Metody numeryczne
szukanie pierwiastka metodą
stycznych
Dawid Rasała
Metody numeryczne
szukanie pierwiastka metodą
stycznych
Dawid Rasała
Metoda stycznych (Newtona) opiera się na następującej zasadzie:
dla danego przybliżenia początkowego x
0
tworzy się ciąg x
1
, x
2
, …
Element x
n+1
wyznaczamy aproksymując funkcję f(x) styczną do jej
wykresu w punkcie (x
n
, f(x
n
)) i wybierając x
n+1
jako odciętą punktu
przecięcia tej stycznej z osią x. Dlatego do wyznaczenia x
n+1
służy
równanie:
f(x
n
) + (x
n+1
- x
n
)f’(x
n
) = 0
Metoda stycznych
Metody numeryczne
Dawid Rasała
Metodę Newtona określa następujący wzór iteracyjny:
x
n+1
= x
n
+ h
n
gdzie h
n
= -f(x
n
)/f’(x
n
)
Metoda stycznych
Metody numeryczne
Dawid Rasała
1. Sprawdzamy, czy w punkcie x0 funkcja spełnia warunek:
f’(x
0
) f’’(x
0
) > 0
2. Obliczamy kolejną iterację z wcześniej podanego wzoru.
3. Sprawdzamy, czy otrzymane przybliżenie jest dostatecznie
bliskie zeru.
Kroki algorytmu
Metody numeryczne
Dawid Rasała
Jeżeli dany jest przedział [a,b] występowania pierwiastka, to
możemy posłużyć się następującą zasadą wyboru punktu
początkowego, aby proces był stabilny:
1.jeżeli f’(a) f’’(a) > 0 to x
0
= a;
2.jeżeli f’(a) f’’(a) < 0 to x
0
= b.
Oczywiście na krańcach przedziału funkcja musi posiadać
przeciwne znaki, gdyż gwarantuje to istnienie pierwiastka.
Wybieranie punktu początkowego w
przypadku, gdy dany jest przedział izolacji
pierwiastka
Metody numeryczne
Dawid Rasała
1. wartość f(x
n
) leży dostatecznie blisko zera – o mniej niż zadana
dokładność
2. wartość h
n
jest mniejsza od zadanej dokładności
Warunki zakończenia algorytmu
Metody numeryczne
Dawid Rasała
Wybór punktu początkowego przy którym
funkcja staje się nieokreślona
Metody numeryczne
Dawid Rasała
Wybór punktu początkowego przy którym
kolejne przybliżenia oddalają się od
pierwiastka
Metody numeryczne
Dawid Rasała
Wyznaczyć pierwiastek równania x
3
− x + 1 = 0. Przyjmijmy x
0
=
-1,8.
Przykład
Metody numeryczne
Dawid Rasała