Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima 2008/2009
1
Metody ekonometryczne
ćwiczenia 3
Niesferyczność macierzy
wariancji-kowariancji
składnika losowego (2):
HETEROSKEDASTYCZNOŚ
Ć
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima 2008/2009
1
Metody ekonometryczne
ćwiczenia 3
Niesferyczność macierzy
wariancji-kowariancji
składnika losowego (2):
HETEROSKEDASTYCZNOŚ
Ć
macierz
wariancji
-
kowarian
cji
składnika
losowego
autokorelacja
brak
występuje
h
e
te
ro
sk
e
d
a
st
yc
zn
o
ść
b
ra
k
w
ys
tę
p
u
je
Heteroskedastyczność
a autokorelacja
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
2
I
E
T
2
2
2
2
...
0
0
...
...
...
0
0
0
...
0
1
...
...
...
...
1
...
1
2
1
2
12
1
12
2
n
n
n
n
T
E
nn
n
n
n
n
T
E
...
...
...
...
...
2
1
2
22
12
1
12
11
n
n
T
E
...
0
0
...
...
...
0
0
0
...
0
...
0
0
...
...
...
0
0
0
...
0
2
1
2
2
2
2
2
1
Konsekwencje dla
estymatorów
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
3
pozostają nieobciążone i zgodne
utrata efektywności
Gdzie występuje?
modele szeregów czasowych
np. okresy wzmożonej zmienności na rynkach
finansowych
modele przekrojowe
np. wariancja rosnąca wraz ze wzrostem wielkości
jednostek / jednej z kluczowych zmiennych
objaśniających
Test White’a
4
X
y
Szacujemy podstawowe równanie
regresji:
...i drugie pomocnicze równanie, w którym
kwadrat składnika losowego uzależniamy od
iloczynów (parami) wszystkich zmiennych z
macierzy X (w tym stałej):
t
j
i
ij
j
i
t
x
x
,
2
np. dla modelu ze stałą [1] i regresorami [x
1
],
[x
2
], [x
3
] regresorami w równaniu
pomocniczym są 1, x
1
, x
2
, x
3
, x
1
2
, x
2
2
, x
3
2
, x
1
x
2
,
x
1
x
3
, x
2
x
3
~
2
nR
W
)
(
2
K
gdzie K – liczba zmiennych
objaśniających w regresji testowej
(bez stałej)
wysokie R
2
oznacza
wysokie W i odrzucenie
H
0
o braku
heteroskedastyczności
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Ćwiczenie
plik karty kredytowe
szacujemy model, w którym zmienną
objaśnianą są wydatki z kart
kredytowych, zaś objaśniającymi:
wiek, dochód, kwadrat dochodu i
zmienna zerojedynkowa dla
właścicieli domów (plus stała)
testem White’a sprawdzamy, czy
istnieje heteroskedastyczność
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Test Goldfelda-Quandta
dzielimy próbę (n obserwacji) na dwie podpróby
(n=n
1
+n
2
)
H
0
: (homoskedastyczność)
H
1
:
odpowiednio wysoka wartość statystyki (rozkład
F z podanymi w nawiasie stopniami swobody)
sugeruje odrzucenie H
0
aby przetestować przeciwną H
1
– odwracamy
indeksy 1 i 2
K
n
e
e
K
n
e
e
K
n
K
n
F
T
T
2
2
2
1
1
1
2
1
/
/
,
2
2
2
1
2
2
2
1
Ćwiczenie
sprawdźmy, czy wariancja reszt
losowych jest różna dla modeli w
dwóch równych podpróbach,
wyróżnionych ze względu na
wysokość dochodu
– Dane – Sortowanie danych
przekrojowych
– Próba – Zakres próby
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Test Breuscha-Pagana
wariancja składnika losowego może być
funkcją zmiennych ujętych w macierzy Z:
H
0
: (homoskedastyczność)
H
1
: (heteroskedastyczność)
odpowiednio wysoka wartość statystyki
(rozkład
ze stopniami swobody równymi
liczbie regresorów) sugeruje odrzucenie H
0
n
K
n
j
e
Z
Z
Z
Z
j
e
LM
T
T
T
/
ˆ
2
ˆ
ˆ
4
2
2
1
2
2
i
T
i
z
f
0
2
2
Ćwiczenie
przetestujmy stałość wariancji
składnika losowego jeszcze raz –
załóżmy, że ta wariancja jest
liniową funkcją:
– dochodu
– kwadratu dochodu
– (plus stała)
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Odporne błędy
oszacowań
Znane już Wam odporne (na autokorelację) błędy
oszacowań Neweya i Westa stanowiły uogólnienie (na
przypadek autokorelacji) wcześniej zaproponowanego
odpornego (na heteroskedastyczność) estymatora
White’a (1980):
1
1
2
1
)
ˆ
(
X
X
x
x
e
X
X
Var
T
T
i
i
n
i
i
T
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Ćwiczenie
czy odporne błędy oszacowań w
naszym modelu różnią się
znacząco od zwykłych?
czy prowadzi to do zmiany
konkluzji o istotności zmiennych?
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Ważona MNK (WLS) (1)
12
X
y
n
...
0
0
...
...
...
0
0
0
...
0
,
0
2
1
2
2
~
Analogicznie do przypadku
autokorelacji:
y
X
X
X
T
T
WLS
1
1
1
ˆ
n
1
...
0
0
...
...
...
0
1
0
0
...
0
1
2
1
1
przy
n
i
i
i
i
n
i
T
i
i
i
WLS
y
x
x
x
1
1
1
1
1
ˆ
Stąd
:
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
Ważona MNK (WLS) (2)
13
Podobnie jak w przypadku
autokorelacji, możemy przeprowadzić
estymację ważoną MNK jako
estymację MNK na transformowanych
danych:
Dowód: zob. Welfe (s. 117-118)
n
n
y
y
y
y
/
...
/
/
2
2
1
1
*
n
n
x
x
x
x
/
...
/
/
2
2
1
1
*
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
WMNK – zastosowanie
(1)
Skąd wziąć n nieznanych parametrów? Tak
jak poprzednio, musimy przyjąć założenia
pozwalające ograniczyć liczbę nieznanych
parametrów, a następnie oszacować je za
pomocą MNK.
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
ZAŁOŻENIE 1
n obserwacji pochodzi z s podprób, n
1
+n
2
+…
+n
s
=n,
w każdej z nich wariancja składnika losowego
jest stała
– Szacujemy modele za pomocą MNK w każdej z prób
osobno (dla każdego i, n
i
musi być odpowiednio
duże).
– Korzystamy ze standardowego estymatora wariancji
reszt w podpróbach (suma kwadratów reszt
podzielona przez stopnie swobody).
– Oszacowane estymatory wariancji podstawiamy w
odpowiednie miejsca macierzy .
15
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
ZAŁOŻENIE 2
Wariancja i-tej reszty losowej jest funkcją pewnych
zmiennych objaśniających ujętych w macierzy Z
– Szacujemy model wyjściowy za pomocą MNK, stąd mamy reszty
losowe.
– Szacujemy równanie regresji ich kwadratów względem
wybranych zmiennych objaśniających.
– Podstawiamy otrzymane wartości teoretyczne do wzoru na
estymator WLS:
16
i
i
i
z
2
ˆ
2
2
i
i
i
z
E
n
i
i
i
i
n
i
T
i
i
i
WLS
y
x
z
x
x
z
1
1
1
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009
17
Literatura do ćwiczeń 5
Welfe 4.1-4.4
– Dla utrwalenia podstaw teoretycznych
heteroskedastyczności.
Dla maniaków :
– Greene (2000) s. 222-225 (o wadach i zaletach
poszczególnych testów na heteroskedastyczność), s.198-
199 (wyprowadzenie estymatora błędu standardowego
White’a odpornego na heteroskedastyczność)
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Zima
2008/2009