1

Projektowanie betonów 

Projektowanie betonów 

zwykłych

zwykłych

Dr hab. inż. Krzysztof Zieliński

2

Celem projektowania

 jest ustalenie 

składu jakościowego i ilościowego mieszanki 
betonowej (cementu, kruszyw, wody oraz 
dodatków lub domieszek) zapewniającego 
otrzymanie założonej konsystencji mieszanki 
oraz założonej wytrzymałości na ściskanie 
stwardniałego betonu.

3

Projektowanie mieszanki betonowej 

odbywa się w trzech etapach:

1.Opracowanie danych wejściowych

 

(określić klasę ekspozycji betonu, wstępnie przyjąć 
maksymalną średnicę ziarn kruszywa, konsystencję 
mieszanki betonowej oraz sposób jej podawania i 
zagęszczenia, ustalić sposób przygotowania 
mieszanki betonowej, wstępnie przyjąć klasę i 
odmianę cementu, ustalić miejsca poboru wody)

2. Projektowanie mieszanki betonowej

 

(wybrać rodzaj cementu, kruszyw, dodatków i 
domieszek oraz ich producenta i dostawcę, 
sprawdzić atesty lub świadectwa zgodności, zebrać 
informacje od dotychczasowych odbiorców 
omawianych materiałów dotyczące ich jakości)

4

3. Weryfikacja na poziomie 
laboratoryjnym 
    i praktycznym receptury betonu.

 

(badanie
    mieszanki betonowej oraz stwardniałego betonu,
    uwzględnienie faktycznej wilgotności kruszywa, 
ustalenie
    objętości pojedynczego wsadu do betoniarki, 
przyjęcie
    procedury pobierania próbek i badania bieżącej 
jakości
    mieszanki)

5

Metody projektowania betonu 
można podzielić na trzy grupy: 

Pierwsza historycznie najstarsza jest grupa metod 
analitycznych (m.in. metody Paszowskiego 
pojedynczego 
i podwójnego otulenia),

Druga grupa metod to metody doświadczalne (m.in. 
metoda iteracji kruszyw i zaczynu), 

Trzecia grupa to metody hybrydowe, tzn. metody 
łączące cechy metod analitycznych i doświadczalnych 
(np. metoda punktu piaskowego)

6

Metoda punktu piaskowego

Punktem piaskowym kruszywa nazywamy 
procentową zawartość w nim frakcji piaskowych 
kruszywa drobnego (od 0 do 2 mm)

Wartość punktu piaskowego mieszanki kruszyw 
użytych do wykonania mieszanki betonowej zależy od: 

- planowanej konsystencji, 

- klasy użytego cementu, 

- ilości zaprawy w jednostce objętości mieszanki,

- stosunku wody do cementu (W/C). 

Niezależnie od podanych wyżej warunków, wartość 
punktu piaskowego zasadniczo powinna się zawierać 
w przedziale 30–50% (w praktyce 35

–

45%). 

7

Klasa

beton

u

Klasa

cement

u

Zawartość zaprawy (l/m

3

) w mieszance betonowej

480

540

600

K1

K2

K3

K1

K2

K3

K1

K2

K3

C8/10

32,5

–

–

34,0

–

–

41,0

–

–

47,

0

C12/1

5

32,5
42,5

37,0
37,5

34,0
35,0

32,0
33,5

43,0
44,0

41,0
42,0

39,0
40,0

49,5
50,0

47,0
48,0

45,

0

47,

0

C16/2

0

32,5
42,5

52,5

35,0
36,0

37,0

32,0
34,0

35,0

29,5
32,0

33,0

42,0
43,0

44,0

39,0
40,5

41,5

36,5
38,5

39,5

48,0
49,0

50,0

45,0
47,0

48,0

43,

0

45,

0

46,

0

C20/2

5

32,5
42,5
52,5

31,0
33,5
35,0

26,0
31,0
32,0

22,0
26,5
29,0

37,5
40,0
41,5

33,0
38,0
38,5

29,0
33,0
36,0

44,0
46,5
48,0

39,0
44,0
45,0

35,

0

39,

5

42,

5

Zalecane wartości punktu 
piaskowego 
w mieszance kruszywa do betonu 
(%)

 

8

1)

















5

,

0

W

C

A

f

1

cm

2)

ż

p

c

w

Ż

w

P

w

C

W













3)

1000

W

Ż

P

C

ż

p

c















4)

ż

i

i

p

P

P

P

P

P

Ż







(równanie charakterystyczne metody)

(równanie wytrzymałości)

(równanie ciekłości)

(równanie objętości)

Cztery niewiadome:

 

cement (C), kruszywo grube (Ż), drobne (P) woda (W). 

9

dla P

i

 = 35%  →  

3

35

35

98

P

Ż







 

= 1,97

3

40

40

98

P

Ż







dla P

i

 = 45%  →  

3

45

45

98

P

Ż







 

= 1,26

dla P

i

 = 40%  →  

= 1,57

Należy przyjąć minimum trzy wartości wypadkowego 
punktu piaskowego dla mieszanki piasku i żwiru. 

Np: P

p

=98%, P

ż

=3%

10

Na pierwszym etapie projektowania należy określić 
doświadczalnie optymalną wartość stosunku 
wagowego kruszywa grubego (Ż) do drobnego (P). 

Cylinder pomiarowy, ubijak i miarka do odczytywania 
objętości, służące do oznaczania gęstości nasypowej w 
stanie zagęszczonym mieszanki kruszyw 

11

Wykonać badania gęstości nasypowej w stanie 
zagęszczonym dla obliczonych proporcji żwiru do 
piasku.

dla P

i

 = 35%  →  

nz

 = 1,76 kg/dm

3

dla P

i

 = 40%  →  

nz

 = 1,81 kg/dm

3

dla P

i

 = 45%  →  

nz

 = 1,71 kg/dm

3

Po podstawieniu do wzoru: 

nz

 / s obliczyć 

szczelność:

dla P

i

 = 35%  →  s

35

 = 0,664,

dla P

i

 = 40%  →  s

40

 = 0,683,

dla P

i

 = 45%  →  s

45

 = 0,645.

Czwarte, tzw. charakterystyczne równanie ma zatem 
postać:

= 1,57

P

Ż

12

Metoda Paszkowskiego podwójnego 
otulenia

Ziarna kruszywa grubego (żwiru) są otulone warstewką 
zaprawy o określonej grubości, natomiast tworzące 
zaprawę ziarna kruszywa drobnego (piasku) są otulone 
warstewką zaczynu cementowego

Graficzne przedstawienie metody Paszkowskiego – 
zmiana objętości kruszywa grubego w wyniku 
otulenia warstwą zaprawy: a) przed otuleniem, b) po 
otuleniu 

13

Frakcja

kruszyw

a (mm)

Przewidywana konsystencja mieszanki betonowej

wilgotna 

(K1)

gęstoplastyczn

a (K2)

plastyczna 

(K3)

półciekła 

(K4)

ciekła 

(K5)

przybliżona grubość otulającej warstewki zaprawy 

(mm)

0,5

0,75

1,0

1,5

2,0

2–4

4–8

8–16

16–31,5

1,59

1,27
1,12
1,06

1,95

1,37
1,19
1,09

2,37

1,59
1,27
1,13

3,38

1,95
1,42
1,20

4,63

2,37
1,59
1,27

Wskaźniki spulchnienia kruszywa grubego 
(żwiru, kruszywa łamanego) w zależności 
od oczekiwanej konsystencji mieszanki 
betonowej

 

14

Frakcja

kruszywa 

(mm)

Przewidywana konsystencja mieszanki betonowej

wilgotna 

(K1)

gęstoplastycz

na (K2)

plastyczna 

(K3)

półciekła 

(K4)

ciekła 

(K5)

przybliżona grubość otulającej warstewki zaczynu 

(mm)

30

40

50

60

70

0–0,125

0,125–

0,25

0,25–0,5

0,5–1

1–2

2,40
1,56
1,26

1,12
1,06

2,90
1,79
1,36

1,17
1,08

3,60
2,03
1,45

1,20
1,10

4,41
2,30
1,56

1,26
1,12

5,33
2,59
1,67

1,31
1,15

Wskaźniki spulchnienia kruszywa 
drobnego (piasku) w zależności od 
oczekiwanej konsystencji mieszanki 
betonowej

 

15

ż

p

c

w

Ż

w

P

w

C

W













(równanie 

ciekłości)

1

W

Ż

P

C

ż

p

c















(równanie objętości)

Ż = 

ż

nzż

m



z = 1 – 

ż

Ż



P = z

p

nzp

m





 

Cztery niewiadome: 

cement (C), kruszywo grube (Ż), drobne (P) woda 
(W).

 

1)

2)

3)

4)

16

Po zakończeniu obliczeń, aby otrzymać recepturę 

laboratoryjną na 1 m

3

, uzyskane ilości cementu, wody, 

piasku i żwiru należy przemnożyć przez 1000.

 
W omawianej metodzie nie występuje równanie 

wytrzymałości. Dlatego po zakończeniu obliczeń 
należy obliczyć stosunek C/W i korzystając ze wzoru 
Bolomeya, obliczyć: 

- 

f

cm

 – spodziewaną średnią wytrzymałość betonu na 

 ściskanie, 

-  

f

ck,cube

 – wytrzymałość charakterystyczną i 

spodziewaną

 klasę projektowanego betonu.

17

Metoda Paszkowskiego 
pojedynczego otulenia

 

Ziarna kruszywa grubego (żwiru) są otulone warstewką 
zaprawy o określonej grubości.
 
Grubość otulenia ziarn żwiru dobierana jest w 
zależności od:

- wymaganej konsystencji mieszanki betonowej,

- sposobu jej układania,

- sposobu jej zagęszczenia. 

Współczynnik spęcznienia żwiru (m

ż

) obliczamy w 

sposób analogiczny do omówionego przy metodzie 
podwójnego otulenia, korzystając ze wskaźników 
spulchnienia

 

18

1)

















5

,

0

W

C

A

f

1

cm

2)

ż

p

c

w

Ż

w

P

w

C

W













3)

1000

W

Ż

P

C

ż

p

c















4)

(równanie charakterystyczne metody)

(równanie wytrzymałości)

(równanie ciekłości)

(równanie objętości)

Ż =

 





ż

nzż

m

1000

Cztery niewiadome: 

cement (C), kruszywo grube (Ż), drobne (P) woda 
(W).

 

19

Metoda iteracji

Projektowanie składu mieszanki betonowej metodą 

iteracji składa się z dwóch etapów: 

1. Dobór kruszywa według kryterium maksymalnej 

szczelności. 

2. Określenie ilości wody i cementu potrzebnych do 

otrzymania wymaganej konsystencji i wytrzymałości 
na ściskanie (metodą doświadczalną, nazywaną 
metodą znanego zaczynu – Kuczyńskiego lub 
metodą analityczną, wykorzystując równania 
wytrzymałości, ciekłości i objętości).

20

Kolejność 

postępowania

Kolejne iteracje mieszanki kruszyw

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

Piasek (kg)

2

2

2

2

2

2

2

2

Żwir (kg)

1

2

2,5

3

2,5

2,5

2,5

2,5

Grys (kg)

–

–

–

–

1

2

2,5

3

Suma mas m (kg)

3

4

4,5

5

5,5

6,5

7

7,5

Objętość  (dm

3

)

1,85

2,37

2,632 2,941 3,039 3,476 3,704 3,989

Gęstość nasypowa 

kruszyw 



m / 





(kg/dm

3

)

1,62

1,69

1,71

1,70

1,81

1,87

1,89

1,88

Gęstość pozorna 

kruszyw  (kg/dm

3

)

2,65

2,65

2,65

2,65

2,65

2,65

2,65

2,65

Szczelność s = 

nz 

/ 

0,61

1

0,638

0,64

5

0,642 0,683 0,706

0,71

3

0,709

Przykład wypełnienia tabeli iteracji kruszyw

 

21

1)

















5

,

0

W

C

A

f

1

cm

2)

G

ż

p

c

w

G

w

Ż

w

P

w

C

W

















3)

1000

W

G

Ż

P

C

G

ż

p

c



















4)

(równanie wytrzymałości)

(równanie ciekłości)

(równanie objętości)

Pięć niewiadomych:

 

cement (C), kruszywo łamane (G), grube (Ż), drobne (P) 
woda (W). 

5)

a

Ż

P



b

G

Ż



22

Optymalna szczelność stosu 

okruchowego przeznaczonego do 
wykonania mieszanki betonowej powinna 
być następująca:

s ≈ 0,8

 dla betonów zawierających małą ilość 

cementu 

       (C < 150 kg/m3),

s = 0,75–0,78

 dla betonów zawierających 

przeciętną ilość

       cementu (C = 200–300 kg/m3),

s = 0,72–0,75

 dla betonów zawierających dużą 

ilość

       cementu (C > 300 kg/m3).

Optymalna szczelność mieszanki kruszyw do betonu 

zależy także od rodzaju użytego kruszywa (rzeczne, 
łamane) i od konsystencji mieszanki betonowej.

23

W przypadku uzyskania zbyt dużej szczelności stosu 
okruchowego należy ograniczyć udział kruszyw 
drobnych 
w mieszance lub zmienić ich rodzaj.

Wartość punktu piaskowego finalnej mieszanki 
kruszyw nie może być mniejsza niż 35 (30)%. Gdy 
jest za mała, należy ją zwiększyć (nawet kosztem 
zmniejszenia szczelności) przez dodanie kruszywa 
drobnego (piasku) 

Iterując kruszywa o różnej gęstości pozornej, 
wypadkową wartość gęstości należy obliczyć na 
podstawie wzoru średniej ważonej.