Napory na ściany proste
i zakrzywione
Napory na ściany proste
i zakrzywione
1. Napór na ścianę płaską
0
x
z
y
S
C
z
z
S
z
C
Należy wyznaczyć wektor naporu wypadkowego , to znaczy:
- moduł wektora naporu N
- kierunek naporu wypadkowego: jest zawsze prostopadły do ściany
- środek naporu (punkt przyłożenia)
(4)
(5)
(
)
, ,
C
C
C
C x y z
N
uur
Moduł wektora naporu N wyznaczamy ze wzoru (5) po podstawieniu
i obliczeniu całki po powierzchni A:
p
gz
r
=
gdzie:
(6)
,
A
s
s
A
zdA
z
zdA z A
A
=
�
=
�
�
poniewa
ż
stąd
Jeśli uwzględni się ciśnienie absolutne (np.
barometryczne) na powierzchni cieczy wówczas napór
przedstawia się następująco
Najczęściej po drugiej stronie ściany poddanej działaniu
naporu cieczy panuje ciśnienie barometryczne
równoważące ciśnienie działające na swobodną
powierzchnię cieczy – stąd człon związany z ciśnieniem
barometrycznym jest pomijany.
Moduł wektora naporu hydrostatycznego na ścianę płaską o dowolnym
konturze i dowolnym nachyleniu jest równy ciężarowi słupa cieczy,
którego podstawą jest zanurzona część ściany a wysokością głębokość
zanurzenia środka ciężkości. Z tego spostrzeżenia wynika
paradoks
hydrostatyczny Stevina
N
ghA
r
=
r
h
A
A
A
A
(7)
Środek naporu – punkt przyłożenia wektora naporu
Z równości momentu naporu N oraz sumy momentów
naporów elementarnych względem osi x wynika
(8)
po podstawieniu do definicji naporu
(9)
N
uur
otrzymamy
oraz po przekształceniu wzoru (8)
2
sin
sin
sin
sin
A
A
A
C
s
s
gzdA y
g y
dA y
g
y dA
y
N
g y
A
g y
A
r
r
a
r
a
r
a
r
a
=
=
=
�
�
�
Ostatecznie otrzymamy współrzędną środka naporu w postaci
(10)
C
y
gdzie:
I
x
–
M
x
–
Ponieważ ściana A może być dowolnie położona
względem osi x, dlatego momenty przyjmują różne
wartości w zależności od usytuowania ściany.
Dlatego stosuje się transformację równoległą
momentu bezwładności do momentu względem osi
przechodzącej ZAWSZE przez środek ciężkości ściany
S.
I
x0
–
otrzymamy
Z twierdzenia Steinera
(11)
stąd
(12)
Po podstawieniu
(13)
(14)
Po obustronnym pomnożeniu równania (14) przez otrzymamy
sina
(15)
Z zależności wynika, że środek naporu na ścianę pochyłą
lub pionową leży zawsze poniżej środka ciężkości ściany.
W przypadku ściany poziomej (=0) położenie środka
naporu pokrywa się z położeniem środka ciężkości
Dla ściany pionowej ( ) o kształcie
prostokątnym o szerokości b i wysokości h
90 ,sin
1
a
a
�
=
=
0
x
C
s
s
I
z
z
z A
= +
=
2
0
x
A
I
z dA
=
=
�
Wyznaczanie naporu metodą graficzną
Rozkład ciśnienia panującego na ścianie płaskiej
można przedstawić graficznie w postaci wykresu
ciśnienia, które zmienia się liniowo od 0 na
powierzchni swobodnej cieczy do p=gz na głębokości
z.
Napór hydrostatyczny N na ścianę płaską jest co do
wartości równy ciężarowi objętości V wykresu rozkładu
ciśnień zbudowanego na powierzchni A.
Napór wypadkowy przechodzi przez środek ciężkości
bryły wykresu rozkładu ciśnień, którego rzut na
powierzchnię A wyznacza środek naporu.
Przykład:
W przypadku ściany zakrzywionej wyznaczamy składowe poziome
i pionowe naporu.
Składowe poziome wyznaczamy jako napory na ściany płaskie
powstałe w wyniku rzutowania ściany zakrzywionej na płaszczyzny prostopadłe
do osi poziomych.
Składowa pionowa naporu jest równa ciężarowi cieczy zawartej
pomiędzy zakrzywioną powierzchnią, zwierciadłem cieczy i płaszczyznami
pionowymi ograniczającymi powierzchnię zakrzywioną.
3. Napór na ścianę zakrzywioną
Składowe poziome N
x
i N
y
są równe
Składowa pionowa N
z
jest równa
Napór wypadkowy obliczamy poprzez sumowanie
składowych wektorów
Kierunki działania wektorów naporu N
xy
i N obliczamy
zgodnie z
Metoda graficzna wyznaczanie naporu na ściany
zakrzywione
Środek naporu znajduje się w punkcie przecięcia linii
działania wektorów N
x
i N
z
.
Składowa pionowa liczona jest jako ciężar cieczy
znajdujący się ponad rozpatrywaną powierzchnią jeśli
nawet w tej objętości nie ma rozpatrywanej cieczy!
Mówimy wówczas o tzw. objętości pozornej.
Wypór hydrostatyczny. Prawo Archimedesa
dlatego składowa pozioma N
xy
=0 , natomiast składowa
pionowa
Różnica objętości V=V
1
-V
2
jest objętością ciała i
jednocześnie objętością cieczy wypartej przez to ciało.
Iloczyn jest ciężarem cieczy wypartej przez
ciało.
g V
r D
Wielkość tą nazywamy wyporem hydrostatycznym.
Znak „-” oznacza, że siła ta skierowana jest przeciwnie
do osi z.
Jeśli ciężar ciała wynosi G i działa na niego siła wyporu
wówczas ciężar pozorny ciała wynosi
Równowaga ciał zanurzonych
W zależności od wartości siły G w porównaniu z
wyporem W można przedstawić trzy przypadki:
1) Jeżeli ………. to siła wypadkowa wypiera ciało do
góry aż do osiągnięcia stanu równowagi tj. gdy wypór
zanurzonej części ciała zrówna się z jego ciężarem.
2) Jeżeli ……….. to ciało tonie.
3) Jeżeli ………… wówczas W=-gV jest równy ciężarowi
G=
c
gV
c ,
stąd
.
wynika z tego, że
- gdy
c
= to V
c
=V a zatem ciało pływa całkowicie
zanurzone;
- gdy
c
< to V
c
>V to ciało pływa wynurzając się
częściowo ponad powierzchnię swobodną cieczy.
Ściana w kształcie ćwiartki walca o promieniu R i tworzącej L.
(17)
Przykład 1
(16)
Z
C
C
x
C
(18)
Współrzędne środka naporu
2
3
C
z
R
=
4
0,4244
3
C
R
x
R
p
=
=
Przykład 2
Jaka musi być minimalna szerokość zapory o przekroju prostokątnym
aby nie przewróciła się pod działaniem siły naporu.
Dane: Obliczyć:
, ,
s
h
r r
min
b
Przykład 3
2
x
N
gR RL
r
=
2
1
2
z
N
g
R L
r
p
=
4
0,42
3
C
R
x
R
p
=
=
2
4
2
3
3
C
z
R
R
=
=
4
z
x
N
tg
N
p
a =
=
Ściana w kształcie połówki walca o promieniu R i tworzącej L.
Przykład 3
2
x
N
gR RL
r
=
2
1
2
z
N
gR L
pr
=
2
4
2
3
3
C
z
R
R
=
=
0,42
C
x
R
=
z
x
N
tg
N
a =
Przykład 4
Oblicz napory działające na półkuliste pokrywy
Dane:
, ,
R h H
Na pokrywy I i III działają tylko napory pionowe o wartościach
1
2
3
2
3
V
N
g R H
g R
r p
r p
=
-
(
)
2
3
2
3
III
V
N
g R H h
g R
r p
r p
=
+ +
Na pokrywę II działa napór o składowej poziomej równej
2
2
x
h
N
g R H
r p
�
�
=
+
�
�
�
�
3
2
3
II
Z
N
g R
r p
=
o składowej pionowej o wartości
Napór wypadkowy
a współrzędne środka naporu
3
8
II
C
x
R
=
(
)
(
)
4
2
2
2 4
2 4
II
s
C
s
s
I
h
R
h
R
z
z
H
H
z A
H h R
H h
p
p
= +
= + +
= + +
+
+
2
2
x
II
II
II
z
N
N
N
=
+