1.   Ralston A.: Wstęp do analizy numerycznej. 

                                   PWN Warszawa 1975.
 2.   Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne.

                            WNT Warszawa 1982.

 3.   Bjorck A., Dahlquist G.: Metody numeryczne.

                                 PWN Warszawa 1983.

 4.   Pozrikidis C.: Numerical Computation in Science

                                           and Engineering.

                                Oxford University Press 1998.

 

 

Zapis liczb w maszynie cyfrowej

Liczby całkowite











p

0

i

i

i

2

e

znak

n

gdzie e

i

=0 lub 1.

Jeżeli na zapis liczby przeznaczymy d bitów, to 

pierwszy bit - znak, 

następne d-1 bitów - zapis liczby 

czyli mając do dyspozycji rejestr d bitowy p=d-2 i możemy

zapisać liczbę całkowitą:

1

2

n

2

1

d

1

d













w Pascalu mamy reprezentacje:

 

 

1 byte = 8 bitów

1 byte

shortint  :  -2

7

 n  2

7

-1             -128  n  127

tylko nieujemne:

byte  :   0  n  2

8

-1

                                      

   0  n  255

2 byte = 16 bitów

integer  : -2

15

  n  2

15

-1          -32768  n  32767

tylko nieujemne:

word  :  0  n  2

16

-1                       0  n  65535

 

 

4 bite = 32 bity

longint :  -2

31

 n  2

31

-1               -2147483648  n 2147483647

W podanych zakresach liczby całkowite są reprezentowane

w maszynie cyfrowej dokładnie.

Przekroczenie zakresu dla danego typu liczb całkowitych

powoduje najczęściej błędne obliczenia.

Liczby rzeczywiste

c

2

m

x





m – mantysa, c – cecha. Przyjmuje się, że 

1

m

2

1





Reprezentacja zmiennoprzecinkowa:

 

 

Mantysa m jest obliczana z zależności:















1

i

i

i

2

e

m

W maszynie cyfrowej mamy do dyspozycji skończoną liczbę
bitów wynoszącą t i mantysa maszynowa m

t

 jest:

t

)

1

t

(

t

1

i

i

i

t

2

e

2

e

m























a więc popełniamy błąd zaokrąglenia mantysy:

t

1

t

1

i

i

1

t

m

1

t

i

i

1

t

i

i

i

1

i

i

i

t

1

i

i

i

t

m

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

e

2

e

2

e

m

m













































































 

 

c - cecha

Przykład:

x=znak liczby |mantysa |znak cechy |cecha
x=0|1110|011

 

 





00

.

7

2

875

.

0

2

2

1

0

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

x

3

2

1

2

1

1

4

3

2

1

0



















































zmieniamy jeden bit: x=0|1111|011 
i mamy:

 

 





50

.

7

2

9375

.

0

2

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

x

3

2

1

2

1

1

4

3

2

1

0



















































Spróbujmy przedstawić w tej maszynie liczbę x=7.25
cecha: 2

3 

 i mantysa m=7.25/8=0.90625

 

 

reprezentacja dwójkowa mantysy:









4

1

i

i

i

2

e

m

czyli

0

e

e

5

.

2

1

e

25

.

0

1

e

2

1

e

e

25

.

1

2

1

e

2

1

e

625

.

0

1

e

2

1

e

2

1

e

e

625

.

1

2

1

e

2

1

e

2

1

e

8125

.

0

1

e

2

1

e

2

1

e

2

1

e

e

8125

.

1

2

1

e

2

1

e

2

1

e

2

1

e

90625

.

0

4

4

4

3

4

3

2

4

3

2

2

4

3

2

3

4

2

3

2

1

3

4

2

3

2

1

4

4

3

3

2

2

1





























































 

 

Przy ośmiu bitach dla zapisu liczb rzeczywistych - liczb 
między 7.00 i 7.50 nie rozróżniamy. 
Rzeczywiście mamy: błąd mantysy 2

-4

=0.0625, maksymalna 

cecha 8, czyli 0.0625*8=0.5.

Błąd względny :

x

x

x

przyb







czyli 

0357

.

0

7

7

25

.

7









lub inaczej









 1

x

x

przyb

Maksymalny błąd względny przy najostrzejszym oszacowaniu,
to:

0625

.

0

8

8

5

.

7











ale

0625

.

0

2

1

4







 

 

W Pascalu stosujemy reprezentacje:
single – 4 byte w tym 1 byte cecha

czyli o wielkości błędu względnego decyduje liczba bitów

przeznaczonych na mantysę.

błąd względny reprezentacji:

7

23

10

2

.

1

2













a więc 7 do 8 prawidłowych cyfr znaczących.

Zakres reprezentowanych liczb:

max

min

c

c

2

x

2

2

1





gdzie

1

2

c

2

c

7

max

7

min









38

39

127

129

10

x

10

2

x

2













 

 

real – 6 byte 
          cecha – 1 byte

błąd względny reprezentacji:

74

.

11

39

10

2











około 10 do 12 cyfr znaczących dokładnie.

Zakres reprezentowanych liczb jak dla single czyli

1

2

c

2

c

7

max

7

min









38

39

127

129

10

x

10

2

x

2













 

 

double – 8 byte

                cecha 11 bitów

1

2

c

2

c

10

max

10

min









308

308

1023

1025

10

9

.

0

x

10

6

.

3

2

x

2

















błąd względny reprezentacji:

65

.

15

52

10

2











około 15 do 16 cyfr znaczących dokładnie.

Zakres reprezentowanych liczb:

 

 

extended – 10 byte

                   cecha – 15 bitów

błąd względny reprezentacji:

26

.

19

64

10

2











około 19 do 20 cyfr znaczących dokładnie.

1

2

c

2

c

14

max

14

min









4932

4932

16383

16385

10

1

.

1

x

10

4

.

3

2

x

2

















Zakres reprezentowanych liczb:

 

 

Rodzaje błędów:
1. błędy danych wejściowych,
2. błędy obcięcia,
3. błędy zaokrągleń.

Błąd obcięcia

 

 

 

 

































































!

1

N

x

O

!

n

x

1

e

!

n

x

1

!

n

x

1

!

n

x

1

e

1

N

N

0

n

n

n

x

1

N

n

n

n

N

0

n

n

n

0

n

n

n

x

Błąd obcięcia:





!

1

N

x

1

N





 

 

Błąd obcięcia będzie dyskutowany przy poszczególnych 

metodach

Błąd danych wejściowych może być np. spowodowany 
błędami popełnionymi przy pomiarach np. wymiarów 
geometrycznych, itp..

Kilka uwag na temat organizacji obliczeń

Obliczyć wartość wielomianu stopnia n:

 

n

1

n

1

n

1

n

n

a

x

a

x

a

x

x

P

















 

 

 

n

1

n

1

n

1

n

n

a

x

a

x

a

x

x

P

















Obliczenia klasyczne: 
Liczba mnożeń – 



 

 













2

2

n

1

n

2

1

n

n

1

n

1

2

2

n

1

n

1

n



































Liczba dodawań - n

Dla n=100 mamy 5049 mnożeń i 100 dodawań. 

Schemat Hornera:

 







 



n

1

n

2

1

a

x

a

x

a

x

a

x

x

P

















 

 

 







 



n

1

n

2

1

a

x

a

x

a

x

a

x

x

P

















Liczba działań:
               mnożeń – n-1
               dodawań - n

Schemat łatwy do realizacji w pętli:

w=x+a

1

for k=2 to n

w=wx+a

k

P(x)=w

Po zakończeniu pętli mamy obliczoną wartość wielomianu.

 

 

Obliczanie sum

Sumę nieskończoną w obliczeniach numerycznych zastępujemy

sumą skończoną:











k

0

k

k

dok

a

S

Obliczenia numeryczne: 

 









N

k

1

k

k

p

a

N

S

Błąd obliczeń szacujemy: 

 

 

 

 

100

kN

S

kN

S

N

S

N

er

p

p

p





gdzie k najczęściej przyjmuje się =2.

Przykład:





125

.

0

1

k

4

k

0

S

k

1

k

2

2















 

 

i porównajmy błędy:

ep N

( )

Sp N

( ) Sp 2 N



(

)



Sp 2 N



(

)

100





gdzie 

 















N

k

1

k

2

2

1

k

4

k

N

Sp

z błędem: ep0N

( )

Sp N

( ) S0



S0

100





0

2.5

5

7.5 10

0

7.510

4

0.0015

0.00225

0.003

ep K

( )

ep0K

( )

K 10

3





 

 

0

25

50

75 100

0

0.075

0.15

0.23

0.3

ep K

( )

ep0K

( )

K

dla K=10,20..100

Kolejność sumowania

 















1

k

k

1

k

k

x

1

)

x

1

ln(

i obliczmy dla x=1 czyli

 













1

k

1

k

k

1

)

2

ln(

 

 

i obliczamy:

Sg N

( )

1

N

n

1



( )

n 1



n

�





oraz

Sd N

( )

N

1

n

1



( )

n 1



n

�





ln 2

( )

0.693147180559945



Sg 100

(

)

0.688172179310195



Sd 100

(

)

0.688172179310195



 

 

ln 2

( )

0.693147180559945



Sg 1000

(

)

0.692647430559822



Sd 1000

(

)

0.69264743055982



Sg 5000

(

)

0.693047190559951



Sd 5000

(

)

0.693047190559945



Sg 10000

(

)

0.693097183059958



Sd 10000

(

)

0.693097183059945



Sg 20000

(

)

0.693122181184958



Sd 20000

(

)

0.693122181184945



 

 

Przyśpieszenie zbieżności:

 































































 







N

k

1

k

1

k

1

k

1

k

1

k

1

k

1

k

2

k

2

1

)

N

(

0

S

1

k

2

k

2

1

1

k

2

1

k

2

1

k

1

0

S

ln 2

( )

0.693147180559945



S0 100

(

)

0.690653430481824



Sg 100

(

)

0.688172179310195



S0 1000

(

)

0.692897243059939



Sg 1000

(

)

0.692647430559822



S0 10000

(

)

0.693122181184947



 

 

Stabilność algorytmu

Przykład niestabilnego algorytmu (Kincaid i Cheney, 1996r)

Rozpatrzmy ciąg liczbowy:

2

k

x

3

4

x

3

13

x

3

1

x

1

x

2

k

1

k

k

1

0















równoważny ciągowi:

0

k

3

1

x

k

k

















Dowód metodą

indukcji matematycznej

Algorytm I

Algorytm II

 

 

Wyniki obliczeń w arytmetyce 32 bitowej według:

Algorytmu I

Algorytmu II

x

1

=1.00000000000000

x

1

=1.00000000000000

x

2

=0.333333333333333

x

2

=0.333333333333333

x

3

=0.111111111111111

x

3

=0.111111111111111

x

4

=0.037037037037036

x

4

=0.037037037037037

………………………..

………………………..

x

10

=0.000016935074827 x

10

=0.000016935087808

x

20

=-0.000013611585443 x

20

=0.000000000000000

x

30

=-14.273082546213100x

30

=0.000000000000000

 

 

Algorytmu I

Algorytmu II

x

40

=-1.496641180397794e7

x

40

=0.000000000000000

x

100

=-4.973443391573326e42

x

100

=0.000000000000000

Algorytm obliczeń rekurencyjnych:

2

k

x

3

4

x

3

13

x

3

1

x

1

x

2

k

1

k

k

1

0















jest numerycznie niestabilny

i nie może być zastosowany do

obliczeń numerycznych.

 

 

Układy równań liniowych

N

M

NM

k

Nk

2

2

N

1

1

N

k

M

kM

k

kk

2

2

k

1

1

k

2

M

M

2

k

k

2

2

22

1

21

1

M

M

1

k

k

1

2

12

1

11

b

x

a

...

x

a

...

x

a

x

a

.

..

..........

..........

..........

b

x

a

...

x

a

...

x

a

x

a

.

........

..........

..........

b

x

a

...

x

a

...

x

a

x

a

b

x

a

...

x

a

...

x

a

x

a





















































Jeżeli N<M, układ równań jest nieokreślony,

          N=M – określony

          N>M - nadokreślony

Rozważymy tylko przypadek N=M

 

 

Układ NxM liczb rzeczywistych bądź zespolonych zapisujemy 

w formie tablicy. 

Taką tablicę nazywamy macierzą NM wymiarową

lub macierzą prostokątną.





































NM

Nk

2

N

1

N

kM

kk

2

k

1

k

M

2

k

2

22

21

M

1

k

1

12

11

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

a

.

a

.

a

a

wiersz macierzy

wiersz k-ty macierzy

kolumna
macierzy

k-ta kolumna
macierzy

a

ik

 – wyraz macierzy położony we wierszu i-tym i kolumnie k-tej

 

 







































NM

Nk

2

N

1

N

kM

kk

2

k

1

k

M

2

k

2

22

21

M

1

k

1

12

11

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

a

.

a

.

a

a

A

Macierz symbolicznie zapisujemy w postaci jednego znaku, np.: A

podając liczbę wierszy i kolumn w opisie. 

Inny skrócony zapis to:

 

ik

a



A

i=(1,N); k=(1,M)

Jeżeli N=M, to macierz jest macierzą o jednakowej liczbie wierszy

i kolumn. Mówimy, że jest to macierz kwadratowa stopnia N,

lub macierz stopnia N.

 

 







































NN

Nk

2

N

1

N

kN

kk

2

k

1

k

N

2

k

2

22

21

N

1

k

1

12

11

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

a

.

a

.

a

a

A

Macierz kwadratowa stopnia N.

Operacje na macierzach

Mnożenie macierzy przez liczbę c. 
c – liczba rzeczywista lub zespolona.

Dwie macierze A i B są równe czyli A=B, jeżeli mają jednakową
liczbę wierszy i kolumn i zachodzi a

ij

=b

ij

 dla wszystkich par (i,j).

 

 







































NM

Nk

2

N

1

N

kM

kk

2

k

1

k

M

2

k

2

22

21

M

1

k

1

12

11

ca

.

ca

.

ca

ca

.

.

.

.

.

.

ca

.

ca

.

ca

ca

.

.

.

.

.

.

ca

.

ca

.

ca

ca

ca

.

ca

.

ca

ca

cA

lub krótko                      B=cA=[ca

ik

]

wymiary macierzy B są identyczne jak wymiary macierzy A.

Dodawanie (odejmowanie) dwóch macierzy A i B.

Obie macierze muszą mieć tę samą liczbę wierszy i kolumn.

 

 







































NM

Nk

2

N

1

N

kM

kk

2

k

1

k

M

2

k

2

22

21

M

1

k

1

12

11

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

a

.

a

.

a

a

A







































NM

Nk

2

N

1

N

kM

kk

2

k

1

k

M

2

k

2

22

21

M

1

k

1

12

11

b

.

b

.

b

b

.

.

.

.

.

.

b

.

b

.

b

b

.

.

.

.

.

.

b

.

b

.

b

b

b

.

b

.

b

b

B

 

 

suma:









































































NM

NM

Nk

Nk

2

N

2

N

1

N

1

N

kM

kM

kk

kk

2

k

2

k

1

k

1

k

M

2

M

2

k

2

k

2

22

22

21

21

M

1

M

1

k

1

k

1

12

12

11

11

b

a

.

b

a

.

b

a

b

a

.

.

.

.

.

.

b

a

.

b

a

.

b

a

b

a

.

.

.

.

.

.

b

a

.

b

a

.

b

a

b

a

b

a

.

b

a

.

b

a

b

a

B

A

lub krótko     C =A+B=[a

ij

+b

ij

]

lub w postaci realizacji na maszynie:    c

ij

=a

ij

+b

ij

 

       dla i=(1,N), j=(1,M):
for i:=1 to N do
      for j:=1 to M do
          C[i,j]:=A[i,j]+B[i,j]

Suma macierzy jest przemienna, czyli A+B=B+A

 

 

różnica:











































































NM

NM

Nk

Nk

2

N

2

N

1

N

1

N

kM

kM

kk

kk

2

k

2

k

1

k

1

k

M

2

M

2

k

2

k

2

22

22

21

21

M

1

M

1

k

1

k

1

12

12

11

11

b

a

.

b

a

.

b

a

b

a

.

.

.

.

.

.

b

a

.

b

a

.

b

a

b

a

.

.

.

.

.

.

b

a

.

b

a

.

b

a

b

a

b

a

.

b

a

.

b

a

b

a

B

A

C

lub krótko     C =A-B=[a

ij

-b

ij

]

lub w postaci realizacji na maszynie:    c

ij

=a

ij

-b

ij

 

       dla i=(1,N), j=(1,M):
for i:=1 to N do
      for j:=1 to M do
          C[i,j]:=A[i,j]-B[i,j]

 

 

Iloczyn dwóch macierzy

Dane dwie macierze prostokątne: 

A o wymiarze N

A

xM

A

i B o wymiarze N

B

xM

B

Obliczyć iloczyn C=AB.

Macierz będącą iloczynem można obliczyć tylko wtedy, jeżeli

liczba kolumn pierwszego czynnika – czyli M

A

 – jest równa 

liczbie wierszy drugiego czynnika – czyli N

B

, a więc warunkiem

wykonalności mnożenia dwóch macierzy prostokątnych jest

M

A

=N

B

Macierz C będzie miała N

A

wierszy i M

B

 kolumn.

Jeżeli A i B są macierzami kwadratowi tego samego stopnia N

mnożenie jest zawsze wykonalne. 

 

 

Wyrazy macierzy C=[c

ik

] będącej iloczynem macierzy AB 

obliczamy z zależności: 









B

A

M

n

1

n

nk

in

ik

M

1,

k

  

oraz

   

N

1,

i

   

dla

b

a

c

A













Przykład:































1

0

0

1

2

0

3

0

2

0

3

1

A

liczba wierszy 4
liczba kolumn 3

























1

2

0

0

0

0

0

4

3

0

0

1

2

0

2

B

liczba wierszy 3
liczba kolumn 5

 

 

Macierz C=AB będzie macierzą o 4 wierszach i 5 kolumnach 































1

0

0

1

2

0

3

0

2

0

3

1

A

























1

2

0

0

0

0

0

4

3

0

0

1

2

0

2

B

c

11

=a

11

b

11

+a

12

b

21

+a

13

b

31

=1·2+3 ·0+0 ·0=2

c

12

=a

11 

b

12

+a

12

b

22

+a

13

b

32

=1 ·0+3 ·3+0 ·0=9

c

13

=a

11

b

13

+a

12

b

23

+a

13

b

33

=1 ·(-2)+3 ·4+0 ·0=10

c

14

=a

11

b

14

+a

12

b

24

+a

13

b

34

=1 ·1+3 ·0+0 ·2=1

c

15

=a

11

b

15

+a

12

b

25

+a

13

b

35

=1 ·0+3 ·0+0 ·1=0

c

21

=a

21

b

11

+a

22

b

21

+a

23

b

31

=(-2) ·2+0 ·0+3 ·0=-4

itd…

 

 

































1

2

0

0

0

1

2

8

6

0

3

4

4

0

4

0

1

10

9

2

C

Iloczyn dwóch macierzy, również kwadratowych, 

nie jest przemienny czyli AB≠BA



























4

3

2

0

5

0

0

4

2

A



























1

2

0

2

0

2

0

2

0

B































10

4

6

10

0

10

8

4

8

AB





























4

7

2

8

2

0

0

10

0

BA



 

 

Jeżeli zachodzi AB=BA mówimy, że macierze są przemienne.

Macierz jednostkowa I – jest to macierz kwadratowa o wymiarze
N, której wyraz δ

ik

 jest zdefiniowany następująco: 















k

i

  

dla

  

0

k

i

  

dla

   

1

ik

czyli np. macierz jednostkowa 5-go stopnia ma postać:



































1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

I

Wykazać, że AI=IA=A

 

 

Ograniczymy nasze rozważania tylko do macierzy kwadratowych

stopnia N

O wyrazach a

ii

 macierzy A mówimy, że leżą na głównej przekątnej







































NN

kk

22

11

a

.

0

.

0

0

.

.

.

.

.

.

0

.

a

.

0

0

.

.

.

.

.

.

0

.

0

.

a

0

0

.

0

.

0

a

A

a macierz A, która ma niezerowe wyrazy tylko na głównej 

przekątnej nazywamy macierzą diagonalną

 

 







































NN

Nk

2

N

1

N

kN

kk

2

k

1

k

N

2

k

2

22

21

N

1

k

1

12

11

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

a

.

a

.

a

a

A

Jeżeli w macierzy A







































NN

kN

N

2

N

1

Nk

kk

k

2

k

1

2

N

2

k

22

12

1

N

1

k

22

11

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

a

.

a

.

a

a

A

zamienimy wiersze z kolumnami, to tak otrzymaną macierz 
nazywamy macierzą transponowaną i oznaczamy A

T

 

 

zapisując symbolicznie możemy napisać:   [a

ik

]

T

=[a

ki

]

Przykład:





























3

2

0

0

0

0

0

1

2

1

0

4

0

2

3

1

A





























3

0

2

0

2

0

1

2

0

0

0

3

0

1

4

1

T

A

Zachodzą związki:





T

T

T

A

B

AB 

Przykład:





























4

1

1

2

0

3

2

1

3

A





























3

1

1

0

5

2

4

1

0

B





























16

10

6

18

5

2

18

0

0

AB

































16

18

18

10

5

0

6

2

0

T

AB

 

 





























4

1

1

2

0

3

2

1

3

A





























4

2

2

1

0

1

1

3

3

T

A





























3

1

1

0

5

2

4

1

0

B





























3

0

4

1

5

1

1

2

0

T

B





























16

18

18

10

5

0

6

2

0

T

T

A

B

































16

18

18

10

5

0

6

2

0

T

AB

 

A

A



T

T

Dla każdej macierzy zachodzi

 

 



  





T

T

T

T

T

T

T

T

T

AA

AA

AA

A

A

AA







Macierz B, dla której zachodzi równość:                   nazywamy

macierzą symetryczną

T

B

B

Macierz B=AA

T

 jest macierzą symetryczną.































5

1

1

3

0

4

3

1

0

0

2

4

0

0

1

2

A































5

0

0

0

1

4

0

0

1

3

2

1

3

1

4

2

T

A



























30

2

14

7

2

26

10

5

14

10

20

10

7

5

10

5

T

AA

 

 

Wyznacznik

Dla danej macierzy kwadratowej A:







































NN

Nk

2

N

1

N

kN

kk

2

k

1

k

N

2

k

2

22

21

N

1

k

1

12

11

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

.

.

.

.

.

.

a

.

a

.

a

a

a

.

a

.

a

a

A

definiujemy liczbę:

 











N

1

j

ij

ij

j

i

det

a

1

det

A

A

gdzie detA

ij

 jest wyznacznikiem macierzy stopnia N-1 otrzymanej

przez skreślenie z macierzy A wiersza i-go i kolumny j-ej.

 

 

Jest to definicja rekurencyjna i dlatego musimy zdefiniować 
wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia N=1, czyli A=[a

11

].

Wyznacznik tej macierzy jest:   detA=a

11

.

Dla macierzy drugiego stopnia mamy:

22

21

12

11

a

a

a

a

det 

A

Zgodnie ze wzorem

 











N

1

j

ij

ij

j

i

det

a

1

det

A

A

mamy:

 

 

 

 

21

12

2

1

22

11

1

1

a

det

a

1

a

det

a

1

det













A

czyli dla macierzy drugiego stopnia mamy:

21

12

22

11

a

a

a

a

det





A

Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy bezpośrednio:

12

21

22

11

22

21

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a





dla obliczenia wyznacznika 
musimy wykonać dwa mnożenia

 

 

Wyznacznik macierzy trzeciego stopnia:























33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

Zgodnie ze wzorem:

 











N

1

j

ij

ij

j

i

det

a

1

det

A

A

mamy:

 

 

 













12

21

33

11

23

32

13

22

31

32

21

13

31

23

12

33

22

11

22

31

32

21

13

23

31

33

21

12

23

32

33

22

11

32

31

22

21

13

3

1

33

31

23

21

12

2

1

33

32

23

22

11

1

1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

1

a

a

a

a

a

1

a

a

a

a

a

1

det















































A

Liczba mnożeń, którą trzeba wykonać wynosi 9=3!

Wyznacznik 3-go stopnia możemy łatwo obliczyć metodą Sarrusa

12

21

33

11

23

32

13

22

31

32

21

13

31

23

12

33

22

11

32

31

33

32

31

22

21

23

22

21

12

11

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a















+ +

+

-

-

-

 

 

Obliczenie wyznacznika N-go stopnia wymaga wykonania N!
mnożeń.
Obliczanie wyznaczników stopnia 4-go i wyższych jest operacją
czasochłonną,

Macierz odwrotna

Macierz odwrotną do macierzy kwadratowej A będziemy 

oznaczać A

-1

.

Macierz A

-1

 jest macierzą odwrotną do macierzy A tylko 

wtedy jeżeli

 

I

    

i

     

I

1

1









A

A

AA

Jeżeli wyrazy macierz odwrotnej oznaczymy przez b

ik

 a wyrazy

macierzy A przez a

ik

, to dla wyznaczenia wyrazów macierzy 

odwrotnej mamy N

2

 równań:  



















k

i

   

dla

     

0

k

i

   

dla

     

1

b

a

N

j

1

j

jk

ij

 

 

Wyrazy macierzy odwrotnej można wyznaczyć ze wzorów
analitycznych:

 

A

A

det

det

1

b

ij

j

i

ij







gdzie detA – wyznacznik macierzy A,
               A

ij

 – oznacza macierz stopnia N-1 otrzymaną z macierzy

                       A przez skreślenie i-go wiersza i j-ej kolumny, a

          detA

ij

 jest wyznacznikiem macierzy A

ij

. 

Z powyższego wzoru wynika, że warunkiem istnienia macierzy

odwrotnej jest aby wyznacznik główny detA≠0

Podanego wzoru praktycznie nigdy nie stosujemy do obliczenia
macierzy odwrotnej, gdyż prowadzi on do olbrzymiej liczby
obliczeń. Szacując tylko liczbę mnożeń mamy dla obliczenia 
wyznacznika głównego N!. Dla obliczenia N

2

 wyrazów macierzy

odwrotnej (N-1)! mnożeń, a więc N!+N

2

(N-1)!=(N+1)! mnożeń. 

 

 

Rozwiązywanie układów równań liniowych 

Dany jest układ równań liniowych: 

B

AX 

A – macierz (tablica) o wymiarze NxN, 
a

ij

 – element macierzy A leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie









































.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

wiersz

ty

i

kolumna

ta

j

ij

 

 

X – wektor (tablica jednokolumnowa) niewiadomych 
      o N składowych

Zapis:

 



























.

x

.

x

x

i

1

i

X

Często wygodniej zapisywać w postaci:





N

i

1

T

x

.

x

.

x



X

Formalnie rozwiązanie równania AX=B możemy zapisać w postaci:

B

A

X

1





i ponieważ obliczenie macierzy odwrotnej wymaga (N+1)! mnożeń,
więc w przybliżeniu taki byłby nakład pracy przy rozwiązaniu w ten
sposób. Niestety jest to niewykonalne dla dużych układów równań.

 

 

Przestrzeń R

n

 jest utworzona przez n - wymiarowe wektory X 

Definiujemy normy dla wektora:

 



























.

x

.

x

x

i

1

i

X

jako

n

2

1

1

x

x

x











X

lub norma euklidesowa:





2

1

2

n

2

2

2

1

2

x

x

x











X

norma maksimum:





n

2

1

x

,

,

x

,

x

max







X

Normy wektorów są równoważne, co oznacza, że jeżeli ciąg
norm                        jest zbieżny do zera według jednej z norm
to jest zbieżny również względem pozostałych.

 

 



,

x

,

x

2

1

 

 

Macierz A o m wierszach i n kolumnach:

 

 

m

n

AX

X



wektorom X

(m)

 przestrzeni R

m

 przyporządkowuje wektory X

(n)

przestrzeni R

n

. Mówimy, że mamy operator liniowy  A

przekształcający przestrzeń R

m

 w R

n

.

Normę operatora definiujemy:

m

n

nm

max

X

AX

A

0

X



Jeżeli przyjmiemy w obu przestrzeniach normę

n

2

1

1

x

x

x











X

to











m

i

1

i

ij

n

,

,

2

,

1

j

1

a

max



A

maksymalna suma
modułów w kolumnie