Ruch postępowy i obrotowy
Ruch postępowy i obrotowy
Kinematyka punktu materialnego i bryły sztywnej
Kinematyka punktu materialnego i bryły sztywnej
•
Ruch jednowymiarowy
Ruch jednowymiarowy
•
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
•
Kinematyka bryły sztywnej
Kinematyka bryły sztywnej
Dynamika ruchu postępowego i obrotowego
Dynamika ruchu postępowego i obrotowego
•
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
•
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
•
Układy inercjalne i nieinercjalne
Układy inercjalne i nieinercjalne
Wykład
Wykład
2
2
Kinematyka
Kinematyka
Ruch jednowymiarowy
Ruch jednowymiarowy
•
Prędkość
Prędkość
•
Przyspieszenie
Przyspieszenie
•
Ruch jednostajnie przyspieszony
Ruch jednostajnie przyspieszony
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
•
Ruch krzywoliniowy
Ruch krzywoliniowy
•
Ruch po okręgu
Ruch po okręgu
Kinematyka bryły sztywnej
Kinematyka bryły sztywnej
Wykład
Wykład
2
2
Ruch jednowymiarowy
Ruch jednowymiarowy
prędkość
prędkość
czyli zmiana odległości w jednostce
czyli zmiana odległości w jednostce
czasu
czasu
s vt
=
Wykład
Wykład
2
2
s
0
s
s
t
s
0
t
0
Jeżeli samochód
porusza się ze stałą prędkością
v,
to odległość
jaką przebywa w czasie
t
jest:
Ruch jednowymiarowy
Ruch jednowymiarowy
prędkość średnia
prędkość średnia
Wykład
Wykład
2
2
Prędkość średnia charakteryzuje ruch zmienny w sposób przybliżony.
Wyraża ona prędkość, jaką posiadałoby dane ciało gdyby
przebywało drogę s w czasie t ruchem jednostajnym.
s
1
s
2
A
B
t
1
t
2
0
Prędkość średnia na odcinku s
2
– s
1
nie
określa prędkości, z jaką badane ciało
mija dowolny punkt tego odcinka.
_
2
1
2
1
s
s
s
v
t
t
t
-
D
=
=
-
D
Ruch jednowymiarowy
Ruch jednowymiarowy
prędkość chwilowa
prędkość chwilowa
_
2
1
2
1
s
s
v
t
t
-
=
-
Wykład
Wykład
2
2
0
t C
s
'
'
2
1
'
'
2
1
s
s
t
t
-
-
s’
1
t’
1
A
s’
2
t’
2
B
s
1
t
1
A
s
2
t
2
B
'
"
1
1
'
"
2
2
t t
t
t
t
t
< < <
> > >
K
K
'
"
1
1
'
"
2
2
s s
s
s
s
s
< < <
> > >
K
K
_
2
1
0
0
0
2
1
lim
lim
lim
t
t
t
s
s
s ds
v
v
t
t
t dt
D �
D �
D �
-
D
=
=
=
=
-
D
s”
2
t”
2
B
s”
1
t”
1
A
"
"
2
1
"
"
2
1
,
s
s
t
t
-
-
K
Ruch jednowymiarowy
Ruch jednowymiarowy
przyspieszenie
przyspieszenie
czyli tempo zmiany
czyli tempo zmiany
prędkości
prędkości
v at
=
Wykład
Wykład
2
2
v
t
v
0
t
0
Samochód
porusza się ze stałym przyspieszeniem
a
,
gdy jego
prędkość
v
zmienia się jednostajnie z czasem
t
Ruch jednowymiarowy
Ruch jednowymiarowy
przyspieszenie średnie
przyspieszenie średnie
Wykład
Wykład
2
2
Przyspieszenie średnie charakteryzuje zmiany prędkości w sposób
przybliżony.
Wyraża ono przyspieszenie, z jakim poruszałoby się dane ciało
gdyby jego prędkość zmieniała się jednostajnie w czasie.
Przyspieszenie średnie od prędkości v
1
do prędkości v
2
nie określa
przyspieszenia, z jakim badane ciało porusza cię w dowolnej chwili
czasu.
_
2
1
2
1
v
v
v
a
t
t
t
-
D
=
=
-
D
Ruch jednowymiarowy
Ruch jednowymiarowy
przyspieszanie chwilowe
przyspieszanie chwilowe
_
2
1
2
1
v
v
a
t
t
-
=
-
Wykład
Wykład
2
2
'
"
1
1
'
"
2
2
t t
t
t
t
t
< < <
> > >
K
K
'
"
1
1
'
"
2
2
v v
v
v
v
v
< < <
> > >
K
K
_
2
1
0
0
0
2
1
lim
lim
lim
t
t
t
v
v
v dv
a
a
t
t
t
dt
D �
D �
D �
-
D
=
=
=
=
-
D
'
"
1
1
a
a
a
< < <
K
2
2
dv d s
a
dt
dt
=
=
Ruch jednowymiarowy
Ruch jednowymiarowy
ruch jednostajnie
ruch jednostajnie
przyspieszony
przyspieszony
_
0
s s
v
t
-
=
_
0
2
v
v
v
+
=
Wykład
Wykład
2
2
v
t
v
0
t
v
v
_
0
s s
vt
= +
0
0
2
v
v
s s
t
+
= +
_
0
v v
a
a
t
-
=
=
0
0
0
2
v
v
at
s s
t
+ +
= +
2
0
0
2
at
s s
v t
= +
+
0
v v
at
= +
_
0
s s
vt
= +
Ruch jednowymiarowy
Ruch jednowymiarowy
ruch jednostajnie
ruch jednostajnie
przyspieszony
przyspieszony
0
ds
v v
at
dt
= = +
Wykład
Wykład
2
2
2
0
0
2
at
s s
v t
= +
+
v
t
v
0
t
s
s
0
a
t
a
2
2
d s dv
a
dt
dt
=
=
Ruch jednowymiarowy
Ruch jednowymiarowy
swobodny spadek
swobodny spadek
jako przykład ruchu jednostajnie
jako przykład ruchu jednostajnie
przyspieszonego
przyspieszonego
Wykład
Wykład
2
2
2
0
0
2
at
s s
v t
= +
+
0
0
0
0
s
v
=
=
2
9.81
m
a g
s
� �
= @
� �
� �
2
2
gt
s =
2
1
1
2
2
g
g
s =
=
Droga przebyta przez 1 sekundę
2
2
4
1
3
2
2
2
2
g
g
g
g
s=
=
=
+
Droga przebyta przez 2 sekundy
2
3
9
1
3
5
2
2
2
2
2
g
g
g
g
g
s =
=
=
+
+
Droga przebyta przez 3 sekundy
2
4
16
1
3
5
7
2
2
2
2
2
2
g
g
g
g
g
g
s=
=
=
+
+
+
Droga przebyta przez 4 sekundy
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
ruch krzywoliniowy
ruch krzywoliniowy
( )
r f t
=
r
Wykład
Wykład
2
2
Do opisu toru ruchu krzywoliniowego
może służyć wektor promienia
wodzącego, którego początek leży stale
w początku układu współrzędnych, a
koniec stale zmienia swoje położenie
przesuwając się wzdłuż.
y
x
r
$
r xi y j
= +
r
$
$
$
r xi y j zk
= +
+
r
$
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
prędkość w ruchu krzywoliniowym
prędkość w ruchu krzywoliniowym
r
s
D � D
r
Wykład
Wykład
2
2
y
x
r
1
r
2
r
s
_
v
0
t
D �
gdy
r
v
t
D
=
D
r
r
wektor prędkości średniej
2
1
_
r r
v
t
-
�
=
�
D
3
1
_
r r
v
t
-
�
�
=
�
�
D
A
v
dt
dr
=
y
x
r
1
r
2
r
3
A
0
lim
t
r dr
v
t
dt
D �
D
=
=
D
r
r
r
wektor prędkości chwilowej
0
0
lim
lim
t
t
r
s ds
v
t
t dt
D �
D �
D
D
=
=
=
D
D
wartość liczbowa
wektor prędkości
chwilowej
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
prędkość w ruchu krzywoliniowym
prędkość w ruchu krzywoliniowym
Wykład
Wykład
2
2
Kierunek wektora prędkości
chwilowej jest styczny do
toru w danym punkcie
A
B
C
v
1
v
2
v
3
Wektor prędkości można
przedstawić za pomocą
składowych
skierowanych wzdłuż osi
współrzędnych
$
dr
dx
dy
v
i
j
dt
dt
dt
=
=
+
r
r
$
$
x
y
v v i v j
=
+
r
$
$
$
dr
dx
dy
dz
v
i
j
k
dt
dt
dt
dt
=
=
+
+
r
r
$
$
$
x
y
z
v v i v j v k
=
+
+
r
$
W ruchu krzywoliniowym jednostajnym długości wektorów prędkości w
różnych punktach toru są jednakowe, kierunki ich jednak ciągle się
zmieniają
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
przyspieszenie w ruchu
przyspieszenie w ruchu
krzywoliniowym
krzywoliniowym
0
dv
t
a
dt
D �
=
r
r
Wykład
Wykład
2
2
W ruchu krzywoliniowym jednostajnym wektor prędkości nie jest stały.
A
B
v
1
v
2
v
2
1
v v
v
D = -
r uur ur
_
a
v
a
t
D
=
D
r
r
Przejściu do granicy towarzyszy
zmiana kierunku przyspieszenia
średniego na kierunek
przyspieszenia chwilowego.
Wektor przyspieszenia chwilowego różni się od wektora przyspieszenia
średniego zarówno wartością jak i kierunkiem.
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
przyspieszenie w ruchu
przyspieszenie w ruchu
krzywoliniowym
krzywoliniowym
Wykład
Wykład
2
2
$
$
2
2
2
2
y
x
dv
dv
d x
d y
a i
j
i
j
dt
dt
dt
dt
=
+
=
+
r $
$
Wektor przyspieszenia można przedstawić za pomocą składowych
skierowanych wzdłuż osi współrzędnych.
$
$
$
$
2
2
2
2
2
2
y
x
z
dv
dv
dv
d x
d y
d z
a i
j
k
i
j
k
dt
dt
dt
dt
dt
dt
=
+
+
=
+
+
r $
$
$
x
y
a a i a j
=
+
r
$
$
$
x
y
z
a a i a j a k
=
+
+
r
$
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
analiza ruchu krzywoliniowego
analiza ruchu krzywoliniowego
czyli jak rozwiązywać zadania z kinematyki
czyli jak rozwiązywać zadania z kinematyki
Wykład
Wykład
2
2
Wykonać rysunek
Wykonać rysunek
czyli umieścić badane zdarzenie w
czyli umieścić badane zdarzenie w
układzie współrzędnych
układzie współrzędnych
Zapisać równania ruchu
Zapisać równania ruchu
czyli przedstawić równaniami
czyli przedstawić równaniami
jak zmienia się w czasie droga przebyta przez badane ciało
jak zmienia się w czasie droga przebyta przez badane ciało
Zapisać równanie toru
Zapisać równanie toru
czyli przedstawić równanie
czyli przedstawić równanie
krzywej po której porusza się badane ciało
krzywej po której porusza się badane ciało
Podać prędkość badanego ciała
Podać prędkość badanego ciała
Podać przyspieszenie badanego ciała
Podać przyspieszenie badanego ciała
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
analiza ruchu krzywoliniowego
analiza ruchu krzywoliniowego
czyli jak rozwiązywać zadania z kinematyki
czyli jak rozwiązywać zadania z kinematyki
Wykład
Wykład
2
2
ZADANIE:
Kula została wystrzelona z prędkością v
0
z pewnej
wysokości w kierunku poziomym. Wyznaczyć
równanie toru, podać prędkość i przyspieszenie.
y
x
v
0
x v t
=
v
0
v
x
v
y
2
2
gt
y
-
=
2
0
0
2
at
s s
v t
= +
+
0
x
dx
v
v
dt
=
=
y
dy
v
gt
dt
=
=-
2
2
2
2 2
0
x
y
v
v
v
v
g t
=
+ =
+
0
x
x
dv
a
dt
=
=
y
y
dv
a
g
dt
=
=-
0
x
t
v
=
2
2
0
2
g
y
x
v
=-
parabola
g
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
rzut poziomy – rzut pionowy
rzut poziomy – rzut pionowy
Wykład
Wykład
2
2
W rzucie ukośnym ruchy
cząstki w kierunku
poziomym i w kierunku
pionowym można
traktować jako niezależne
– żaden z nich nie ma
wpływu na drugi.
Rozpatrzmy dwie piłki
wyrzucone w tej samej
chwili – jedna
upuszczono pionowo w
dół, drugą wystrzelono
poziomo.
Rzut do góry
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
przykład – rzut pionowy
przykład – rzut pionowy
2
2
gt
h
Wykład
Wykład
2
2
Swobodny spadek
g
h
t
2
h
h
max
gt
v
k
wzn
k
gt
v
v
0
0
g
v
t
wzn
0
2
2
0
gt
t
v
h
g
v
h
2
2
0
max
Czas wznoszenia się ciała na
maksymalna wysokość i czas
swobodnego spadku z takiej
wysokości są jednakowe.
x
y
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
przykład – rzut ukośny
przykład – rzut ukośny
Wykład
Wykład
2
2
V
o
V
0x
V
0y
sin
cos
0
0
0
0
v
v
v
v
y
x
d
2
sin
0
cos
2
0
0
gt
t
v
y
t
v
x
d
cos
sin
2
2
0
g
v
d
2
sin
cos
sin
2
2
sin
2
0
g
v
d
Z równania tego nie otrzymamy odległości
przebytej przez ciało w poziomie, jeżeli
położenie końcowe ciała nie znajduje się na tej
samej wysokości co punkt jego wystrzelenia.
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
ruch po okręgu
ruch po okręgu
Wykład
Wykład
2
2
x
y
y
x
r
A(x,y)
( )
cos
x r
t
j
=
( )
sin
y r
t
j
=
doga kątowa promienia wodzącego czyli kąt
zakreślany przez promień wodzący w czasie t
sin
x
dx
d
v
r
dt
dt
j
j
=
=-
cos
y
dy
d
v
r
dt
dt
j
j
=
=
$
x
y
v v i v j
=
+
r
$
v
r
(
)
2
2
2
2
2
2
sin
cos
x
y
d
v
v
v
r
dt
j
j
j
� �
=
+ =
+
� �
� �
d
v r
dt
j
=
prędkość kątowa
v rw
=
Prędkość kątową umówiono się traktować jako wektor
prostopadły do płaszczyzny toru kołowego, wyprowadzony
z jego środka. Kierunek tego wektora określa reguła
korkociągu. Jeżeli rączkę korkociągu ustawionego
prostopadle do płaszczyzny toru kołowego obracać
zgodnie z kierunkiem ruchu punktu po okręgu, to kierunek
przesuwania się korkociągu określi kierunek wektora
prędkości kątowej.
v r w
= �
r r ur
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
ruch jednostajny po okręgu
ruch jednostajny po okręgu
t
j
w
=
Wykład
Wykład
2
2
W ruchu jednostajnym po okręgu prędkość kątowa ma wartość
stałą, a zatem droga kątowa rośnie proporcjonalnie do czasu
cos
x r
t
w
=
sin
y r
t
w
=
sin
x
v
r
t
w
w
=-
cos
y
v
r
t
w
w
=
2
cos
x
a
r
t
w
w
=-
2
sin
y
a
r
t
w
w
=-
2
a
r
w
=-
r
r
2
x
y
r
v
v
v
r
T
p
w
=
+ =
=
2
x
y
a
a
a
r
w
=
+
=
przyspieszenie dośrodkowe
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
ruch jednostajny po okręgu
ruch jednostajny po okręgu
Wykład
Wykład
2
2
W ruchu jednostajnym po okręgu, mimo istnienia przyspieszenia
dośrodkowego, wartość liczbowa prędkości liniowej nie ulega zmianie
v
r
w
=
2
a
r
w
=
v
r
w =
2
v
a
r
=
2
2
0
d
d
dt
dt
w
j
a =
=
=
przyspieszenie kątowe
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
ruch niejednostajny po okręgu
ruch niejednostajny po okręgu
Wykład
Wykład
2
2
W ruchu niejednostajnym po okręgu prędkość kątowa nie ma stałej
wartości czyli tym razem przyspieszenie kątowe nie równa się zeru.
2
2
0
d
d
dt
dt
w
j
a =
=
�
Według umowy przyspieszenie kątowe jest traktowane jako wektor
prostopadły do płaszczyzny toru kołowego wyprowadzony z jego
środka. Kierunek wektora jest zawsze zgodny z kierunkiem . Zwroty
obu wektorów są zgodne w ruchu przyspieszonym, a przeciwne w
ruchu opóźnionym.
z
x
y
v
Ruch w dwóch wymiarach
Ruch w dwóch wymiarach
ruch niejednostajny po okręgu
ruch niejednostajny po okręgu
Wykład
Wykład
2
2
Przyspieszenie liniowe w ruchu niejednostajnym po okręgu
(
)
dv
d
d
dr
a
r
r
dt
dt
dt
dt
w
w
w
=
=
� =
� + �
r
r
uv
r
r
uv v
uv
v
r
w
= �
r
r
uv
r
a �
r
uv
r
a
t
v
w�
uv v
a
n
z
x
y
r
v
t
a
r
a
= �
r
ur r
wektor przyspieszenia
stycznego o wartości:
t
a
r
a
=
n
a
v
w
= �
r
ur r
wektor przyspieszenia
normalnego (dośrodkowego)
o wartości:
2
n
a
r
w
=-
v
A”
B”
III
A’
B’
II
I
A
B
Kinematyka bryły sztywnej
Kinematyka bryły sztywnej
ruch postępowy
ruch postępowy
Wykład
Wykład
2
2
Przez bryłę sztywną rozumiemy ciało, które pod działaniem dowolnie
wielkich sił nie ulega ani odkształceniu postaci ani odkształceniu objętości.
Ruch postępowy bryły sztywnej
jest to taki ruch, przy którym
dowolny odcinek łączący dwa
punkty bryły zachowuje stałe
położenie do siebie równoległe.
Wszystkie punkty bryły sztywnej, odbywającej ruch postępowy, zakreślają
drogi równe oraz mają jednakowe prędkości i przyspieszenia.
Badanie ruchu postępowego bryły sztywnej sprowadza się do do badania
ruchu jakiegokolwiek dowolnie wybranego punktu bryły.
t
2
Kinematyka bryły sztywnej
Kinematyka bryły sztywnej
ruch obrotowy
ruch obrotowy
Wykład
Wykład
2
2
Jeżeli bryła sztywna wprawiona jest w ruch
obrotowy, można w niej wyodrębnić szereg
punktów nie poruszających się. Zbiór tych
punktów leżących na jednej prostej stanowi
oś obrotu. Oś obrotu jest stała, jeżeli z
biegiem czasu nie zmienia swego położenia
ani w ciele ani w przestrzeni.
t=0
Aby określić położenie wirującej bryły wystarczy znać położenie jednego punktu
materialnego bryły w danym układzie współrzędnych. Zadanie kinematyczne
sprowadza się do rozważenia ruchu punktu materialnego po okręgu w przestrzeni
dwuwymiarowej.
Pozostałe punkty bryły sztywnej zataczają tory kołowe w płaszczyznach
prostopadłych do osi. Promienie tych kół równe są odległościom rozpatrywanych
punktów od osi obrotu.
t
1
Kinematyka
Kinematyka
podsumowanie
podsumowanie
Wielkość
Wielkość
fizyczna
fizyczna
Ruch postępowy
Ruch postępowy
(stały kierunek ruchu)
(stały kierunek ruchu)
Ruch po okręgu
Ruch po okręgu
Wielkości kątowe
Wielkości kątowe
Wielkości liniowe
Wielkości liniowe
Droga
Droga
Prędkość
Prędkość
Przyspieszenie
Przyspieszenie
Wycinek okręgu
Wycinek okręgu
2
0
0
2
at
x x
v t
= +
+
Wykład
Wykład
2
2
0
v v
at
= +
2
n
t
a a
a
r
r
w
a
= +
=-
+
2
0
0
2
t
t
a
j
j
w
= +
+
0
t
w w a
= +
a
v
r
w
=
a
Dynamika
Dynamika
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
•
Pierwsza zasada dynamiki
Pierwsza zasada dynamiki
•
Druga zasada dynamiki
Druga zasada dynamiki
•
Trzecia zasada dynamiki
Trzecia zasada dynamiki
•
Równia pochyła
Równia pochyła
•
Układ punktów materialnych
Układ punktów materialnych
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
•
Ruch po okręgu
Ruch po okręgu
•
Ruch obrotowy bryły sztywnej
Ruch obrotowy bryły sztywnej
Układy inercjalne i nieinercjalne
Układy inercjalne i nieinercjalne
Wykład
Wykład
2
2
Dynamika
Dynamika
definicje
definicje
m Vr
=
P mg
=
Wykład
Wykład
2
2
Masa
Ciężar
[kg]
[N]
objętość
gęstość
przyspieszenie
Dynamika
Dynamika
definicje
definicje
m Vr
=
P mg
=
Wykład
Wykład
2
2
Masa
Ciężar
[kg]
[N]
objętość
gęstość
przyspieszenie
Pomiar masy
m
0
m
v
0
v
0
0
v
m m
v
�
Dynamika
Dynamika
definicje
definicje
dp
F
dt
�
p mv
�
Wykład
Wykład
2
2
Siła
Pęd
[kg m/s]
[kg m/s
2
= N]
prędkość
Dynamika
Dynamika
definicje
definicje
dp
F
dt
�
p mv
�
Wykład
Wykład
2
2
Siła
Pęd
[kg m/s]
[kg m/s
2
= N]
prędkość
Pomiar siły
m
0
1
m = 1kg
a = 1m/s
2
F = 1N
F
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
trzy zasady dynamiki
trzy zasady dynamiki
Wykład
Wykład
2
2
Z kolekcji pana dr Jerzego Rutkowskiego
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
pierwsza zasada dynamiki
pierwsza zasada dynamiki
czyli zasada
czyli zasada
bezwładności
bezwładności
0
0
wyp
F
a
=
=
uuuur
r
Wykład
Wykład
2
2
Słuszność pierwszej części tej zasady nie może być na
Ziemi doświadczalnie sprawdzona. Nie można stworzyć
warunków aby ciało było wolne od działanie sił.
Bezwładność jest właściwością ciała
decydującą o tym, że ciało bez działania sił
nie może zmienić ani wartości ani kierunku
swej prędkości.
Ciało nie poddane działaniu żadnej siły albo poddane działaniu sił
równoważących się pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym.
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
pierwsza zasada dynamiki - układy
pierwsza zasada dynamiki - układy
inercjalne
inercjalne
Wykład
Wykład
2
2
Inercja = Bezwładność
Definicja
Układy inercjalne to takie układy odniesienia, które albo
spoczywają, albo poruszają się ze stałą prędkością względem
średnich pozycji gwiazd stałych.
Jest to zbiór układów określonych przez pierwszą zasadę dynamiki
Newtona, mianowicie jest to taki zbiór układów, w którym ciało nie
ma przyspieszenia jeśli w otoczeniu tego ciała nie ma innych ciał
mogących wywierać na nie jakieś siły.
Każdy układ poruszający się ruchem prostoliniowym jednostajnym
względem układu inercjalnego jest również układem inercjalnym.
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
druga zasada dynamiki
druga zasada dynamiki
czyli co się dzieje gdy na ciało
czyli co się dzieje gdy na ciało
działają siły
działają siły
wyp
wyp
dp
F
dt
F
ma
=
=
ur
uuuur
uuuur
r
Wykład
Wykład
2
2
Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej
na to ciało. Siła jest proporcjonalna do przyspieszenia jakie
wywołuje działając na ciało o masie m.
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
trzecia zasada dynamiki
trzecia zasada dynamiki
czyli zasada
czyli zasada
akcji i
akcji i
reakcji
reakcji
AB
BA
F
F
=-
uuur
uuur
Wykład
Wykład
2
2
Jeśli ciało A działa na ciało B z siłą F
AB
, to ciało B działa na ciało A
siłą F
BA
, równą co do wartości, lecz przeciwnie skierowaną.
P
F
s
F
n
-F
n
Sytuacja bez tarcia
P
-P
-P
P
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
równia pochyła – wprowadzenie siły
równia pochyła – wprowadzenie siły
tarcia
tarcia
ts
s n
F
F
m
=
Wykład
Wykład
2
2
P
F
s
F
n
-F
n
tk
k n
F
F
m
=
F
t
krytyczna wartość siły tarcia
współczynnik tarcia statycznego
F
s
F
t
F
s
> F
t
wartość siły tarcia podczas ruchu
współczynnik tarcia kinetycznego
k
s
m
m
<
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
układ punktów materialnych – środek
układ punktów materialnych – środek
masy
masy
Wykład
Wykład
2
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
i i
i i
i i
i
i
i
n
n
n
i
i
i
i
i
i
mx
my
mz
x
y
z
m
m
m
=
=
=
=
=
=
=
=
=
�
�
�
�
�
�
Środek masy układu n punktów materialnych o masach m
1
, m
2
,…, m
m
jest punktem, którego współrzędne, w danym układzie współrzędnych
wyrażają się wzorami:
1 1
2 2
1
2
0
0
m x m x
x
y
z
m m
+
=
=
=
+
dwa punkty materialne
m
1
m
2
(x
2
, 0, 0)
(x
1
, 0, 0)
x
m
1
m
2
(a, 0, 0)
trzy punkty materialne
x
(
)
(
)
3
2
3
1
2
3
1
2
3
3/2
/2
0
m a
m a m a
x
y
z
m m m
m m m
+
=
=
=
+
+
+
+
(0, 0, 0)
( /2,
3/2,0)
a
a
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
układ punktów materialnych – środek
układ punktów materialnych – środek
masy
masy
Wykład
Wykład
2
2
Jakie są korzyści wynikające z wprowadzenia środka masy?
m
0
0
1 1
2 2
3 3
m y my m y
m y
=
+
+
+L
3
1
2
0
1
2
3
0
1 1
2 2
3 3
dy
dy
dy
dy
m
m
m
m
dt
dt
dt
dt
mv mv mv
mv
=
+
+
+
=
+
+
+
L
L
3
1
2
0
1
2
3
0
1 1
2 2
3 3
dv
dv
dv
dv
m
m
m
m
dt
dt
dt
dt
ma ma ma
ma
=
+
+
+
=
+
+
+
L
L
0
1
2
3
ma F F
F
F
= + + + =
�
L
v
a
F
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
układ punktów materialnych – środek
układ punktów materialnych – środek
masy
masy
Wykład
Wykład
2
2
Środek masy ciała ma tę własność, że iloczyn całkowitej masy
i przyspieszenia środka masy równa się sumie geometrycznej
wszystkich sił działających na poszczególne punkty układu.
Jakie są korzyści wynikające z wprowadzenia środka masy?
m
0
2
3
0
1
m a F F
F
F
= +
+
+ =
�
r uur ur
ur
ur
L
z
w
F
F
F
=
+
� �
ur
uur
uur
= 0
ze względu na trzecią zasadę dynamiki
z
ma
F
=
�
r
uur
czyli, środek masy porusza się tak, jakby w
nim była skupiona całkowita masa poddana
działaniu wypadkowej wszystkich sił
zewnętrznych
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
zasada zachowania pędu
zasada zachowania pędu
0
1 1
2 2
3 3
mv mv mv
mv
=
+
+
+L
0
1
2
3
w
p
p
p
p
p
= + + + =
uur uur uur uur
uur
L
Wykład
Wykład
2
2
pęd środka masy układu równa się pędowi
wypadkowemu czyli sumie geometrycznej
pędów poszczególnych jego punktów
pęd
0
w
F =
�
uur
ze względu na trzecią zasadę dynamiki
0
w
z
dp
dp
F
dt
dt
=
=
�
uur
uur
uur
Wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych działających na układ punktów
materialnych równa się pochodnej względem czasu pędu środka masy lub
pochodnej względem czasu wypadkowego pędu układu.
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
zasada zachowania pędu
zasada zachowania pędu
Wykład
Wykład
2
2
0
w
w
dp
dt
p
const
=
=
uur
uur
0
z
F =
�
uur
Sformułowanie zasady zachowania pędy
Gdy wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych działających na układ równa
się zero, to wektor wypadkowy pędu całego układu pozostaje stały.
Zmiana pędu układu może być wywołana jedynie działaniem takich sił
zewnętrznych, które się nawzajem nie równoważą.
Żadne siły wewnętrzne nie są w stanie zmienić wypadkowego pędy
układu.
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
układy nieinercjalne
układy nieinercjalne
Wykład
Wykład
2
2
Definicja
Układy nieinercjalne to takie układy odniesienia, które poruszają
się ze zmienną prędkością względem średnich pozycji gwiazd
stałych.
W układach nieinercjalnych można stosować mechanikę klasyczną
pod warunkiem, że wprowadzimy tzw. siły nienewtonowskie. Są to
siły pozorne, nazywane siłami bezwładności.
Jeżeli rozpatrujemy ruch ciała w układzie inercjalnym, to siły
bezwładności znikają. Wprowadzenie tych sił pozwala po prostu na
stosowanie mechaniki klasycznej do opisu zdarzeń z punktu
widzenia obserwatora poruszającego się
z pewnym
przyspieszeniem.
Układy inercjalne i
Układy inercjalne i
nieinercjalne
nieinercjalne
ruch postępowy - porównanie
ruch postępowy - porównanie
Wykład
Wykład
2
2
a
F
P
n
P P F
= +
a
F
P
n
P P F
= -
+
F
jest siłą oporu
bezwładnego odczuwaną
przez obserwatora w
windzie a nie widoczną dla
obserwatora z układu
inercjalnego
F
ma
=-
ur
r
(
)
n
P
m g a
=
+
(
)
n
P
m g a
=
-
Wykład
Wykład
2
2
a
N
P
F P N
= -
a
F P N
= -
+
N
P
ma mg N
-
=
-
(
)
N m g a
=
+
ma mg N
=
-
(
)
N m g a
=
-
Układy inercjalne i nieinercjalne
Układy inercjalne i nieinercjalne
ruch postępowy - porównanie
ruch postępowy - porównanie
Dynamika ruchu postępowego
Dynamika ruchu postępowego
układy nieinercjalne
układy nieinercjalne
Wykład
Wykład
2
2
Układ poruszający się ruchem zmiennym względem układu
inercjalne nie jest układem inercjalnym.
Rozpatrując ruch ciała z punktu widzenia obserwatora z układu
nieinercjalnego musimy do siły działającej na ciało w układzie
inercjalnym dodać siłę równą liczbowo iloczynowi masy przez
przyspieszenie układu lecz skierowanej przeciwnie względem tego
przyspieszenia.
Ciało spoczywa w układzie nieinercjalnym, gdy suma wszystkich
sił, łącznie z siłą bezwładności, równa się zeru. Jest to treść zasady
d’Alemberta
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
ruch po okręgu
ruch po okręgu
Wykład
Wykład
2
2
Jakie siły występują podczas ruchu po okręgu?
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
ruch po okręgu
ruch po okręgu
F ma
=
2
a
r
w
=
Wykład
Wykład
2
2
Jakie siły występują podczas ruchu po okręgu?
I. Siła dośrodkowa
nawet ruchu jednostajny po okręgu wymaga istnienia siły
2
F m r
w
=
F
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
ruch po okręgu
ruch po okręgu
do
od
F
F
=-
uuur
uuur
Wykład
Wykład
2
2
Jakie siły występują podczas ruchu po okręgu?
II. Siła odśrodkowa reakcji
działaniu siły dośrodkowej na ciało krążące po okręgu musi
towarzyszyć działanie siły odśrodkowej na tzw. więzy
siła dośrodkowa nie równoważy
się z siłą odśrodkową, gdyż obie
działają na różne ciała
F
do
F
od
Układy inercjalne i
Układy inercjalne i
nieinercjalne
nieinercjalne
ruch po okręgu - porównanie
ruch po okręgu - porównanie
Wykład
Wykład
2
2
Kula porusza się po
okręgu
Kula nie porusza się
Kula porusza się po
stycznej do okręgu
z prędkością jaką
miała w momencie
zerwania więzów
Kula oddala się wzdłuż
przedłużeń promieni
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
ruch po okręgu
ruch po okręgu
2
odb
F
m r
w
=
Wykład
Wykład
2
2
Jakie siły występują podczas ruchu po okręgu?
III. Siła odśrodkowa bezwładności
czyli jak wygląda ruch po okręgu z punktu widzenia obserwatora ruchomego
Kula porusza się po okręgu a więc podlega
działaniu siły dośrodkowej. Siłę tę wywiera
„liszka”, która spełnia rolę ruchomego
obserwatora i stanowi więzy wymuszające ruch
kuli po okręgu. Na „liszkę działa zatem siła
odśrodkowa reakcji odpychająca ją na zewnątrz w
kierunku zgodnym z promieniem okręgu.
F
do
F
od
F
odb
Względem „liszki” kula jest w spoczynku. Nie
obserwuje ona jej ruchu po okręgu, odczuwa
jednak działanie kuli.
Układy inercjalne i nieinercjalne
Układy inercjalne i nieinercjalne
ruch po okręgu - porównanie
ruch po okręgu - porównanie
Wykład
Wykład
2
2
P
P
F
b
N
N
F
d
Układy inercjalne i
Układy inercjalne i
nieinercjalne
nieinercjalne
ruch po okręgu
ruch po okręgu
Wykład
Wykład
2
2
Jakie siły występują podczas ruchu po okręgu?
Według obserwatora nieruchomego z ruchem kołowym
Według obserwatora nieruchomego z ruchem kołowym
wiążą się tylko dwie siły:
wiążą się tylko dwie siły:
•
siła dośrodkowa, działająca na badane ciało
siła dośrodkowa, działająca na badane ciało
•
siła odśrodkowa, działająca na więzy
siła odśrodkowa, działająca na więzy
Według obserwatora ruchomego istnieje trzecia siła:
Według obserwatora ruchomego istnieje trzecia siła:
•
siła odśrodkowa bezwładności
siła odśrodkowa bezwładności
Według obserwatora nieruchomego siła odśrodkowa
Według obserwatora nieruchomego siła odśrodkowa
bezwładności nie istnieje i dlatego nazywana jest:
bezwładności nie istnieje i dlatego nazywana jest:
•
siła odśrodkowa pozorną
siła odśrodkowa pozorną
Układy inercjalne i
Układy inercjalne i
nieinercjalne
nieinercjalne
ruch po okręgu
ruch po okręgu
- doświadczenie
- doświadczenie
Wykład
Wykład
2
2
Spłaszczenie Ziemi jest wywołane jej ruchem obrotowym dokoła własnej osi
i datuje się na okres, gdy Ziemia nie miała zastygniętej skorupy.
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
ruch obrotowy bryły sztywnej
ruch obrotowy bryły sztywnej
Wykład
Wykład
2
2
z
x
y
v
r
a
t
t
a
r
a
= �
r
ur r
wektor przyspieszenia
stycznego o wartości:
t
a
r
a
=
t
F ma
=
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
ruch obrotowy bryły sztywnej
ruch obrotowy bryły sztywnej
t
F ma
m r
a
=
=
Wykład
Wykład
2
2
F =
F =
const
const
im punkt przyłożenia siły bliżej osi obrotu tym większe
im punkt przyłożenia siły bliżej osi obrotu tym większe
przyspieszenie kątowe
przyspieszenie kątowe
= const
= const
im punkt przyłożenia siły bliżej osi obrotu tym mniejsza siła
im punkt przyłożenia siły bliżej osi obrotu tym mniejsza siła
potrzebna do wywołania tego przyspieszenie kątowego
potrzebna do wywołania tego przyspieszenie kątowego
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
moment siły
moment siły
Wykład
Wykład
2
2
F =
F =
const
const
im kąt jaki tworzy siła z promieniem
im kąt jaki tworzy siła z promieniem
mniejszy tym mniejsze przyspieszenie
mniejszy tym mniejsze przyspieszenie
kątowe
kątowe
Za zmiany w ruchu obrotowym odpowiedzialna jest
nie siła ale moment siły względem osi obrotu
( )
0
M F R F
= �
uuur
ur ur
Definicja momentu siły
0
R
F
R
0
sin
M
RF
J
=
sin
R
r
J =
r
ramię
działania siły F
względem punku 0
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
ruch obrotowy bryły sztywnej
ruch obrotowy bryły sztywnej
Wykład
Wykład
2
2
Sformułowanie zasad Newtona dla ruchu obrotowego
( )
2
0
M F
rF mr a
=
=
Ruch obrotowy jest jednostajny, gdy wypadkowy moment względem osi
obrotu wszystkich sił działających na ciało równa się zeru.
Tylko taka siła działająca na ciało obracające się wywoła przyspieszenie
kątowe, której moment względem osi obrotu nie równa się zeru.
W ruchu obrotowym działanie
siły jest warunkiem koniecznym
ale nie wystarczającym do
wywołania ruchu obrotowego
zmiennego.
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
moment bezwładności
moment bezwładności
Wykład
Wykład
2
2
2
1
n
w
i i
i
M
mr
a
=
=
�
uuur ur
( )
2
0
i
i i
M F
mr a
=
Bryła sztywna jest zbiorem punktów materialnych
Suma geometryczna wszystkich momentów – wobec ich
jednakowego kierunku – sprowadza się do sumy algebraicznej.
F ma
=
ur
r
wyrażenie to odgrywa w ruchu
obrotowym podobną rolę jak
masa w ruchu postępowym
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
moment bezwładności
moment bezwładności
Wykład
Wykład
2
2
2
1
n
i i
i
mr
I
=
=
�
Suma iloczynów mas poszczególnych cząstek bryły i kwadratów
ich odległości od osi obrotu jest miarą bezwładności bryły w ruchu
obrotowym i nosi nazwę momentu bezwładności względem danej
osi obrotu.
definicja momentu bezwładności
2
I
r dm
=
�
w
M
I
a
=
uuuv uv
wypadkowy moment siły działający na ciało
obracające się równy jest iloczynowi momentu
bezwładności względem aktualnej osi obrotu
przez przyspieszenie kątowe obrotu bryły
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
moment bezwładności
moment bezwładności
twierdzenie
twierdzenie
Steinera
Steinera
Wykład
Wykład
2
2
2
0
I I
md
= +
Momentu bezwładności został określony dla danej osi obrotu.
Twierdzenie Steinera określa moment bezwładności względem
dowolnej osi obrotu.
Moment bezwładności I względem dowolnej osi obrotu jest
związany z momentem bezwładności I
0
względem osi
przechodzącej przez środek masy i równoległej do osi danej
następującą zależnością:
odległość wzajemna obu osi
całkowita masa bryły
Zadanie domowe
Zadanie domowe
obliczyć moment bezwładności rury
obliczyć moment bezwładności rury
cylindrycznej
cylindrycznej
Wykład
Wykład
2
2
dr
r
R
1
R
2
L
M
- gęstość
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
moment pędu
moment pędu
Wykład
Wykład
2
2
l r p
= �
v v uv
definicja momentu pędu
punktu materialnego
z
x
y
v
r
a
t
p mv
=
uv
v
d p
F
dt
=
uv
uv
dp
r F r
dt
� = �
uv
v uv v
moment siły M
(
)
dl
d
dr
dp
r p
p r
dt dt
dt
dt
=
� =
� + �
v
v
uv
v uv
uv v
(
)
dl
dp
v mv r
dt
dt
= �
+ �
v
uv
v
v v
0
dl
M
dt
=
v
uuv
p
Zmiana momentu pędu punktu materialnego w jednostce czasu jest równa momentowi
siły działającej na ten punkt.
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
moment pędu bryły
moment pędu bryły
czyli kręt
czyli kręt
Wykład
Wykład
2
2
wartość liczbowa momentu pędu punktu materialnego
l rmv
=
1
n
i i i
i
mrv
L
=
=
�
definicja krętu
2
1
n
i
i i
i
i
v
L
mr
r
=
=
�
moment bezwładności
prędkość kątowa
L Iw
=
uv uv
Dynamika ruchu obrotowego
Dynamika ruchu obrotowego
zasada zachowania krętu
zasada zachowania krętu
Wykład
Wykład
2
2
w
dL
M
dt
=
uv
uuuv
dmrv
M
dt
=
dla punktu materialnego
1
n
i i i
i
w
d
mrv
M
dt
=
=
�
dla bryły jako zbioru punktów materialnych
Gdy wypadkowy moment siły równa się
zeru to kręt bryły pozostaje stały
Kręt bryły może ulec zmianie jedynie pod działaniem momentu siły
Wielkość
Wielkość
fizyczna
fizyczna
Ruch postępowy
Ruch postępowy
Wielkość fizyczna
Wielkość fizyczna
Ruch obrotowy
Ruch obrotowy
Prędkość
Prędkość
Przyspieszenie
Przyspieszenie
Masa
Masa
Pęd
Pęd
Siła
Siła
Prędkość kątowa
Prędkość kątowa
Przyspieszenie kątowe
Przyspieszenie kątowe
Moment bezwładności
Moment bezwładności
Moment pędu
Moment pędu
Moment siły
Moment siły
Dynamika
Dynamika
podsumowanie
podsumowanie
Wykład
Wykład
2
2
ds
v
dt
=
d
dt
j
w =
dv
a
dt
=
d
dt
w
a =
m
2
I
r dm
=
�
p mv
=
uv
v
L Iw
=
u
v
uv
dp
F ma
dt
=
=
uv
uv
v
( )
dL
M F
I
dt
a
=
=
uv
uuuuuuv
uv
Document Outline