Analiza Ryzyka
w Inżynierii Bezpieczeństwa
QRA
(
Quantitative Risk Analysis - Ilościowa Analiza
Ryzyka
)
Analiza Ryzyka
w Inżynierii Bezpieczeństwa
QRA
(
Quantitative Risk Analysis - Ilościowa Analiza
Ryzyka
)
Definicja ryzyka
Spośród wszystkich zdarzeń, wyróżniamy zdarzenia pożądane i
niepożądane.
Zdarzenia
niepożądane,
dzielimy
na
niekorzystne i korzystne (czasami zdarza się, że coś czego nie
pożądamy wychodzi nam na korzyść).
Wszystkie
poniższe
rozważania
dotyczą
zdarzeń
niekorzystnych.
Pojęcie ryzyka zawsze wiąże ze sobą dwa nierozerwalne
elementy:
prawdopodobieństwo
powstania
zdarzenia
niekorzystnego i jego skutki.
R(t) =p(t) x C(t)
gdzie R - ryzyko, będące funkcją czasu, t - czas na ogół w skali roku, p - prawdopodobieństwo
powstania zdarzenia, C - skutki tego zdarzenia
Matryca
ryzyk
dla różnych sfer zagrożeń
Podstawowe pojęcia z rachunku
prawdopodobieństwa
Zdarzenia elementarne
W rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń zdarzeń
elementarnych lub zbiór zdarzeń elementarnych, oznaczony
literą Ω jest pojęciem pierwotnym.
Zdarzenia elementarne to elementy przestrzeni (zbioru) zdarzeń
elementarnych
Zdarzenie elementarne to wyniki doświadczeń lub obserwacji,
które są niepodzielne.
Można podać więc następującą definicję:
Jeżeli zdarzenia A nie można przedstawić w postaci sumy co
najmniej dwu
zdarzeń różnych od A, to takie zdarzenie nazywamy
elementarnym.
Do zdarzeń elementarnych można zaliczyć pożary, wypadki
drogowe, określony stan stabilności atmosfery, wycieki
substancji niebezpiecznej w wyniku uszkodzenia, prędkości
wiatrów, wielkość opadów itp..
Ważne
Na początku każdej analizy, w każdym konkretnym przypadku
należy określić, co jest przestrzenią zdarzeń elementarnych, czyli
ustalić, jaki jest zbiór wszystkich możliwych, elementarnych,
niepodzielnych wyników doświadczeń czy obserwacji.
Zdarzeniem elementarnym może być (pożar) i wówczas
analizujemy przestrzeń zdarzeń elementarnych (pożary) ale
zdarzeniem elementarnym może być także (miejscowe
zagrożenie). Może więc mieć miejsce pożar lub miejscowe
zagrożenie.
Możemy jednak zdefiniować przestrzeń zdarzeń złożonych
z kilku zdarzeń elementarnych na przykład pożary i miejscowe
zagrożenia w następujący sposób: (pożary, wynikające z
miejscowych zagrożeń).
W takim przypadku mamy do czynienia ze zbiorem zdarzeń,
będących wynikiem zajścia dwóch zdarzeń elementarnych
miejscowego zagrożenia i pożaru
Algebra zdarzeń
Zdarzenia tworzą zbiory, na których można wykonywać działania
tj. dodawać, mnożyć. Działania te są addytywne, przemienne i
spełniają warunek liniowości:
A + B, A x B, c (A + B) = c A + c B
gdzie A i B zbiory zdarzeń zaś c stała. Takie zdarzenia nazywamy
losowymi, a gdy spełniają powyższą algebrę tworzą one zbiory
borelowskie. Tak więc zdarzenia losowe tworzą zbiory
borelowskie.
Istotne jest, aby działania na zbiorach nie wyprowadzały poza
zbiory zdarzeń,( tak jak niektóre dzielenia liczb naturalnych przez
siebie wyprowadzają poza zbiór liczb naturalnych np.. 4/2 = 2 to
działanie nie wyprowadza poza zbiór liczb naturalnych ale 5/2 już
nie jest liczbą naturalną.
Jeżeli wszystkie zdarzenia należą do pewnego zbioru Ω, a także
ich sumy należą do tego zbioru to w praktyce działania na nich
nie wyprowadzą nas ze zbioru zdarzeń.
Wybrane operacje na zbiorach
Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy obydwa zbiory zawierają tę samą próbkę zdarzeń
wybraną z przestrzeni zdarzeń.
Stąd:
A U Φ = A w szczególności A ∩ Φ =Φ (sumą zdarzeń „pożarowych” oraz zdarzenia
niemożliwego są zdarzenia „pożarowe”, iloczynem zdarzeń pożarowych i zdarzenia niemożliwego
– częścią wspólną – jest zdarzenie niemożliwe)
i dalej dla przestrzeni wszystkich zdarzeń Ω mamy:
A U Ω =Ω
oraz
A ∩ Ω =A,
Dla dopełnienia zbiorów mamy:
A U A’ = Ω,
A ∩ A’ = Φ,
A’’ =A
Prawo przemienności:
A U B = B U A
A ∩ B = B ∩ A
Prawo łączności:
(AUB)UC = AU(BUC)
(A ∩ B) ∩ C =A ∩ (B ∩ C) lub dla wygody zapisu (A B )C =A( B C)
Prawo rozdzielczości:
(A U B) ∩ C = A ∩ C U B ∩ C lub dla wygody zapisu AC U BC
(AB) C =A (BC)
Również
A U A =A oraz A ∩ A = A
Wzór De Morgan’a:
(A U B) ’ = A’ ∩ B’
Natomiast ujmując rzecz praktycznie zdarzenia losowe
definiuje się następująco:
Jeżeli zajścia lub nie zajścia pewnego zdarzenia nie
można przewidzieć, i jeśli takie przewidywanie ma sens, to
mówimy, że takie zdarzenia jest zdarzeniem losowym
W rozumieniu analizy ryzyka zdarzenia niekorzystne są
zdarzeniami losowymi.
Uwaga na marginesie
Często, mimo znanych praw przyrody, nie jest możliwe jednoznaczne
określenie rozwoju sytuacji, przebiegu procesu lub zjawiska w czasie i w
przestrzeni, związanych z powstaniem zdarzeń niekorzystnych, ze względu
na zbyt dużą liczbę czynników, wpływających na powstanie i rozwój tej
sytuacji, procesu lub zjawiska.
Podział zdarzeń losowych
Istnieją zdarzenia losowe nie do powtórzenia w swojej
indywidualności, dotyczy to zarówno przestrzeni cywilizacyjnej, jak
np. krwawe zdarzenia historyczne, jak również przestrzeni
naturalnej np. powstanie kontynentów z jednego prakontynentu.
Zdarzenia losowe z tego punktu widzenia możemy podzielić
na:
jedyne danego rodzaju - dziura ozonowa
pierwsze danego rodzaju – awarie elektrowni atomowych
bardzo rzadkie ale o najgorszych skutkach - meteoryt
sprzed 65 mln. lat
Inny rodzaj zdarzeń, to zdarzenia „masowe”. Masowe zdarzenie
losowe charakteryzuje się liczbą określającą jego częstość.
Zdarzenia losowe można podzielić na zdarzenia o charakterze
częstym - wypadki drogowe, zachorowania na raka n >1000
sporadycznym – awarie techniczne, tragiczne pożary,
powodzie n<1000
Układ zupełny zdarzeń
Załóżmy, że mamy zbiór elementarnych zdarzeń losowych A
1
, A
2
, …. A
n
spełniający warunek A
i
∩ A
j
= Φ dla i ≠ j dla i, j=1,2,…,n
oraz A
1
υ A
2
…υ A
n
= Ω wówczas mówimy, że zdarzenia A
1
, A
2
…A
n
tworzą układ
zupełny zdarzeń.
Tutaj A
i
+ A
j
oznaczono jako A
i
υ A
j
i jest to suma zbiorów oraz
A
i
x A
j
oznaczono jako A
i
∩ A
j
i jest to iloczyn lub część wspólna zbiorów.
Jeżeli w wyniku identyfikacji zagrożeń, ustalimy, że
A
1
= { ω
1
= pożar }, A
2
={ ω
2
= powódź } , A
3
= { ω
3
= wyciek} to:
1.
widać, że A
1
∩A
2
∩A
3
= Φ.
2. nie zidentyfikowaliśmy więcej zagrożeń, co oznacza, że A
i
i =1,2,3
tworzą
układ zupełny zdarzeń a więc:
Ω =A
1
υA
2
υA
3
lub
Ω = {ω
1
, ω
2
, ω
3
}
Niech zdarzenia losowe niekorzystne stanowią następujący
zupełny układ zdarzeń:
Ω= { pożar, nieumiejętne gaszenie, śmierć człowieka }
Oznaczmy zdarzenia następująco: ω
1
= pożar, ω
2
= nieumiejętne
gaszenie, ω
3
= śmierć człowieka.
Mamy wówczas zdefiniowana trójwymiarową przestrzeń zdarzeń
elementarnych Ω = { ω
1
,ω
2
,ω
3
}
Niech ω
k
oznacza wystąpienie k- tego zdarzenia niekorzystnego
dla k+1 zdarzeń, wówczas:
dla
zdarzenie losowe k elementowe liczba zdarzeń los. k-
elementowych
k = 0
{Φ}- zdarzenie niemożliwe 1
k = 1
{ω
1
} , { ω
2
} , {ω
3
}
3
k= 2 {ω
1
, ω
2
}, {ω
1
,ω
3
} , {ω
2
,ω
3
} 3
k=3 {ω
1
, ω
2
,ω
3
} 1
Ogólnie liczba wszystkich możliwych zdarzeń losowych dana
jest zależnością:
2
0
n
n
k
k
n
Podstawowe pojęcia z rachunku
prawdopodobieństwa
Załóżmy, że mamy przestrzeń zdarzeń, tworzących podzbiór
zbioru Ω na tej przestrzeni określamy funkcję rzeczywistą P,
która spełnia trzy aksjomaty:
AKSJOMAT I dla każdego A zbioru borelowskiego:
P(A) ≥ 0
AKSJOMAT II prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równe
jest jedności:
P(Ω) = 1
AKSJOMAT III dla każdego ciągu A
1
, A
2
…zdarzeń parami
rozłącznych tj. A
i
∩ A
j
= Φ dla i, j =1, 2…. i ≠ j prawdziwa jest
równość:
Funkcję P spełniającą te aksjomaty nazywamy rozkładem
prawdopodobieństwa. Argumentami tej funkcji są zdarzenia,
zaś wartościami liczby zawarte między 0 a 1.
Inaczej mówiąc, każdemu zdarzeniu losowemu
przyporządkowana jest liczba od 0 do 1.
1
)
(
)
1
(
i
i
i
A
P
A
i
P
Jednym z elementów analizy ryzyka jest znalezienie
tej liczby
P(A) = ?
gdzie A zidentyfikowane zagrożenie
.
A
1
A
2
A
i
P(A
i
)
R
0
1
A
j
?
Pewne własności funkcji prawdopodobieństwa
1.Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się 0.
P( Φ) = 0
Dowód: mamy Φ=Φ υ Φ υ Φ….., a więc P(Φ ) = P(Φ υ Φ υ Φ υ…)
Uwzględniając fakt, że zdarzenie niemożliwe jest rozłączne same ze sobą tj. Φ ∩ Φ
= Φ stąd na podstawie aksjomatu III mamy
P(Φ ) = P(Φ) + P(Φ ) +P(Φ ) + P(Φ) +…. Ponieważ funkcja P jest nieujemna,
aksjomat 1, to tylko suma zer może równa się 0.
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wyraża się wzorem:
Dowód: ponieważ
więc
ale
mamy więc
stąd
ale P( Ω ) = 1 otrzymujemy ostatecznie poszukiwane
równanie.
)
(
1
)
(
_
P
P
)
(
)
(
)
(
P
P
P
)
(
)
(
)
(
P
P
P
)
(
)
(
P
P
Własności funkcji prawdopodobieństwa c.d.
Niech Ω = {ω
1
,ω
2
,…). Dla zdarzeń jednoelementowych określamy funkcję P w taki sposób, że:
P({ω
i
}) = p
i
gdzie p
i
≥ 0 oraz wielkość p
i
ze
względu na to, że spełnia aksjomaty I – III nazywamy prawdopodobieństwem.
Jeżeli Ω ={ω
1
,ω
2
,….ω
N
} i wszystkie zdarzenia ω są elementarne i
równoprawdopodobne, to P({ω
1
}) = P({ω
2
}) =…= P({ω
N
})=1/N
Zdefiniujmy zdarzenie A = {ω
1
,ω
2
,…ω
n
} zawarte w Ω. To z faktu, że zdarzenia
elementarne są rozłączne oraz ze spełnienia aksjomatów
I – III możemy zapisać następującą zależność:
P( A ) = P({ω
1
,ω
2
,…ω
n
} = P({ω
1
}) + P({ω
2
}) +…+ P({ω
n
}) = n/N
Wzór podany po raz pierwszy przez Laplace’a jest klasyczną definicją
prawdopodobieństwa. Liczbę n nazywamy liczbą zdarzeń sprzyjających
(wystąpieniu) zdarzeniu A. W przypadku analizy częstotliwościowej wartość n/N
nazywamy częstotliwością względną.
1
i
i
p
Zdefiniujmy częstość względną dowolnego
zdarzenia:
S
= n/N
gdzie N jest całkowitą liczbą zdarzeń, zaś n liczbą zdarzeń niekorzystnych.
Niech
S– częstotliwość (względna) pożarów o tragicznych skutkach,
N - całkowita liczba pożarów,
n – liczba pożarów o tragicznych skutkach (częstotliwość
bezwzględna)
W tym przypadku częstotliwość względna pożarów o skutkach
tragicznych wynosi S.
Ważne
gdy N → S → p
Oznacza to, że czym większa liczba zdarzeń brana jest pod
uwagę (im większa próbka) tym wartość określająca
częstotliwość względną bliższa jest wartości
prawdopodobieństwa.
W analizie ryzyka badanie częstotliwości na ogół odbywa się w
skali roku.
Pożary i miejscowe zagrożenia są zdarzeniami
losowymi. Na ich przypadkowość ma wpływ wiele
czynników .Nic więc dziwnego, że dla danego
obszaru, w różnych latach raz więcej
występowało pożarów innym razem miejscowych
zagrożeń. Przewaga jednych zdarzeń nad drugimi
jest więc również zdarzeniem losowym.
Zbadajmy więc zdarzenie losowe, polegające na
przewadze liczby pożarów w stosunku do liczby
miejscowych zagrożeń w ciągu każdego roku na
przestrzeni 10 lat w 10 centrach zarządzania
kryzysowego.
Studium przypadku
Niech symbol „p” oznacza przewagę pożarów nad miejscowymi zagrożeniami, zaś „z” przewagę
miejscowych zagrożeń nad pożarami, w 10 komendach, ponumerowanych od 1 do 10, w latach 2000 - 2009.
Nr
Kom.
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p/
(p+z)
(k/n)
00
p
p
z
z
p
z
p
z
p
p
0.6
01
z
z
p
z
z
p
p
z
z
p
0.4
02
z
p
z
p
p
z
p
z
p
z
0.5
03
p
z
p
p
p
z
p
z
p
p
0.7
04
z
z
p
z
z
p
z
z
p
p
0.4
05
p
z
z
z
p
z
p
z
z
z
0.3
06
p
z
p
p
p
z
p
p
p
p
0.8
07
z
p
z
p
p
p
p
p
z
p
0.7
08
z
z
p
z
z
p
p
z
p
z
0.4
09
p
z
z
p
p
p
z
p
p
z
0.6
Statystyka analizy ciąg dalszy. Uwzględniamy kolejne
lata w statystyce licząc p/(p+z)
Liczba wszystkich
zdarzeń dla
wszystkich komend
Liczba przewag
pożarów
p/(p+z)
poprzednio
2000
10
6
0.60 0.6
2 lata
20
10
0.50 0.4
3 lata
30
15
0.50 0.5
4 lata
40
22
0.55 0.7
5 lat
50
26
0.52 0.4
6 lat
60
29
0.48 0.3
7 lat
70
37
0.53 0.8
8 lat
80
44
0.55 0.7
9 lat
90
48
0.53 0.4
10 lat
100
54
0.54 0.6
Na rysunku „a” przedstawiono średnią częstotliwość zdarzeń losowych dla każdej
komendy i dla każdego roku oddzielnie. Natomiast na rys „b” przedstawiono
średnią częstotliwość zdarzeń losowych sumarycznie dla każdej komendy i z
każdego roku.
W przypadku „b” brana jest pod uwagę coraz większa próbka zdarzeń losowych.
Rozrzut średnich częstotliwości skupia się bliżej wartości 0.5. Względna średnia
częstotliwość jest więc bliższa prawdopodobieństwu zajścia zdarzenia losowego
jakim jest powstanie pożaru.
b
0,8
0
0,7
0
0,6
0
0,5
0
0,4
0
0,3
0
a
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0 10 20 30 40 50 60 70 80
90 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
Prawo wielkich liczb
Sformułujmy prawo wielkich liczb wprawdzie dla szczególnego
przypadku, ale oddające jego ogólny sens.
Dla rozpatrywanej przez nas częstotliwości względnej n/N
obowiązuje prawo zapisane w postaci:
1
)
(
lim
p
N
n
P
N
N
W omawianym wyżej przykładzie mieliśmy ciągi liczb zmiennych
losowych takich jak pożary (p) lub miejscowe zagrożenia (z).
Każdej zmiennej losowej przyporządkowaliśmy liczbę naturalną
określającą częstotliwość jej występowania we wszystkich
komendach i w rozpatrywanych latach. Czym większa liczba lat
brana jest pod uwagę, tym częstotliwość względna bliższa jest
prawdopodobieństwu.
Określenie zmiennej losowej
Mówiąc o zdarzeniach elementarnych takich jak powódź, pożar, trzęsienia ziemi,
wypadek drogowy mówimy o różnych przestrzeniach zdarzeń losowych. Aby dla nich
wszystkich ujednolicić sposób rozważań przypisujemy im liczby. Jednym słowem
dokonujemy przekształcenia różnych przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω w R
1
lub jej
podzbiór.
Funkcję przekształcającą Ω w R
1
nazywamy zmienną losową.
Zmienną losową będziemy oznaczać
X(ω).
Podobnie jak w przypadku zdarzeń możemy określić funkcję prawdopodobieństwa
zmiennej losowej. Przykłady zmiennej losowej: liczba wezwań do pożarów, Pożarom
( przestrzeń Ω ) przyporządkowuje się liczbę 100 (liczba pożarów w ciągu roku ),
występowanie ekstremalnych wartości (liczba tych wartości) temperatur w ciągu 10 lat,
liczba ofiar podczas kolejnych powodzi.
Jeżeli zmienna jest nie tylko funkcją zdarzenia losowego ale również czasu
X =X(ω,τ)
to wówczas mamy do czynienia z procesem stochastycznym.
Warto zauważyć, że czas chociaż jest argumentem funkcji losowej nie jest jednak
wielkością losową w przeciwieństwie do drugiego argumentu jakim jest zdarzenie losowe.
Dlatego często procesy stochastyczne opisuje funkcja losowa zapisana w postaci:
X = X
τ
(ω)
Zmienna losowa
Z dyskretną zmienną losową mamy do czynienia wówczas, gdy jej
dziedzina stanowi zbiór (skończony lub policzalny) liczb
rzeczywistych.
Przykłady: liczba pożarów w ciągu roku, liczba powodzi w ciągu roku, liczba
ofiar wypadków drogowych, liczba utonięć, liczba nieobecnych strażaków na
danej służbie, liczba niesprawnych urządzeń wykrywających pożar.
Z ciągłą zmienna losową mamy do czynienia wówczas, gdy jej
dziedzinę stanowi przedział (skończony lub nieskończony) na osi
liczb rzeczywistych.
Przykłady: wartość obciążenia ogniowego, temperatura pożaru,
powierzchnia pożaru, powierzchnia powodzi, prędkość rozchodzenia się
dymu po obiekcie, optyczna widzialność.
Zmienna losowa c. d.
Często w praktyce wartość zmiennej losowej zapisuje się
następująco:
X = x
gdzie X zmienna losowa, zaś x liczba jej przypisana.
Przykład Zmienną losową X jest występowanie powodzi zaś x liczbą
powodzi w danym roku. Tak więc dla każdego roku x przyjmuje rożną
wartość ze względu na losowość zjawiska powodzi.
Pytając o prawdopodobieństwo wystąpienia określonej liczby powodzi
wykorzystujemy zdefiniowaną wcześniej funkcję
prawdopodobieństwa, której argumentem jest wartość zmiennej
losowej:
P ( X = x)
Ale funkcja prawdopodobieństwa musi spełniać trzy aksjomaty
dopiero wówczas jej wartość jest równoznaczna z
prawdopodobieństwem
P (X = x ) = p
Przykład
Określmy ryzyko śmierci w wyniku pożaru 1 dziecka, 2
dzieci, 3 dzieci w domku trzypokojowym, o którym
wiemy, że zawsze przebywają tam trzy osoby.
Oznaczmy osoby dorosłe przez P (pełnoletnie), dzieci
przez N (niepełnoletnie) ponadto wiemy, że
prawdopodobieństwa losowo przebywających osób w
poszczególnych pokojach są następujące:
Nr pokoju 1 2 3 Dane statystyczne
P P P
0.336
P P N
0,084
P N P
0.144
P N N
0.036
N P P
0.224
N P N
0.056
N N P
0.096
N N N
0.024
Nr pokoju 1 2 3 dane statystyczne
P P P 0.336
P P N 0,084
P N P 0.144
P N N 0.036
N P P 0.224
N P N 0.056
N N P 0.096
N N N 0.024
Mając dane statystyczne zmiennej losowej dyskretnej możemy znaleźć
funkcję prawdopodobieństwa w następującej postaci:
1.nie ma dzieci tj. dla X = 0 P(X=0) = 0.336
2.jest jedno dziecko tj. dla X= 1 P(X=1) = 0.084+0.144+ 0.224 =
0.454
3.jest dwoje dzieci tj. dla X = 2 P(X=2) = 0.036+0.056+0.096 =
0.188
4. Jest troje dzieci tj dla X = 3 P(X=3) = 0.024
Funkcja prawdopodobieństwa
x
0 1
2
3
P (X = x)
ΣP(X=x
i
)
0.336
0.336
0.452
0.788
0.188
0.976
0.024
1.000
•Zdarzenia są rozłączne, więc prawdopodobieństwa
można sumować.
•P (X = x) spełnia warunek funkcji nieujemnej (równej
lub większej od zera dla każdego argumentu)
•
ΣP (X = x
i
) = 1
Interpretacja naszego wyniku jest następująca: w tabeli, w
drugim wierszu pokazane są prawdopodobieństwa śmierci
dzieci w pożarze, z definicji ryzyka wynika, że liczby te to jest
właśnie poszukiwana wartość ryzyka utraty życia przez dzieci.
Otrzymane wartości ryzyka są określone dla ryzyka
warunkowego, tj określają ryzyko śmierci pod warunkiem, że
powstanie pożar (p = 1) oraz, że nikt nie ewakuuje się przy
powstaniu warunków krytycznych.
Dystrybuanta
Dystrybuanta zmiennej losowej X określona
jest następująco:
F (
x
) = P (X ≤
x
)
Wracając do obliczeń związanych z ryzykiem śmierci dzieci widać, że
F (0) = P (X ≤ 0) = P (X =0) = 0.336
F (1) = P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.336+0.452 = 0.788
F (2) = P (X ≤ 2) = P (X =0) + P (X = 1) + P (X =2) = 0.976
F (3) = P (X ≤ 3) = P (X =0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 1
Patrząc na powyższe działania widać, że dystrybuantę dla
dyskretnych zmiennych można zapisać następująco
F (x) = P (X ≤ x) =
Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą tj F (- ∞) = 0 i F (∞) = 1
x
a
a
X
P
)
(
Wykres
dystrybuanty
0
1
2
3
X-liczba dzieci
F (x) Wartość dystrybuanty
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Dylemat dyżurnego będącego długo na
służbie.
Znowu dzwoni telefon! Już tyle ich było! Do jakiego
zdarzenia tym razem: do pożaru małego, średniego lub
dużego czy też do miejscowego zagrożenia?
Czy można to przewidzieć ?
Załóżmy, że w ciągu swojej długiej służby miał następujące liczby
wezwań do każdego ze zdarzeń:
pożary małe 30, pożary średnie 17, pożary duże 5, miejscowe
zagrożenia 43. łączna więc liczba wezwań wynosi 95.
To jest nasza próbka zmiennych losowych. Daleko jej do próbki
reprezentującej rozkład wezwań około 480 tys. rocznie w całej Polsce.
Przeprowadzone niżej szacowanie przewidywania jakiego wezwania
dotyczy telefon jest więc daleko niedoskonałe, ale ilustruje
metodologię.
Obliczamy częstości względne każdego rodzaju wezwania
Mamy więc : dla pożarów małych
p
m
= n
m
/ N =30/95 = 0.316
dla pożarów średnich:
p
s
= n
s
/ N =17/95 = 0.178
dla pożarów dużych:
p
d
= n
d
/ N = 5/95 = 0.053
dla miejscowych zagrożeń:
p
z
= n
z
/ N=43/95 = 0.453
konstruujemy dystrybuantę dla zmiennych dyskretnych
(punktowych), zdefiniowaną następująco:
F (x) = P( x ≤ a ) =
Uwaga, w przypadku wartości ciągłych zamiast sumowania
wykonujemy całkowanie.
x
a
a
x
P
)
(
1
1
0.8
0.9
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0,2
0.1
Dystrybuanta wezwań dla naszego centrum zarządzania
kryzysowego.
p
z
p
m
p
s
p
d
Metoda Monte - Carlo
Generujemy liczbę pseudo losową. To wcale nie jest łatwe.
Ale spróbujmy tak:
Weźmy liczbę π = 3,14159265358979323846264338327950288
Proszę podać dowolną liczbę naturalną od 0 do 9.
Niech będzie 9. Podzielmy ją przez 3 mamy 3.
Z liczby π wyłuskujemy liczbę sześciocyfrową co 3 cyfry wpisując po zerze , mamy:
0.495893
Następnie tę liczbę np. pierwiastkujemy i mamy
0.704
Liczba 0.704 odpowiada na dystrybuancie pożarom małym (linia przerywana) i
interpretuje się ja następująco:
prawdopodobieństwo tego, że zgłoszenie będzie dotyczyło pożarów małych
jest mniejsze lub równe 0.704 lub
P (pożary małe lub miejscowe zagrożenia) ≤ 0.704
prawdopodobieństwo tego, że zgłoszenie będzie dotyczyło innych pożarów i
miejscowych zagrożeń jest większe niż 1- 0.704 =0.296
P (pozostałe pożary i miejscowe zagrożenia) > 0296
Komentarz
Liczba wezwań do danego rodzaju zdarzenia jest zmienną
losową.
Przy dużej liczbie wezwań rozkład liczby wezwań do
określonego zdarzenia jest zbieżny stochastycznie do
faktycznego rozkładu liczby wezwań na danym terenie.
Zbieżność ta jest z prawdopodobieństwem 1.
Monte Carlo – Probabilistyczna analiza
ryzyka
Jest wiele sytuacji, w stosunku do których nie istnieją algorytmy ich
przebiegu (poprzedni przykład) lub jeśli istnieją są bardzo
skomplikowane. W takich przypadkach możemy tak jak poprzednio
zastosować metodę Monte Carlo. Metoda ta opiera się na
następującym fakcie:
Histogram dużej losowej próbki jest przybliżeniem funkcji
prawdopodobieństwa opisującej zmienne losowe tej próbki.
Załóżmy, że Y wartością, podlegającą analizie ryzyka i jest ona
funkcją wektora X utworzonego ze zmiennych losowych X=(X
1
…X
N
)
Y = f (X)
W metodzie Monte Carlo generujemy próbkę o liczebności N
generując zmienne X
1
…X
N
każdy taki wektor generuje wektor X i
jest jego realizacją Każda realizacja generuje zmienną wyjściową Y.
Otrzymujemy dla N próbek histogram Y, który przybliża rozkład
prawdopodobieństwa z dowolna dokładnością.
Rozwój pożaru - analiza Monte-Carlo
Na rysunku poniżej przedstawiono rozkład czterech pokoi
ponumerowanych znajdujących się na piętrze budynku
mieszkalnego. Przeanalizujmy rozprzestrzenianie się pożaru z
pokoju 1 do pokoju 4.
1
2
3
4
Rozwój pożaru - analiza Monte-Carlo
Przedstawmy nasz rysunek w następującej postaci:
2
3
1
4
Zilustrowana wyżej sieć w tym przypadku odpowiadająca możliwym drogom rozwoju pożaru,
nazywa się siecią Beyes’a . Numery 1,2,3,4 to numery pokoi natomiast wielkości T
i
dla i =1 do
5,oznaczają czasy przejścia pożaru między pokojami.
T
1
T
3
T
4
T
2
T
5
Są cztery możliwości takiego przejścia pożaru z pożaru nr 1 do pokoju nr 4 (1,2, 4),(1,3,4),
(1,2,3,4) oraz (1,3,2,4)
Rozwój pożaru - analiza Monte-Carlo
Wielkości T
i
, określają czas przejścia z pokoju na początku strzałki do pokoju na końcu tej
strzałki. Czasy te są zmiennymi losowymi o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa. Dla
uproszczenia przyjmijmy, że czasy te są niezależne jeden od drugiego.
Problem: interesuje nas rozkład funkcji prawdopodobieństwa czasu przejścia pożaru z
pokoju nr 1 do pokoju nr 4.
Rozwiązanie: są cztery możliwości takiego przejścia (1,2, 4),(1,3,4),
(1,2,3,4) oraz (1,3,2,4). Odpowiadające im czasy zapiszmy następująco:
U
1
= T
1
+ T
2
U
2
= T
3
+ T
5
U
3
= T
1
+ T
4
+ T
5
U
4
= T
3
+ T
4
+ T
2
Czas rozprzestrzenienia się pożaru stanowi oczywiście minimum jednej z powyższych
wielkości U
i.
Utwórzmy funkcję f w następujący sposób,
f = min.(U
1
, U
2
, U
3
, U
4
)
Ponieważ wielkości T
i
są zmiennymi losowymi więc nie istnieje prosty algorytm, pozwalający
na określenie czasu przejścia pożaru z 1 do 4. I tutaj przydatna jest metoda Monte-Carlo.
Niech wielkości T
i
mają ten sam rozkład lognormalny o log. wartości średniej 1 oraz
o log. średniego standardowego odchylenia równym 0.3.
Metoda Monte Carlo polega na skonstruowaniu (losując z rozkładów) niezależnych próbek,
równej wielkości, zbudowanych ze zmiennych T
i
i = 1,…5 zestawieniu z każdej próbki
wielkości U
i
a następnie określeniu f.
Np. wykonujemy 10 000 losowań przy pomocy generowania liczb pseudolosowych.
Dla każdego losowania budujemy z wielkości T ( odczytanych podobnie jak w dylemacie
dyżurnego) zestaw U, wybieramy minimum z tego zestawu. Losowanie powtarzamy dla
następnego zestawu U. w ten sposób otrzymujemy 10 000 zestawów U, i za każdym razem
wybieramy minimum stąd otrzymujemy rozkład funkcji f.
Metoda Monte-Carlo - losowanie
próbek T
i
Założyliśmy, że wszystkie czasy T
i
mają ten sam rozkład. Niech
to będzie rozkład, którego dystrybuanta ma postać:
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
2
4
6
8
min.
T
3
T
5
T
2
T
4
Przykład 1 próbki Generujemy liczby pseudolosowe i
określamy T
i
.
W tym przypadku wartość funkcji f=T
3
+ T
5
=U
2
, gdyż U
2
stanowi min. Losowanie powtarzamy np. 10 000 i w ten
sposób otrzymujemy rozkład funkcji f.
T
1
Rozkład wartości funkcji f
2
4
6
8
500
1000
1500
2000
f = min(U
1
,U
2
,U
3
,U
4
)
Komentarz
1.
Na poprzednim slajdzie przedstawiony jest histogram
wystąpienia czasów określonych przez minimum funkcji f.
2.
Wartość średnia f a dokładnie logarytm wartości średniej
wynosi 1.60.
3.
Logarytm wartości standardowego odchylenia wynosi
0.18.
Uwaga aby obliczyć ile to minut należy wartość podstawy logarytmu naturalnego
podnieść dla wartości średniej do potęgi 1.6. A więc
T
sr.
= e
1.6
= 2.7
1.6
= 4.90
Natomiast dla standardowego odchylenia wartość podstawy logarytmu naturalnego
do potęgi 0.18. A więc
σ = e
0.18
= 2.7
0.18
=1.17
Załóżmy, że czas ewakuacji wszystkich ludzi z
pomieszczenia 4 wynosi 3.5 minuty. Aby policzyć
prawdopodobieństwo rozprzestrzenienia się pożaru z
pokoju 1 do pokoju 4 w ciągu mniej niż 3.5 min wystarczy
policzyć ile wyników wartości funkcji f otrzymaliśmy dla
czasów mniejszych niż 3.5 min. W naszym przypadku
wyniosło to dokładnie 298 razy co odpowiada
prawdopodobieństwu równym
p =298/10 000 ≈ 0.03
Sieć Bayes’a
Przedstawiony poniżej rysunek stanowi szczególny
przypadek sieci Bayes’a dla rozważanego przypadku.
2
3
1
4
T
1
T
3
T
4
T
2
T
5
Sieć Bayes’a stanowią acykliczne grafy. Pokój oznaczony numerem 1 jest
rodzicem dla dzieci tj. pokoju nr 2 i 3. Pokój nr 4 ma dwoje rodziców, pok. Nr
2 jest rodzicem dla 4 lub 3 i analogicznie pokój nr 3 jest rodzicem dla pok. nr
4 lub rodzicem dla pokoju nr 3.
Monte – Carlo powódź
• Obliczanie prawdopodobieństwa przelania się wody przez
wały.
r
s
s
+ z
- z
z = r - s
P(r)
P(s)
P(z)
Z = 0
Prawdop
.przelania.
P (z <0)
Poziom wody
Poziom wałów
Poziom bezpiecz.
r
Zakładamy, że mamy do czynienia z dwiema zmiennymi losowymi: wysokością wałów r
(odporność układu) oraz poziomem wody s ( ekspozycja układu na zagrożenie). Każda z tych
zmiennych losowych ma swoją gęstość prawdopodobieństwa. I tak, p (r) jest gęstością
prawdopodobieństwa wysokości wałów, zaś p (s) jest gęstością prawdopodobieństwa poziomu
wody. Wielkości te dla danej miejscowości są od siebie zależne. Jednak dla ilustracji metody
zakładamy, że są niezależne. Stare zniszczone często wały spełniają w pewnej mierze ten
warunek.
1
r = r
max
F( r)
F (s)
r, s
z
s
1
r
1
z > 0 z = 0 z < 0
Dla wylosowanych r
1
oraz s
1
widać, że r > s, a więc z > 0. Nie ma przelania. Powtarzamy
losowanie np. 100 000 razy. Poszukujemy rozkładu z = r – s. Dla z< 0 jest przelanie.
Liczbę wylosowanych z < 0 dzielimy przez 100 000 i otrzymujemy prawdopodobieństwo
przelania się wody przez wały.
Monte Carlo powódź
Analiza ryzyka
rozprzestrzenianie się pożaru dla trzech stref
Strefa I
Strefa II
Strefa III
Załóżmy, że pożar powstaje w i – tej strefie . W strefach stosuje
się zabezpieczenia, które mogą zablokować pożar.
Niech
F
i
oznacza
częstotliwość
(prawdopodobieństwo)
wystąpienia pożaru w dowolnej strefie, p
c
oznacza
prawdopodobieństwo, że pożar nie rozprzestrzenił się za i- tą
strefę, zaś p
f
oznacza prawdopodobieństwo, że pożar został
zablokowany w i- tej strefie przez urządzenia zabezpieczające.
P
1
, p
2
, p
3
oznaczają prawdopodobieństwa powstania pożaru w
odpowiednio w strefie I , II i III.
Analiza ryzyka pożarowego dla trzech
stref
(przykład c.d.)
Mamy następujące możliwe scenariusze:
1.Pożar zaczyna się w strefie I i tam pozostaje.
2.Pożar zaczyna się w strefie I i rozprzestrzenia się do strefy II ale nie III.
3.Pożar zaczyna się w strefie I i rozprzestrzenia się do strefy III ale nie do
II
4.Pożar zaczyna się w strefie I i rozprzestrzenia się do strefy II a
następnie do strefy III
5.Pożar zaczyna się w strefie I i rozprzestrzenia się do strefy III a
następnie do strefy II.
6.Pożar zaczyna się w strefie II i tam pozostaje
7.Itd..
Dla każdej strefy mamy 5 możliwości. Łącznie 15 scenariuszy.
Uwzględniając równoczesne przejście do stref II i III mamy 18
scenariuszy
Analiza ryzyka pożarowego dla trzech
stref
(przykład c.d.)
Dla naszych celów możemy przedefiniować ryzyko w
następujący sposób:
R = Σ R
i
= Σ C
i
F
i
gdzie R – ryzyko całkowite, R
i
ryzyko związane z i-tym
scenariuszem, C
i
straty związane z i-tym scenariuszem, F
i
częstotliwość i-tego scenariusza.
Uwzględniając niezawodność systemu ryzyko
definiuje się następująco:
R = Σ R
i
= Σ[F
i
(C
i
·P
f
+ C
i
'·(1 - P
f
))]
P
f
= p
a
·p
b
, tutaj p
a
– prawdopodobieństwo, że system zareaguje
w określonych warunkach np. dym dotrze do czujki, zaś p
b
prawdopodobieństwo, że system jest sprawny.
Analiza ryzyka pożarowego dla trzech
stref
drzewo zdarzeń
F
1
p
1
p
2
p
3
p
c
1-p
c
p
c
1-p
c
p
c
1-p
c
p
f
1-p
f
p
f
1-p
f
p
f
1-p
f
C[F
1
p
3
(1-p
c
)(1-p
f
)]
C [F
1
p
2
(1-p
c
)(1-p
f
)]
C [F
1
p
1
(1-p
c
)(1-p
f
)]
[F
1
p
1
(1-p
c
)p
f
]
[F
1
·p
1
·p
c
]
3
C
3
2C
[F
1
·p
2
·p
c
]
3
C
3
2C
3
C
3
2C
[F
1
p
2
(1-p
c
)p
f
]
[F
1
·p
3
·p
c
]
[F
1
p
3
(1-p
c
)p
f
]
I II
III
Analiza ryzyka pożarowego dla trzech
stref
(przykład c.d.)
Dla rozważanych trzech stref możemy zapisać następujące równanie:
3
C
R =
[F
1
·p
1
·p
c
]
+
3
2C
[F
1
p
1
(1-p
c
)p
f
] +C[F
1
p
1
(1-p
c
)(1-p
f
)]
+
3
C
[F
1
·p
2
·p
c
]
3
2C
[F
1
p
2
(1-p
c
)p
f
]+ C[F
1
p
2
(1-p
c
)(1-p
f
)]
+
3
C
[F
1
·p
3
·p
c
] +
3
2C
[F
1
p
3
(1-p
c
)p
f
] +C[F
1
p
3
(1-p
c
)(1-p
f
)]
+
Po wykonaniu działań wzór określający ryzyko sprowadza się do postaci:
R =
3
1
CF
[3 – 2p
c
–p
f
+ p
c
p
f
]
Dla p
c
i p
f
równych po 0.1, wartość ryzyka
R = 0.9
CF
1
dla p
c
i p
f
równych po 0.9, wartość ryzyka
R =
0.37CF
1
dla niezawodnego systemu tj. dla p
c
i p
f
równych po 1.0, wartość ryzyka R
= 033CF
1