RÓWNANIA
KWADRATOW
E
RÓWNANIA
KWADRATOW
E
Aby rozwiązać równanie z niewiadomą x należy
wyznaczyć zbiór tych wartości x, dla których równanie
jest spełnione.
Rozwiązania równania kwadratowego to miejsca
zerowe funkcji kwadratowej.
Rozwiązując równanie kwadratowe:
• musimy wyznaczyć współczynniki a, b, c,
• obliczyć deltę (wyróżnik funkcji kwadratowej),
• w zależności od delty wyznaczyć miejsca zerowe.
Możemy stosować wzory skróconego mnożenia,
wyłączyć wspólny czynnik przed nawias rozkładając
równanie na czynniki.
Stosując różne metody rozwiążemy równania
kwadratowe.
x
2
-4x-5 = 0
a=1 b=-4 c=-5
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-4)
2
- 4·1·(-5) = 16 + 20 = 36
Δ
>
0
- wyznaczamy dwa miejsca zerowe
-6x
2
+x+1 = 0
a=-6 b=1 c=1
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 1
2
- 4·(-6)·1 = 1 + 24 = 25
Δ
>
0
- wyznaczamy dwa miejsca zerowe
4x
2
+8x = 0
4x
2
+8x = 0
4x · (x+2) = 0
4x=0 ∨ x+2 = 0
x=0 ∨ x=-2
6x
2
-6 = 0
6x
2
-6 = 0
6x
2
= 6
x
2
= 1
x=-1 ∨ x=1
x
2
-4x+4 = 0
a=1 b=-4 c=4
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-4)
2
- 4·1·4
Δ = 16 - 16
Δ =
0
- wyznaczamy jedno miejsce zerowe
-x
2
-x-4 = 0
a=-1 b=-1 c=-4
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-1)
2
- 4·(-1)·(-4) = 1 - 16 = -15
Δ <
0
- równanie nie posiada rozwiązań
6x
2
+x+2 = 0
a=6 b=1 c=2
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 1
2
– 4·6·2 = 1 – 48 = -47
Δ <
0
- równanie nie posiada rozwiązań
-x
2
+6x = 9
-x
2
+6x-9 = 0
a=-1 b=6 c=-9
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 6
2
- 4·(-1)·(-9)
Δ = 36 - 36
Δ =
0
- wyznaczamy jedno miejsce zerowe
x(x-5)=2x(x-1)
x(x-5)=2x(x-1)
x
2
-5x = 2x
2
-2x
x
2
-2x
2
+2x-5x=0
-x
2
-3x=0
a=-1 b=-3 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-3)
2
- 4·(-1)·0
Δ = 9
Δ > 0 - wyznaczamy dwa
miejsca
zerowe
-2(x+5)(x-2)=-2(3x-10)
-2(x
2
-2x+5x-10)=-6x+20
-2x
2
-6x+20 = -6x+20
-2x
2
-6x+20+6x-20=0
-2x
2
=0
x
2
=0
x=0
2(x-5)=2x(x-1)
2(x-5)=2x(x-1)
2x-10 = 2x
2
-2x
2x-2x
2
+2x-10=0
-2x
2
+4x-10=0
a=-2 b=4 c=-10
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 4
2
- 4·(-2)·(-10)
Δ = 16-80
Δ < -64 - równanie nie posiada rozwiązań
(x+1)
2
+(2-x)
2
=(2+x)
2
(x+1)
2
+(2-x)
2
=(2+x)
2
x
2
+2x+1+4-4x+x
2
=4+4x+x
2
2x
2
-2x+5=4+4x+x
2
2x
2
-x
2
-2x-4x+5-4=0
x
2
-6x+1=0
a=1 b=-6 c=1
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-6)
2
– 4·1·1
Δ = 36-4
Δ = 32
Δ > 0 - wyznaczamy dwa
miejsca
zerowe
4(x+2)-6x=(1-x)
2
-2
4(x+2)-6x=(1-x)
2
-2
4x+8-6x=1-2x+x
2
-2
-2x+8=-1-2x+x
2
-x
2
-2x+2x+8+1=0
-x
2
+9=0
-x
2
=-9
x
2
=9
x=-3 ∨ x=3
(2x+1)
2
+(x-3)
2
=10
4x
2
+4x+1+x
2
-6x+9=10
5x
2
-2x+10=10
5x
2
-2x=0
x(5x-2)=0
x=0 ∨ 5x-2=0
5x=2
x=0,4
a=-4 b=-2 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-2)
2
– 4·(-4)·0
Δ = 4
Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe
a=2 b=5 c=3
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 5
2
– 4·2·3
Δ = 25-24
Δ = 1
Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe
