$

"

Logika - 

wykład 3

Tautologie i kontrtautologie

dr Tomasz Kowalski

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 2 / 62

$

"

Schematy logicznie 

niezdeterminowane

Z przykładów rozpatrywanych na poprzednim 
wykładzie wynika, że formuły rachunku zdań 
mogą być schematami zdań prawdziwych lub 
fałszywych, w zależności od tego, jaką wartość 
przyjmują zdania proste wchodzące w ich skład. 

W takim przypadku mówimy, że 

schemat jest 

logicznie 

niezdeterminowany.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 3 / 62

$

"

Przykład

Obliczyć wartość logiczną zdania przy założeniu, 
że zdania proste reprezentowane przez 
wszystkie zmienne:

a) są 
prawdziwe,

b) są fałszywe.

[(p   ~ q)  ~ r]  



 ~ (~ s 

 z)

   1          1         1             1 
     1

Ponieważ w badanej koniunkcji jeden z 
członów jest fałszywy, to cała 
koniunkcja jest fałszywa.

0

0

0

0

0

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 4 / 62

$

"

Przykład

Obliczyć wartość logiczną zdania przy założeniu, 
że zdania proste reprezentowane przez 
wszystkie zmienne:

a) są 
prawdziwe,

b) są fałszywe.

[(p   ~ q)  ~ r]  



 ~ (~ s 

 z)

   0          0         0              
0      0

Ponieważ w badanej koniunkcji oba 
człony są prawdziwe, to cała 
koniunkcja jest prawdziwa.

1

0

1

1

1

0

1 1

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 5 / 62

$

"

Tautologie i kontrtautologie

Schemat zdania nazywamy 

prawem rachunku 

zdań

 lub 

tautologią

, jeżeli niezależnie od wartości 

logicznych zdań, podstawianych do tego schematu 
w miejsce symboli zdaniowych, otrzymujemy 
zawsze zdanie prawdziwe.

Jeżeli natomiast otrzymujemy zawsze zdanie 
fałszywe, to schemat rachunku zdań nazywamy 

kontrtautologią

.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 6 / 62

$

"

Uwagi

Aby sprawdzić w praktyce, czy formuła jest 
tautologią, należy wykazać jej prawdziwość dla 
wszystkich możliwych przypadków, gdy zdania 
w niej występujące są prawdziwe lub fałszywe. 

Gdy w formule występuje jedno zdanie: p, to 
należy zbadać dwa przypadki:

1. zdanie p jest fałszywe,
2. zdanie p jest prawdziwe.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 7 / 62

$

"

Uwagi

Aby sprawdzić w praktyce, czy formuła jest 
tautologią, należy wykazać jej prawdziwość dla 
wszystkich możliwych przypadków, gdy zdania 
w niej występujące są prawdziwe lub fałszywe. 

Gdy w formule występują dwa zdania: p i q, to 
należy zbadać cztery przypadki:

1. oba zdania są fałszywe,   

3. zdanie p jest prawdziwe, zdanie 
q fałszywe,

2. zdanie p jest fałszywe, zdanie q 
prawdziwe,

4. oba zdania są prawdziwe.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 8 / 62

$

"

Uwagi

Aby sprawdzić w praktyce, czy formuła jest 
tautologią, należy wykazać jej prawdziwość dla 
wszystkich możliwych przypadków, gdy zdania 
w niej występujące są prawdziwe lub fałszywe. 

Gdy w formule występują trzy zdania: p, q oraz 
r , to należy zbadać osiem przypadków.

Gdy mamy n zdań, to przypadków do zbadania 
jest 2

n

. 

Ogólniej:

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 9 / 62

$

"

Uwagi

Dla sprawdzenia wszystkich przypadków 
dogodnie jest zbudować tabelę, w której 
kolejnych kolumnach sprawdzamy wartości 
logiczne coraz bardziej złożonych formuł. 

W ostatniej kolumnie dochodzimy do formuły, 
którą chcemy wykazać. 

Aby była ona tautologią, musimy otrzymać tam 
wartości logiczne 1 dla wszystkich przypadków.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 10 / 62

$

"

Przykład tautologii

p

 q

(p  ~q)  q

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 11 / 62

$

"

Przykład tautologii

p

 q

~q

(p  ~q)  q

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 12 / 62

$

"

Przykład tautologii

p

 q

~q

p  ~q

(p  ~q)  q

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 13 / 62

$

"

Przykład tautologii

p

 q

~q

p  ~q

(p  ~q)  q

(p  ~q)  q

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 14 / 62

$

"

Przykład tautologii

p

 q

~q

p  ~q

(p  ~q)  q

0

0

0

1

1

0

1

1

(p  ~q)  q

Jeżeli zdanie jest 

prawdziwe, to jego 

negacja jest fałszywa i na 

odwrót.

1

0

1

0

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 15 / 62

$

"

Przykład tautologii

p

 q

~q

p  ~q

(p  ~q)  q

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

(p  ~q)  q

Implikacja jest fałszywa 

wtedy i tylko wtedy, gdy 

poprzednik jest 

prawdziwy, a następnik 

fałszywy.

1

1

1

0

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 16 / 62

$

"

Przykład tautologii

p

 q

~q

p  ~q

(p  ~q)  q

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

(p  ~q)  q

Alternatywa jest prawdziwa 
wtedy i tylko wtedy, gdy 
przynajmniej jedno zdanie 
jest prawdziwe.

1

1

1

1

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 17 / 62

$

"

Przykład tautologii

p

 q

~q

p  ~q

(p  ~q)  q

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

(p  ~q)  q

Wyrażenie jest tautologią!

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 18 / 62

$

"

Przykład kontrtautologii

p

 q

~(p  q)  q

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 19 / 62

$

"

Przykład kontrtautologii

p

 q

p  q

~(p  q)  q

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 20 / 62

$

"

Przykład kontrtautologii

p

 q

p  q ~ (p  q)

~(p  q)  q

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 21 / 62

$

"

Przykład kontrtautologii

p

 q

p  q ~ (p  q)

~(p  q)  q

~(p  q)  q

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 22 / 62

$

"

Przykład kontrtautologii

p

 q

p  q ~ (p  q)

~(p  q)  q

0

0

0

1

1

0

1

1

~(p  q)  q

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 23 / 62

$

"

Przykład kontrtautologii

~(p  q)  q

1

1

0

1

p

 q

p  q ~ (p  q)

~(p  q)  q

0

0

0

1

1

0

1

1

Implikacja jest fałszywa 

wtedy i tylko wtedy, gdy 

poprzednik jest 

prawdziwy, a następnik 

fałszywy.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 24 / 62

$

"

Przykład kontrtautologii

~(p  q)  q

0

0

1

0

p

 q

p  q ~ (p  q)

~(p  q)  q

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

Jeżeli zdanie jest 

prawdziwe, to jego 

negacja jest fałszywa i na 

odwrót.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 25 / 62

$

"

Przykład kontrtautologii

~(p  q)  q

0

0

0

0

p

 q

p  q ~ (p  q)

~(p  q)  q

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

Koniunkcja jest 

prawdziwa wtedy i tylko 

wtedy, gdy oba zdania są 

prawdziwe.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 26 / 62

$

"

Przykład kontrtautologii

~(p  q)  q

p

 q

p  q ~ (p  q)

~(p  q)  q

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

Wyrażenie jest kontrtautologią!

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 27 / 62

$

"

Niektóre tautologie

p  ~p

prawo wyłączonego środka

~(p  ~p)

prawo sprzeczności

~(~p)  p

prawo podwójnego 

zaprzeczenia

(p  p)  p

prawo idempotentności dla 

koniunkcji

(p  p)  p

prawo idempotentności dla 

alternatywy

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 28 / 62

$

"

Niektóre tautologie

p  ~p

prawo wyłączonego 
środka

~(p  ~p)

prawo sprzeczności

~(~p)  p

prawo podwójnego 

zaprzeczenia

(p  p)  p

prawo idempotentności dla 
koniunkcji

(p  p)  p

prawo idempotentności dla 

alternatywy

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 29 / 62

$

"

Dowód prawa wyłączonego 

środka

p  ~ p

p

 ~p

p  ~p

0

1

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 30 / 62

$

"

Dowód prawa wyłączonego 

środka

p  ~ p

Jeżeli zdanie jest prawdziwe, to 

jego negacja jest fałszywa i na 

odwrót.

1

0

p

 ~p

p  ~p

0

1

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 31 / 62

$

"

Dowód prawa wyłączonego 

środka

p  ~p

Alternatywa jest 

prawdziwa, jeżeli 

przynajmniej jeden jej 

człon jest prawdziwy.

p

 ~p

p  ~p

0

1

1

0

1

1

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 32 / 62

$

"

Niektóre tautologie

p  ~p

prawo wyłączonego środka

~(p  ~p)

prawo sprzeczności

~(~p)  p

prawo podwójnego 

zaprzeczenia

(p  p)  p

prawo idempotentności dla 

koniunkcji

(p  p)  p

prawo idempotentności dla 

alternatywy

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 33 / 62

$

"

Niektóre tautologie

p  ~p

prawo wyłączonego środka

~(p  ~p)

prawo sprzeczności

~(~p)  p

prawo podwójnego 
zaprzeczenia

(p  p)  p

prawo idempotentności dla 

koniunkcji

(p  p)  p

prawo idempotentności dla 

alternatywy

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 34 / 62

$

"

Przykład – podwójne 

przeczenie

Uprościć podane zdanie redukując podwójne 
przeczenie:

Nieprawdą jest, że Alicja nie pójdzie do 
nieba.

Alicja pójdzie do 
nieba.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 35 / 62

$

"

Ćwiczenie – podwójne 

przeczenie

Uprościć podane zdanie redukując podwójne 
przeczenie:

Nie kłamałbym mówiąc, że nieprawdą jest to , iż 
Bogdan nie omieszka zrobić obiad.

Bogdan nie zrobi 

obiadu.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 36 / 62

$

"

Niektóre tautologie - 

zaprzeczenia

~(p  q)  (~p  ~q) I prawo de Morgana
~(p  q)  (~p  ~q) II prawo de Morgana

~(p  q)  (p  ~q)  zaprzeczenie 

implikacji

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 37 / 62

$

"

Niektóre tautologie - 

zaprzeczenia

~(p  q)  (~p  

~q)

I prawo de Morgana

~(p  q)  (~p  ~q) II prawo de Morgana

~(p  q)  (p  ~q)  zaprzeczenie 

implikacji

Zaprzeczeniem alternatywy dwóch zdań jest 
koniunkcja zaprzeczeń tych zdań.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 38 / 62

$

"

p q

p  

q

~ (p  

q)

~

p

~

q

~p  

~q

~(p  q)  (~p  

~q)

0 0

0 1

1 0

1 1

Dowód pierwszego prawa de 

Morgana

~ ( p  q )  ( ~ p 

 ~ q )

Alternatywa jest prawdziwa 

wtedy i tylko wtedy, gdy 

przynajmniej jeden jej człon 

jest prawdziwy

0

1

1

1

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 39 / 62

$

"

p q

p  

q

~ (p  

q)

~

p

~

q

~p  

~q

~(p  q)  (~p  

~q)

0 0

0

0 1

1

1 0

1

1 1

1

Dowód pierwszego prawa de 

Morgana

Jeżeli zdanie jest 

prawdziwe, to jego negacja 

jest fałszywa i na odwrót.

1

0

0

0

~ ( p  q )  ( ~ p 

 ~ q )

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 40 / 62

$

"

p q

p  

q

~ (p  

q)

~

p

~

q

~p  

~q

~(p  q)  (~p  

~q)

0 0

0

1

0 1

1

0

1 0

1

0

1 1

1

0

Dowód pierwszego prawa de 

Morgana

Jeżeli zdanie jest 

prawdziwe, to jego negacja 

jest fałszywa i na odwrót.

1

1

0

0

~ ( p  q )  ( ~ p 

 ~ q )

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 41 / 62

$

"

p q

p  

q

~ (p  

q)

~

p

~

q

~p  

~q

~(p  q)  (~p  

~q)

0 0

0

1

1

0 1

1

0

1

1 0

1

0

0

1 1

1

0

0

Dowód pierwszego prawa de 

Morgana

Jeżeli zdanie jest 

prawdziwe, to jego negacja 

jest fałszywa i na odwrót.

1

0

1

0

~ ( p  q )  ( ~ p 

 ~ q )

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 42 / 62

$

"

p q

p  

q

~ (p  

q)

~

p

~

q

~p  

~q

~(p  q)  (~p  

~q)

0 0

0

1

1 1

0 1

1

0

1 0

1 0

1

0

0 1

1 1

1

0

0 0

Dowód pierwszego prawa de 

Morgana

Koniunkcja jest prawdziwa 

tylko wtedy, gdy oba jej 

człony są prawdziwe. 

1

0

0

0

~ ( p  q )  ( ~ p 

 ~ q )

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 43 / 62

$

"

p q

p  

q

~ (p  

q)

~

p

~

q

~p  

~q

~(p  q)  (~p  

~q)

0 0

0

1

1 1

1

0 1

1

0

1 0

0

1 0

1

0

0 1

0

1 1

1

0

0 0

0

Dowód pierwszego prawa de 

Morgana

Równoważność jest 

prawdziwa tylko wtedy, gdy 

oba jej człony mają tę samą 

wartość logiczną. 

1

1

1

1

~ ( p  q )  ( ~ p 

 ~ q )

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 44 / 62

$

"

Przykład – negacja 

alternatywy 

Sformułować zaprzeczenie zdania:

Ania zda matematykę lub zda 
logikę.

Ania nie zda 
matematyki

nie zda 
logiki.

negacja

negacja

i

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 45 / 62

$

"

Przykład – negacja 

alternatywy 

Sformułować zaprzeczenie zdania:

Boguś odkurzy dom albo Czesia zrobi 
kolację.

Boguś nie odkurzy 
domu,

Czesia nie zrobi 
kolacji.

negacja

negacja

a

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 46 / 62

$

"

Przykład – negacja 

alternatywy 

Sformułować zaprzeczenie zdania:

Albo Damian umyje naczynia albo Boguś nie 
zrobi kolacji.

Damian nie umyje 

naczyń,

Boguś zrobi 
kolację.

negacja

negacja

ale

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 47 / 62

$

"

Przykład – negacja 

alternatywy 

Sformułować zaprzeczenie zdania:

Albo Boguś nie zda logiki albo nie zda prawa 
karnego.

Boguś zda 

logikę

zda prawo karne.

negacja

negacja

ora
z

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 48 / 62

$

"

Niektóre tautologie - 

zaprzeczenia

~(p  q)  (~p  ~q) I prawo de Morgana

~(p  q)  (~p  

~q)

II prawo de 
Morgana

~(p  q)  (p  ~q)  zaprzeczenie 

implikacji

Zaprzeczeniem koniunkcji dwóch zdań jest 
alternatywa zaprzeczeń tych zdań.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 49 / 62

$

"

Przykład – negacja 

koniunkcji 

Sformułować zaprzeczenie zdania:

Ania zda matematykę , a Boguś  zda 
logikę.

Ania nie zda 
matematyki

Boguś nie zda 
logiki.

negacja

negacja

lu
b

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 50 / 62

$

"

Przykład – negacja 

koniunkcji 

Sformułować zaprzeczenie zdania:

Chociaż Cezary nie zrobi kolacji, Bogdan 
zrobi obiad.

Cezary zrobi 

kolację

Bogdan nie zrobi 
obiadu.

negacja

negacja

alb
o

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 51 / 62

$

"

Przykład – negacja 

koniunkcji 

Sformułować zaprzeczenie zdania:

Alicja i Bogdan zrobią obiad, ale Cezary nie 
zrobi kolacji.

Alicja lub Bogdan nie 

zrobią obiadu

Cezary zrobi 
kolację.

negacja

negacja

alb
o

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 52 / 62

$

"

Niektóre tautologie - 

zaprzeczenia

~(p  q)  (~p  ~q) I prawo de Morgana
~(p  q)  (~p  ~q) II prawo de Morgana

~(p  q)  (p  ~q) 

zaprzeczenie 
implikacji

Zaprzeczeniem implikacji dwóch zdań jest 
koniunkcja poprzednika i zaprzeczenia 
następnika.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 53 / 62

$

"

Przykład – negacja implikacji 

Sformułować zaprzeczenie zdania:

Jeżeli Damian umyje naczynia, to Boguś 
zrobi kolację.

Damian umyje 
naczynia

Boguś nie zrobi 
kolacji.

bez zmian

negacja

i

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 54 / 62

$

"

Przykład – negacja implikacji 

Sformułować zaprzeczenie zdania:

Jeżeli Damian nie umyje naczyń, to 
umyje je Boguś.

Damian nie umyje 
naczyń

Boguś nie umyje 
naczyń.

bez zmian

negacja

i

Zarówno Damian jak i Boguś nie 
umyją naczyń.

Ani Damian ani Boguś nie 
umyją naczyń.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 55 / 62

$

"

Prawda logiczna i przygodnia 

prawdziwość

Zdania złożone języka potocznego mogą być 
prawdziwe w dwojaki sposób:

1. Schemat zdania jest tautologią i tym samym zdanie 
jest prawdziwe.

Jeśli schemat jakiegoś zdania języka naturalnego 
jest tautologią, to zdanie takie nazywamy prawdą 
logiczną. 

Zdanie będące prawdą logiczną jest prawdziwe 
nie tyle z powodu  wartości logicznych jego zdań 
składowych, ale ze względu na swoją konstrukcję.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 56 / 62

$

"

Prawda logiczna i przygodnia 

prawdziwość

Zdania złożone języka potocznego mogą być 
prawdziwe w dwojaki sposób:

2. Schemat zdania nie jest tautologią , ale zdanie jest 
prawdziwe. 

Jeśli schemat jakiegoś prawdziwego zdania języka 
naturalnego nie jest tautologią, to zdanie takie 
nazywamy przygodnie prawdziwym. 

Zdanie przygodnie prawdziwe jest prawdziwe 
tylko ze względu na wartości logiczne jego zdań 
składowych.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 57 / 62

$

"

Uwagi na temat prawdy 

logicznej

Sprawdzenie, czy zdanie jest prawdą logiczną 
wymaga połączenia dwóch umiejętności: 
zapisywania schematu zdania oraz sprawdzania, 
czy schemat jest tautologią. 

Jeżeli schemat badanego zdania okaże się 
tautologią, stwierdzamy, że zdanie to jest prawdą 
logiczną, jeśli schemat tautologią nie jest, zdanie 
nie jest prawdą logiczną.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 58 / 62

$

"

Fałsz logiczny i przygodnia 

fałszywość

Zdania złożone języka potocznego mogą być fałszywe 
w dwojaki sposób:

1. Schemat zdania jest kontrtautologią i tym samym 
zdanie jest fałszywe.

Jeśli schemat jakiegoś zdania języka naturalnego 
jest kontrtautologią, to zdanie takie nazywamy 
fałszem logicznym lub zdaniem wewnętrznie 
sprzecznym. 

Zdanie będące fałszem logicznym jest fałszywe 
nie ze względu na wartości logiczne jego zdań 
składowych, ale ze względu na swoją 
konstrukcję.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 59 / 62

$

"

Fałsz logiczny i przygodnia 

fałszywość

Zdania złożone języka potocznego mogą być 
prawdziwe w dwojaki sposób:

2. Schemat zdania nie jest kontrtautologią , ale 
zdanie jest fałszywe. 

Jeśli schemat jakiegoś fałszywego zdania języka 
naturalnego nie jest kontrtautologią, to zdanie takie 
nazywamy przygodnie fałszywym. 

Zdanie przygodnie fałszywe jest fałszywe tylko 
ze względu na wartości logiczne jego zdań 
składowych.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 60 / 62

$

"

Uwagi na temat fałszu 

logicznego

Sprawdzenie, czy dane zdanie jest fałszem 
logicznym, polega na napisaniu schematu 
zdania, a następnie zbadaniu, czy jest on 
kontrtautologią. 

Jeżeli schemat badanego zdania okaże się 
kontrtautologią, to stwierdzamy, że zdanie to jest 
fałszem logicznym, jeśli schemat kontrtautologią 
nie jest, zdanie nie jest fałszem logicznym.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 61 / 62

$

"

Profesor i student

Student zdaje egzamin. Profesor chce odesłać go na 
inny termin z pałą. Delikwent prosi o ostatnią szansę:  
Jeśli przejdę po ścianie i suficie, dostanę 3 ? 
Profesor z niedowierzaniem zgadza się. Student 
przechodzi po ścianie i suficie. Słowo się rzekło, już 
chce wpisywać 3, ale student dalej marudzi:  Jeśli 
zacznę fruwać po pokoju, dostanę 4 ? 

Profesor z zaciekawieniem zgadza się. Student zaczyna 
fruwać po pokoju. Profesor już chce wpisywać 4, ale 
student wciąż nie daje mu spokoju:  Jeśli nasikam na 
Pana, a Pan pozostanie suchy, dostanę 5 ? 

Profesor z jeszcze większym zaciekawieniem zgadza 
się. Student staje na biurku i sika na profesora. Ten 
krzyczy cały mokry: Panie, co Pan ???!!!

- Dobra, niech będzie 4

.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 3: Tautologie i 

kontrtautologie

 Slajd nr 62 / 62

$

"