Program przedmiotu 

“Opracowywanie danych w 

chemii”

1.

Wprowadzenie: przegląd rodzajów danych oraz 

metod ich opracowywania.

2.

Podstawowe pojęcia rachunku 

prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej.

3.

Podstawy analizy wyników pomiarów. Statystyczna 

weryfikacja hipotez. Analiza wariancji.

4.

Dopasowywanie modeli

a) Regresja liniowa pojedyncza i wielokrotna.
b) Regresja nieliniowa.
c) Analiza konfluentna.
d) Porównywanie modeli.
e) Metoda największej entropii.

5.

Analiza skupień: grupowanie podobnych obiektów.

6.

Analiza czynnikowa.

 

 

Literatura

• J. Czermiński i współautorzy, Metody 

statystyczne w doświadczalnictwie 

chemicznym. PWN, Warszawa.

• S. Brand, Analiza danych, PWN, Warszawa.

• A. Strzałkowski, A. Śliżyński, 

Matematyczne metody opracowywania 

wyników pomiarów, PWN, Warszawa.

• C. R. Rao, Modele liniowe statystyki 

matematycznej, PWN, Warszawa.

• R.G. Brereton, Chemometrics, Wiley.

• Sieber,Wild, Nonlinear regression, Wiley.

 

 

Pochodzenie danych

• Pomiar (np. pomiary 

fizykochemiczne)

• Obserwacja (np. zapis zmiany 

liczebności populacji na określonym 
terenie)

• Symulacja (np. symulacje dynamiki 

molekularnej ewolucji czasowej 
zespołów cząsteczek)

 

 

Metody analizy danych

• Analiza statystyczna (obliczanie średnich i 

rozrzutu, ocena wiarygodności pomiarów, 

ocena istotności różnic wielkości 

zmierzonych w różnych miejscach)

• Dopasowywanie modeli matematycznych 

do danych pomiarowych (np.analiza 

regresyjna i konfluentna)

• Analiza skupień (znajdowanie skupisk 

obiektów o podobnych cechach)

• Analiza czynnikowa (wyławianie czynników 

określających większość właściwości zbioru 

danych lub zjawiska)

 

 

Zastosowania

• Analiza statystyczna wyników pomiarów: 

chemia analityczna, chemia medyczna, 
technologia chemiczna.

• Dopasowywanie modeli: chemia fizyczna, 

chemia organiczna, krystalochemia i inne 
metody określania struktury cząsteczek, 
chemia teoretyczna, technologia chemiczna.

• Analiza skupień: analiza konformacyjna, 

QSAR.

• Analiza czynnikowa: QSAR, spektroskopia.

 

 

Rachunek 

prawdopodobieństwa

A – zdarzenie
E – przestrzeń wszystkich zdarzeń
P(A) – prawdopowobieństwo zdarzenia 

A; liczba nieujemna określająca 
częstość jego występowania.

P(E)=1
P(A+B)=P(A)+P(B) dla zdarzeń 

wykluczających się.

 

 

Prawdopodobieństwo 

warunkowe i niezależność 

zdarzeń

P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(AB)=P(A|B)P(B)

Zdarzenia A i B są niezależne jeżeli 

P(A|B)=P(A)
czyli
P(AB)=P(A)P(B)

 

 

Zmienne losowe i ich 

rozkłady

Zmienna losowa: liczba 

przyporządkowana zdarzeniu

Dystrybuanta:
F(x)=P(yx)
Gęstość prawdopodobieństwa:
f(x)=dP(x)/dx
Funkcja zmiennej losowej jest też 

zmienną losową.

 

 

 1         2         3       4        5    
    6

F(x)

x

0.5

1

Dystrybuanta liczby oczek na jednej ścianie kostki dla rzutów 
idealnie symetryczną kostką.

 

 

Momenty rozkładu









  



















n

1

i

i

i

n

1

i

i

i

x

x

P

x

H

)

x

(

H

E

x

x

P

x

})

x

({

E

 

 

 





   























dx

x

f

x

H

x

H

E

dx

x

xf

xˆ

}

x

{

E

Dla zmiennych 
ciągłych:

Jeżeli H(x)=(x-x

c

)

n

 to E{H(X)} nazywa się n-

tym momentem x względem c; jeżeli c=

      

to E 

jest n-tym momentem centralnym, 

n

({x}).

xˆ

 

 

Użyteczne momenty 

centralne

Wariancja

 

 

 

 



  



















dx

x

f

xˆ

x

x

x

2

2

2

Skrzywienie

 

 

 

 

 

 

 

  

  























dx

x

f

xˆ

x

x

1

x

x

x

3

3

2

/

3

2

3

Kurtoza

 

 

 

 

 

 

 

  

  

3

dx

x

f

xˆ

x

x

1

3

x

x

x

4

4

2
2

4



























 

 

Obliczanie momentów 

centralnych zbioru punktów













3

)

1

n

(

xˆ

x

)

1

n

(

xˆ

x

x

x

n

1

n

1

xˆ

x

1

n

1

x

n

1

xˆ

4

n

1

i

4

i

3

n

1

i

3

i

2

n

1

i

i

n

1

i

2

i

n

1

i

2

i

2

n

1

i

i

























































































 

 

Przykłady momentów 

centralnych paru rozkładów

 

 

x

f(x)

x

x

x

.

m

5

0

Wartość najbardziej prawdopodobna (modalna): x

m

: f’(x

m

)=0, 

f’’(x

m

)<0

Mediana: x

0.5

: P(x<x

0.5

)=0.5 

Wartość średnia: 

 











dx

x

xf

x

 

 

Mediana i kwantyle

1.0

0.5

0.2

x

0.5

x

0.2

x

F(x)

median
a

 

 











q

x

q

q

dx

x

f

x

F

x

0.9

 

 

Rozkład dwóch zmiennych i 

kowariancja

 

 









 









 











 

 

 

   

y

x

y

,

x

cov

y

,

x

y

,

x

cov

yˆ

y

xˆ

x

E

y

yˆ

y

E

x

xˆ

x

E

yˆ

y

E

xˆ

x

E

11

2

2

02

2

2

20

01

10



















































 

 

 

 

Sposoby przedstawiania rozkładów zmiennych 

losowych:

1. Wykresy liniowe (rozkłady jednowymiarowe).

2. Wykresy „rozproszone” (scatter plots) 

(dwuwymiarowe)

3. Histogramy

 

 

Rozkład normalny





























































































x

erf

,

;

x

F

2

x

exp

2

1

0

,

1

;

u

f

2

x

exp

2

1

,

;

x

f

2

2

2

U = zmienna 
stadardyzowana

 

 

Wielowymiarowy rozkład 

normalny

 



 





































x

A

x

2

1

exp

2

)

A

det(

)

x

(

f

)

x

,...,

x

,

x

(

f

T

2

/

n

n

2

1

 

 

Centralne twierdzenie 

graniczne

Jeżeli x jest zmienną losową o wartości 

średniej a i wariancji b

2

, to zmienna













n

1

i

i

n

x

lim

n

1

Ma rozkład normalny o wartości średniej a i 

wariancji b

2

/n.