Funkcja liniowa i wprost
proporcjonalność
Funkcja liniowa i wprost
proporcjonalność
Definicja funkcji liniowej
Funkcja liniowa
jest to taki rodzaj funkcji, której
wykresem jest linia prosta.
Dziedziną
funkcji liniowej jest zbiór liczb
rzeczywistych.
Wzór funkcji liniowej
Funkcje liniową opisuje się wzorem…
y = ax + b
…gdzie „a” określa kierunek funkcji, zaś „b”
miejsce przecięcia wykresu z osią Y.
Własności
Stałe
a, b
a, b mają swoje nazwy:
a
a nazywamy
współczynnikiem kierunkowym prostej
(współczynnikiem kątowym),
który decyduje o
nachyleniu wykresu do osi X,
b
b nazywamy
wyrazem wolnym (wyrazem stałym),
który wyznacza punkt przecięcia wykresu z osią Y.
Znajdowanie punktów na osiach X
i Y
Punkt na osi Y mamy podany we wzorze funkcji, jest to
współczynnik „b”. Punktem na osi X jest tzw. Miejsce
zerowe funkcji, wyznacza się je wzorem:
x= - b/a
Funkcja różnowartościowa
To funkcja, która dla dowolnych
dwóch różnych argumentów
przyjmuje różne wartości.
Funkcja
f: X
f: X
Y
Y jest
różnowartościowa wtedy i
tylko wtedy, gdy
x
x
1
1
≠ x
≠ x
2
2
→ f (x
→ f (x
1
1
) ≠ f (x
) ≠ f (x
2
2
)
)
Monotoniczność funkcji
Monotoniczność
jest to badanie, czy funkcja jest
rosnąca, malejąca czy stała.
Funkcja rosnąca
Funkcję liniową nazywamy
rosnącą
, jeżeli
a > 0
a > 0 czyli
wraz ze wzrostem
argumentów rośnie
wartość funkcji.
Funkcja malejąca
Funkcję liniową nazywamy
malejącą
, jeżeli
a < 0
a < 0
czyli wraz ze spadkiem
argumentów maleje
wartość funkcji.
Funkcja stała
Funkcja jest
funkcją stałą
,
jeżeli
a = 0
a = 0 czyli wraz ze
wzrostem argumentów
wartość funkcji nie ulega
zmianie (jest stała). Jej
wzór przyjmuje wówczas
postać
f (x) = b
f (x) = b
Funkcja niemalejąca i
nierosnąca
• Każda funkcja rosnąca jest
niemalejąca, a funkcja
malejąca jest nierosnąca.
• Niemalejąca, gdy
a
a jest
nieujemne.
• Nierosnąca, gdy
a
a jest
niedodatnie.
Miejsca zerowe
Jeżeli
a
a
≠ 0
≠ 0, to funkcja liniowa
jest funkcją
różnowartościową i posiada
jedno miejsce zerowe
(x
(x
0
0
, 0), gdzie x
, 0), gdzie x
0
0
= - a/b
= - a/b,
Jeżeli funkcja f jest funkcją
stałą, to albo nie posiada
miejsc zerowych (
dla b ≠ 0),
dla b ≠ 0),
albo wszystkie jej argumenty
są miejscami zerowymi
(dla b = 0).
(dla b = 0).
Zastosowanie funkcji liniowej
Jest wiele przykładów zastosowania funkcji w życiu. Jednym z nich
może być przykład dziennika lekcyjnego w szkole. Występuję
tam funkcja, gdyż każdemu uczniowi przyporządkowany jest
jeden numer z dziennika. Pomaga o nauczycielowi np.. W
szybkim odszukaniu danego ucznia w dzienniku.
Nr Imię
1
Marcin
2
Krystian
3
Rafał
4
Marek
Zastosowanie funkcji liniowej
Funkcja liniowa jest też pomocna w przedstawieniu kursów na
giełdzie w postaci wykresów. Możemy np.. Odczytać z nich
jakie są kursy walut, wycenić produkty dzięki krzywym
podaży i popytu, wzrosty i upadki wartości akcji.
Proporcjonalność prosta
To taka zależność między dwiema zmiennymi wielkościami, w
której iloraz tych wielkości jest stały. Prowadzi to do wzoru:
y=kx
…pozwalającego wyliczyć jedną z nich w zależności od
drugiej. Mówimy, że obie wielkości są wprost
proporcjonalne.
Przykłady
• W ruchu ze stałą prędkością przebyta droga jest wprost
proporcjonalna do czasu jazdy.
• Cena towaru kupowanego na wagę jest wprost
proporcjonalna do tej wagi.
• W spadku swobodnym (bez oporu powietrza) prędkość
spadającego ciała jest wprost proporcjonalna do czasu
spadania.
• Przy ustalonej stawce podatku jego wartość jest wprost
proporcjonalna do kwoty, która podlega opodatkowaniu.
Autor:
Kasia Koszyczarska