Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
ORBITALE
I LICZBY KWANTOWE
Orbitale i liczby kwantowe. Orbital jako funkcja falowa
opisująca stan elektronu w atomie. Liczby kwantowe n, l,
m, s - ich sens fizyczny i możliwe wartości. Rozkłady
gęstości elektronowej dla orbitali typu s, p i d. Zakaz
Pauliego.
Energie
orbitali
atomowych.
Struktury
elektronowe atomów i jonów.
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
.
Dalton (1803)
atom
Thomson (1904)
ładunki „+” i „–”
Rutherford (1911)
jądro atomu
Bohr (1913)
model stacjonarny
Schrödinger (1926)
falowy opis
elektronu w atomie
Przypomnienie:
Louis de Broglie:
Z ruchem każdej
cząstki
o masie
m
i prędkości
v
(pędzie
p
)
związana
jest fala o długości
p
h
mv
h
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
FALA I JEJ OPIS MATEMATYCZNY
Jak wygląda i jaką funkcją jest opisana fala elektronu w atomie?
y
FALA
ELEKTROMAGNETYCZNA
= v·T
T
T
v
T
1
T
- okres
- długość fali
v
– prędkość fali
ν
– częstość fali
Przykład:
y = sinα
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
MECHANIKA KWANTOWA (1925-1926)
Erwin Schrödinger (1887-1961)
Opis obiektów o bardzo małych masach i
rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne dla
których nie stosuje się mechanika klasyczna.
POSTULATY
(podstawy)
mechaniki
kwantowej
Mechanika kwantowa to matematyczny model rzeczywistości
RZECZYWISTOŚĆ
MECHANIKA KWANTOWA
Cząstka – np. elektron
Funkcja falowa
Ψ
Wielkość mierzalna – np.
energia,
Operator energii
Ĥ
Pomiar wielkości mierzalnej
– np. pomiar energii
E
cząstki
Równanie
Ĥ Ψ =
E Ψ
Schrödingera
liczba,
np. 3,4 eV
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
Funkcja falowa
Ψ
zawiera informacje o elektronie,
FALOWY OPIS ELEKTRONU W ATOMIE
2
ρ – gęstość prawdopodobieństwa
P = ρ·dV
dV – nieskończenie mała objętość
wokół danego punktu
x
y
z
(x
o
, y
o
,z
o
)
dV
dV
P
2
z
,
y
,
x
z
,
y
,
x
0
0
0
0
0
0
w tym informację o prawdopodobieństwie
P
znalezienia elektronu w danym punkcie
Prawdopodobieństwo znalezienia
elektronu w punkcie
(x
o
, y
o
, z
o
)
0
0
0
0
0
0
z
,
y
,
x
2
z
,
y
,
x
dV
P
0
0
0
0
0
0
z
,
y
,
x
z
,
y
,
x
Funkcja falowa
Ψ
opisuje realny układ (np. elektron) a więc
funkcja
Ψ
musi być porządna
SKOŃCZONA
Ψ
powinna być:
|Ψ|
2
≠ +∞, –∞
Uzasadnienie
Prawdopodobieństwo
znalezienia elektronu nie
może być nieskończenie
wielkie; może co najwyżej być
równe 1 (100%)
CIĄGŁA
|Ψ|
2
–
bez "uskoków"
Prawdopodobieństwo
znalezienia elektronu w
dwóch sąsiednich punktach
nie może się znacznie różnić
JEDNOZNACZNA
|Ψ|
2
–
w każdym
punkcie tylko
jedna wartość
Prawdopodobieństwo
znalezienia elektronu w
dowolnym punkcie nie
może mieć dwóch
różnych wartości
▲
▲
▲
Przykłady
negatywne
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
2
h
1
l
l
M
Dalsze warunki dla funkcji falowej
Ψ
Funkcja falowa
Ψ
musi spełniać równanie
Schrödingera
Ĥ Ψ = E Ψ
,
wobec tego:
▲
Energia elektronu w atomie wodoru
▲
Moment pędu elektronu (orbitalny)
▲
Składowa
M
z
momentu pędu
elektronu
n
– główna liczba kwantowa
W modelu Bohra:
n
– numer orbity
n
= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...
l
= 0, 1, 2, 3,...
n – 1
s, p, d, f
– l
≤
m
≤
+ l
(co 1)
l
– poboczna (orbitalna) liczba kwantowa
m
– magnetyczna liczba kwantowa
r
v
→
M = r
x
mv
→
→
z
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
M
M
z
2
h
m
M
z
2
2
2
2
0
4
e
n
1
n
h
8
e
m
E
m
Funkcja falowa
Ψ
n,l,m
–
ORBITAL
Jakie ORBITALE
(funkcje
Ψ
n,l,m
),
o jakich
konkretnych
liczbach
n, l, m
są możliwe?
n
= 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7,...
– l ≤
m
≤ + l
(co 1)
l
= 0, 1, 2, 3..
n – 1
s, p, d, f
Powłoka
Podpowłoka
n
l
m
ORBITA
L
Liczba
orbitali
s, p, d, f
1
0
0
1s
1 (s)
2
0
0
2s
1 (s)
2
1
±1
2p
x
2p
y
2
1
0
2p
z
3
0
0
3s
1 (s)
3
1
±1
3p
x
3p
y
3
1
0
3p
z
3
2
±1
3d
xz
3d
yz
3
2
±2
3d
xy
3d
x2-y2
3
2
0
3d
z2
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
3 (p)
3 (p)
5 (d)
Funkcja falowa
Ψ
n,l,m
–
ORBITAL
– Jakie "wyglądają" ORBITALE ?
– Gdzie najczęściej przebywają elektrony przypisane do danego orbitalu ?
– Jaki jest rozkład gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu ?
90
)
,
(
)
(
,
,
,
,
m
l
l
n
m
l
n
Y
r
R
Funkcja RADIALNA
Funkcja KĄTOWA
Funkcja falowa
Ψ
n,l,m
we współrzędnych sferycznych
2
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
z
x
y
r
2
1
2
)
r
(
R
,
r
)
,
(
)
(
,
,
,
,
m
l
l
n
m
l
n
Y
r
R
Funkcja RADIALNA
Funkcja KĄTOWA
r
2
1
3
)
r
(
R
,
r
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
Przekrój atomu
2
m
,
l
)
,
(
Y
)
,
(
)
(
,
,
,
,
m
l
l
n
m
l
n
Y
r
R
Funkcja RADIALNA
Funkcja KĄTOWA
Y
0,m
Y
1,m
Y
2,m
d
p
s
z
x
y
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
Orbitale Y
3,m
→
f
l=3
m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
7 orbitali
f
)
,
(
)
(
,
,
,
,
m
l
l
n
m
l
n
Y
r
R
Funkcja RADIALNA
Funkcja KĄTOWA
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
To tylko
ilustracja;
orbitali f nie
trzeba znać!
y
3
p
y
2
p
y
z
z
y
Złożenie funkcji
R
n,l
i
Y
l,m
3
p
y
R
3,1
)
,
(
)
(
,
,
,
,
m
l
l
n
m
l
n
Y
r
R
Funkcja RADIALNA
Funkcja KĄTOWA
p
y
Y
1,m
PROSTY
SPOSÓB
RYSOWANIA
ORBITALI
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
Nałożenie funkcji
Y
na funkcję
R
Orbital
s
Informację o położeniu różnych orbitali względem siebie
podaje
funkcja KĄTOWA.
Z tego powodu, orbitale często rysuje
się
jako
płaskie przekroje wzdłuż odpowiednich osi lub
płaszczyzn.
Orbitale
p
Orbitale
d
Uwaga, na właściwe
oznaczenie
osi współrzędnych!
x
z
s
+
p
x
x
+
–
y
p
y
+
–
z
p
z
+
–
2
2
y
x
d
x
y
+
+
–
–
xy
d
x
y
+
+
–
–
xz
d
x
z
+
+
–
–
yz
d
z
y
+
+
–
–
2
z
d
z
+
+
–
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
Orbitale (jako funkcje) mają fragmenty dodatnie (
+
) i ujemne (
–
)
lub
s
+
Przykłady funkcji falowych
Ψ
dla konkretnych liczb kwantowych
n,l,m
n=1, l=0 orbital
1s
n=2, l=1 orbital
2p
y
n=3, l=1 orbital
3p
y
Konkretną funkcję
Ψ
n,l,m
można wstawić do równania Schrödingera
Ĥ Ψ
n,l,m
= E
n,l,m
Ψ
n,l,m
i obliczyć jaką energię
E
n,l,m
będzie miał elektron opisany funkcją
Ψ
n,l,m
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
cos
sin
e
a
r
a
r
a
a
r
p
y
0
3
0
0
3
0
3
3
2
4
2
27
1
0
3
0
1
1
a
r
s
e
a
cos
sin
e
a
r
a
a
r
p
y
0
2
0
3
0
2
2
4
1
To tylko ilustracja;
wzorów nie trzeba znać!
ENERGIE ORBITALI ATOMOWYCH
Ψ
n,l,m
Diagram
poziomów
energetycznych
- orbital
Ψ
n,l,m
n
l m
ORB
4 0 0
4s
2 0 0
2s
2 1 ±
1
2p
x
2p
y
2 1 0
2p
z
3 0 0
3s
3 1 ±
1
3p
x
3p
y
3 1 0
3p
z
3 2 ±
1
3d
xz
3d
yz
3 2 ±
2
3d
xy
3d
x2-
y2
3 2 0
3d
z2
E
1s
2s
2p
3s
4s
5s
6s
3p
4p
5p
4d
4f
7s
6p
5d
5f
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
Przypomnienie:
1 0 0
1s
3d
NIE!
NIE!
4f ?
6d
pierw. sztuczne
Ustalanie
kolejności
energetycznej
orbitali
ENERGIE ORBITALI ATOMOWYCH
Ψ
n,l,m
E
1s
2s
2p
3s
4s
5s
6s
7s
3p
4p
5p
6p
3d
4d
5d
4f
5f
1s
2s 2p
3s 3p 3d
4s 4p 4d 4f
5s 5p 5d 5f
6s 6p 6d 6f
7s 7p 7d 7f
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
6d
ENERGIE ORBITALI ATOMOWYCH I ICH POŁOŻENIE WZGLĘDEM JĄDRA
r
1
2
3
4
5
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
6
7
E
N
E
R
G
IA
Elektrony w atomie wykorzystują orbitale o możliwie najniższej
energii.
Ile elektronów może: – wykorzystać ten sam orbital?
– obsadzić ten sam poziom
energetyczny?
Układ o niższej energii jest bardziej trwały.
• Zakaz Pauliego:
W atomie nie może być elektronów, dla których
wszystkie liczby kwantowe byłyby takie same.
Elektrony muszą różnić się przynajmniej jedną
liczbą kwantową.
Tylko 1 elektron na danym orbitalu
Ψ
n,l,m
?
NIE
!
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
SPIN ELEKTRONU
m
s
= +1/2
m
s
= –1/2
Otto Stern
(1888-1969)
Walter Gerlach
(1889-1979)
Elektron posiada własny moment pędu S zwany spinem
2
h
1
s
s
S
2
1
s
Składowa
S
z
spinowego momentu pędu
elektronu
– s
≤
m
s
≤
+ s
(co 1)
m
s
– magnetyczna liczba spinowa
2
h
m
S
s
z
m
s
= +1/2
lub
m
s
= –1/2
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
SPIN
„dodatni”
„ujemny”
ELEKTRON w atomie opisany jest 4 liczbami kwantowymi:
n l m m
s
Zakaz Pauliego:
Elektrony w atomie muszą różnić się
przynajmniej jedną z czterech liczb kwantowych.
WNIOSEK
Każdy orbital o konkretnych liczbach
n, l, m
może
pomieścić dwa elektrony różniące się liczbą spinową
m
s
(+1/2 i –1/2)
- orbital
Ψ
n,l,m
m
s
=
2
1
2
1
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
Elektrony
SPAROWANE
główna
poboczna
(orbitalna)
magnetyczna
spinowa
STRUKTURY ELEKTRONOWE ATOMÓW
1s
2s
3s
3p
x
2p
x
2p
y
2p
z
3p
y
3p
z
H
He
Li
Be
E
B
C
?
Umieszczenie drugiego elektronu na orbitalu 2p
x
wymaga dodatkowej energii (trzeba pokonać
odpychanie się elektronów). Bardziej korzystne jest
umieszczenie ostatniego elektronu na orbitalu 2p
y
.
Daje to całkowity spin = 1.
N
O
F
Ne
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
Reguła HUNDA ("maksymalnego spinu")
Elektrony obsadzają orbitale o jednakowej
energii najpierw pojedynczo, ze spinami
ustawionymi równolegle
(elektrony mają tą samą
liczbę spinową
m
s
).
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
1s
2
2s
2
2p
6
liczba elektronów
1s
2
2s
2
2p
2
Skrócony zapis
STRUKTURY (konfiguracji) ELEKTRONOWEJ ATOMU
1s
2s
2p
x
2p
y
2p
z
H
He
Li
Be
B
C
N
O
F
Ne
E
C:
Ne:
1s
2s 2p
3s 3p 3d
4s 4p 4d 4f
5s 5p 5d 5f
6s 6p 6d 6f
7s 7p 7d 7f
Dowolny atom, np: Fe
– numer w układzie okresowym = liczba elektronów =
26
– szereg energetyczny orbitali aż do 26 elektronów
1s
2
Fe:
Suma el.
2
4
10 12
18 20 26
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
3d
6
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
4s
2
1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
4s
2
3d
6
STRUKTURA (konfiguracja) ELEKTRONOWA JONU
Fe:
Fe
2+
─2e
─
które 2 elektrony należy oderwać?
?
Atom traci elektrony ZEWNĘTRZNE !
1s
2s
2p
3s
4s
5s
3p
4p
5p
3d
4d
1
2
3
4
n =
1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
3d
6
─1e
─
Fe
3+
1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
3d
5
Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE
─1e
─
1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
4s
2
3d
6