„Między duchem a materią 

pośredniczy matematyka. 

”

Hugo Steinhaus

FIGURY PODOBNE.

Podobieństwo  w  matematyce  ma  wiele 
wspólnego  z  podobieństwem  rozumianym  w 
sposób  potoczny.  W  życiu  codziennym 
podobieństwo  dwóch  rzeczy  jest  kwestią 
subiektywną,  w  matematyce  jest  określone 
ścisłą  definicją.  Nie  wystarczy  stwierdzić  „na 
oko”,  że  dwie  figury  są  podobne,  trzeba  to 
sprawdzić.

FIGURY PODOBNE.

Figurami podobnymi są:

- każde dwa odcinki

- każde dwa koła

- każde dwa okręgi

- każde dwie proste

- każde dwa kwadraty

- każde dwa trójkąty równoboczne

- każde dwie figury, które mają taki sam 
kształt, a różnią się najwyżej wielkością

FIGURY PODOBNE.

Dwa wielokąty o takiej samie liczbie boków 

nazywamy wielokątami podobnymi, jeżeli:

• mają odpowiednie kąty wewnętrzne równe

• stosunek odpowiadających sobie boków 

jest równy 

Liczbę k równą stosunkowi długości 

odpowiadających sobie odcinków figur 

podobnych nazywamy skalą 

podobieństwa. 

Podobieństwo oznaczamy: A  B (czytaj: 

figura A jest podobna do figury B) 

PRZYKŁADY FIGUR 

PODOBNYCH.

Figury o tym samym kolorze są podobne.

PRZYKŁADY FIGUR 

PODOBNYCH.

Wielokąt 

A’B’C’D’E’ 

jest 

podobny 

do 

wielokąta ABCDE ponieważ:  ∢A = ∢ A’; ∢ B 
= ∢ B’; ∢ C = ∢C’; ∢ D = ∢ D’; ∢ E = ∢ E’, 
oraz:

A’B’C’D’E’  ABCDE w skali k = 2
ABCDE  A’B’C’D’E’ w skali k = 

SKALA.

Skala  mówi  nam  ile  razy  figury  podobne  są 
większe  lub  mniejsze  od  siebie.  Jest  to 
zawszę liczba dodatnia (k > 0). Jeżeli:
k  <  1  –  to  figura  podobna  jest  mniejsza  od 
wyjściowej;
k = 1 – to figura podobna jest identyczna jak 
figura
             wyjściowa;
k  >  1  –  to  figura  podobna  jest  większa  od 
wyjściowej.
Gdy  dana  jest  długość  odcinka  figury 
wyjściowej  –  a,  oraz  skala  podobieństwa  –  k, 
w  prosty  sposób  możemy  obliczyć  długość 
tego  odcinka  w  figurze  podobnej  do  danej  – 
a’.

a‘ = k ∙ a

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
W  jakiej  skali  kwadrat  o  boku  9  cm  jest 
podobny do kwadratu o boku 22,5 cm?
Oznaczmy:
a‘ – długość boku kwadratu podobnego,
a – długość boku kwadratu wyjściowego.
Skalę 

podobieństwa 

obliczamy 

dzieląc 

długość boku figury podobnej do danej, przez 
długość boku figury wyjściowej:

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.
Prostokąt WILK ma wymiary 5,5 cm x 6,9 cm. 
Czy prostokąt SOWA o wymiarach 38,5 cm x 
48,3 cm jest podobny do prostokąta WILK?
Sprawdzamy,  czy  stosunek  odpowiednich 
boków  prostokątów  WILK  i  SOWA  jest  stały. 
Dzielimy krótszy bok przez krótszy, a dłuższy 
przez dłuższy:

W obu dzieleniach otrzymaliśmy 
tę  samą  liczbę  a  więc  stosunek 
odpowiednich  boków  jest  stały. 
Prostokąt SOWA jest podobny do 
prostokąta 

WILK, 

skala 

podobieństwa k = 7.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3.
Trójkąt KOT ma boki długości 21 cm, 24 cm i 18 cm. 

Jakie długości mają boki trójkąta LEW podobnego 
do  trójkąta  KOT  w  skali  k  =      ?  Ile  razy  obwód 
trójkąta  LEW  jest  mniejszy  od  obwodu  trójkąta 
KOT?

Aby  obliczyć  długości  boków  trójkąta  LEW, 

mnożymy  długości  boków  trójkąta  KOT  przez 
skalę podobieństwa:

Obliczamy teraz obwody:
Ob

KOT

 = 21 cm + 24 cm + 18 cm = 63 cm

Ob

LEW

 = 7 cm + 8 cm + 6 cm = 21 cm

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3 – ciąg dalszy.

Obwód trójkąta LEW jest trzy razy mniejszy od 

obwodu trójkąta KOT.

Tak  naprawdę  nie  musieliśmy  wyliczać 

obwodów  i  dzielić  ich  przez  siebie, 
wystarczyło spojrzeć na skalę podobieństwa. 
Trójkąt LEW jest podobny do trójkąta KOT w 
skali  k =    , oznacza  to, że  trójkąt  LEW jest 
trzy  razy  mniejszy  od  trójkąta  KOT,  a  więc 
jego obwód także jest trzy razy mniejszy.

UWAGA.

Stosunek obwodów figur podobnych jest 

równy skali podobieństwa.

Ob – obwód figury wyjściowej
Ob’  –  obwód  figury  podobnej  do  figury 
wyjściowej
k – skala podobieństwa 

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
Narysowane poniżej wielokąty są podobne.
a)Jaka  jest  skala  podobieństwa  większego 
wielokąta do mniejszego?
b)Jaka  jest  skala  podobieństwa  mniejszego 
wielokąta do większego?
c)Oblicz 

długości 

boków 

oznaczonych 

literami.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
a)Aby 

obliczyć 

skalę 

podobieństwa 

większego wielokąta do mniejszego, dzielimy 
przez  siebie  długość  jednego  z  boków 
większego 

wielokąta 

przez 

długość 

odpowiadającego  mu  boku  z  mniejszego 
wielokąta:

b) Skala podobieństwa mniejszego wielokąta 
do  większego  jest  liczbą  odwrotną  do  skali 
obliczonej w podpunkcie a, czyli:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.

c) Aby obliczyć długość boków x i y mnożymy 
długości  odpowiadających  im  boków  z 
mniejszej  figury  przez  skalę  podobieństwa 
większego 

wielokąta 

do 

mniejszego 

(powiększamy boki):

                               ;

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Aby  obliczyć  długości  boków  a  i  b  mnożymy 
odpowiadające im długości boków większego 
wielokąta 

przez 

skalę 

podobieństwa 

mniejszego 

wielokąta 

do 

większego 

(pomniejszamy boki):

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Przedstawione  na  rysunku  trójkąty  są 
równoboczne.  Jaka  jest  skala  podobieństwa 
mniejszego trójkąta do większego?

Bok  mniejszego  trójkąta  jest  jednocześnie 
wysokością 

większego 

trójkąta. 

Jeśli 

oznaczymy  bok  większego  trójkąta  przez  a, 
jego wysokość można wyliczyć ze wzoru:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2 – ciąg dalszy.
Skalę 

podobieństwa 

obliczamy 

dzieląc 

długość  boku  mniejszego  trójkąta  –  h,  przez 
długość boku większego trójkąta – a:

FAKT.

Aby rozstrzygnąć, czy dwa prostokąty są 

podobne, wystarczy sprawdzić, czy stosunek 

dwóch prostopadłych boków jednego 

prostokąta jest równy stosunkowi długości 

odpowiednich boków drugiego prostokąta.

FAKT.

Gdy figury F i F’ są podobne, to dla 

dowolnych dwóch odcinków figury F 

stosunek ich długości jest równy stosunkowi 

odpowiadających im odcinków figury F’.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Dowiedź, że prostokąty o wymiarach: 9 cm x 
12 cm i 
32  dm  x  24  dm  są  podobne.  Jaka  jest  skala 
podobieństwa  większego  prostokąta  do 
mniejszego?
Podobieństwo  tych  prostokątów  wynika  z 
poprzednich  faktów.  Jeżeli  podzielę  przez 
siebie  krótszy  i  dłuższy  bok  w  każdym 
prostokącie, to otrzymam tę samą liczbę:

Skracamy jednostki i upraszczamy ułamek przez 3.

Skracamy jednostki i upraszczamy ułamek przez 8.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.

UWAGA.

Powyższa równość świadczy o tym, że dane 

prostokąty są podobne, nie określa ona 

jednak skali podobieństwa.

Aby  obliczyć  skalę  podobieństwa  dzielę 
długość  np.  dłuższego  boku  większego 
prostokąta  przez  długość  dłuższego  boku 
mniejszego 

prostokąta, 

sprowadzając 

wcześniej długości do wspólnej jednostki:
32 dm = 320 cm

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 4.
W pewnym prostokącie przekątna jest cztery 
razy dłuższa niż krótszy bok tego prostokąta. 
W  prostokącie  do  niego  podobnym  krótszy 
bok  ma  2,75  cm  długości.  Jaką  długość  ma 
przekątna tego prostokąta?
Skoro  drugi  prostokąt  jest  podobny  do 
pierwszego,  zgodnie  z  podanymi  wcześniej 
faktami  odpowiedni  odcinki  pozostają  w 
takim  samym  stosunku.  Jeśli  w  pierwszym 
prostokącie  przekątna  jest  cztery  razy 
dłuższa  niż  krótszy  bok,  to  w  prostokącie  do 
niego podobnym jest tak samo, więc:
d = 4 ∙ 2,75 cm = 11 cm.