Fizyka dla Mechatroniki
SEMESTR ZIMOWY
2006/7
Fizyka dla Mechatroniki
SEMESTR ZIMOWY
2006/7
W bieżącym semestrze program obejmuje
52 godz. wykładu J. Zieliński
22 godz. ćwiczeń rachunkowych
M.
Olifierczuk
16 godz. laboratoriów
???
Dr hab. inż. prof. WAT Jerzy ZIELIŃSKI
Konsultacje
Tel. 022 683 9731
pok. 103 / bud.5
ZALEGŁOŚCI
Kolejne terminy poprawek
18.10.2005 wtorek
godz. 15.00
22.11. 2005 wtorek
godz.
15.00
PROGRAM
-Pole elektryczne
-Pole magnetyczne: stałe i zmienne
-Prąd elektryczny
-Optyka geometryczna i falowa
-Dualizm korpuskularno-falowy
-Budowa atomu
-Laser
-Fizyka jądrowa
-Podstawy fizyki ciała stałego
-Podstawy kosmologii
Zasady zaliczenia przedmiotu:
a. Muszą być zaliczone na ocenę pozytywną i wpisane do
indeksu ćwiczenia laboratoryjne i rachunkowe
b. Egzamin – pisemny trzy pytania (wybrane z zestawu
czterech) – czas pisania 1g. 30 min.
ewentualnie odpowiedzi ustne uzupełniające,
wyjaśniające
11 a. Pole elektryczne
Wykład 1
POLE ELEKTRYCZNE
Zjawiska elektryczne towarzyszyły człowiekowi od
samego początku jego pojawienia się. Wyładowania
atmosferyczne napawały grozą, zaś zjawiska
bioelektryczne i elektryzacja pewnych materiałów
nasuwały przypuszczenia o niewidzialnej sile, która
potrafi ożywić to co martwe.
Pierwsze doświadczenia
(w dzisiejszym słowa tego
znaczeniu) z elektryczności przeprowadzane były już w
starożytności, już Tales z Miletu (600 lat p.n.e.)
wspomina o tym, że potarty bursztyn wykazuje
właściwości przyciągania drobnych przedmiotów.
Ogólnie też znane były objawy elektryczności
atmosferycznej, takie jak pioruny, ale natura ich była nie
wyjaśniona aż do drugiej połowy XVII wieku. Wiedziano
jednak, że można się ustrzec przed uderzeniem
pioruna stosując wysokie, zaostrzone maszty.
Podczas prac archeologicznych w Egipcie na
ścianach starożytnych świątyń znaleziono napisy
wyjaśniające
stosowanie
masztów
jako
środka
zabezpieczającego przed „niebieskim ogniem”.
Dopiero wiek XIX i XX wprzągł szeroko
elektryczność w służbę człowieka. Ze zjawiskami
elektrycznymi mamy do czynienia nie tylko w przypadku
przepływu prądu elektrycznego.
Pola
elektrostatyczne
często
występują
w
nowoczesnych
mieszkaniach
stając
się
źródłem
iskrzenia
. Naelektryzowany sweter przyciąga skrawki
papieru, a ekran telewizora cząstki kurzu.
Łatwo zauważyć, że do tego oddziaływania nie
jest konieczny bezpośredni kontakt.
Jedno ciało naelektryzowane działa na drugie ciało
naelektryzowane nawet z pewnej odległości
.
Doświadczeń takich można zaplanować i wykonać
bardzo dużo. Można naelektryzować wiele materiałów,
np. przez tarcie, lub też wytwarzać elektryczność
statyczną za pomocą odpowiednich maszyn.
Wyniki tych doświadczeń są następujące –
naelektryzowane ciała działają na siebie z
odpowiednimi siłami, zależnymi, ogólnie rzecz
biorąc, od odległości, przyciągają się wzajemnie
lub odpychają.
Sama przyczyna oddziaływania jest
jednak dla obserwatora nieuchwytna. Dla jej
objaśnienia wprowadzono wielkość (abstrakcyjną),
zwaną ładunkiem elektrycznym.
Ładunku elektrycznego nie można zobaczyć –
można o jego istnieniu wnioskować jedynie
poprzez występowanie zjawisk elektrycznych
.
11.1. Ładunek elektryczny
Podstawową
własnością
ładunku
elektrycznego jest to, że mamy do czynienia z
dwoma
jego
rodzajami.
Ładunek
doznaje
odpychania od dowolnego innego z tej samej
grupy, natomiast jest przyciągany przez dowolny
ładunek z innej grupy.
Powiemy, że jeśli dwa małe elektrycznie
naładowane ciała A i B umieszczone w pewnej
odległości od siebie odpychają się oraz jeśli A przyciąga
trzecie naelektryzowane ciało C, to z pewnością można
stwierdzić, że ciała B i C również się przyciągają.
Fizycy współcześni traktują istnienie dwu rodzajów
ładunków jako przejaw istnienia przeciwstawnych stanów tej
samej wielkości fizycznej.
Które z ładunków są ujemne, a które
dodatnie?
Jest rzeczą czysto umowną, które z
ładunków nazwiemy dodatnimi, a które ujemnymi.
Zgodnie z umową elektrony mają ujemny ładunek.
Ładunki
elektryczne
podlegają
dwóm
fundamentalnym prawom:
> Ładunek podlega prawu zachowania.
> Ładunek może przybierać jedynie
wartości będące (co do modułu) wielokrotnością
ładunku elektronu.
11.2. Prawo zachowania ładunku
Wprowadzimy
jako
postulat
teorii
prawo
zachowania ładunku w następującej postaci:
Całkowity
ładunek
elektryczny
układu
odosobnionego w dowolnej chwili nie może ulegać
zmianie.
Eksperymenty potwierdzają to prawo, np.
zjawisko tworzenia pary elektron-pozyton.
e
_
e
+
Jeżeli
bombardujemy
promieniami
umieszczone w
próżni pudło o
cienkich ściankach (rys.7.1), to przy odpowiednich
warunkach możemy zaobserwować zjawisko tworzenia
pary elektron-pozyton wewnątrz układu.
Utworzone
zostały dwie elektrycznie naładowane cząstki, ale
całkowity ładunek układu nie uległ zmianie.
Współczesne eksperymenty z bardzo dużą dokładnością
pokazują, że wartość bezwzględna ładunku elektronu i
pozytonu jest jednakowa.
Brak zachowania ładunku byłby niezgodny ze
współczesną teorią elektromagnetyzmu.
Prawo
zachowania ładunku jest słuszne w dowolnym
układzie inercjalnym, a ładunek elektryczny jest
wielkością relatywistycznie niezmienniczą.
11.3. Ładunek elektryczny elektronu
Występujące
w
przyrodzie
ładunki
są
wielokrotnością
ładunku
elektronu,
który
oznaczać będziemy przez e.
Kwantyzacja ładunku
jest powszechnym prawem przyrody.
Dotychczasowe pomiary wykazują, że wszystkie
naładowane cząstki elementarne mają identyczne co do
wartości bezwzględnej ładunki.
W rozważaniach naszych będziemy przyjmowali,
że punktowe ładunki mogą przybierać dowolną wartość
q.
Ładunek
punktowy
jest
idealizacją
bliższą
rzeczywistości niż wyobrażenia o ciągłym jego
rozkładzie.
W pewnych przypadkach będziemy posługiwać
się ciągłym rozkładem ładunku, będzie to wówczas
jednak wynik uśredniania po wielkiej liczbie ładunków
elementarnych.
Jednostką
ładunku
elektrycznego
jest
kulomb [C], przy czym 1 kulomb jest to ładunek
przenoszony przez prąd elektryczny o natężeniu 1
ampera [A] w czasie 1 sekundy [s].
Ładunek elementarny (ładunek elektryczny
elektronu) e wynosi:
]
s
[
]
A
[
]
C
[
C
10
6
.
1
e
19
11.4 Prawo Coulomba
W roku 1785 Coulomb na podstawie doświadczeń
z
wagą
skręceń
wypowiada
prawo
dotyczące
oddziaływania
dwu
nieruchomych,
punktowych
ładunków elektrycznych. Zgodnie z tym prawem:
Dwa
nieruchome
punktowe
ładunki
elektryczne odpychają się lub przyciągają z siłą
proporcjonalną do iloczynu tych ładunków, a
odwrotnie proporcjonalną do ich odległości.
Wyrazimy to przy pomocy równania:
12
12
2
12
2
1
12
r
r
r
q
q
k
F
gdzie q
1
i q
2
są wielkościami skalarnymi określającymi
wielkość i znak ładunków. Wielkość jest siłą
działającą na ładunek, zaś wektor
jest skierowany od ładunku q
2
do q
1
12
F
12
r
+
_
+
q q
1
2
q q
1
2
F r
1 2
1 2
F r
1 2
1 2
+
__
Rys.7.2. Jeżeli wektor jest siłą jaką działa
ładunek q
2
na ładunek q
1
, to wektor
prowadziliśmy od ładunku q
2
do q
1
.
12
F
12
r
W układzie jednostek SI stałą k można zapisać w
postaci:
(7.2)
gdzie
jest przenikalnością elektryczną
próżni.
2
2
r
9
r
o
C
m
N
/
10
9875
.
8
4
1
k
N
m
C
10
8859
.
0
2
2
11
o
Porównajmy siłę grawitacyjną pomiędzy
elektronem i protonem w atomie wodoru
F = 3.61·10
-
47
N
z siła elektryczną pomiędzy nimi w tym
samym atomie
F = 2.27·10
-8
N
.
Widać
wyraźnie jak wielka jest różnica pomiędzy nimi – 39
rzędów
To, że siły grawitacyjne dla "dużych" ciał
dominują wynika stąd, że liczby protonów i elektronów
są równe.
W tym miejscu wypada podkreślić, że nie
istnieje, żaden związek między masą i
ładunkiem.
Stała
r
występująca we wzorze (7.2) nosi nazwę
względnej przenikalności elektrycznej ośrodka i wyraża
się liczbą niemianowaną. W tabeli 7.1 podano względne
przenikalności elektryczne
r
kilku substancji.
Tabela 7.1. Względne
przenikalności
elektryczne różnych
ośrodków
.
Ośrodek
Względna
przenikalność
elektryczna
r
Próżnia
Powietrze
Parafina
Nafta
Olej
transformatorowy
Benzen
Chloroform
Szkło
Alkohol
Woda
1
1.0006
2.0
2.0
2.2
2.3
4.8
510
27
81
Znając
r
i
o
możemy określić przenikalność
elektryczną każdego ośrodka materialnego:
(7.3)
Fakt, że oddziaływanie ładunków zależy od
ośrodka, tłumaczy się zjawiskiem polaryzacji
elektrycznej ośrodka.
Mianowicie, ładunek q
1
wprowadzony do ośrodka
zostaje otoczony płaszczem ładunków przeciwnego
znaku, które neutralizują częściowo ładunek q
1
. To
samo zachodzi dla drugiego ładunku q
2
, w rezultacie
czego siła ich oddziaływania ulega zmniejszeniu. W
związku z tym
względne przenikalności
elektryczne ośrodków są zawsze większe od
jedności
r
o
Zasada superpozycji
Siłę wypadkową
(tak jak w grawitacji)
obliczamy dodając
wektorowo siły dwuciałowe
.
Przykład 1
Dipol elektryczny składa się z dwóch ładunków
oddalonych od siebie l. Jaka siła jest wywierana na
ładunek q umieszczony tak jak na rysunku?
Z podobieństwa trójkątów
stąd
r
l
F
F
1
3
3
2
1
r
p
qk
r
Ql
qk
r
k
r
l
F
r
l
F
gdzie p = Ql jest
momentem
dipolowym
.
11.5 Natężenie pola elektrycznego
Przestrzeń otaczająca ładunki elektryczne
posiada taką właściwość, że na umieszczone w
dowolnym jej punkcie inne ładunki działa siła.
Mówimy, że wokół ładunków elektrycznych istnieje pole
elektryczne.
Istnienie pola elektrycznego można wykryć
wprowadzając do przestrzeni w której ono działa
ładunek próbny q
0
. W polu elektrycznym na ładunek
próbny działa siła .
Umożliwia to wprowadzenie
pojęcia: natężenia pola elektrycznego.
Natężenie pola elektrycznego definiuje się jako
stosunek siły , działającej na dodatni ładunek próbny
q
0
, do wartości tego ładunku.
F
E
F
0
q
F
E
Natężenie pola elektrycznego jest
wektorem.
W
każdym
punkcie
przestrzeni wektor może mieć inną
wartość i inny kierunek.
(7.4)
Jednostką natężenia pola w układzie SI,
wynikającą ze wzoru (7.4) jest [N/C], jednakże w
praktyce przyjęło się używać jednostki równoważnej
[V/m].
Obliczenie natężenia pola elektrycznego w
dowolnym punkcie przestrzeni jest w zasadzie
możliwe zawsze, jeżeli znamy rozkład ładunków
wytwarzających to pole
. Z prawa Coulomba (7.1) i
definicji pola elektrycznego (7.4) możemy wyznaczyć
natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez
ładunek punktowy q.
m
V
s
A
m
s
A
V
s
A
m
/
J
C
N
r
r
r
q
4
1
r
r
q
r
q
q
4
1
q
F
E
2
o
2
o
o
(7.5)
Jeżeli pole elektryczne jest wytwarzane przez pewną
liczbę ładunków punktowych
to
wówczas siła działająca na ładunek próbny q
o
wynosi:
(7.6)
Widać, że siła jest proporcjonalna do q
o
.
Zatem natężenie pola elektrycznego
wytworzonego przez układ
ładunków
o postaci:
(7.7)
jest wektorową sumą natężeń pól pochodzących od
każdego z ładunków układu
(7.8)
N
j
2
1
q
,
...
q
,
,...
q
,
q
o
F
oj
oj
2
oj
j
N
1
j
o
oj
oj
2
oj
j
o
N
1
j
o
r
r
r
q
4
q
r
r
r
q
q
4
1
F
o
F
z
,
y
,
x
E
N
j
2
1
q
,
,...
q
,
,...
q
,
q
oj
oj
2
oj
j
N
1
j
o
o
r
r
r
q
4
1
q
F
z
,
y
,
x
E
N
j
2
1
E
,...
E
...
E
E
z
,
y
,
x
E
N
j
2
1
E
,...
E
...
E
E
z
,
y
,
x
E
Widzimy, że natężenie pola elektrycznego E(x,y,z)
w danym punkcie ośrodka zależy jedynie od
rozkładu przestrzennego ładunków i właściwości
elektrycznych ośrodka ().
N
j
2
1
q
,
,...
q
,
,...
q
,
q
Pojęcie ładunków punktowych uogólnimy teraz na
ciągły rozkład ładunku.
Objętościowy rozkład ładunku opisujemy za
pomocą skalarnej funkcji , którą nazywamy gęstością
ładunku
(7.9)
Gęstość (x,y,z) w ogólnym przypadku jest funkcją
położenia. W układzie SI objętościową gęstość ładunku
wyrażamy w [C/m
3
]. Ładunek dQ zawarty w małym
prostopadłościanie o objętości dV= dx dy dz
umieszczony w punkcie (x,y,z) jest dany przez:
(7.10)
W skali atomowej gęstość ładunku zmienia się silnie
od punktu do punktu. Pojęciem gęstości będziemy się
posługiwać w odniesieniu do układów makroskopowych.
z
,
y
,
x
f
dV
dQ
dz
dy
dx
z
,
y
,
x
dQ
Dla ciągłego rozkładu ładunków natężenie pola
elektrycznego
, pochodzące od ładunków w innych
punktach jest dane przez całkę:
(7.11)
Jest to całka objętościowa po objętości V w
której występuje ładunek. Przy ustalonym punkcie
(x,y,z), w którym wyznaczamy natężenie pola,
całkowanie przebiega po wszystkich punktach (x’,y’,z’)
obszaru V w których występują ładunki.
z
,
y
,
x
E
2
V
r
o
r
'
dz
'
dy
'
dx
r
r
'
z
,
'
y
,
'
x
4
1
z
,
y
,
x
E
Rozpatrzymy teraz pole elektryczne w punkcie P
dla przypadku przedstawionego na rysunku poniżej.
Punkt P leży w jednakowej odległości od ładunków +Q i
–Q. Układ ładunków +Q i –Q położonych w odległości l
od
siebie
nazywamy
dipolem
elektrycznym
scharakteryzowanym momentem dipolowym
l
Q
p
r
r
+
-
+ Q
- Q
D ip o l
q
1
F
2
F
F
l
Zwrot wektora skierowany
jest od ładunku ujemnego do
dodatniego.Ze
względu
na
podobieństwo trójkątów mamy
, czyli
l
r
/
l
F
/
F
1
3
2
1
r
p
qk
r
k
r
l
F
r
l
F
o
o
Siła
działająca
ze
strony
dipola
na
ładunek
q
jest
odwrotnie
proporcjonalna
do
sześcianu
odległości
między nimi. Czyli
pole dipola
3
4
1
r
p
E
o
Przykład
Całkowity ładunek naładowanego pierścienia o
promieniu R wynosi Q. Jakie jest pole elektryczne na osi
pierścienia w odległości x
0
od środka ? Pole wytwarzane
przez element dl pierścienia jest równe
dE
x
= dE(cos
)
cos
= x
0
/r
Jeżeli
= Q/2R jest liniową
gęstością ładunku to
2
d
d
r
l
k
E
oraz
r
x
r
l
k
E
x
0
2
d
d
stąd
2
3
2
2
0
0
3
0
3
0
)
(
)
2
(
d
R
x
Q
kx
R
r
x
k
l
r
x
k
E
E
x
2
3
2
2
0
0
3
0
3
0
)
(
)
2
(
d
R
x
Q
kx
R
r
x
k
l
r
x
k
E
E
x
Zwróćmy uwagę, że w środku pierścienia (x
0
= 0)
E = 0, a dla x
0
>> R pole E kQ/x
0
2
i jest takie samo
jak pole ładunku punktowego w tej odległości.
Jedną z zalet posługiwania się pojęciem pola
elektrycznego jest to, że nie musimy zajmować się
szczegółami źródła pola. Np. pole E = kQ/r
2
może
pochodzić od wielu źródeł.
11.6. Linie sił pola elektrycznego
Michael Faraday, nie doceniając przedstawienia
pola elektrycznego jako wektora, operował zawsze
pojęciem linii sił. Zresztą ciągle jeszcze
linie sił są
wygodną formą modelowego opisu pola
elektrycznego
. Będziemy je używać do tego celu, ale
nie będziemy ich wykorzystywać do rozważań
ilościowych.
Zależność pomiędzy liniami sił a wektorem
natężenia pola elektrycznego jest następująca:
1. Styczna do linii sił w dowolnym punkcie pola
wyznacza kierunek natężenia pola w tym punkcie.
2. Linie sił wykreśla się tak, aby liczba linii na
jednostkę powierzchni przekroju była proporcjonalna do
wielkości . Gdy linie leżą blisko siebie, jest duże,
a gdy są odległe, jest małe.
E
E
E
E
Rysunek obok przedstawia linie sił
dla
jednorodnej
płaszczyzny
naładowanej dodatnio.
Założenie,
że
rozpatrujemy
płaszczyznę
nieskończoną,
oznacza, że w przypadku płytki o
wymiarach
skończonych
rozważamy
tylko
te
punkty,
których odległość od płytki jest
mała w porównaniu z odległością
od
najbliższego
jej
brzegu.
Dodatni
ładunek
próbny,
umieszczony przed taką płytką,
oddalałby się od niej wzdłuż linii
prostopadłej
do
płaszczyzny
płytki.
+
+
+
+
+
+
+
+
A więc
wektor natężenia pola elektrycznego w
każdym punkcie blisko płytki musi być do niej
prostopadły.
Linie
sił
są
rozmieszczone
równomiernie, co oznacza, że ma tę samą
wartość dla wszystkich punktów przestrzeni
leżących blisko powierzchni płytki. Pole takie
nazywamy polem jednorodnym
.
E
Na rysunku poniżej widzimy linie sił dla
dodatnio naładowanej kuli. Z symetrii zagadnienia
wynika, że linie te muszą leżeć wzdłuż promieni. Są one
skierowane na zewnątrz kuli, ponieważ próbny ładunek
dodatni byłby przyspieszany w tym kierunku. Natężenie
pola elektrycznego nie jest stałe, lecz maleje ze
wzrostem odległości od kuli. Wynika to w sposób
oczywisty z rozmieszczenia linii sił, które na większych
odległościach oddalają się od siebie.
Rys.7.5. Linie
sił
pola
elektrycznego
wytworzonego
przez dodatnio
naładowaną
kulę.
+ + +
++
+
+
++
++
+
++
++
Na rysunku 7.6 pokazano przebieg linii sił różnych pól
elektrycznych. Linie pola zaczynają się zawsze na
ładunkach dodatnich, a kończą na ładunkach ujemnych.
W niektórych przypadkach linie pola biegną do
nieskończoności; uważamy wtedy, że odpowiednie
ładunki, na których te linie się kończą, znajdują się
nieskończenie daleko.
+
+
_
_
a ) b ) c )
+
+
+ + +
_ _ _
+
_
_
_
_
_
_
d ) e ) f )
Linie pola elektrycznego i przekroje powierzchni
ekwipotencjalnych dla pola jednorodnego i ładunku punktowego
Pola dipola
elektrycznego
11.7 Strumień pola elektrycznego
Płynąca ciecz (np. woda) w istocie swojej ma mało
wspólnego z polem elektrycznym, ale świetnie się
nadaje do konstrukcji modeli pola elektrycznego.
A
a
A
b
a ) b )
Rysunek
7.7.
przedstawia
jednorodne pole przepływu wody
(np. w rzece) charakteryzujące
się stałym wektorem przepływu
, czyli stałą prędkością cieczy w
dowolnym punkcie.
Rysunek
7.7a
przedstawia
płaską
płaszczyznę
o
powierzchni A
a
zanurzoną w
„polu przepływowym wody” pod
kątem prostym do wektora
.
Strumień masy wody
( w [kg/s] ) przez tę
powierzchnię (czyli masa wody przepływająca w
jednostce czasu przez powierzchnię A
a
) wynosi:
(7.12)
gdzie jest gęstością cieczy.
Jeżeli powierzchni A
a
przyporządkujemy wektor
prostopadły do powierzchni i o module równym A
a
to
(7.12) możemy zapisać:
(7.13)
Z (7.13) widać, że strumień pola przez powierzchnię
jest wielkością skalarną
.
a
,
a
a
,
A
a
A
a
a
,
A
Rysunek 7.7b przedstawia płaską powierzchnię
A
b
, której rzut
jest równy A
a
.
Wydaje się rzeczą jasną, że strumień masy
przez powierzchnię A
b
musi być taki sam, jak przez
powierzchnię A
a
. Aby to sobie unaocznić, możemy
zapisać:
(7.14)
cos
A
b
b
,
b
b
a
a
,
b
,
A
cos
A
A
Po tych wstępnych rozważaniach nad zajmiemy
się teraz , tzn.
strumieniem pola elektrycznego
.
Może się wydawać, że w tym przypadku nic nie płynie.
Jednakże
z formalnego punktu widzenia równania
(7.13) i (7.14) nie odnoszą się tylko do cieczy, lecz
także do dowolnego pola wektorowego
(stałego w tym przypadku).
E
Jeżeli na rys.7.7. zamienimy na , a linie
przepływu wody na linie sił pola elektrycznego –
cała dotychczasowa dyskusja tego paragrafu
pozostaje w mocy.
Zatem strumieniem elementarnym
natężenia pola elektrycznego przez element
powierzchni nazywamy iloczyn skalarny
(7.15)
gdzie jest to wektor prostopadły do
elementu powierzchni ds, o długości równej polu
tego elementu. W układzie SI strumień wyrażamy
w [Vm].
E
E
d
E
s
d
cos
ds
E
s
d
E
d
E
s
d
d s
E
S
Definicja strumienia
pola elektrycznego
Aby obliczyć strumień pola elektrycznego
przez dowolną powierzchnię S należy zsumować
wszystkie strumienie elementarne
przenikające
powierzchnię S.
Wobec powyższego, strumień przez daną
powierzchnię S nazywamy całką powierzchniową o
postaci:
(7.16)
E
E
d
S
,
E
S
S
,
E
s
d
E
11.8 Prawo Gaussa
Wyprowadzimy prawo Gaussa w najprostszym
przypadku, dla ładunku punktowego q otoczonego kulą
o promieniu r i środku pokrywającym się z położeniem
ładunku. Strumień
E
dla tego układu jest
(11)
Jak widzimy strumień pola nie zależy od wielkości
powierzchni.
Pokażemy teraz, że zawsze całkowity strumień
natężenia pola elektrycznego ładunku punktowego
przez powierzchnię dowolnego kształtu będzie równy
r
o
r
o
q
r
r
q
r
E
S
d
E
E
2
2
2
4
4
1
4
r
o
/
q
Rozpatrzymy dowolną powierzchnię, która
zawiera kulę wraz z ładunkiem (rys. 4.4) i udowodnimy,
że całkowity strumień przez tę powierzchnię jest
identyczny jak strumień przez powierzchnię kulistą.
r
R
A
a
Strumień przez dowolną
zamkniętą powierzchnię
zawierającą ładunek q.
Stożek o wierzchołku w
punkcie położenia ładunku q
wycina
mały
element
powierzchni z powierzchni
kulistej i element powierzchni
z powierzchni dowolnej.
Powierzchnia elementu jest
większa
od
powierzchni
elementu
cos
r
R
a
A
1
2
a
a
A
A
ze względu na ten sam kąt bryłowy oraz ze
względu na nachylenie elementu do kierunku
radialnego.
Kąt
jest kątem zawartym pomiędzy zewnętrzną
normalną a kierunkiem radialnym. Strumień natężenia
pola przez oba elementy jest równy
cos
R
A
r
a
d
2
2
A
a
E
a
E
d
r
r
a
,
E
oraz
cos
A
E
A
E
d
R
R
A
E,
Wstawiając do równania na strumień
wartości
A
E,
d
R
q
E
r
o
R
2
4
1
cos
r
R
a
=
A
1
2
i
dostajemy
a
E
a
q
d
r
r
o
A
E,
4
Wynik ten oznacza, że strumienie przez oba
elementy są równe. Również całkowity strumień
przez obie powierzchnie będzie jednakowy, a
więc strumień natężenia pola przez dowolną
zamkniętą powierzchnię otaczającą ładunek q
będzie równy q/
o
r
.
Jeżeli ładunek leży na zewnątrz zamkniętej dowolnej
powierzchni, to strumień przez tę powierzchnię znika.
Jeżeli mamy n ładunków punktowych objętych
powierzchnią, to strumień przez tę powierzchnię
wynosi:
n
1
=
i
r
o
E
i
q
Skorzystaliśmy
z
zasady
superpozycji pól elektrycznych
pochodzących od poszczególnych
ładunków
n
,....., q
, q
q
2
1
W przypadku ładunku o gęstości objętościowej (x,y,z)
(14)
Prawo Gaussa brzmi: strumień natężenia
pola
elektrycznego
przez
dowolną
powierzchnię
zamkniętą
równa
się
iloczynowi
całkowitego
ładunku
zamkniętego w tej powierzchni przez
o
r
.
.
V
r
o
S
dV
S
d
E
1
q/
o
r
Niektóre zastosowania twierdzenia Gaussa
11.8.1
Równomiernie naładowana kula
Ponieważ równomiernie naładowaną kulę można
traktować
jako
składającą
się
z
szeregu
koncentrycznych warstw, więc przy obliczaniu pola
wewnątrz kuli można stosować wzór
Zauważmy, że kładąc r = R w powyższe równanie
mamy natężenie pola na powierzchni kuli
,
(4.15)
'
r
r
Q
E
o
2
4
1
2
4
1
R
Q
E
o
gdzie
Q
jest
całkowitym
ładunkiem kuli.
W celu obliczenia pola E w dowolnym punkcie P
znajdującym się wewnątrz kuli wybieramy powierzchnię
gaussowską przechodzącą przez ten punkt P, jak
pokazano na rys. 4.5. Sfera ta obejmuje objętość 4
r
3
/3,
która stanowi (r/R)
3
całej objętości kuli. Wobec tego
ładunek wnętrza tej sfery wynosi Q
w
= Q(r/R)
3
. Stosując
twierdzenie Gaussa
2
r
o
R
Q
4
1
( a ) ( b )
E
R
r
r
3
3
R
r
Q
Q
w
P
Rys 4.5
Stosując twierdzenie Gaussa
,
otrzymujemy pole wnętrza równomiernie naładowanej
kuli o promieniu R
.
(4.16)
Na rys. 4.5b pokazano zależność tego pola od r.
3
3
2
1
4
r
R
Q
r
E
r
o
r
R
Q
E
r
o
3
4
1
2
r
o
R
Q
4
1
( a ) ( b )
E
R
r
r
3
3
R
r
Q
Q
w
P
Rys. 4.5. (a) Powierzchnia gaussowska przechodząca przez P obejmująca
ładunek Qw.
(b) Zależność pola elektrycznego od odległości od środka równomiernie
naładowanej kuli.
11.8.2
Powierzchniowy rozkład ładunku
Rozważymy pole elektryczne wytworzone przez
równomiernie naładowaną nieskończoną płaszczyznę
o
gęstości powierzchniowej ładunku
(jednostką
jest
C/m
2
). Powierzchnię gaussowską wybieramy w postaci
prostopadłościanu lub cylindra o płaskich przekrojach
poprzecznych położonych w odległości a od
powierzchni, jak pokazano na rys. 4.6. Ładunek
znajdujący się wewnątrz powierzchni całkowania równy
jest . Strumień pola wychodzący w obydwie
strony naładowanej płaszczyzny jest jednakowy, więc
całkowity strumień natężenia pola elektrycznego wynosi
o
ES
S
d
E
2
o
S
o
w
S
Q
S
o
I I I I I I
a b
a
a
Fig. 4.6. Nieskończona
powierzchnia metalowa o
gęstości powierzchniowej
ładunku
.
Fig. 4.7. Pole elektryczne
między dwoma płaszczyznami
o równych gęstościach ładunku
powierzchniowego lecz
przeciwnych znakach
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa
,
czyli pole elektryczne naładowanej płaszczyzny jest
równe
.
(4.17)
W praktyce często spotykamy się z przyrządami, w
których znajdują się dwie równoległe płaszczyzny
naładowane równymi lecz przeciwnymi ładunkami (rys.
4.7).
Natężenie
pola
spowodowane
ładunkiem
płaszczyzny a wynosi
i jest skierowane
do tej płaszczyzny. Pole wytworzone przez płaszczyznę
b wynosi
i jest skierowane od tej płaszczyzny.
r
o
b
/
E
2
r
o
a
/
E
2
r
o
E
2
r
o
o
o
S
ES
2
W obszarze I:
W obszarze II:
(4.18)
W obszarze III:
Widzimy więc, że na zewnątrz płaszczyzn pole
elektryczne
znika,
natomiast
między
płaszczyznami wynosi
.
r
o
/
0
2
2
r
o
r
o
bI
aI
I
E
E
E
r
o
r
o
r
o
II
b
II
a
II
E
E
E
2
2
0
2
2
r
o
r
o
III
b
III
a
III
E
E
E
11.8.3
Liniowy rozkład ładunku
Rozpatrzymy teraz pole elektryczne wytworzone
w odległości r przez równomiernie naładowany
prostoliniowy przewodnik lub pręt, którego długość
wyraźnie przewyższa odległość r. Niech oznacza
ładunek przypadający na jednostkę długości pręta. Jako
powierzchnię gaussowską wybieramy walec o długości
L (rys. 4.8). Wewnątrz powierzchni walcowej znajduje
się ładunek
. Zgodnie z prawem
Gaussa
L
Q
w
r
o
L
S
d
E
P
r
L
Rys. 4.8. Odcinek długiego
naładowanego pręta. Powierzchnię
gaussowską stanowi walec o
długości L i promieniu r.
Ze względu na symetrię,
linie sił pola mają kształt
prostych radialnych.
Dlatego wektory i są
wzajemnie prostopadłe na
bocznej powierzchni
zamykającej walec i
równoległe na
powierzchni walcowej. Z
tego powodu możemy
napisać
E
S
d
Porównując to wyrażenie do
, mamy
,
stąd natężenie pola elektrycznego liniowo rozłożonego
ładunku ma postać
(4.19)
rL
E
S
d
E
2
r
o
L
r
o
L
rLE
2
r
E
r
o
2
11.9 Powierzchnia przewodnika
Większość ciał stałych możemy podzielić na dwie
grupy: przewodniki i izolatory (dielektryki). Dodatkowy
ładunek umieszczony na powierzchni lub wewnątrz
dielektryka pozostaje nieruchomy. Inaczej jest w
przewodnikach,
które
zawierają
dużą
liczbę
swobodnych elektronów nie związanych z konkretnymi
atomami. Dlatego w przewodniku pole elektryczne
może istnieć jedynie w ciągu krótkiego okresu czasu
dopóki swobodne elektrony nie zgromadzą się na
powierzchni przewodnika pod wpływem działania
zewnętrznego
pola
i
nie
utworzą
przeciwnie
skierowanego pola.
P o w ie r z c h n ia S
P r z e w o d n ik
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
Wewnątrz prostopadłościanu o
podstawie
S znajduje się
ładunek S.
Wydzielmy na powierzchni
(rys.
4.9)
nieduży
prostopadłościan o podstawie
S. Zgodnie z twierdzeniem
Gaussa
r
o
S
S
E
r
o
S
S
E
czyli natężenie pola na powierzchni przewodnika
wynosi
(4.20)
r
o
E
11.10
Przewodniki i izolatory – rozkład
ładunków
Większość ciał stałych można podzielić na
przewodniki i izolatory
. W
izolatorze
nadmiarowy
ładunek może być rozmieszczony w całej objętości
natomiast
w przewodnikach
swobodne elektrony będą
się zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie
wytworzy się pole równoważące pole zewnętrzne.
Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik.
Wybierzmy powierzchnię zamkniętą tuż poniżej
powierzchni przewodnika. Zastosujmy prawo Gaussa
do tej powierzchni
0
.
d
wewn
Q
S
E
Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie
powierzchni S pole musi być równe zeru, bo inaczej
elektrony poruszałyby się czyli
Zatem
0 = Q
wewn.
/
0
Stąd
Q
wewn.
= 0
Tak więc ładunek wewnątrz dowolnej
zamkniętej powierzchni (przewodnika) musi być
równy zeru; cały ładunek gromadzi się na
powierzchni.
0
d
S
E