RÓWNANIE  

BERNOULLIEGO DLA 

CIECZY RZECZYWISTEJ

Ustanowienie prawa zmiany ciśnienia i 

prędkości dla ustalonego strumienia 

cieczy

 w ogólnym przypadku z pomocą 

równania różniczkowego ruchu cieczy 

lepkiej -

- równania Naviera-Stokesa ;

jest niemożliwe ze względu na ich 

utrudnione całkowanie.

(1)







graddiv

v

v

gradp

F

dt

v

d

3

1

2











Dlatego też posiłkujemy się równaniem 

Bernoulliego dla środków wyróżnionych 

przekrojów 1 – 1 , 2 - 2  (rys.1):

(2
)

Ważne dla ruchu idealnej cieczy 

elementarnej strugi z uwzględnieniem 

czynników odróżniających proces, ruchu 

cieczy rzeczywistej od idealnej. Z 

doświadczenia wiemy, że ciecz 

rzeczywista wzdłuż sztywnej ścianki np. 

rurze w skutek działania sił molekularnych 

między cieczą a ścianką, prędkość warstw 

przyściennych praktycznie równa jest 

zero. W centralnej części strumienia 

prędkość jest maksymalna. Dlatego 

całkowity impet cieczy w dowolnym 

przekroju strugi należy wyznaczać 

uwzględnieniem profilu rozkładu cieczy w 

tym przekroju.

Nierównomierny rozkład prędkości 

przekroju strumienia cieczy oznacza 

poślizg jednych warstw cieczy względem 

drugich, wskutek czego powstają 

naprężenia styczne (naprężenia tarcia). 

Wskutek tego ruch lepkiej cieczy często 

przedstawia sobą obroty cząstek, 

wirowość i przemieszczanie.

Na wszystko to zużywa się część energii 

strumienia, która w skutek tarcia 

przechodzi 

w ciepło i rozprasza się w okrywające ją 

środowisko – otoczenie. Mówimy o 

dyssypacji energii. W ten sposób drugim 

czynnikiem, który odróżnia ruch cieczy 

rzeczywistej od idealnej, jest strata 

ciśnienia na tarcie w cieczy przy 

przechodzeniu jednego przekroju 

strumienia 

do drugiego.

Dla określenia całkowitego ciśnienia cieczy w 

danym przekroju strumienia wprowadzimy 

pojęcie mocy strumienia.

Mocy strumienia w danym przekroju 

będziemy nazywać całkowitą energię, którą 

strumień przenosi przez ten przekrój w 

jednostce czasu: 

gdzie:  
H – całkowity napór (ciśnienie) 

przedstawiający sobą energię 

właściwą (na jednostkę ciężaru 

cieczy);
ρgQ – ciężar mocy wzdłuż cieczy, 

czyli ciężar cieczy przepływającej 

przez przekrój strumienia w 

jednostce czasu.

(3)

Ponieważ w różnych punktach przekroju 

cząsteczki cieczy mają różne prędkości, to 

moc strumienia w rozpatrywanym 

przekroju określimy jako cząstkę 

gdzie: dN – moc elementarnej strugi obliczana za 
pomocą równania Bernoulliego po formule

(4)

(5)

po uwzględnieniu

gudS

g

u

g

p

z

gdQ

H

dN

















)

2

(

2

udS

dQ

Jak pokazuje doświadczenie, w przypadku 

płynnie zmieniającego się ruchu, 

potencjalne ciśnienie w przedziale 

przekroju strumienia jest wielkością 

jednakową dla wszystkich punktów 

danego przekroju, czyli:

(6)

Podstawiając wyrażenie dN (5) do 

równania (4) i uwzględniając zależność (6) 

mamy:

)

1

2

(

]

2

)

[(

]

2

1

)

[(

)

2

(

3

3

2

3

2

2

3

2















































s

s

s

s

s

dS

u

S

v

g

v

g

p

z

gQ

dS

u

Q

v

Q

g

v

Q

g

p

z

g

dS

u

g

udS

g

p

z

g

gudS

g

u

g

p

z

N

















Ostatecznie możemy napisać:

gdzie:

(7)

(8)

Współczynnik  uwzględnia 

nierównomierność rozkładu prędkości 

w przekroju strumienia i nazywany jest 

współczynnikiem Coriolisa. Fizyczny sens 

współczynnika Coriolisa jest taki, 

że przedstawia on stosunek rzeczywistej 

kinematycznej energii masy strumienia 

cieczy przepływającej w jednostce czasu 

przez rozpatrywany przekrój do umownej 

średniej kinetycznej energii (obliczanej dla 

średniej prędkości v). 

Rozważając razem równania (3) i (7) 

znajdujemy, że całkowite 

ciśnienie( napór ) strumienia w danym 

przekroju określa formuła

Skąd

H- wysokość rozporządzalna 

(9)

Rozpatrzmy teraz dwa próbne przekroje 

strumienia cieczy rzeczywistej.

Całkowity napór w drugim przekroju jest 

mniejszy w porównaniu z całkowitą 

energią strumienia w pierwszym o 

wysokość strat  wskutek dyssypacji 

energii cieczy przy ruchu od pierwszego 

do drugiego przekroju, dlatego:

albo z uwzględnieniem formuły (8) mamy:

(10)

Równanie (10) jest równaniem 

Bernoulliego strumienia cieczy 

rzeczywistej.

Na rys.1 przedstawiono piezometryczną 

linię 

a-a i ciśnieniową b-b dla strumienia cieczy 

rzeczywistej przy ustalonym przepływie. 

W odróżnieniu od linii ciśnienia przy ruchu 

cieczy idealnej, linia cieczy rzeczywistej 

obniża się o wartość strat ciśnienia  na 

odcinku między przekrojami 1-1 i 2-2. 

Piezometryczna linia może obniżać się, 

podwyższać ale w dowolnym przekroju 

próbnym strumienia leży niżej linii 

całkowitego ciśnienia (naporu) o wartość 

prędkościowego naporu 

Dla strumienia rzeczywistej cieczy 

stosunek strat ciśnienia do długości 

strumienia, na której zachodzi ta 

strata nazywana jest hydraulicznym 

odchyleniem lub hydrauliczną 

inklinacją:

(11)

Rys.1. Graficzne przedstawienie 

równania Bernoulliego dla 

strumienia cieczy rzeczywistej w 

ustalonym ruchu.

Ogólna informacja o stratach 

hydraulicznych 

straty lokalne i tarcia – zgodnie formułą 

 Darcy - Weisbacha

przy, czym formuła Darcy - 

Weisbacha

jest ważna zarówno dla laminarnego jak i 

turbulentnego przepływu