KONSTRUKCJE BETONOWE Semestr V , r .ak. 2004-2005

Podejścia przy określaniu nośności

przekrojów

w elementach zginanych

Podejścia przy analizie przekrojów zginanych

a) – ogólne, b) - uproszczone

Do sprawdzania SGN i wymiarowania żelbetowych

przekrojów w elementach zginanych można

wykorzystywać dwa podejścia:

1. Ogólne, 2. Uproszczone

Blok naprężeń w strefie ściskanej

Metoda uproszczona – założenia

Na podstawie stanu odkształcenia przekroju ustala się
wyłącznie graniczną
wysokość strefy ściskanej, która wynika z przyjęcia
granicznych odkształceń



= ε

cu3

[‰] w betonie oraz odkształceń



= w zbrojeniu

rozciąganym.

Uproszczenie – wykres prostokątny naprężeń w strefie ściskanej
o zasięgu efektywnym







Metoda uproszczona – założenia wg PN-EN

Uproszczenie – dla betonów zwykłych zasięg strefy
ściskanej
opisuje współczynnik λ, a stan naprężeń w skrajnym
włóknie - η

50MPa

dla

0,8





MPa

dla

400

50)

0.8









MPa

dla

1,0





MPa

dla

200

1,0









Betony wszystkich klas

Betony zwykłe klas do C50/60

Graniczny zasięg strefy ściskanej w

elemencie zginanym z betonu zwykłych klas













lim

ef,li















lim

W metodzie ogólnej

W metodzie uproszczonej
dla wszystkich betonów

W metodzie uproszczonej
dla betonów klas zwykłych

0035

lim













0035







Graniczny zasięg strefy ściskanej w betonach

zwykłych klas

UWAGA !

Przekroczenie w obliczeniach zasięgu ξ

eff,lim

oznacza belkę przezbrojoną, w której stal rozciągana nie

osiąga granicy plastyczności (ε

< ε

)

(jest to rozwiązanie nieekonomiczne).

lim

Używamy zapisu w postaci bezwymiarowej ξ

= x

















0035

lim



lim

ef,li

Zapis dla betonów zwykłych

w postaci bezwymiarowej

ef,lim

= x

eflimf

Przykład: dla stali gat. 34GS – f

= 350 MPa, E

= 200 000 MPa

eff,lim

= 0,530

dla stali gat. RB 500 – f

= 420 MPa, E

= 200 000 MPa

eff,lim

= 0,500

Beton zwykły - założenia metody

uproszczonej

Przekrój obciążony momentem zginającym obliczeniowym
M

pozostaje w równowadze pod działaniem

następujących sił wewnętrznych:

• wypadkowej naprężeń ściskających w betonie F

obliczanej na
podstawie prostokątnego wykresu naprężeń,
• wypadkowej F

naprężeń w zbrojeniu rozciąganym,

• wypadkowej F

naprężeń w zbrojeniu umieszczonym w

strefie
ściskanej,
• momentu wewnętrznego (nośności na zginanie) M

wynikającej
z działania pary sił: w strefie ściskanej i rozciąganej.

Równania równowagi dowolnego

przekroju zginanego, pojedynczo

zbrojonego













Suma rzutów sił na oś
podłużną

Suma momentów względem osi zbrojenia
rozciąganego

Suma momentów względem środka ciężkości
strefy ściskanej

gdzie:



cc,ef

Element o przekroju prostokątnym pojedynczo zbrojonym

Pod działaniem momentu zginającego przekrój pozostaje
w równowadze pod działaniem następujących sił wypadkowych

• Wypadkowej ciśnień w strefie ściskanej betonu F

F 

• Wypadkowej naprężeń rozciągających w zbrojeniu













lub

Przekrój prostokątny pojedynczo zbrojony

W przekroju prostokątnym o stałej szerokości b wypadkowa

bloku naprężeń w strefie ściskanej położona jest w środku

ciężkości bryły naprężeń w odległości





Natomiast ramię sił wewnętrznych zapisane jest wzorem



















Nośność przekroju prostokątnego

pojedynczo zbrojonego

Moment sił wewnętrznych wynikający z działania pary sił F

i F

, obliczony względem osi zbrojenia A

ma postać.

Moment oznacza nośność na zginanie

 





 















Moment sił wewnętrznych można też zapisać w postaci

























 



 



gdzie: S

cc,ef

– moment statyczny powierzchni strefy ściskanej względem środka zbrojenia

Równowaga przekroju prostokątnego

pojedynczo zbrojonego w elemencie

zginanym

Warunek sumy rzutów sił na oś podłużną
elementu



























lub

innej

postaci

Warunek równowagi momentów względem osi zbrojenia A























Nośność na zginanie przekroju

prostokątnego

pojedynczo zbrojonego

Moment sił wewnętrznych wynikający z działania pary sił F

i F

, obliczony względem osi zbrojenia A

można zapisać w

funkcji bezwymiarowej x

 





 















dbf



























 





 











Wykorzystując równanie równowago momentów otrzymujemy





















Obliczanie zbrojenia przekroju

prostokątnego pojedynczo

zbrojonego

Przyjmujemy wstępnie wymiary b x h przekroju zginanego
momentem o wartości obliczeniowej M

ed.

i zakładamy klasę

betonu i stali zbrojeniowej.
Obliczenia zbrojenia można być przeprowadzone analitycznie
Przekształcając

równanie

równowagi

momentów

można

obliczeniowo określić zasięg



strefy ściskanej











Po obliczeniu wartości



potrzebne pole przekroju zbrojenia rozciąganego A

można obliczyć z warunków równowagi sił na oś podłużną belki:







stąd































dbf



 Obliczanie zbrojenia przekroju

prostokątnego pojedynczo

zbrojonego

Pole zbrojenia można też wyznaczyć przekształcając równanie
równowagi momentów zewnętrznego i wewnętrznego

Pamiętając, że

stąd



























 

















Projektowanie przekroju prostokątnego

pojedynczo zbrojonego przy użyciu tablic

Stabelaryzowane funkcje

pomocnicze



eff

= x

eff

/d,



eff

= f(



eff

)

oraz



eff



eff

Ramię sił wewnętrznych z























 



Moment sił wewnętrznych





























 



 



Projektowanie zbrojenia przekroju

prostokątnego pojedynczo zbrojonego przy

użyciu tablic

Z równania równowagi momentów sił wewnętrznych





Możemy wyznaczyć współczynnik pomocniczy



eff







lub





Pole przekroju zbrojenia rozciąganego wynosi







lub

































 



 



Korekta wyniku obliczeń z uwagi

minimalny stopień zbrojenia

ctm

min



0013

min



gdzie: b – średnia szerokość strefy rozciąganej w elemencie,

d – wysokość użyteczna przekroju,
f

ctm

– średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie

– charakterystyczna granica plastyczności stali.

 Sprawdzanie nośności przekroju

zginanego

Nośność,  czyli  moment  sił  wewnętrznych  elementu  żelbetowego
określamy  w  celu  sprawdzenia,  czy  stan  graniczny  nośności  na
zginanie  nie  jest  przekroczony.  Znamy  wymiary  przekroju  b  x  h
oraz  pole  powierzchni  i  układ  zbrojenia  i  klasę  betonu  i  stali
zbrojeniowej (wartości  f

oraz f

Z tablicy ustalamy wartość współczynnika



,i określamy nośność na zginanie

Stan graniczny nośności sprawdzamy z warunku SGN:

Na podstawie równania równowagi sił określamy współczynnik tablicowy ξ









dbf









Korekta wyniku obliczeń

zbrojenia z uwagi na minimalny

stopień zbrojenia

ctm

min



0013

min



gdzie: b – średnia szerokość strefy rozciąganej w elemencie,

d – wysokość użyteczna przekroju,
f

ctm

– średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie

– charakterystyczna granica plastyczności stali.

Przekrój prostokątny podwójnie zbrojony

Równanie równowagi sił poziomych na oś podłużną elementu











Równowaga momentów względem osi zbrojenia rozciąganego











lim



 

jeżeli







lim











jeżeli

lim





Nośność elementu prostokątnego podwójnie zbrojonego

Z równania równowagi sił poziomych wyznaczamy zasięg strefy ściskanej











































Jeżeli

lim





Jeżeli

lim













lim













Nośność elementu prostokątnego podwójnie zbrojonego
- przypadek szczególny









Jeżeli

czyli





Nośność na zginanie wyznacza się zakładając,
że zasięg strefy ściskanej wynosi

czyli





Zatem nośność na ściskanie wynosi

Obliczanie zbrojenia w przekroju

prostokątnym wymagającym

dozbrojenia w strefie ściskanej

Dla zadanych wymiarów b x h przekroju prostokątnego
zginanego momentem o wartości obliczeniowej M

, zakładamy

klasę betonu i stali zbrojeniowej.

Stosujemy zasadę superpozycji schematów I i II

W schemacie I obliczamy maksymalny moment M

Rd,lim

przyjmując

lim















lim





lim





Jeżeli

Obliczanie zbrojenia w przekroju

prostokątnym wymagającym

dozbrojenia w strefie ściskanej

Stosujemy zasadę superpozycji schematów I i II

lim



















lim





Schemat I

Pole przekroju zbrojenia rozciąganego

Równowaga momentów

ΔM

Obliczanie zbrojenia w przekroju

prostokątnym wymagającym

dozbrojenia w strefie ściskanej

Schemat II

Nadwyżka momentu sił wewnętrznych

lim



















Pole przekroju zbrojenia ściskanego
A

równe zbrojeniu rozciąganemu w
schemacie II

Ostatecznie pole zbrojenia wynosi





ΔM

Przekroje o kształcie teowym

Zasady idealizacji
konstrukcji

Efektywną szerokość b

półki w belkach teowych można przyjmować

jako stałą na długości jednego przęsła. Szerokość tę wyznaczać należy

- w belkach teowych przy dwustronnym wysięgu płyty









gdzie l

- odległość między punktami wyznaczającymi miejsca zerowych

momentów na długości przęsła elementu.

Elementy zginane o przekroju w

kształcie teowym

Dwa przypadki pracy przekroju teowego

a) – przekrój pozornie teowy, b) – przekrój rzeczywiście teowy

x 

lub









x 









lub

Ustalenie przypadku pracy belki o

kształcie teowym

Określa się moment graniczny M

Rdp,ef

obliczony względem

osi zbrojenia rozciąganego przy









Rdp



 



Przekrój jest pozornie teowy, jeżeli spełniony jest warunek

Rdp



W przeciwnym przypadku występuje przekrój
rzeczywiście teowy.





 



 



Rdp











 Obliczanie zbrojenia przekroju

pozornie teowego pojedynczo

zbrojonego

Można wykorzystać tablice. Należy wstępnie obliczyć współczynnik wejściowy















Pole przekroju zbrojenia rozciąganego można obliczyć na dwa sposoby:







lub





lub





Nośność graniczną przekroju w schemacie „1” zapisujemy



 



 







Zbrojenie A

w schemacie „1” obliczamy z równania sumy rzutów wypadkowych

sił F

i F

s1,1

na oś podłużną belki.









 Obliczanie zbrojenia przekroju

rzeczywiście teowego









W schemacie „2” przekrój teowy jest obciążony różnicą momentów – zewnętrznego
i odpowiadającego nośności przekroju w schemacie „1”







Na podstawie współczynnika wejściowego



znajdujemy efektywny zasięg

strefy ściskanej



oraz współczynnik pomocniczy



tablicy

















Schemat 2

Przekrój rzeczywiście teowy oblicza się jako pojedynczo zbrojony, jeżeli

lim









Pole przekroju zbrojenia w schemacie 2 obliczymy
jak dla przekroju prostokątnego o szerokości b





lub





Ostatecznie pole zbrojenia rozciąganego otrzymujemy

Przekrój oblicza się jako podwójnie zbrojony, jeżeli

lim





Wstępnie można założyć, że
przekrój jest pozornie teowy









czyli

Na podstawie równania równowagi sił podłużnych otrzymamy zasięg
strefy ściskanej





Wyznaczanie nośności przekroju teowego





to nośność strefy ściskanej
wynosi











Jeżel
i







Oznacza to, że założenie było błędne
i przekrój
jest rzeczywiście teowy

Zasięg strefy ściskanej trzeba wyznaczyć
ponownie

















Wyznaczanie nośności przekroju teowego













Nośność strefy ściskanej z
zasady superpozycji
schematów 1 i 2 wynosi





Jeżel
i































Document Outline