MODEL PRZEPŁYWÓW
MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH
W JEDNOSTKACH
NATURALNYCH
dr hab. Grażyna Karmowska, prof. ZUT
1
MODEL PRZEPŁYWÓW
MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH
W JEDNOSTKACH
NATURALNYCH
dr hab. Grażyna Karmowska, prof. ZUT
1
Przepływy międzygałęziowe
• stanowią liniowy model gospodarki
narodowej, uwzględniający
powiązania zachodzące między
poszczególnymi gałęziami przemysłu.
• produkty jednych gałęzi stanowią
niezbędne nakłady dla uzyskania
produktów w innych gałęziach, a po
części stanowią produkcję finalną.
2
• Gospodarka narodowa jako całość
musi być zbilansowana.
• Owego bilansowania, czyli
dopasowywania jednych wielkości do
innych w gospodarce wolnorynkowej,
dokonuje rynek.
3
statyczny model
Leontiewa
Q
0
q
01
q
02
q
03
q
n
0
q
0
Q
1
Q
2
Q
3
Q
n
q
11
q
12
q
13
q
n
1
q
21
q
22
q
23
q
n
2
q
31
q
32
q
33
q
n
3
q
n1
q
n2
q
n3
q
nn
q
1
q
2
q
3
q
n
Q
0
q
01
q
02
q
03
q
n
0
q
0
Q
1
Q
2
Q
3
Q
n
q
11
q
12
q
13
q
n
1
q
21
q
22
q
23
q
n
2
q
31
q
32
q
33
q
n
3
q
n1
q
n2
q
n3
q
nn
q
1
q
2
q
3
q
n
Q
0
q
01
q
02
…
q
0m
q
0
Q
1
q
11
q
12
…
q
1m
q
1
Q
2
q
21
q
22
…
q
2m
q
2
…
……………………
…
Q
n
q
n1
q
n2
…
q
nm
q
m
4
Produkt finalny
Dział produkcji
Produkt globalny
Przepływy międzygałęziowe
Równania bilansowe produkcji
5
Q
q
q
i
ij
j
n
i
1
Q
0
ogólny zasób pracy, jakim dysponuje
gospodarka
Q
q
q
j
j
n
0
0
1
0
Wartość produktu globalnego gałęzi i – suma produktu
zużytego w produkcji poszczególnych gałęzi i wartości
produktu końcowego tej gałęzi.
ij
j
q
Q
Produkcja globalna gałęzi j;
Przepływ międzygałęziowy między gałęziami i i j
Jak zmienia się wielkość produkcji globalnej w j-
tej gałęzi przemysłu, gdy ulegają zmianie nakłady
z i-tej gałęzi?
6
q
a Q
ij
ij
j
a
ij
0
a
ij
współczynniki produkcji (techniczne współczynniki
produkcji, współczynniki kosztów, normy zużycia
produkcji gałęzi
i
w gałęzi
j
)
a
q
Q
ij
ij
j
określa, ile jednostek produktu działu
i
należy
zużyć w dziale
j
, aby można było wyprodukować
jedną jednostkę produktu w tym dziale
a
ii
współczynnik wewnętrznego zużycia produkcji
- produkcji własnej działu
i
,
niezbędnej do wytworzenia jednostki produkcji globalnej w tym dziale
układ n równań poszczególnych gałęzi
produkcji
7
0
1
0
0
q
q
Q
n
j
j
a
q
Q
j
j
j
0
0
niezbędny nakład pracy potrzebny do uzyskania
jednostki produktu j,
j
j
j
Q
a
q
0
0
n
in
i
i
ii
i
i
i
i
Q
a
q
Q
a
Q
a
Q
a
Q
a
Q
...
...
3
3
2
2
1
1
8
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Q
a
q
Q
a
Q
a
Q
a
Q
Q
a
q
Q
a
Q
a
Q
a
Q
Q
a
q
Q
a
Q
a
Q
a
Q
Q
a
q
Q
a
Q
a
Q
a
Q
...
........
..........
..........
..........
..........
..........
...
...
...
3
3
2
2
1
1
3
3
3
33
2
32
1
31
3
2
2
3
23
2
22
1
21
2
1
1
3
13
2
12
1
11
1
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
q
Q
a
Q
a
Q
a
Q
a
q
Q
a
Q
a
Q
a
Q
a
q
Q
a
Q
a
Q
a
Q
a
q
Q
a
Q
a
Q
a
Q
a
)
1
(
...
.......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
...
)
1
(
...
)
1
(
...
)
1
(
3
3
2
2
1
1
3
3
3
33
2
32
1
31
2
2
3
23
2
22
1
21
1
1
3
13
2
12
1
11
Po przekształceniu:
macierz współczynników
9
)
1
(
...
...
...
...
...
...
...
)
1
(
...
)
1
(
...
)
1
(
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
nn
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
paradoks Leontiefa (1905-1999): amerykański
eksport jest pracochłonny, a import
kapitałochłonny
Q – wektor produkcji globalnej,
q - wektor produkcji finalnej,
A macierz technicznych współczynników produkcji
10
n
Q
Q
Q
Q
...
3
2
1
Q
n
q
q
q
q
...
3
2
1
q
nn
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
A
Zakładając, że praca jest jednorodna, a p to zasób
pracy, otrzymujemy:
11
p
Q
a
j
n
j
j
1
0
0
)
(
i
q
p
Q
0
a
q
Q
A
I
Dopuszczalny plan produkcji społecznej w gospodarce
nie prowadzącej wymiany z zagranicą:
Przy wymianie qi może być ujemne
Np. dla dwóch gałęzi:
12
p
Q
a
Q
a
q
Q
a
Q
a
q
Q
a
Q
a
2
02
1
01
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
)
1
(
)
1
(
Q
1
Q
2
(1)
(01)
(2)
(02)
(1)
(2)
(Q
1
, Q
2
)
(3)
(3)
układ równań opisujących przepływy
międzygałęziowe w gospodarce narodowej
13
q
LQ
q
Q
A
I
)
(
macierz jednostkowa o wymiarach n n.
I
model
Leontiewa
A
macierz produktywna
A)
I
(
L
macierz Leontiewa
TWIERDZENIE 1. Jeżeli macierz A jest produktywna, to macierz Leontiewa
(I-A) jest macierzą nieosobliwą
14
TWIERDZENIE 2. Jeżeli macierz A jest produktywna, to wszystkie
elementy macierzy
są nieujemne
1
)
(
A
I
q
A)
-
(I
Q
q
Q
A
I
-1
)
(
Model Leontiewa może być zapisany za pomocą
równania przyrostów bezwzględnych elementów
macierzy wartości globalnych i wartości
końcowych:
15
q
Q
A
I
)
(
Model Leontiewa
służy do wyznaczania,
prognozowania i symulacji macierzy
wartości produktu globalnego w
zależności od zmian produktu końcowego,
przy niezmienionych współczynnikach
kosztów.
16
q
A
I
Q
1
)
(
33
32
31
23
22
21
13
12
11
d
d
d
d
d
d
d
d
d
A
I
1
)
(
Macierz odwrotna do macierzy Leontiewa
17
32
22
12
1
0
1
0
)
(
d
d
d
q
Q
33
32
31
23
22
21
13
12
11
d
d
d
d
d
d
d
d
d
A
I
Np. następuje wzrost wartości produktu końcowego.
Wyznaczamy przyrost produktu globalnego :
Przyrost produktu końcowego drugiej gałęzi o
jednostkę, przy nie
zmienionych wartościach produktu pozostałych
gałęzi, powoduje wzrost produktu globalnego
wszystkich gałęzi o wartości z wektora d.
czyli zmiana o jeden wartości produktu końcowego
jednej z gałęzi, pociąga za sobą wzrost produktu
globalnego we wszystkich gałęziach, o wartości
odpowiadające współczynnikom w kolumnie
macierzy odwrotnej do macierzy Leontiewa,
odpowiadającej gałęzi, w której nastąpił
jednostkowy wzrost produktu końcowego.
18
pozwala na jednoznaczne wyznaczenie:
- produktów końcowych poszczególnych działów
przy założeniu, że zostały określone w planie
gospodarczym produkty globalne tych działów,
- produktów globalnych poszczególnych działów
przy założeniu, że zostały określone w planie
gospodarczym produkty końcowe tych działów.
19
q
A
I
Q
1
)
(
0
q
q
Q
A
I
)
(
Reasumując
• w planie produkcji obejmującym n
n
działów produkcji, mamy 2
2
n
n
niewiadomych, z których tylko
n
można
ustalić dowolnie, a wartości pozostałych
zmiennych wyznacza się jednoznacznie.
• w grę wchodzą tylko takie rozwiązania,
które nie pociągają za sobą większych
nakładów pracy niż dysponowany zasób
pracy .
20
Przykład 1.
Gospodarka składa się z 3 gałęzi i ma następującą
macierz przepływów gałęziowych (elementy
macierzy podane są w mln zł).
21
170
40
70
50
0
80
100
20
30
1. zinterpretuj elementy macierzy,
2. wyznacz koszty produkcji dla każdej gałęzi,
3. wyznacz wartości produkcji dla każdej gałęzi
Przykład 2.
przedsiębiorstwo składające się z trzech działów ma
następującą tablicę przepływów
międzygałęziowych. Wyznacz macierz
współczynników kosztów i współczynniki
materiałochłonności.
22
Q
q1
q2
q3
q
400
40
60
100
200
600
120
90
130
260
800
160
240
200
200
Przykład 3.
Zakład produkcyjny, pracujący na dwie zmiany ma
3 obrabiarki, na których wykonywane są 4 rodzaje
detali.
A – macierz 3x4 określa produkcję w ciągu 8 godzin
(1. zmiany).
B- macierz produkcji 2. zmiany.
Dzienna produkcja A+B;
c
ij
=a
ij
+b
ij
jest liczbą j-tych detali wykonywanych na
i-tej obrabiarce w ciągu dnia.
23
Przykład 4.
Przedsiębiorstwo budowlane prowadzi budowę
dwóch osiedli mieszkaniowych. Na każdym z osiedli
zaprojektowano 3 typy budynków. Macierz W
określa zestawy budynków w budowlanych
osiedlach. Do budowy każdego typu budynku używa
się 4 rodzajów elementów budowlanych. Opisuje to
macierz B. Macierz łącznych zapotrzebowań
przedsiębiorstwa na elementy budowlane dla dwóch
wznoszonych osiedli: Z=WxB
24
42
60
20
16
20
40
16
20
18
32
15
25
10
7
5
8
3
2
B
W
Analiza porównawcza dla
modelu nakładów i wyników
Leontiewa
• Jak będą się zmieniały wartości rozwiązań Q
względem produkcji końcowej q?
• Pochodne statyki porównawczej dla modelu
nakładów i wyników są pożyteczne jako
narzędzie planowania ekonomicznego,
ponieważ rozstrzygają następujący problem:
jak musimy zmienić docelową produkcję
n
gałęzi, jeśli cele planowania wyrażone w
q
zostały zrewidowane i jeśli chcemy
uwzględnić wszystkie bezpośrednie i
pośrednie zapotrzebowania występujące w
gospodarce tak,
aby nie występowały wąskie
gardła
.
25
jk
k
j
a
q
Q