Wprowadzenie 

do ekonometrii 

i prognozowania 

(8)

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych na podstawie 

modeli ekonometrycznych

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych

W praktyce zarówno zmienna objaśniana jak i 

zmienne objaśniające mogą mieć charakter jakościowy, które 
mogą przyjmować skończoną liczbę wartości lub wariantów. 
Takie zmienne można wyrazić zawsze za pomocą pewnej 
liczny 

sztucznych zmiennych zero-jedynkowych

. 

Prezentowane dalej dwa modele 

probitowy 

i 

logitowy

, 

są oparte na 

sztucznych zmiennych zero-jedynkowych

, służą 

do opisywania sytuacji, w których decydent ma do wyboru 
dwie alternatywne decyzje, przy czym jednej z nich (dowolnie) 
przyporządkowuje wartość 

1

, a drugiej – 

0

. Takie modele 

można też wykorzystywać do opisywania częstości 
występowania (bądź nie) określonej własności wśród 
elementów badanej zbiorowości.

2

GK (WEiP(8) - 2014)

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

W praktyce często zarówno zmienna objaśniana jak i 

zmienne objaśniające mogą mieć charakter jakościowy. Mogą 
one przyjmować skończoną liczbę wartości objaśnianej, która 
może przyjmować skończoną liczbę wariantów. Takie zmienne 
można wyrazić zawsze za pomocą pewnej liczny 

sztucznych 

zmiennych zero-jedynkowych

. 

Prezentowany dalej liniowy model prawdopodobieństwa 

dla zmiennych zero-jedynkowych

, oparty na sztucznych 

zmiennych zero-jedynkowych, służy do opisywania sytuacji, w 
których decydent ma do wyboru dwie alternatywne decyzje, 
którym przyporządkowuje wartość 

1

, a drugiej – 

0

. Takie 

modele można też wykorzystywać do opisywania częstości 
występowania (bądź nie) określonej własności wśród 
elementów badanej zbiorowości.

3

GK (WEiP(7) - 2009

Model

. Niech będzie dana i-ta grupa decydentów o liczności 

n

i 

(i=1,2,…,r). 

Każdy z decydentów ma możliwość podjęcia lub 

odrzucenia określonej, tej samej dla wszystkich decydentów, 
decyzji. Zmienna opisująca działania decydenta jest zmienną 
zero-jedynkową (np. 

1 

– podjęcie decyzji, 

0

 – niepodjęcie 

decyzji). Przyjmuje się także, że decydenci przy podejmowaniu 
decyzji kierują się 

k 

czynnikami, których wartości tworzą 

k

-

elementowy wierszowy wektor 

x

i

 

wartości zmiennych 

objaśniających charakteryzujących podejmowaną decyzję. 
Niech 

y

i

 

decydentów spośród 

n

i

 

decydentów w 

i

-tej grupie 

podjęło decyzję. Bada się prawdopodobieństwo, z którym jest 
podejmowana rozważana decyzja. Przyjmuje się, że to 
prawdopodobieństwo 

p

i

, z którym jest podejmowana decyzja w 

i

-tej grupie decydentów, jest funkcją liniową zmiennych 

objaśniających, tj.





.

α

x

f

p

i

i

,

~ 

4

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Niech                oznacza współczynnik struktury z próby, tj. 
empiryczną  częstość,                     

z którą była podejmowana decyzja w i-tej grupie decydentów. 
Zakład się, że:

tj, że empiryczna częstość podejmowania decyzji jest 
obarczona pewnym błędem 



i

, różnym dla różnych grup 

decydentów. Stąd wynika, że liniowy model 
prawdopodobieństwa jest postaci

w którym estymacji podlegają parametry kombinacji liniowej, 
tj. elementy wektora kolumnowego 



.

,

...

~

,r

1,2,

i

,

ε

p

p

i

i

i







i

i

i

n

y

p 

5

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa





,

...

,

,r

1,2,

i

,

ε

α

x

f

p

i

i

i







O składniku losowym rozpatrywanego modelu zakłada się, że:



wartość oczekiwana składników losowych jest równa zeru, tj. 

E(



i

) = 0

, co oznacza, że współczynnik struktury z próby 

p

i

 

stanowi nieobciążone oszacowania prawdopodobieństwa     



składniki losowe nie są ze sobą skorelowane, tj. 

co oznacza, że składniki losowe nie są ze sobą związane 
zależnością liniową.
Przytoczone założenia są analogiczne do założeń dotyczących 
składników losowych klasycznego modelu ekonometrycznego, ale 
nie wyczerpują wszystkich założeń odnoszących się do 
składników losowych.

,

~

i

p





 

,

0

,ε

ε

cov

j

i

,r

1,2,

i,j

j;

i









...

6

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Ponieważ zmienna 

y

i

, wyrażająca liczbę decydentów 

należących do 

i

-tej grupy decydentów, którzy podjęli decyzję, ma 

rozkład dwumianowy, więc

Ponieważ            , więc

Ze względu na to, że    

zachodzi                    

 

 





,r.

1,2,

i

oraz

,

p

1

p

n

y

D

p

n

y

E

i

i

i

i

2

i

i

i

...

~

~

~









i

i

i

n

y

p 

 

 





,r.

1,2,

i

oraz

,

n

p

1

p

p

D

p

p

E

i

i

i

i

2

i

i

...

~

~

~









,

...

~

,r

1,2,

i

,

ε

p

p

i

i

i







7

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

 





.

,r

1,2,

i

,

n

p

1

p

ε

D

i

i

i

i

2

...

~

~







Oznacza to, że wariancje składników losowych dla  
poszczególnych grup decydentów są różne, zatem składniki 
losowe liniowego modelu prawdopodobieństwa są 
heteroskedastyczne, co rodzi określone konsekwencje przy 
estymacji parametrów strukturalnych tego modelu, który 
przyjmuje postać:

W zapisie macierzowym liniowy model prawdopodobieństwa 
przyjmuje postać:

gdzie:

p

 – 

n

-wymiarowy wektor kolumnowy empirycznych częstości 

podejmowania wyróżnionej decyzji,

X

 – 

(n 

 (k+1))-

wymiarowa macierz wartości zmiennych 

objaśniających (każdy wiersz macierzy dotyczy innej grupy 
decydentów podejmujących decyzję),



 - 

(k+1)

-wymiarowy wektor kolumnowy parametrów 

strukturalnych modelu,



 - 

n

-wymiarowy wektor kolumnowy składników losowych.

.

k

0,1,2,...,

j

    

;

r

1,2,...,

i

,

ε

α

x

p

i

ij

i

j









8

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

,

ε

Xα

p





Ze względu na heteroskedastyczność składników 

losowych, estymacja parametrów strukturalnych liniowego 
modelu prawdopodobieństwa jest dokonywana za pomocą 

UMNK

 

(Uogólnionej Metody Najmniejszych Kwadratów) 

po 

zastosowaniu, której otrzymuje się następujący wektor 
oszacowań

W rozpatrywanym przypadku macierz 



 jest postaci:





.

p

Ω

X

X

Ω

X

a

1

T

1

1

T

















.

~

~

...

...

...

...

...

~

~



































r

r

r

1

1

1

n

p

1

p

0

0

n

p

1

p

Ω

9

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Ze względu na to, że macierz 



  jest macierzą 

diagonalną, 

Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów 

redukuje się do 

Ważonej Metody Najmniejszych Kwadratów 

(WMNK)

. W takim przypadku elementy diagonalne pełnią rolę 

wag niwelujących efekt heteroskedastyczności składnika 
losowego.

Ponieważ nie są znane prawdopodobieństwa      , więc 

nie jest możliwe wyznaczenie wartości elementów macierzy 



 . 

W praktyce korzysta się z oszacowań tego prawdopodobieństwa, 
które można uzyskać na dwa sposoby:

sposób 1

 – za oszacowanie prawdopodobieństw      przyjmuje się 

częstości empiryczne 

p

i

, co daje macierz 



  postaci: 

W tym przypadku parametry liniowego modelu 
prawdopodobieństwa szacuje się za pomocą 

UMNK

 z zależności:

i

p

~

10

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

i

p

~









.

n

p

1

p

...

0

...

...

...

0

...

n

p

1

p

Ω

r

r

r

1

1

1



































(

)

-1

T

T

-1

a= X

X X

p,

W

W

- 1

sposób 2

  – do budowy macierzy 



  wykorzystuje się 

wartości 

teoretyczne liniowego modelu prawdopodobieństwa

 (

tylko, gdy 

wszystkie z nich należą do przedziału [0,1

]

) oszacowane za 

pomocą KMNK z modelu liniowego:

gdzie

co daje macierz 



  postaci:









,

p

X

X

X

a

T

1

T

KMNK





(

)

(

)

KMNK

KMNK

ˆp

Xa

,

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

KMNK

KMNK

1

1

1

KMNK

KMNK

KMNK

r

r

r

ˆ

ˆ

p

1 p

...

0

n

...

Ω

...

...

...

.

ˆ

ˆ

p

1 p

0

...

n

�

�

-

�

�

�

�

�

�

=�

�

�

�

-

�

�

�

�

�

�

11

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

W tym przypadku parametry liniowego modelu 
prawdopodobieństwa szacuje się  z zależności:

W jednym i w drugim przypadku teoretyczne prawdopodobieństw 
są elementami wektora

Poważnym mankamentem rozpatrywanego 
modelu jest to, że wartości teoretyczne 
prawdopodobieństw mogą przyjmować wartości 
spoza przedziału [0,1]. Tego mankamentu są 
pozbawione modele 

probitowe

 i 

logitow

e.

(

)

1

T

1

T

1

KMNK

KMNK

a

XΩ

X

X Ω

p.

-

-

-

=

.

Xa

p

ˆ 

12

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Przykład.

 Przebadano 200 gospodarstw domowych w celu 

zebrania danych dotyczących dochodu w gospodarstwie oraz 
zakupu sprzętu AGD. Materiał badawczy zgrupowano w tabeli:

Lp.

Średni 

dochód 

[tys. zł.]

Liczba 

badanych 

gospodarstw 

domowych

Liczba rodzin 

kupujących 

sprzęt AGD

1

3,0

10

1

2

4,0

20

6

3

5,0

30

18

4

6,0

35

23

5

7,0

40

28

6

8,0

30

22

7

9,0

25

22

8

10,0

10

9

13

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Przyjmując, że zależność pomiędzy prawdopodobieństwem 
zakupu sprzętu AGD a średnim dochodem gospodarstwa 
domowego jest opisana za pomocą liniowego modelu 
prawdopodobieństwa, oszacować jego parametry strukturalne.

Rozwiązanie. 

Na podstawie danych zawartych w tabeli obliczono 

częstotliwości zakupu sprzętu AGD, jako oszacowania 
prawdopodobieństwa zakupu tego sprzętu.

L
p

.

Średni dochód 

[tys. zł.]

Liczba 

badanych 

gospodarstw 

domowych

Liczba rodzin 

kupujących 

sprzęt AGD

Częstość 
zakupów

1

3,0

10

1

0,10

2

4,0

20

6

0,30

3

5,0

30

18

0,60

4

6,0

35

23

0,66

5

7,0

40

28

0,70

6

8,0

30

22

0,73

7

9,0

25

22

0,88

8

10,0

10

9

0,90

14

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Przyjmuje się, że rozpatrywany dalej liniowy model 
prawdopodobieństwa jest postaci:

gdzie zmienna objaśniająca 

x

 oznacza średni dochód w 

gospodarstwie domowym. 

Do oszacowania parametrów strukturalnych tego modelu, 

ze względu na heteroskedastyczność składnika losowego, 
zostanie wykorzystana 

Uogólniona Metoda Najmniejszych 

Kwadratów (UMNK)

, która daje następującą zależność do 

wyznaczania oszacowań parametrów strukturalnych modelu:

ε

x

α

α

p

1

0











.

p

Ω

X

X

Ω

X

a

1

T

1

1

T









15

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Przyjmuje się, że oszacowanie elementów macierzy 



  

niwelującej efekt heteroskedastyczności składnika losowego 
zostanie oparte na teoretycznych wartościach 
prawdopodobieństw uzyskanych z liniowego modelu 
prawdopodobieństwa, w którym parametry strukturalne zostały 
oszacowane za pomocą KMNK, tj:

Oszacowania parametrów strukturalnych liniowego 

modelu prawdopodobieństwa za pomocą KMNK:









.

Xa

p

ˆ

KMNK

KMNK











.

0,10631

0,08226

p

X

X

X

a

T

1

T

KMNK



















16

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Teoretyczne wartości prawdopodobieństw (zmiennej objaśnianej 
modelu):









.

0,9808

0,8745

0,7682

0,6619

0,5556

0,4493

0,3430

0,2367

Xa

p

ˆ

KMNK

KMNK

























































17

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Elementy macierzy 



 :

oraz cała macierz 



 :













,r

1,2,

i

,

n

p

1

p

i

KMNK

i

KMNK

i

i

...

ˆ

ˆ









 =

0,0180

67

0

0

0

0

0

0

0

0

0,011268

0

0

0

0

0

0

0

0

0,008248

0

0

0

0

0

0

0

0

0,007055

0

0

0

0

0

0

0

0

0,005595

0

0

0

0

0

0

0

0

0,005936

0

0

0

0

0

0

0

0

0,00439

0

0

0

0

0

0

0

0

0,001883

18

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Elementy macierzy 



--1

 :

55,348

58

0

0

0

0

0

0

0

0

88,7504

4

0

0

0

0

0

0

0

0

121,246

7

0

0

0

0

0

0

0

0

141,752

8

0

0

0

0

0

0

0

0

178,740

3

0

0

0

0

0

0

0

0

168,474

2

0

0

0

0

0

0

0

0

227,79

1

0

0

0

0

0

0

0

0

531,029

1

19

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Wektor a ocen parametrów strukturalnych modelu i ostateczna 
postać modelu:

Teoretyczne wartości prawdopodobieństw i reszty modelu:





.

0,0884

0,0461

p

Ω

X

X

Ω

X

a

1

T

1

1

T























e

0,0884X

0,0461

p







Lp.

Średni 

dochód 

[tys. zł.]

Prawdopodobieńst

wa (wartości 

empiryczne)

Prawdopodobień

stwa (wartości 

teoretyczne)

Reszty 

modelu

1

3,0

0,10

0,3113

-0,2113

2

4,0

0,30

0,3997

-0,0997

3

5,0

0,60

0,4881

0,1119

4

6,0

0,66

0,5765

0,0835

5

7,0

0,70

0,6649

0,0351

6

8,0

0,73

0,7533

-0,0233

7

9,0

0,88

0,8417

0,0383

8

10,0

0,90

0,9301

-0,0301

20

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Prognozowane wartości prawdopodobieństwa zakupu sprzętu 
AGD w gospodarstwach domowych w zależności od ich średniego 
dochodu:



Lp.

Średni 

dochód 

[tys. zł.]

Prawdopodobie

ństwa (wartości 

prognozowane)

1

0,5

0,0903

2

2,0

0,2229

3

11,0

1,0185

4

12,0

1,1069

21

GK (WEiP(7) - 2009

Prognozowanie zjawisk 

jakościowych  

liniowy model 

prawdopodobieństwa

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

Modele

 

probitowe

 

są jednym ze sposobów modelowania 

zmiennej objaśnianej, która może przyjmować skończoną 
liczbę wariantów. 

Rozpatruje się przypadek, gdy zmienna objaśniana jest 

zmienna jakościową przyjmującą dwa warianty, natomiast 
zmienne objaśniające nie są zmiennymi jakościowymi. W tym 
przypadku wykorzystuje się sztuczną zero-jedynkową zmienną 
objaśniającą 

Y

,

 

przyjmującą wartości 

1

 i 

0

, gdy: 

o następującym rozkładzie prawdopodobieństwa:

przy czym 

p

 oznacza prawdopodobieństwo przyjęcia przez 

zmienną objaśnianą wariantu oznaczonego wartością 

1

.









wystąpi,

nie

wariant

dany

jeżeli

wystąpi,

wariant

dany

jeżeli

0,

1,

Y









p.

1

q

0

Y

P

p,

1

Y

P













22

GK (WEiP(8) - 2014)

Jeżeli wystąpienie bądź niewystąpienie rozważanego 

wariantu zmiennej objaśniającej ma charakter losowy, można 
zbudować następujący model ekonometryczny wyznaczający 
wartość oczekiwaną zmiennej 

Y

:

gdzie:

 

X

1

,…,X

k

 

– zmienne objaśniające;

 



0

, 



1

,…, 



k

 

– parametry 

strukturalne modelu; 



 

- składnik losowy; 

F

 

– rosnąca funkcja 

kombinacji liniowej zmiennych objaśniających i składnika 
losowego.

W rozpatrywanym modelu wartość oczekiwana zmiennej 

objaśnianej 

Y

 

jest prawdopodobieństwem przyjęcia przez 

zmienną losową wyróżnionego wariantu.

W zależności od postaci funkcji 

F

 

rozróżnia się kilka 

rodzajów modeli spośród, których są najbardziej znane są 
modele 

probitowe

 

i

 

logitowe

.

 





ε

X

α

X

α

α

F

p

q

0

p

1

Y

E

k

k

1

1

0





















...

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

23

GK (WEiP(8) - 2014)

W modelu 

probitowym

 

funkcja

 

F

 

jest dystrybuantą 

standardyzowanego rozkładu normalnego 

N(0,1)

:

Wartości funkcji odwrotnej do 

(p)

  

tj. 

 

-1

(p)

 

nazywają się 

normitami

 

natomiast wartości

 

 

-1

(p) + 5

 

–

 

probitami (Pr)

, tj.

W modelach 

probitowych

 

najczęściej wykorzystywana jest 

zależność liniowa wiążąca zmienne objaśniające. W tym 
przypadku model przyjmuje postać:

Estymacja tego modelu musi uwzględniać fakt, że ze względu na 
specyfikę zmiennej 

Y

 i konstrukcję modelu, składnik losowy 



  

nie jest homoskedastyczny, zatem stosowanie KMNK daje 
niewłaściwe oszacowania parametrów strukturalnych modelu 
(

a

).





.

...

ε

X

α

X

α

α

Φ

p

k

k

1

1

0











 









5.

1

Y

P

Φ

5

p

Φ

Pr

1

1















ε.

X

α

X

α

α

Pr

k

k

1

1

0











...

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

24

GK (WEiP(8) - 2014)

Parametry strukturalne rozpatrywanego modelu są 

estymowane na ogół za pomocą 

Uogólnionej Metody 

Najmniejszych Kwadratów

. W takim przypadku wektor 

a

 

oszacowań parametrów strukturalnych dla modelu 

probitowego

 

wyznaczany jest z zależności:

gdzie:

          ,

a 

r

 

jest liczbą rozpatrywanych grup w modelu.





Pr

Ω

X

X

Ω

X

a

1

T

1

1

T









 

 

 















































































kr

2r

1r

k2

22

12

k1

21

11

k

1

0

r

2

1

x

x

x

1

x

x

x

1

x

x

x

1

X

,

α

α

α

α

,

p

Pr

p

Pr

p

Pr

Pr

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

25

GK (WEiP(8) - 2014)

Elementami wektora zmiennej objaśnianej 

Pr

 

(wektor 

probitów

) są zaobserwowane wartości 

probitów

, obliczone na 

podstawie danych empirycznych z zależności:

przy czym:

•n

i

 

– liczba obserwacji w 

i

-tej grupie,

•y

i

 

– liczba obserwacji w 

i

-tej grupie, dla których obserwowany 

wariant zmiennej objaśnianej wystąpił, tj. dla których

 

Y = 1

.

 

 

,r

1,2,

i

i

i

i

i

1

i

n

y

p

5,

p

Φ

p

Pr

...

,











Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

26

GK (WEiP(8) - 2014)

Macierz

 



  

jest macierzą diagonalną o następującej budowie:

w której na głównej przekątnej znajdują się oszacowane wartości 
wariancji składników losowych:

przy czym 

(x)

 

oznacza funkcję gęstości standaryzowanego 

rozkładu normalnego 

N(0,1)

.

Obliczenie 

ω

i

 wymaga znajomości prawdopodobieństw 

p

i 

 

zamiast, których najczęściej przyjmuje się znane częstości 
empiryczne.

,

...

...

...

...

...

...

...

...



























r

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Ω











 

,r

1,2,

i

,

p

n

p

1

p

ω

i

2

i

i

i

i

...









Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

27

GK (WEiP(8) - 2014)

Oszacowanie parametrów strukturalnych modelu pozwala 

na uzyskanie teoretycznych wartości 

probitów

, a następnie na ich 

podstawie – teoretycznych wartości prawdopodobieństw przyjęcia 
przez zmienną objaśnianą wyróżnionego wariantu. Teoretyczne 
wartości prawdopodobieństw otrzymuje się z zależności:

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

 

 

 





,r.

1,2,

i

,

5

r

P

Φ

p

Xa

p

r

P

p

r

P

p

r

P

r

P

i

i

r

2

1

...

ˆ

ˆ

ˆ

...

ˆ

ˆ

ˆ









































28

GK (WEiP(8) - 2014)

Przykład.

 Przebadano 

200

 gospodarstw domowych w celu 

zebrania danych dotyczących średniego dochodu w 
gospodarstwie i faktu zakupu sprzętu AGD. Materiał badawczy 
zgrupowano w tabeli:

Lp.

Średni dochód 

w 

gospodarstwie 

[tys. zł.]

Liczba 

badanych 

gospodarstw 

domowych

Liczba 

gospodarstw, w 

których 

zakupiono 

sprzęt AGD

1

3,0

10

1

2

4,0

20

6

3

5,0

30

18

4

6,0

35

23

5

7,0

40

28

6

8,0

30

22

7

9,0

25

22

8

10,0

10

9

Prognozowanie na podstawie 

modeli probi

towych

29

GK (WEiP(8) - 2014)

Przyjmując, że zależność pomiędzy prawdopodobieństwem 
zakupu sprzętu AGD a średnim dochodem gospodarstwa 
domowego 

X 

jest opisana za pomocą modelu 

probitowego

 

postaci:

oszacować jego parametry strukturalne i wyznaczyć prognozę 
dla następujących wartości zmiennej 

X

 w okresie prognozy: 

x

*

 

= {0.5, 2.0, 11.0, 12.0}

. 

Rozwiązanie. Na podstawie danych zawartych w tabeli 
obliczono częstości zakupu sprzętu AGD, jako oszacowanie 
prawdopodobieństwa zakupu tego sprzętu:

Lp.

Średni 

dochód 

[tys. zł.]

Liczba 

badanych 

gospodarstw 

domowych

Liczba rodzin 

kupujących 

sprzęt AGD

Częstość 
zakupów

1

3,0

10

1

0,10

2

4,0

20

6

0,30

3

5,0

30

18

0,60

4

6,0

35

23

0,66

5

7,0

40

28

0,70

6

8,0

30

22

0,73

7

9,0

25

22

0,88

8

10,0

10

9

0,90

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

ε

x

α

α

Pr

1

0







30

GK (WEiP(8) - 2014)

W celu oszacowania parametrów tego modelu obliczono probity 
postaci:

 

 

,r

1,2,

i

i

i

i

i

1

i

n

y

p

5,

p

Φ

p

Pr

...

,











Lp.

Średni 

dochód 

[tys. zł.]

Częstość 

zakupów

Probity

1

3,0

0,10

3,7184

2

4,0

0,30

4,4756

3

5,0

0,60

5,2533

4

6,0

0,66

5,4125

5

7,0

0,70

5,5244

6

8,0

0,73

5,6128

7

9,0

0,88

6,1750

8

10,0

0,90

6,2816

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

31

GK (WEiP(8) - 2014)

Ze względu na heteroskedastyczność składnika losowego 

, estymacja parametrów strukturalnych modelu zostanie 

przeprowadzona z wykorzystaniem Uogólnionej Metody 
Najmniejszych Kwadratów (UMNK), która korzysta z 
następującej macierzy 



, niwelującej skutki tej 

heteroskedastyczności:

Lp.

Często

ść 

zakup

ów

Wartości 

funkcji 

gęstości 

rozkładu 

normaln

ego

1

0,10

0,3970

2

0,30

0,3814

3

0,60

0,3332

4

0,66

0,3209

5

0,70

0,3123

6

0,73

0,3056

7

0,88

0,2709

8

0,90

0,2661

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

32

GK (WEiP(8) - 2014)

Elementy macierzy 



:

Po wykonaniu obliczeń macierz 



 przyjmie postać: 





 

.

...,r

1,2,

i

,

p

n

p

1

p

ω

i

2

i

i

i

i









0,1146

34

0

0

0

0

0

0

0

0

0,0774

58

0

0

0

0

0

0

0

0

0,0742

88

0

0

0

0

0

0

0

0

0,0685

06

0

0

0

0

0

0

0

0

0,0573

63

0

0

0

0

0

0

0

0

0,0635

56

0

0

0

0

0

0

0

0

0,0598

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0,0265

95

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

33

GK (WEiP(8) - 2014)

Macierz 



--1

:

8,723415

39

0

0

0

0

0

0

0

0

12,9102223

0

0

0

0

0

0

0

0

13,4611243

0

0

0

0

0

0

0

0

14,5972616

0

0

0

0

0

0

0

0

17,43284

0

0

0

0

0

0

0

0

15,7341557

0

0

0

0

0

0

0

0

16,7168171

0

0

0

0

0

0

0

0

37,6010528

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

34

GK (WEiP(8) - 2014)

Wektor a ocen parametrów strukturalnych modelu i 
ostateczna postać modelu:

Teoretyczne wartości probitów i reszty modelu:





.

0,3003

3,3643

Pr

Ω

X

X

Ω

X

a

1

T

1

1

T























.

e

0,3003x

3,3643

Pr







Lp.

Średni 

dochó

d [tys. 

zł.]

Probity 

(wartości 

empiryczn

e)

Probity

 

(wartości 

teoretyczne)

Reszt

y 

mode

lu

1

3,0

3,7184

4,2652

-

0,546

8

2

4,0

4,4756

4,5655

-

0,089

9

3

5,0

5,2533

4,8658

0,387

5

4

6,0

5,4125

5,1661

0,246

4

5

7,0

5,5244

5,4664

0,058

6

8,0

5,6128

5,7667

-

0,153

9

7

9,0

6,1750

6,0670

0,108

8

10,0

6,2816

6,3673

-

0,085

7

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

35

GK (WEiP(8) - 2014)

Prognozowane wartości prawdopodobieństwa zakupu 

sprzętu AGD w gospodarstwach domowych w zależności od ich 
średniego dochodu:



Lp.

Średni 

dochód 

[tys. zł.]

Probity 

(wartości 

prognozowa

ne)

Prawdopodobień

stwa        

(wartości 

prognozowane)

1

0,5

3,5145

0,0687

2

2,0

3,9649

0,1503

3

11,0

6,6676

0,9523

4

12,0

6,9679

0,9755

Prognozowanie na podstawie 

modeli probitowych

36

GK (WEiP(8) - 2014)

Model

 

logitowy

 

jest konstruowany podobnie do modelu 

probitowego

, ale w modelu

 

logitowym

 funkcja 

F

 

jest 

dystrybuantą rozkładu logistycznego, a model przyjmuje postać:

W tym przypadku funkcja odwrotna do funkcji 

F

 nosi nazwę 

logitu

 

i wyraża się zależnością:

a model przyjmuje postać:

Estymacja tego modelu musi uwzględniać fakt, że ze względu na 
specyfikę zmiennej objaśnianej i konstrukcję modelu składnik 
losowy 



 nie jest homoskedastyczny, zatem stosowanie KMNK 

daje niewłaściwe oszacowania 

a

 parametrów strukturalnych 

modelu.









.

ε

X

α

X

α

α

exp

1

ε

X

α

X

α

α

exp

p

k

k

1

1

0

k

k

1

1

0





















...

...

,

p

1

p

ln

L





ε.

X

α

X

α

α

L

k

k

1

1

0











...

Prognozowanie na podstawie

    

modeli logitowych

37

GK (WEiP(8) - 2014)

Parametry strukturalne rozpatrywanego modelu są 

estymowane na ogół za pomocą 

Uogólnionej Metody 

Najmniejszych Kwadratów

. W takim przypadku wektor 

a

 

oszacowań parametrów strukturalnych dla modelu 

logitowego

 

wyznaczany jest z zależności:

gdzie:

          ,

a

 

r

 

jest liczbą rozpatrywanych grup w modelu.





L

Ω

X

X

Ω

X

a

1

T

1

1

T









 

 

 















































































kr

2r

1r

k2

22

12

k1

21

11

k

1

0

r

2

1

x

x

x

1

x

x

x

1

x

x

x

1

X

,

α

α

α

α

,

p

L

p

L

p

L

L

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Prognozowanie na podstawie

    

modeli logitowych

38

GK (WEiP(8) - 2014)

Elementami wektora zmiennej objaśnianej 

L

 (wektor 

logitów

) są zaobserwowane wartości 

logitów

, obliczone na 

podstawie danych empirycznych z zależności:

przy czym:

•n

i

 

– liczba obserwacji w 

i

-tej grupie,

•y

i

 

– liczba obserwacji w 

i

-tej grupie, dla których obserwowane 

zjawisko wystąpiło, tj. dla których 

Y = 1

.

 

,r

1,2,

i

i

i

i

i

i

i

n

y

p

,

p

1

p

ln

p

L

...

,









Prognozowanie na podstawie

    

modeli logitowych

39

GK (WEiP(8) - 2014)

Macierz 



  

jest macierzą diagonalną o następującej budowie:

w której na głównej przekątnej znajdują się oszacowane wartości 
wariancji składników losowych:

Obliczenie 

ω

i

 wymaga znajomości prawdopodobieństw 

p

i 

 

zamiast, których najczęściej przyjmuje się znane częstości 
empiryczne.

,

...

...

...

...

...

...

...

...



























r

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Ω











.

...,r

1,2,

i

,

p

1

p

n

1

ω

i

i

i

i







Prognozowanie na podstawie

    

modeli logitowych

40

GK (WEiP(8) - 2014)

Oszacowanie parametrów strukturalnych modelu pozwala 

na uzyskanie teoretycznych wartości 

logitów

, a następnie na ich 

podstawie – teoretycznych wartości prawdopodobieństw przyjęcia 
przez zmienną objaśnianą wyróżnionego wariantu. Teoretyczne 
wartości prawdopodobieństw otrzymuje się z zależności:

 

 

 

 





.

,r

...

1,2,

i

,

p

Lˆ

exp

1

1

p

ˆ

Xa

p

Lˆ

...

p

Lˆ

p

Lˆ

Lˆ

i

i

r

2

1











































Prognozowanie na podstawie

    

modeli logitowych

41

GK (WEiP(8) - 2014)

Przykład.

 Dane do przykładu takie same jak w przykładzie dla 

modelu probitowego. Przyjmując, że zależność pomiędzy 
prawdopodobieństwem zakupu sprzętu AGD a średnim 
dochodem gospodarstwa domowego 

X

 jest opisana za pomocą 

modelu logitowego postaci:

oszacować jego parametry strukturalne i wyznaczyć prognozę 
dla następujących wartości zmiennej 

X

 w okresie prognozy: 

x

*

 

= {0.5, 2.0, 11.0, 12.0}

. 

Prognozowanie na podstawie 

modeli logitowych

ε

X

α

α

L

1

0







42

GK (WEiP(8) - 2014)

Rozwiązanie.

 Na podstawie danych zawartych w tabeli 

obliczono częstotliwości zakupu sprzętu AGD, jako 
oszacowania prawdopodobieństwa zakupu tego sprzętu:

Lp.

Średni 

dochód 

[tys. zł.]

Liczba 

badanych 

gospodarstw 

domowych

Liczba rodzin 

kupujących 

sprzęt AGD

Częstość 

zakupów

1

3,0

10

1

0,10

2

4,0

20

6

0,30

3

5,0

30

18

0,60

4

6,0

35

23

0,66

5

7,0

40

28

0,70

6

8,0

30

22

0,73

7

9,0

25

22

0,88

8

10,0

10

9

0,90

Prognozowanie na podstawie 

modeli logitowych

43

GK (WEiP(8) - 2014)

W celu oszacowania parametrów tego modelu obliczono

 logity

 

postaci:

Prognozowanie na podstawie 

modeli logitowych

 

,r

1,2,

i

i

i

i

i

i

i

n

y

p

,

p

1

p

ln

p

L

...

,









Lp

.

Średn

i 

dochó

d [tys. 

zł.]

Częstość 

zakupów

Logity

1

3,0

0,10

-2,1972

2

4,0

0,30

-0,8473

3

5,0

0,60

0,4055

4

6,0

0,66

0,6633

5

7,0

0,70

0,8473

6

8,0

0,73

0,9946

7

9,0

0,88

1,9924

8

10,0

0,90

2,1972

44

GK (WEiP(8) - 2014)

Ze względu na heteroskedastyczność składnika losowego 

 

estymacja parametrów strukturalnych zostanie 
przeprowadzona z wykorzystaniem Uogólnionej Metody 
Najmniejszych Kwadratów (UMNK), która opiera się na 
macierzy 



, niwelującej skutki tej heteroskedastyczności:

Elementy macierzy 



:

Po wykonaniu obliczeń macierz 

 

przyjmie postać: 

Prognozowanie na podstawie 

modeli logitowych





.

...,r

1,2,

i

,

p

1

p

n

1

ω

i

i

i

i







0,5534

86

0

0

0

0

0

0

0

0

0,22187

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0,13471

9

0

0

0

0

0

0

0

0

0,11571

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0,11171

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0,18719

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0,36446

6

0

0

0

0

0

0

0

0

5,31029

1

45

GK (WEiP(8) - 2014)

Macierz 



--1

:

Prognozowanie na podstawie 

modeli logitowych

1,806

73

0

0

0

0

0

0

0

0

4,5070

22

0

0

0

0

0

0

0

0

7,4228

58

0

0

0

0

0

0

0

0

8,6417

73

0

0

0

0

0

0

0

0

8,951

51

0

0

0

0

0

0

0

0

5,3420

52

0

0

0

0

0

0

0

0

2,743

74

0

0

0

0

0

0

0

0

0,1883

14

46

GK (WEiP(8) - 2014)

Wektor a ocen parametrów strukturalnych modelu i 
ostateczna postać modelu:

Teoretyczne wartości 

logitów

 i reszty modelu:

Prognozowanie na podstawie 

modeli logitowych





.

0,5014

2,596

L

Ω

X

X

Ω

X

a

1

T

1

1

T























.

e

0,5014X

2,596

L









Lp.

Średni 

dochó

d [tys. 

zł.]

Logity 

(wartości 

empiryczn

e)

Logity 

(wartości 

teoretyczne)

Reszt

y 

mode

lu

1

3,0

-2,1972

-1,0918

-

1,105

4

2

4,0

-0,8473

-0,5904

-

0,256

9

3

5,0

0,4055

-0,0890

0,494

5

4

6,0

0,6633

0,4124

0,250

9

5

7,0

0,8473

0,9138

-

0,066

5

6

8,0

0,9946

1,4152

-

0,420

6

7

9,0

1,9924

1,9166

0,075

8

8

10,0

2,1972

2,4180

-

0,220

8

47

GK (WEiP(8) - 2014)

Prognozowane wartości prawdopodobieństwa zakupu 

sprzętu AGD w gospodarstwach domowych w zależności od ich 
średniego dochodu:



Prognozowanie na podstawie 

modeli logitowych

Lp.

Średni 

dochód 

[tys. zł.]

Logity 

(wartości 

prognozowa

ne)

Prawdopodobień

stwa        

(wartości 

prognozowane)

1

0,5

-2,3453

0,0874

2

2,0

-1,5932

0,1689

3

11,0

2,9194

0,9488

4

12,0

3,4208

0,9683

48

GK (WEiP(8) - 2014)

Porównanie prognoz uzyskanych z modelu 

probitowego

 i 

modelu 

logitowego 

dla tych samych danych empirycznych:



Prognozowanie na podstawie

    

modeli probitowych i logitowych

Lp.

 

Średni 

dochó

d [tys. 

zł.]

 

Prawdopodobieństw

a        (wartości 

prognozowane wg 

modelu 

probitowego

)

 

Prawdopodobie

ństwa        

(wartości 

prognozowane 

wg modelu 

logitowego)

 

1

 

0,5

 

0,0687

 

0,0874

 

2

 

2,0

 

0,1503

 

0,1689

 

3

 

11,0

 

0,9523

 

0,9488

 

4

 

12,0

 

0,9755

 

0,9683

 

49

GK (WEiP(8) - 2014)