1
WYKŁAD Nr 10
PODSTAWY
PROJEKTOWANIA
KONSTRUKCJI
ŻELBETOWYCH
Semestr V , r .ak. 2009/2010
Opracowanie - prof. dr hab. inż. Andrzej Łapko
Obliczeniowa kontrola stanu
granicznego ugięć elementów
żelbetowych
1
WYKŁAD Nr 10
PODSTAWY
PROJEKTOWANIA
KONSTRUKCJI
ŻELBETOWYCH
Semestr V , r .ak. 2009/2010
Opracowanie - prof. dr hab. inż. Andrzej Łapko
Obliczeniowa kontrola stanu
granicznego ugięć elementów
żelbetowych
2
Wprowadzenie – potrzeba
kontroli ugięć
Kontrola ugięć ma istotne znaczenie z uwagi na:
- zapewnienie wymaganej użytkowalności konstrukcji,
- możliwość uszkodzeń przylegających elementów niekonstrukcyjnych,
- np. lekkie ściany działowe ,
- odczucia estetyczne użytkowników.
Ugięcia elementów żelbetowych zależą od wielu czynników, trudnych do obliczenia
w sposób ścisły. Są funkcją czasu, co wynika ze zjawiska skurczu i pełzania betonu
oraz relaksacji stali zbrojeniowej.
W większości norm projektowania postuluje się obliczanie ugięć elementów
wywołanych kombinacją obciążeń długotrwałych.
3
Wprowadzenie, wymagania PN-EN 1992-1-
1:2008
Sprawdzanie ugięć jest konieczne w konstrukcjach żelbetowych dachowych i stropowych
budownictwa mieszkaniowego, przemysłowego, rolniczego i użyteczności publicznej.
W innych przypadkach należy kontrolować ugięcia jedynie tych elementów,
które mają specjalne wymaganie w warunkach eksploatacji.
Stan graniczny ugięć należy kontrolować przyjmując obciążenia obliczeniowe
równe charakterystycznym (bez współczynników bezpieczeństwa). Można stosować:
-sposób uproszczony, polegający na kontroli wskaźnika sztywności elementu,
- metodę analityczną, polegającą na obliczeniu ugięcia zgodnie z warunkiem
lim
a
a
Ugięcie graniczne a
lim
przyjmuje się w zwykłych przypadkach jako równe 1/250 rozpiętości
(odległość względem podpór). Gdy istnieje możliwość uszkodzenia przyległych części konstrukcji
- przyjmuje się 1/500 rozpiętości.
4
Graniczną wartość ilorazu rozpiętości do wysokości można
oszacować według wyrażeń podanych niżej i pomnożenie
przez współczynniki korekcyjne zależne od rodzaju zbrojenia i
innych zmiennych.
2
3
0
0
lim
1
2
,
3
5
,
1
11
ck
ck
f
f
K
d
l
0
*
*
0
lim
12
1
5
,
1
11
ck
ck
f
f
K
d
l
Uproszczony sposób kontroli
stanu granicznego ugięcia wg PN-EN
gdzie (l/d)
lim
– dopuszczalna wartość ilorazu rozpiętości do wysokości
przekroju
K – współczynnik uwzględniający różne systemy konstrukcyjne,
patrz tablica niżej
-
umowny stopień zbrojenia
- wymagany stopień zbrojenia rozciąganego (w przęśle) lub na
podporze wspornika
- wymagany stopień zbrojenia ściskanego (w przęśle) lub na
podporze wspornika
0
3
0
10
ck
f
*
Jeżeli ρ ρ
0
Jeżeli ρ > ρ
0
5
Uproszczony sposób kontroli stanu granicznego ugięcia wg
Eurokodu 2
(stosuje się, gdy klasa betonu jest zbliżona do B30)
Graniczne stosunki l /d rozpiętość/wysokość użyteczna dla elementów żelbetowych bez ściskania
osiowego
System konstrukcyjny
K
Znaczne
naprężenia
w betonie
= 1,5 %
Małe
naprężenia
w betonie
= 0,5 %
Belki swobodnie podparte jedno lub
dwukierunkowo płyty swobodnie podparte
Skrajne przęsła belek lub jednokierunkowo
pły ciągłych lub dwukierunkowo zbrojonych
płyt ciągłych na dłuższej krawędzi
Środkowe przęsła belek oraz
jednokierunkowo lub dwukierunkowo
zbrojonych płyt
Stropy bezbelkowe oparte na słupach (przy
sprawdzaniu ugięć należy przyjmować
większą rozpiętość)
Wsporniki
1,0
1,3
1,5
1,2
0,4
14
18
20
17
6
20
26
30
24
8
Uwaga 1:
Podane wartości zostały dobrane w sposób bezpieczny i obliczenia
mogą często wykazać, że możliwe jest zaprojektowanie cieńszych elementów.
Uwaga 2:
W płytach pracujących dwukierunkowo, sprawdzanie zaleca się
przeprowadzać przy założeniu krótszej rozpiętości. W płytach pełnych powinno się
przyjmować dłuższą rozpiętość.
Uwaga 3:
Wartości dopuszczalne podane dla płyt pełnych odpowiadają mniej
ostrym ograniczeniom niż ugięcia w środku rozpiętości l/250 dla słupów.
Doświadczenia wykazały, że jest to uzasadnione.
6
Uproszczony sposób kontroli stanu granicznego ugięcia
wg PN-EN 1992-1-1:2008
Uproszczona kontrola stanu granicznego ugięć płyt stropowych i stropodachowych
polega na kontroli
wskaźnika sztywności elementu
- parametru decydującego pośrednio
o podatności ustroju na deformacje.
Należy wykazać, że wskaźnik sztywności l
/d ustroju nie przekracza wartości granicznych,
obliczonych ze wzorów, lub ujętych w tablicy (gdy klasa betonu jest inna niż C25/30)
gdzie: (l
eff
/d)
lim
- wartość graniczna wskaźnika sztywności,
1
3
- współczynniki korekcyjne wartości podstawowej wskaźnika sztywności.,
d - wysokość użyteczna przekroju.
lim
3
2
1
d
l
d
l
eff
7
Jeśli l > 8,5 m, to dla płyt stosuje się mnożnik
Należy wykazać, że wskaźnik sztywności l
eff
/d ustroju nie przekracza wartości granicznych,
podanych w tablicy
Współczynniki korekcyjne wartości granicznej wskaźnika sztywności
Współczynnik
1
zależy od rodzaju elementu i jego rozpiętości
efektywnej:
Jeśli l > 7,,0 m, to dla płyt i belek stosuje się mnożnik
eff
l
0
,
7
1
eff
l
5
,
8
1
•gdzie: l
eff
- rozpiętość efektywna elementu
8
gdzie
Współczynniki korekcyjne wartości podstawowej wskaźnika sztywności
Współczynnik
2
oblicza się, gdy naprężenia
s
w zbrojeniu są inne
niż 310 MPa
gdzie
s
- naprężenie w przekroju prętów zbrojenia dla założonych
obciążeń.
M
Sd
- moment zginający określony dla obciążeń długotrwałych
przy
f
= 1,0,
z - ramię sił wewnętrznych, wyznaczone w przekroju
zarysowanym (II faza)
Można w uproszczeniu przyjąć:
req
s
prov
s
yk
s
A
A
f
,
,
2
500
310
1
s
Ed
s
zA
M
przy
1
0,5 %, z = 0,90d,
przy 0,5 %<
1
1,0 %, z = 0,85d,
przy
1
> 1,0 %,
z = 0,80d.
9
Współczynniki korekcyjne wartości podstawowej wskaźnika sztywności
Współczynnik
3
oblicza się, gdy przekrój ma półkę o szerokości
większej niż 3 x b
W przeciwnym
przypadku
8
,
0
3
0
,
1
3
b
b
ef
gdy
b
b
eff
3
10
Jeżeli stosunek rozpiętości do wysokości belki (smukłość belki) spełnia warunki
podane niżej,
Ugięcia mogą być uważane jako nie przekraczające granic podanych w Eurokodzie
2.
Graniczną wartość ilorazu rozpiętości do wysokości można oszacować według
wyrażeń podanych niżej i pomnożenie przez współczynniki korekcyjne zależne
od rodzaju zbrojenia i innych zmiennych.
2
3
0
0
lim
1
2
,
3
5
,
1
11
ck
ck
f
f
K
d
l
0
*
*
0
lim
12
1
5
,
1
11
ck
ck
f
f
K
d
l
Uproszczony sposób kontroli stanu granicznego ugięcia wg
Eurokodu 2
gdzie (l/d)
lim
– dopuszczalna wartość ilorazu rozpiętości do wysokości
przekroju
K – współczynnik uwzględniający różne systemy konstrukcyjne,
patrz tablica niżej
-
umowny stopień zbrojenia
- wymagany stopień zbrojenia rozciąganego (w przęśle) lub na
podporze wspornika
- wymagany stopień zbrojenia ściskanego (w przęśle) lub na
podporze wspornika
0
3
0
10
ck
f
*
Jeżeli ρ ρ
0
Jeżeli ρ > ρ
0
11
Podstawy obliczania ugięć
zginanych elementów żelbetowych
12
Ugięcie elementu żelbetowego jest funkcją wielu parametrów wpływających na
odkształcenia i naprężenia w betonie i stali zbrojeniowej zależnych od poziomu
obciążenia i właściwości materiałowych betonu i zbrojenia, a także od czasu
W modelu liniowo-sprężystym (FAZA I) przemieszczenie pionowe a (ugięcie) elementu
niezarysowanego wyznacza się na podstawie krzywizny
. W przypadku zginania
krzywizna może być obliczona z uproszczonego równania osi odkształconej elementu
,
2
2
y
J
E
y
M
dy
a
d
y
gdzie: E J(y) = B
I
- sztywność przekroju elementu, którego położenie opisano współrzędną y.
13
gdzie: M
Ed
– obliczeniowy moment zginający (przy współczynniku obciążenia
f
= 1,0)
r - promień krzywizny elementu odkształconego,
B – sztywność elementu na zginanie
B
M
r
Ed
1
W elemencie zginanym niezarysowanym
krzywizny obliczamy ze wzoru
Wskutek zarysowania w ustroju żelbetowym następuje redystrybucja naprężeń w zbrojeniu
rozciąganym, co powoduje przyrost krzywizny i spadek sztywności elementu na odcinku
między rysami. Zarysowanie wyraźnie zmniejsza sztywność elementu i zwiększa ugięcia
14
Ugięcia elementów niezarysowanych
-
Faza I
Element zginany nie wykazuje zarysowania (I faza), gdy spełniony jest warunek
cr
Ed
M
M
gdzie M
cr
– moment rysujący
Krzywizna i ugięcie elementu zginanego w fazie I (bez rys)
15
Ugięcia elementów niezarysowanych
-
Faza I
W modelu liniowo-sprężystym ugięcie a elementu w fazie I (bez rys) wyznacza się
na podstawie krzywizny
, która w przypadku zginania może być obliczona
z uproszczonego równania osi odkształconej elementu
,
2
2
y
J
E
y
M
dy
a
d
y
gdzie: E J(y) - sztywność przekroju (B), którego położenie opisane jest współrzędną y.
Jeżeli moment bezwładności
przekroju J(y) = const. na długości
elementu to sztywność elementu B
jest również stała
16
Ugięcia elementów niezarysowanych
-
Faza I
Z równania
,
2
2
y
J
E
y
M
dy
a
d
y
gdzie: C , D - stałe całkowania zależne od warunków brzegowych i rodzaju obciążenia.
Obliczenia ugięcia elementu zginanego w fazie I można
dokonać ze wzoru
ugięcie można obliczyć poprzez całkowanie krzywizny na długości l
elementu zginanego
D
Cy
y
y
y
EJ
y
M
a
d
d
B
l
M
a
eff
Ed
k
2
gdzie: B - sztywność elementu na zginanie,
l
eff
- rozpiętość efektywna elementu,
k
- współczynnik wyrażający stałe całkowania
17
48
5
1
48
4
3
2
6
8
1
2
8
1
6
4
m
B
A
M
M
M
10
1
48
5
Układ obciążenia i schemat statyczny
elementu
Współczynnik
k
0,102
dla
= 0,5
k
= 1/12
0,0625
dla
= 1
k
=
1/3.
6
/
)
3
(
18
Sztywność przekroju B w zginanych
elementach niezarysowanych
- przy obciążeniach długotrwałych
-
dla
obciążeń
krótkotrwałych
I
cm
J
E
B
0
I
eff
c
J
E
B
,
gdzie: E
cm
- średni moduł sprężystości betonu,
E
c,eff
- efektywny moduł sprężystości (z uwzględnieniem pełzania betonu).
J
I
– moment bezwładności przekroju w fazie I
Efektywny moduł sprężystości betonu, w zależności od czasu t działania obciążenia
0
,
,
1
t
t
E
E
cm
eff
c
- gdzie φ(t, t
o
) współczynnik pełzania przy obciążeniach
długotrwałych
19
Ugięcia elementów zarysowanych
W elemencie żelbetowym zarysowanym (w fazie II) sztywność
zmienia się na długości ustroju, z uwagi na rozkłady naprężeń w
zbrojeniu - sztywność B
II
Wpływ zarysowania na spadek sztywności zginania elementu
20
Określenie sztywności na zginanie,
związanej
z krzywizną elementu
Uśrednioną krzywiznę
na długości elementu zarysowanego wyznaczamy na
podstawie odkształceń
sm
zbrojenia rozciąganego i odkształceń
c
w skrajnym
włóknie ściskanym na odcinku między rysami.
gdzie d – wysokość użyteczna przekroju
w obliczanym elemencie zginanym.
d
r
c
sm
1
21
Średnie odkształcenia w zbrojeniu rozciąganym i
betonie ściskanym wyznacza się z
uwzględnieniem współpracy
betonu i zbrojenia na odcinku między rysami
W formie skróconej zapisujemy
I
s
II
s
sm
1
gdzie: i - odpowiednio odkształcenia w fazie I i czystej
fazie II,
- współczynnik uwzględniający efekt współpracy zbrojenia i
betonu
na odcinku między rysami (tension stiffening effect)
I
s
II
s
2
2
1
1
II
s
II
sr
gdzie
22
Interpretacja graficzna do wyznaczenia
średnich odkształceń zbrojenia – z
uwzględnieniem efektu „tension stiffening”
Δε
sm
Do chwili zarysowania przekroju naprężenia i odkształcenia w zbrojeniu opisane są linią prostą
(faza I). Po osiągnięciu obciążenia rysującego (momentu lub siły), dochodzi do powstania rysy,
a odkształcenia w zbrojeniu (w przekroju przez rysę) wzrastają skokowo o wartość
Obszar
wystąpien
ia
efektu
„tension
stifening
”
efekt „tension stifening”
23
Współczynnik uwzględniający efekt
współpracy zbrojenia i betonu na
odcinku między rysami
Przyjmując liniową zależność między naprężeniem i momentem zapisujemy
2
2
1
1
II
s
II
sr
Współczynnik
1
określa się następująco:
- dla prętów żebrowanych
1
= 1,0,
-dla prętów gładkich
1
= 0,5.
Współczynnik
2
zależy od czasu działania i powtarzalności
obciążenia:
- dla jednokrotnego obciążenia krótkotrwałego
2
=
1,0,
- dla obciążeń długotrwałych lub wielokrotnie powtarzalnych
2
=
0,5.
2
2
1
1
Ed
cr
M
M
24
Sztywność zginania pod obciążeniem
długotrwałym
-w fazie II
- w fazie I
Wykorzystujemy wzór ogólny na krzywiznę z uwzględnieniem efektu
„Tension stifening”
Współczynnik
wyraża wpływ współpracy betonu i zbrojenia na odcinku między rysami
I
eff
c
I
J
E
B
,
II
eff
c
II
J
E
B
,
I
eff
c
Ed
II
eff
c
Ed
m
J
E
M
J
E
M
,
,
1
i obliczymy średnią krzywiznę elementu na odcinku między rysami
I
II
m
1
25
Sztywność zginania pod obciążeniem
długotrwałym.
Podstawiając
wyrażenie
otrzymujemy
Średnia krzywizna elementu na odcinku między rysami
I
eff
c
Ed
II
eff
c
Ed
m
J
E
M
J
E
M
,
,
1
2
2
1
1
II
s
II
sr
I
II
s
sr
II
eff
c
Ed
m
J
J
J
E
M
1
1
2
2
1
,
26
Sztywność zginania pod obciążeniem
długotrwałym
Podstawiając
wyrażenie
Otrzymujemy
po
przekształcen
iach
Sztywność B
zarysowanego przekroju zginanego można wyznaczyć z
przekształcenia wzoru
I
II
s
sr
II
eff
c
Ed
m
J
J
J
E
M
1
1
2
2
1
,
B
M
r
Sd
1
I
II
s
sr
II
eff
c
J
J
J
E
B
1
1
2
2
1
,
Sd
M
B
27
Sztywność zginania pod obciążeniem
krótkotrwałym
Sztywność B
0
zarysowanego przekroju zginanego
wyznacza się ze wzoru
I
II
s
sr
II
cm
J
J
J
E
B
1
1
2
2
1
0
gdzie M
Ed
- moment zginający wywołany obciążeniem krótkotrwałym
Ugięcie oblicza się ze wzoru ogólnego
B
l
M
a
eff
Ed
k
2
28
Algorytm obliczania ugięć elementów
żelbetowych
Przekroje niezarysowane - I faza
Położenie osi obojętnej x
I
w przekroju określa się na podstawie równania sumy
momentów statycznych względem poszukiwanego zasięgu strefy ściskanej
0
2
1
2
2
I
s
e
I
s
e
I
x
d
A
a
x
A
h
x
bh
gdzie
e
- współczynnik dla obciążeń krótkotrwałych.
cm
s
e
E
E
29
Algorytm obliczania ugięć elementów
żelbetowych
Przekroje niezarysowane – I faza
Położenie osi obojętnej x
I
- naprężenia w skrajnym ściskanym włóknie betonu
.
5
,
0
2
1
2
2
1
2
s
s
e
s
s
e
I
A
A
bh
a
A
d
A
bh
x
Moment bezwładności przekroju w fazie I
2
1
2
2
2
2
3
2
12
1
I
s
e
I
s
e
I
I
x
d
A
a
x
A
h
x
bh
bh
J
I
I
c
x
J
M
- naprężenia w zbrojeniu rozciąganym
I
I
e
s
x
d
J
M
30
Algorytm obliczania ugięć elementów
żelbetowych
Przekroje zarysowane – II faza
Położenie osi obojętnej x
II
- naprężenia w skrajnym ściskanym włóknie betonu
Moment bezwładności przekroju w fazie II
II
II
c
x
J
M
- naprężenia w zbrojeniu rozciąganym
II
II
e
s
x
d
J
M
0
2
1
2
2
2
II
e
II
e
II
x
d
bd
a
x
bd
bx
2
2
2
2
1
3
3
a
x
bd
x
d
bd
bx
J
II
e
II
e
II
II
31
Moment bezwładności przekroju w
fazie II
- nomogram
32
Algorytm obliczania ugięć
elementów zginanych
33
KONIEC