=
000
000
1 1100 0010
1 1100 0010
B
B
=
=
= 1C2
= 1C2
H
H
każdą cyfrę hex.
każdą cyfrę hex.
zapisujemy w postaci
zapisujemy w postaci
czwórki cyfr binarnych
czwórki cyfr binarnych
odrzucamy nieznaczące
odrzucamy nieznaczące
zera na początku liczby
zera na początku liczby
binarnej
binarnej
1.
1.
2.
2.
liczbę binarną dzielimy od
liczbę binarną dzielimy od
końca na czwórki
końca na czwórki
ewentualnie dopisując
ewentualnie dopisując
nieznaczące zera w
nieznaczące zera w
ostatniej (pierwszej)
ostatniej (pierwszej)
czwórce
czwórce
każdą czwórkę binarną
każdą czwórkę binarną
zapisujemy w postaci cyfry
zapisujemy w postaci cyfry
hex.
hex.
KODOWANIE LICZB I TEKSTÓW
Kody binarne
Kody binarne
kod naturalny NKB
kod naturalny NKB
kod BCD
kod BCD
kod Gray’a
kod Gray’a
inne kody
inne kody
Kodowanie znaków (tekstów)
Kodowanie znaków (tekstów)
KODOWANIE
KODOWANIE
Zbiorem
Zbiorem
kodowanym może
kodowanym może
być zbiór
być zbiór
dowolnych
dowolnych
obiektów (cyfr,
obiektów (cyfr,
liter, symboli
liter, symboli
graficznych,
graficznych,
stanów
stanów
logicznych,
logicznych,
poleceń do
poleceń do
wykonania itp.)
wykonania itp.)
Def.1.
Def.1.
Kodowaniem
Kodowaniem
nazywamy przyporządkowanie
nazywamy przyporządkowanie
poszczególnym obiektom zbioru kodowanego
poszczególnym obiektom zbioru kodowanego
odpowiadających im elementów zwanych słowami kodowymi,
odpowiadających im elementów zwanych słowami kodowymi,
przy czym każdemu słowu kodowemu musi odpowiadać
przy czym każdemu słowu kodowemu musi odpowiadać
dokładnie jeden element kodowany
dokładnie jeden element kodowany
Def.1.
Def.1.
Kodowaniem
Kodowaniem
nazywamy przyporządkowanie
nazywamy przyporządkowanie
poszczególnym obiektom zbioru kodowanego
poszczególnym obiektom zbioru kodowanego
odpowiadających im elementów zwanych słowami kodowymi,
odpowiadających im elementów zwanych słowami kodowymi,
przy czym każdemu słowu kodowemu musi odpowiadać
przy czym każdemu słowu kodowemu musi odpowiadać
dokładnie jeden element kodowany
dokładnie jeden element kodowany
A
A
B
B
C
C
010
010
111
111
100
100
001
001
Proces kodowania może być
Proces kodowania może być
opisem słownym, wzorem
opisem słownym, wzorem
(zależnością matematyczną),
(zależnością matematyczną),
tabelą kodową itp.
tabelą kodową itp.
Def.2. Kodem liczbowym nazywamy taki kod, który liczbom
Def.2. Kodem liczbowym nazywamy taki kod, który liczbom
dowolnego systemu będzie przyporządkowywał słowa
dowolnego systemu będzie przyporządkowywał słowa
kodowe w postaci zerojedynkowej (binarnej)
kodowe w postaci zerojedynkowej (binarnej)
Def.2. Kodem liczbowym nazywamy taki kod, który liczbom
Def.2. Kodem liczbowym nazywamy taki kod, który liczbom
dowolnego systemu będzie przyporządkowywał słowa
dowolnego systemu będzie przyporządkowywał słowa
kodowe w postaci zerojedynkowej (binarnej)
kodowe w postaci zerojedynkowej (binarnej)
NATURALNY KOD BINARNY (NKB)
NATURALNY KOD BINARNY (NKB)
Def. Jeżeli dowolnej liczbie dziesiętnej przyporządkujemy
Def. Jeżeli dowolnej liczbie dziesiętnej przyporządkujemy
odpowiadająca jej liczbę binarną, to otrzymamy naturalny
odpowiadająca jej liczbę binarną, to otrzymamy naturalny
kod binarny (NKB)
kod binarny (NKB)
Def. Jeżeli dowolnej liczbie dziesiętnej przyporządkujemy
Def. Jeżeli dowolnej liczbie dziesiętnej przyporządkujemy
odpowiadająca jej liczbę binarną, to otrzymamy naturalny
odpowiadająca jej liczbę binarną, to otrzymamy naturalny
kod binarny (NKB)
kod binarny (NKB)
Minimalna długość k słowa binarnego reprezentującego liczbę
Minimalna długość k słowa binarnego reprezentującego liczbę
dziesiętną A musi spełniać warunek:
dziesiętną A musi spełniać warunek:
1
2A
2
A
k
Oznacza to, że aby zakodować liczbę dziesiętną w zakresie 0-15
Oznacza to, że aby zakodować liczbę dziesiętną w zakresie 0-15
wystarczy wykorzystać jedną tetradę (długość słowa kodowego
wystarczy wykorzystać jedną tetradę (długość słowa kodowego
k=4) gdyż
k=4) gdyż
31
2
15
4
NKB
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
10
1010
11
1011
12
1100
13
1101
14
1110
15
1111
KOD PROSTY BCD
KOD PROSTY BCD
Gdy w systemie wygodnie jest operować liczbami dziesiętnymi
Gdy w systemie wygodnie jest operować liczbami dziesiętnymi
stosowany jest kod BCD. Liczba terad kodu BCD jest bowiem
stosowany jest kod BCD. Liczba terad kodu BCD jest bowiem
równa liczbie pozycji dziesiętnych reprezentowanej liczby. Np.
równa liczbie pozycji dziesiętnych reprezentowanej liczby. Np.
dziesiętna liczba 6-pozycyjna (000000-999999) jest kodowana
dziesiętna liczba 6-pozycyjna (000000-999999) jest kodowana
na 24 bitach
na 24 bitach
Konstrukcja:
Konstrukcja:
•
każdej cyfrze dziesiętnej przyporządkowujemy czterocyfrową
każdej cyfrze dziesiętnej przyporządkowujemy czterocyfrową
liczbę dwójkową w kodzie NKB
liczbę dwójkową w kodzie NKB
*)
*)
;
;
•
słowo kodowe w kodzie prostym BCD otrzymujemy zapisując
słowo kodowe w kodzie prostym BCD otrzymujemy zapisując
każdą cyfrę liczby dziesiętnej w postaci tetrady binarnej
każdą cyfrę liczby dziesiętnej w postaci tetrady binarnej
463
463
D
D
= 010001100011
= 010001100011
BCD
BCD
67
67
D
D
= 01100111
= 01100111
BCD
BCD
*)
*)
gdybysmy zamiast kodu NKB użyli kodu np. Gray’a wówczas
gdybysmy zamiast kodu NKB użyli kodu np. Gray’a wówczas
otrzymalibysmy kod BCD Gray’a
otrzymalibysmy kod BCD Gray’a
KOD GRAY’A
KOD GRAY’A
Kod Gray’a tworzy się z kodu naturalnego NKB biorąc pod
Kod Gray’a tworzy się z kodu naturalnego NKB biorąc pod
uwagę:
uwagę:
Def. Kod Gray’a to taki kod, którego kolejne słowa różnią się
Def. Kod Gray’a to taki kod, którego kolejne słowa różnią się
tylko na jednej pozycji
tylko na jednej pozycji
Def. Kod Gray’a to taki kod, którego kolejne słowa różnią się
Def. Kod Gray’a to taki kod, którego kolejne słowa różnią się
tylko na jednej pozycji
tylko na jednej pozycji
1
n
2
n
2
n
n
1
n
1
n
n
n
b
b
g
b
b
g
b
g
NKB
Kod Gray’a
000
000
001
001
010
011
011
010
100
110
101
111
110
101
111
100
INNE KODY BINARNE
INNE KODY BINARNE
NKB BCD Kod Gray’a
1 z 10
J ohnsona
0
0000
0000
0000
0000000001
00000
1
0001
0001
0001
0000000010
00001
2
0010
0010
0011
0000000100
00011
3
0011
0011
0010
0000001000
00111
4
0100
0100
0110
0000010000
01111
5
0101
0101
0111
0000100000
11111
6
0110
0110
0101
0001000000
11110
7
0111
0111
0100
0010000000
11100
8
1000
1000
1100
0100000000
11000
9
1001
1001
1101
1000000000
10000
Długość słowa kodu „1 z n” (w tabeli „1 z
Długość słowa kodu „1 z n” (w tabeli „1 z
10”) jest równa n, tj. liczności zbioru
10”) jest równa n, tj. liczności zbioru
kodowanego (liczbie kodowanych słów)
kodowanego (liczbie kodowanych słów)
Kod 5-bitowy
Kod 5-bitowy
stosowany do
stosowany do
kodowania cyfr
kodowania cyfr
dziesiętnych
dziesiętnych
Są to kody nadmiarowe (redundancyjne), w których liczba pozycji
Są to kody nadmiarowe (redundancyjne), w których liczba pozycji
binarnych jest większa niż wynika to z ogólnej zależności
binarnych jest większa niż wynika to z ogólnej zależności
Redundancję można wykorzystać do zwiększenia niezawodności
Redundancję można wykorzystać do zwiększenia niezawodności
operacji wykonywanych na liczbach
operacji wykonywanych na liczbach
1
2A
2
A
k
KODOWANIE ZNAKÓW
KODOWANIE ZNAKÓW
Początki:
Początki:
•
Harald C. M. Morse (kropka - kreska - ....);
Harald C. M. Morse (kropka - kreska - ....);
•
Anatol de Baudot (dalekopis);
Anatol de Baudot (dalekopis);
•
w pierwszych maszynach cyfrowych - kod dalekopisowy
w pierwszych maszynach cyfrowych - kod dalekopisowy
5-bitowy, a potem 8-bitowy (EBCDIC);
5-bitowy, a potem 8-bitowy (EBCDIC);
W 1977 roku kiedy to ANSI (
W 1977 roku kiedy to ANSI (
American National Standards Institute
American National Standards Institute
)
)
zatwierdził
zatwierdził
kod ASCII
kod ASCII
(
(
The American Standard Code for Information
The American Standard Code for Information
Interchange
Interchange
).
).
Jest to 7-bitowy kod (8 bit do kontroli parzystości),
Jest to 7-bitowy kod (8 bit do kontroli parzystości),
definiujący 128-elementowy zestaw znaków (
definiujący 128-elementowy zestaw znaków (
character
character
set
set
) o wartościach kodowych od 0 do 127. Zestaw
) o wartościach kodowych od 0 do 127. Zestaw
zawiera litery łacińskie (duże i małe), cyfry i znaki
zawiera litery łacińskie (duże i małe), cyfry i znaki
interpunkcji
oraz
różne
znaki
specjalne.
interpunkcji
oraz
różne
znaki
specjalne.
Międzynarodowa Organizacja Standaryzacji - ISO,
Międzynarodowa Organizacja Standaryzacji - ISO,
nadała amerykańskiemu systemowi kodowania status
nadała amerykańskiemu systemowi kodowania status
standardu międzynarodowego oznaczonego jako ISO
standardu międzynarodowego oznaczonego jako ISO
646.
646.
Kod ASCII rozszerzony
Kod ASCII rozszerzony
wprowadza dodatkowe 128 znaków
wprowadza dodatkowe 128 znaków
wykorzystując mało używany bit parzystości:
wykorzystując mało używany bit parzystości:
IBM wprowadza
IBM wprowadza
•
Code Page 474 dla USA
Code Page 474 dla USA
•
Code Page 852 dla Europy Wschodniej
Code Page 852 dla Europy Wschodniej
8
Bit kontroli parzystości
7
0
0
0
0
1
1
1
1
6
0
0
1
1
0
0
1
1
Numery bitów słowa
5
0
1
0
1
0
1
0
1
4
3
2
1
0
0
0
0
NUL
DEL
SP
0
@
P
‘
p
0
0
0
1
SOH DC1
!
1
A
Q
a
q
0
0
1
0
STX
DC2
„
2
B
R
b
r
0
0
1
1
ETX
DC3
3
C
S
c
s
0
1
0
0
EOT DC4
$
4
D
T
d
t
0
1
0
1
ENQ NAK
%
5
E
U
e
u
0
1
1
0
ACK SYN
&
6
F
V
f
v
0
1
1
1
BEL
ETB
`
7
G
W
g
w
1
0
0
0
BS
CAN
(
8
H
X
h
x
1
0
0
1
HT
EM
)
9
I
Y
i
y
1
0
1
0
LF
SUB
*
:
J
Z
j
z
1
0
1
1
VT
ESC
+
;
K
[
k
{
1
1
0
0
FF
FS
,
<
L
\
l
|
1
1
0
1
CR
GS
-
=
M
]
m
}
1
1
1
0
SO
RS
.
>
N
n
~
1
1
1
1
SI
US
/
?
O
o
DEL
KODOWANIE ZNAKÓW
KODOWANIE ZNAKÓW
kod ASCII
kod ASCII
KODOWANIE ZNAKÓW
KODOWANIE ZNAKÓW
problem polskich liter
problem polskich liter
1. W 1987 roku ISO tworzy standard ISO 8859 (rozszerzone ASCII):
1. W 1987 roku ISO tworzy standard ISO 8859 (rozszerzone ASCII):
•
ISO 8859-1 (Latin-1) - Europa zachodnia
ISO 8859-1 (Latin-1) - Europa zachodnia
•
ISO 8859-2 (Latin-2) - Europa wschodnia
ISO 8859-2 (Latin-2) - Europa wschodnia
•
...............................
...............................
•
ISO 8859-5 (cyrlica)
ISO 8859-5 (cyrlica)
•
...............................
...............................
•
ISO 8859-7 (greka)
ISO 8859-7 (greka)
•
...............................
...............................
2. W 1990 roku Instytut Maszyn Matematycznych tworzy
2. W 1990 roku Instytut Maszyn Matematycznych tworzy
kod
kod
Mazovia
Mazovia
(rozpowszechniony w dobie kart graficznych Hercules)
(rozpowszechniony w dobie kart graficznych Hercules)
3. Firma Microsoft tworzy własny zestaw znaków dla Europy
3. Firma Microsoft tworzy własny zestaw znaków dla Europy
wschodniej
wschodniej
Windows CP 1250
Windows CP 1250
KODOWANIE ZNAKÓW
KODOWANIE ZNAKÓW
problem polskich liter
problem polskich liter
Litera Mazovia IBM Latin-2 Windows1250 ISO Latin-2
Ą
143
164
165
161
Ć
149
143
198
198
Ę
144
168
202
202
Ł
156
157
163
163
Ń
165
227
209
209
Ó
163
224
211
211
Ś
152
151
140
166
Ź
160
141
143
172
Ż
161
189
175
175
ą
134
165
185
177
ć
141
134
230
230
ę
145
169
234
234
ł
146
136
179
179
ń
164
228
241
241
ó
162
162
243
243
ś
158
152
156
182
ź
166
171
159
188
ż
167
190
191
191
STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA
STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA
LICZB
LICZB
Do
reprezentacji
liczb
całkowitych
stosowane
są
kody
Do
reprezentacji
liczb
całkowitych
stosowane
są
kody
stałopozycyjne
stałopozycyjne
•
zapis znak-moduł
zapis znak-moduł
•
zapis U1
zapis U1
•
zapis U2
zapis U2
•
zapis polaryzowany (BIAS)
zapis polaryzowany (BIAS)
Zapis
Zapis
U2
U2
(uzupełnień do 2) jest podobny do U1 ale dla liczb ujemnych.
(uzupełnień do 2) jest podobny do U1 ale dla liczb ujemnych.
Moduł liczby ujemnej powstaje tak, że do zanegowanych pozycji słowa jest
Moduł liczby ujemnej powstaje tak, że do zanegowanych pozycji słowa jest
arytmetycznie dodawana jedynka i dopiero tak utworzone słowo odpowiada
arytmetycznie dodawana jedynka i dopiero tak utworzone słowo odpowiada
w NKB modułowi tej liczby.
w NKB modułowi tej liczby.
„
„
0” ma pojedynczą reprezentację: 0000...000
0” ma pojedynczą reprezentację: 0000...000
Zapis
Zapis
U2
U2
(uzupełnień do 2) jest podobny do U1 ale dla liczb ujemnych.
(uzupełnień do 2) jest podobny do U1 ale dla liczb ujemnych.
Moduł liczby ujemnej powstaje tak, że do zanegowanych pozycji słowa jest
Moduł liczby ujemnej powstaje tak, że do zanegowanych pozycji słowa jest
arytmetycznie dodawana jedynka i dopiero tak utworzone słowo odpowiada
arytmetycznie dodawana jedynka i dopiero tak utworzone słowo odpowiada
w NKB modułowi tej liczby.
w NKB modułowi tej liczby.
„
„
0” ma pojedynczą reprezentację: 0000...000
0” ma pojedynczą reprezentację: 0000...000
Zapis
Zapis
BIAS
BIAS
(polaryzowany) przedstawia liczby w taki sposób, że „0” jest
(polaryzowany) przedstawia liczby w taki sposób, że „0” jest
reprezentowane przez n-bitowe słowo 1000..000 czyli przez liczbę 2
reprezentowane przez n-bitowe słowo 1000..000 czyli przez liczbę 2
n-1
n-1
kodu
kodu
NKB. Wszystkie inne liczby A są przedstawione na n pozycjach jako binarne
NKB. Wszystkie inne liczby A są przedstawione na n pozycjach jako binarne
wartości liczby 2
wartości liczby 2
n-1
n-1
+A
+A
Zapis
Zapis
BIAS
BIAS
(polaryzowany) przedstawia liczby w taki sposób, że „0” jest
(polaryzowany) przedstawia liczby w taki sposób, że „0” jest
reprezentowane przez n-bitowe słowo 1000..000 czyli przez liczbę 2
reprezentowane przez n-bitowe słowo 1000..000 czyli przez liczbę 2
n-1
n-1
kodu
kodu
NKB. Wszystkie inne liczby A są przedstawione na n pozycjach jako binarne
NKB. Wszystkie inne liczby A są przedstawione na n pozycjach jako binarne
wartości liczby 2
wartości liczby 2
n-1
n-1
+A
+A
Zapis
Zapis
znak-moduł
znak-moduł
tworzy się przez dodanie przed MSB dodatkowego bitu
tworzy się przez dodanie przed MSB dodatkowego bitu
znaku do zapisu NKB: 0 - liczba dodatnia; 1 - liczba ujemna;
znaku do zapisu NKB: 0 - liczba dodatnia; 1 - liczba ujemna;
„
„
0” ma podwójną reprezentację: 1000...000 lub 0000...000
0” ma podwójną reprezentację: 1000...000 lub 0000...000
Zapis
Zapis
znak-moduł
znak-moduł
tworzy się przez dodanie przed MSB dodatkowego bitu
tworzy się przez dodanie przed MSB dodatkowego bitu
znaku do zapisu NKB: 0 - liczba dodatnia; 1 - liczba ujemna;
znaku do zapisu NKB: 0 - liczba dodatnia; 1 - liczba ujemna;
„
„
0” ma podwójną reprezentację: 1000...000 lub 0000...000
0” ma podwójną reprezentację: 1000...000 lub 0000...000
W zapisie
W zapisie
U1
U1
(uzupełnień do 1) MSB jest także bitem znaku : 0 - liczba
(uzupełnień do 1) MSB jest także bitem znaku : 0 - liczba
dodatnia; 1 - liczba ujemna; ale w zależności od jego wartości dalsze bity
dodatnia; 1 - liczba ujemna; ale w zależności od jego wartości dalsze bity
mają różne znaczenie.
mają różne znaczenie.
Dla „0” (l.dodatnia) dalsze bity reprezentują liczbę w NKB.
Dla „0” (l.dodatnia) dalsze bity reprezentują liczbę w NKB.
Dla „1” (l.ujemna) dalsze bity reprezentują moduł liczby ujemnej, w taki
Dla „1” (l.ujemna) dalsze bity reprezentują moduł liczby ujemnej, w taki
sposób, że zanegowane ich wartości odpowiadają modułowi tej liczby w NKB.
sposób, że zanegowane ich wartości odpowiadają modułowi tej liczby w NKB.
„
„
0” ma podwójną reprezentację: 1111...111 lub 0000...000
0” ma podwójną reprezentację: 1111...111 lub 0000...000
W zapisie
W zapisie
U1
U1
(uzupełnień do 1) MSB jest także bitem znaku : 0 - liczba
(uzupełnień do 1) MSB jest także bitem znaku : 0 - liczba
dodatnia; 1 - liczba ujemna; ale w zależności od jego wartości dalsze bity
dodatnia; 1 - liczba ujemna; ale w zależności od jego wartości dalsze bity
mają różne znaczenie.
mają różne znaczenie.
Dla „0” (l.dodatnia) dalsze bity reprezentują liczbę w NKB.
Dla „0” (l.dodatnia) dalsze bity reprezentują liczbę w NKB.
Dla „1” (l.ujemna) dalsze bity reprezentują moduł liczby ujemnej, w taki
Dla „1” (l.ujemna) dalsze bity reprezentują moduł liczby ujemnej, w taki
sposób, że zanegowane ich wartości odpowiadają modułowi tej liczby w NKB.
sposób, że zanegowane ich wartości odpowiadają modułowi tej liczby w NKB.
„
„
0” ma podwójną reprezentację: 1111...111 lub 0000...000
0” ma podwójną reprezentację: 1111...111 lub 0000...000
STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA
STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA
LICZB
LICZB
STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA
STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA
LICZB
LICZB
dodawanie i odejmowanie (kod U2)
dodawanie i odejmowanie (kod U2)
W zapisie
W zapisie
U2
U2
(uzupełnień do 2) liczbę binarną można przedstawić jako:
(uzupełnień do 2) liczbę binarną można przedstawić jako:
a
a
n-1
n-1
...a
...a
0
0
= -a
= -a
n-1
n-1
.
.
2
2
n-1
n-1
+a
+a
n-2
n-2
.
.
2
2
n-2
n-2
+
+
...
...
+a
+a
0
0
.
.
2
2
0
0
Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze swoją wagą
Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze swoją wagą
wartość ujemną
wartość ujemną
W zapisie
W zapisie
U2
U2
(uzupełnień do 2) liczbę binarną można przedstawić jako:
(uzupełnień do 2) liczbę binarną można przedstawić jako:
a
a
n-1
n-1
...a
...a
0
0
= -a
= -a
n-1
n-1
.
.
2
2
n-1
n-1
+a
+a
n-2
n-2
.
.
2
2
n-2
n-2
+
+
...
...
+a
+a
0
0
.
.
2
2
0
0
Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze swoją wagą
Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze swoją wagą
wartość ujemną
wartość ujemną
1101
1101
U2
U2
= -1
= -1
.
.
2
2
3
3
+1
+1
.
.
2
2
2
2
+0
+0
.
.
2
2
1
1
+1
+1
.
.
2
2
0
0
= -8+4+1
= -8+4+1
= -3
= -3
D
D
0111
0111
U2
U2
= -0
= -0
.
.
2
2
3
3
+1
+1
.
.
2
2
2
2
+1
+1
.
.
2
2
1
1
+1
+1
.
.
2
2
0
0
= 4+2+1
= 4+2+1
= 7
= 7
D
D
Ponieważ: a-b=a+(-b); -a+b=(-a)+b; -a-b=(-a)+(-b) to korzystnie
Ponieważ: a-b=a+(-b); -a+b=(-a)+b; -a-b=(-a)+(-b) to korzystnie
jest stosować liczbę przeciwną (oznaczanej symbolem ~) do danej
jest stosować liczbę przeciwną (oznaczanej symbolem ~) do danej
~0111
~0111
U2
U2
1000
1000
+ 1
+ 1
1001
1001
U2
U2
negacja wszystkich bitów i dodanie 1
negacja wszystkich bitów i dodanie 1
-7
-7
D
D
7
7
D
D
Zakresy liczb w kodzie U2: -2
Zakresy liczb w kodzie U2: -2
n-1
n-1
X
X
2
2
n-1
n-1
-1
-1
np. dla n=5 liczby od -16
np. dla n=5 liczby od -16
D
D
(10000
(10000
U2
U2
) do +15
) do +15
D
D
(01111
(01111
U2
U2
). W
). W
zakresie tym muszą się znaleźć nie tylko argumenty ale i wynik.
zakresie tym muszą się znaleźć nie tylko argumenty ale i wynik.
110111
110111
+111000
+111000
1 101111
1 101111
-9
-9
D
D
=
=
-1
-1
.
.
32+1
32+1
.
.
16+0
16+0
.
.
8+1
8+1
.
.
4+1
4+1
.
.
2+1
2+1
.
.
1
1
-8
-8
D
D
=
=
-1
-1
.
.
32+1
32+1
.
.
16+1
16+1
.
.
8+0
8+0
.
.
4+0
4+0
.
.
2+0
2+0
.
.
1
1
-17
-17
D
D
=
=
-1
-1
.
.
32+0
32+0
.
.
16+1
16+1
.
.
8+1
8+1
.
.
4+1
4+1
.
.
2+1
2+1
.
.
1
1
bit poza zakresem -
bit poza zakresem -
odrzucamy
odrzucamy
10111
10111
+11000
+11000
1 01111
1 01111
-9
-9
D
D
=
=
-1
-1
.
.
16+0
16+0
.
.
8+1
8+1
.
.
4+1
4+1
.
.
2+1
2+1
.
.
1
1
-8
-8
D
D
=
=
-1
-1
.
.
16+1
16+1
.
.
8+0
8+0
.
.
4+0
4+0
.
.
2+0
2+0
.
.
1
1
-17
-17
D
D
=
=
-1
-1
.
.
32+0
32+0
.
.
16+1
16+1
.
.
8+1
8+1
.
.
4+1
4+1
.
.
2+1
2+1
.
.
1
1
bit poza zakresem - nie
bit poza zakresem - nie
odrzucamy
odrzucamy
ZMIENNOPOZYCYJNA REPREZENTACJA LICZB
ZMIENNOPOZYCYJNA REPREZENTACJA LICZB
FP2
FP2
Do
reprezentacji
liczb
ułamkowych
stosowany
jest
zapis
Do
reprezentacji
liczb
ułamkowych
stosowany
jest
zapis
zmiennopozycyjny złożony z trzech części:
zmiennopozycyjny złożony z trzech części:
•
jednobitowe pole
jednobitowe pole
znaku
znaku
Z
Z
•
n-bitowe pole części ułamkowej (
n-bitowe pole części ułamkowej (
mantysy
mantysy
m) – kod ZM
m) – kod ZM
•
m-bitowe pole części wykładnika (
m-bitowe pole części wykładnika (
cecha
cecha
C) – kod U2
C) – kod U2
A = (-1)
A = (-1)
Z
Z
.
.
m
m
.
.
B
B
C
C
B – podstawa (np. 2, 10, 16 itp.)
B – podstawa (np. 2, 10, 16 itp.)
m – mantysa – liczba z zakresu <1;B)
m – mantysa – liczba z zakresu <1;B)
Przykład:
Przykład:
+625,625 =+6,25625
+625,625 =+6,25625
.
.
10
10
2
2
100111000
100111000
1
1
0,625=0,5+0,125
0,625=0,5+0,125
0,100+0,001 = 0,101
0,100+0,001 = 0,101
1001110001,101
=
1001110001,101
=
1
1
,
,0011100011
0011100011
01
01
.
.
2
2
9
9
1bit znaku
1bit znaku
mantysa (10 bity)
mantysa (10 bity)
cecha (5 bitów)
cecha (5 bitów)
0
0 0011 1000 11
0011 1000 11
01001
01001
STANDARD IEEE-754
STANDARD IEEE-754
•
32 bity
32 bity
•
1 bit znaku
1 bit znaku
•
8 bitów wykładnika
8 bitów wykładnika
•
23 bity mantysy
23 bity mantysy
•
mantysa znormalizowana (binarne 1.xxxxxxxxx),
mantysa znormalizowana (binarne 1.xxxxxxxxx),
•
początkową „1” pomijamy bo wiadomo, ze tam
początkową „1” pomijamy bo wiadomo, ze tam
zawsze jest
zawsze jest
IEEE-754: PRZYKŁAD
IEEE-754: PRZYKŁAD
Konwertujemy liczbę: -118,625
D
-118,625
D
< 0 bit znaku = 1
118
D
= 1110110
B
0,625
D
= 0,101
B
118,625
D
=1110110,101
B
Przesuwamy przecinek w lewą stronę, aż
zostanie przed nim jedna 1.
m=1,110110101
przesunęliśmy o 6 pozycji w lewo c=+6
D
c=+6
D
=10000101
B
-118,625
D
w FP2:
11000010111011010100000000000000
ZAKRES LICZB
ZAKRES LICZB
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE
Działania na liczbach
Działania na liczbach
ELEMENTY ALGEBRY BOOLE’A
Zmienne logiczne i operacje logiczne
Zmienne logiczne i operacje logiczne
Aksjomaty algebry Boole’a i prawa de
Aksjomaty algebry Boole’a i prawa de
Morgana
Morgana
Funkcje logiczne
Funkcje logiczne
Minimalizacja funkcji logicznych
Minimalizacja funkcji logicznych
Realizacja funkcji logicznych
Realizacja funkcji logicznych
ZMIENNE LOGICZNE I OPERACJE
ZMIENNE LOGICZNE I OPERACJE
LOGICZNE
LOGICZNE
Algebra Boole’a jest algebrą z trzema operacjami na
Algebra Boole’a jest algebrą z trzema operacjami na
dwuwartościowych
argumentach
(wyniki
też
są
dwuwartościowych
argumentach
(wyniki
też
są
dwuwartościowe)
dwuwartościowe)
•
suma logiczna (alternatywa)
suma logiczna (alternatywa)
•
iloczyn logiczny (koniunkcja)
iloczyn logiczny (koniunkcja)
•
negacja (inwersja)
negacja (inwersja)
działania dwu- lub
działania dwu- lub
więcej argumentowe
więcej argumentowe
działania jedno-argumentowe
działania jedno-argumentowe
Def.1. Jeżeli co najmniej jeden z argumentów jest
Def.1. Jeżeli co najmniej jeden z argumentów jest
równy 1, to wynik sumowania jest równy 1. Suma
równy 1, to wynik sumowania jest równy 1. Suma
jest równa 0 tylko w przypadku, gdy wszystkie
jest równa 0 tylko w przypadku, gdy wszystkie
argumenty są równe 0.
argumenty są równe 0.
Def.1. Jeżeli co najmniej jeden z argumentów jest
Def.1. Jeżeli co najmniej jeden z argumentów jest
równy 1, to wynik sumowania jest równy 1. Suma
równy 1, to wynik sumowania jest równy 1. Suma
jest równa 0 tylko w przypadku, gdy wszystkie
jest równa 0 tylko w przypadku, gdy wszystkie
argumenty są równe 0.
argumenty są równe 0.
Def.2. Wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i tylko
Def.2. Wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują
wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują
wartość 1.
wartość 1.
Def.2. Wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i tylko
Def.2. Wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują
wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują
wartość 1.
wartość 1.
Def.3. Negacja polega na zmianie wartości
Def.3. Negacja polega na zmianie wartości
argumentu, tj. jeśli argument ma wartość 1, to
argumentu, tj. jeśli argument ma wartość 1, to
operacja daje w wyniku wartość 0, a jeśli
operacja daje w wyniku wartość 0, a jeśli
argument ma wartość 0, to operacja daje w
argument ma wartość 0, to operacja daje w
wyniku wartość 1.
wyniku wartość 1.
Def.3. Negacja polega na zmianie wartości
Def.3. Negacja polega na zmianie wartości
argumentu, tj. jeśli argument ma wartość 1, to
argumentu, tj. jeśli argument ma wartość 1, to
operacja daje w wyniku wartość 0, a jeśli
operacja daje w wyniku wartość 0, a jeśli
argument ma wartość 0, to operacja daje w
argument ma wartość 0, to operacja daje w
wyniku wartość 1.
wyniku wartość 1.
Def.0. Zmienną logiczną nazywamy zmienną, która
Def.0. Zmienną logiczną nazywamy zmienną, która
może przyjmować jedną z dwóch wartości
może przyjmować jedną z dwóch wartości
logicznych: prawdę lub fałsz („0” lub „1”, „L” lub
logicznych: prawdę lub fałsz („0” lub „1”, „L” lub
„H”).
„H”).
Def.0. Zmienną logiczną nazywamy zmienną, która
Def.0. Zmienną logiczną nazywamy zmienną, która
może przyjmować jedną z dwóch wartości
może przyjmować jedną z dwóch wartości
logicznych: prawdę lub fałsz („0” lub „1”, „L” lub
logicznych: prawdę lub fałsz („0” lub „1”, „L” lub
„H”).
„H”).
AKSJOMATY ALGEBRY BOOLE’A I PRAWA DE MORGANA
AKSJOMATY ALGEBRY BOOLE’A I PRAWA DE MORGANA
1. Przemienność
1. Przemienność
2. Łączność
2. Łączność
3. Rozdzielczość
3. Rozdzielczość
4. Tożsamość
4. Tożsamość
5. Komplementarność
5. Komplementarność
A
B
B
A
A
B
B
A
C)
(B
A
C
B)
(A
C)
(B
A
C
B)
(A
C)
B)(A
(A
BC
A
C
A
B
A
C)
A(B
A
A
A
A
A
A
1
1
A
A
1
A
A
0
A
0
0
A
1
A
A
0
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
Prawa de Morgana
Prawa de Morgana
OPERACJE LOGICZNE
OPERACJE LOGICZNE
A
B
A
B A
+
B A B
0
0 0
0
1
1
1
0 0
1
0
1
0
1 0
1
1
0
1
1 1
1
0
0
)
x
(x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
f
)
x
(x
x
x
f
0
f
1
0
1
0
1
0
1
0
7
1
0
1
0
6
1
0
1
0
1
5
1
0
4
0
1
0
1
0
3
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
f
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
f
15
1
0
1
0
1
0
1
0
14
1
0
1
0
1
0
13
0
1
0
1
0
12
1
0
1
0
1
0
1
0
11
1
1
0
1
0
10
1
0
1
0
9
1
0
8
FUNKCJE BOOLE’OWSKIE
FUNKCJE BOOLE’OWSKIE
Istnieją cztery sposoby przedstawienia tych funkcji:
Istnieją cztery sposoby przedstawienia tych funkcji:
•
tablica prawdy
tablica prawdy
•
postać kanoniczna funkcji
postać kanoniczna funkcji
•
dziesiętny zapis funkcji
dziesiętny zapis funkcji
•
mapa Karnaugha
mapa Karnaugha
0,3,4
y
lub
1,2,5,6,7
y
X
1
f
0
0
0
1
0
1
2
1
1
3
1
0
4
0
0
5
0
1
6
1
1
7
1
1
-
wskazanie
na
postać
alternatywną
(sumacyjną)
-
wskazanie
na
postać
koniunkcyjną
(iloczynową)
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
X
0
X
2
X
1
0
1
0 0
0
1
0 1
1
0
1 1
1
1
1 0
0
1
X
2
0
0
0
0
1
1
1
1
MSB
X
0
0
1
0
1
0
1
0
1
LSB
)
x
x
x
)(
x
x
)(x
x
x
(x
y
lub
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2