Wykład MES
ALGORYTM ROZWIĄZANIA - PRZYKŁADY
ALGORYTM ROZWIĄZANIA - PRZYKŁADY
Wykład MES
ALGORYTM ROZWIĄZANIA - PRZYKŁADY
ALGORYTM ROZWIĄZANIA - PRZYKŁADY
ELEMENT SKOŃCZONY
węzeł
węzeł
Element skończony
Geometri
a
Podział na
elementy
K
ELEMENT SKOŃCZONY
Element skończony
– podobszar
oryginalnej geometrii
konstrukcji
o prostym kształcie
Właściwości mechaniczne elementu,
zależność pomiędzy przemieszczeniami i
obciążeniami, opisuje
macierz sztywności
Kształt elementu określany jest poprzez
podanie położenia charakterystycznych
punktów -
węzłów
ALGORYTM PROGRAMU MES
• Przedstawienie modelu ciągłego jako zbioru
elementów i połączeń
• Obliczenie macierzy sztywności elementów -
K
e
• Połączenie macierzy sztywności wszystkich
elementów w globalną macierz struktury -
K
• Utworzenie wektora obciążeń -
F
• Rozwiązanie równania macierzowego
K*u = F
względem przemieszczeń
u
• Obliczenie sił w elementach
• Obliczenie naprężeń i odkształceń w
elementach
MODEL
MATEMATYCZNY
k * u = F
k – sztywność
sprężyny u –
wydłużenie sprężyny
F – siła w sprężynie
F
u
k
MODEL
MATEMATYCZNY
1
2
1
2
1
2
F
u
u
k
F
u
u
k
2
1
2
1
F
F
u
u
k
k
k
k
F
U
K
macierz
sztywności
elementu
wektor
przemieszcze
ń węzłowych
wektor
obciążeń
węzłowyc
h
elemen
t
węzeł
węze
ł
k
u
2
u
1
F
2
F
1
PRZYKŁAD I – układ sprężyn
F
2
u
2
k
1
u
1
u
3
F
1
F
3
k
2
element I
węzeł
1
węzeł
2
węzeł
3
element
II
1
1
1
1
I
k
k
k
k
K
2
2
2
2
II
k
k
k
k
K
macierze
sztywnośc
i
elementó
w
PRZYKŁAD I – stopnie swobody
Każdy z 3 węzłów ma 1 możliwość ruchu –
przesunięcie w kierunku pionowym
Układ ma 3 niezależne możliwości
ruchu
Niezależne możliwości ruchu układu
nazywamy
stopniami swobody
Wymiar macierzy układu równy jest
liczbie stopni swobody
PRZYKŁAD I – macierz
sztywności
3
2
1
3
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
F
F
F
u
u
u
k
k
-
0
k
-
k
k
k
-
0
k
-
k
II
I
K
K
K
Wymiar macierzy układu równy jest 3
PRZYKŁAD I – rozwiązanie
układu
3
2
1
3
2
2
2
2
2
1
1
1
1
F
F
F
u
u
0
k
k
-
0
k
-
k
k
k
-
0
k
-
k
Z warunków zadania : u
1
= 0
1
3
2
2
k
F
F
u
2
1
3
2
2
3
1
3
k
k
F
F
k
F
k
u
PRZYKŁAD I – obliczenie reakcji
Z warunków zadania siła F
1
jest
reakcją
3
2
1
F
F
F
obliczenie sił w węzłach elementów
3
2
1
-
I
F
F
P
3
2
2
-
I
F
F
P
2
-
I
1
-
I
2
1
1
1
1
1
P
P
u
u
k
k
k
k
element I
węzeł
1
węzeł
2
P
I-1
P
I-2
k
1
Z pierwszego
równania:
PRZYKŁAD I – obliczenie sił
2
-
II
1
-
II
3
2
2
2
2
2
P
P
u
u
k
k
k
k
element
II
węzeł
2
węzeł
3
3
1
-
II
F
P
3
2
-
II
F
P
P
II-1
P
II-2
k
2
F
2
+F
3
element I
F
2
+F
3
k
1
element
II
F
3
k
2
F
3
PRZYKŁAD II – słup
L = 50 mm
L = 50 mm
A = 20 mm
2
E = 210000 N/mm
2
A = 50 mm
2
E = 210000 N/mm
2
F = 1000 N
Model ciągły
PRZYKŁAD II – słup model
dyskretny
element I
węzeł
1
węzeł
2
węzeł
3
element
II
u
2
u
1
u
3
Wybór elementu:
jednowymiarowy element prętowy z dwoma stopniami
swobody,
po jednym stopniu swobody w każdym węźle
F
2
F
1
F
3
PRZYKŁAD II – sztywność na
ściskanie
F
F
L
L
Prawo Hooke’a
E
σ
ε
odkształcenie
naprężenia
moduł Younga
L
ΔL
ε
A
F
σ
pole przekroju pręta
F
ΔL
L
A
E
Sztywność na ściskanie
PRZYKŁAD II – macierz sztywności
elementu
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
K
1000
84
84
84
84
K
I
1000
210
210
210
210
K
II
Ogólna postać macierzy sztywności elementu ściskanego
Wartości liczbowe macierzy sztywności obydwu
elementów
PRZYKŁAD II – macierz sztywności
układu
Globalna macierz sztywności
jest sumą macierzy sztywności
elementów
z uwzględnieniem numeracji stopni
swobody
3
2
1
3
2
1
F
F
F
u
u
u
210
210
-
0
210
-
210
84
84
-
0
84
-
84
1000
II
I
K
K
K
Wymiar macierzy układu równy jest 3
PRZYKŁAD II – rozwiązanie układu
równań
Z warunków
zadania :
u
3
=
0 siła F
3
jest
reakcją
F
1
=
1000
F
2
= 0
3
2
1
F
0
1000
0
u
u
210
210
-
0
210
-
210
84
84
-
0
84
-
84
1000
[mm]
0.0167
u
1
[mm]
0.0047
u
2
PRZYKŁAD II – obliczenie reakcji
Z trzeciego równania
układu :
F
3
=
-1000*210*u
2
F
3
= -1000
[N]
obliczenie sił w węzłach elementów
2
-
I
1
-
I
2
1
P
P
u
u
84
84
84
84
1000
element I
węzeł
1
węzeł
2
[N]
1000
P
1
-
I
[N]
1000
P
2
-
I
P
I-1
P
I-2
PRZYKŁAD II – obliczenie sił
2
-
II
1
-
II
2
P
P
0
u
210
210
210
210
1000
element
II
węzeł
2
węzeł
3
[N]
1000
P
1
-
II
[N]
1000
P
2
-
II
P
II-1
P
II-2
element I
1000
1000
element
II
1000
1000
PRZYKŁAD II – obliczenie
naprężeń
L
)
u
(u
L
ΔL
ε
1
2
I
I
I
0.00024
ε
I
L
)
u
(u
L
ΔL
ε
2
3
II
II
II
0.000095
ε
II
I
I
ε
E
σ
]
2
I
[N/mm
-50
σ
II
II
ε
E
σ
]
2
II
[N/mm
-20
σ
I
2
I
I
A
P
σ
II
2
II
II
A
P
σ
PRZYKŁAD III – słup
L = 50 mm
L = 50 mm
A = 20 mm
2
E = 210000 N/mm
2
A = 50 mm
2
E = 210000 N/mm
2
F = 1000 N
Model ciągły
PRZYKŁAD III – rozwiązanie układu
równań
Z warunków
zadania :
u
1
=
0 siły F
1
i F
3
są
reakcjami
F
2
=
1000
3
1
2
F
1000
F
0
u
0
210
210
-
0
210
-
210
84
84
-
0
84
-
84
1000
[mm]
0.0034
u
2
u
3
=
0
PRZYKŁAD III – obliczenie reakcji
Z trzeciego równania
układu :
F
1
= -1000*84*u
2
F
1
= -285.715
[N]
F
3
=
-1000*210*u
2
F
3
= -714.285
[N]
element I
285
285
element
II
715
715