1
• Jeżeli istnieje
to
• Jeżeli istnieje
to
Twierdzenia o wartościach
granicznych
t
f
lim
t
0
s
sf
t
f
lim
lim
s
t
0
t
f
lim
t
s
sf
t
f
lim
lim
s
t
0
1
• Jeżeli istnieje
to
• Jeżeli istnieje
to
Twierdzenia o wartościach
granicznych
t
f
lim
t
0
s
sf
t
f
lim
lim
s
t
0
t
f
lim
t
s
sf
t
f
lim
lim
s
t
0
2
Twierdzenia o wartościach
granicznych
2
1
1
1
R
R
sL
sLR
sC
s
Z
2
1
1
1
R
R
sL
sLR
sC
s
E
s
Z
s
E
s
i
1
1
R
sL
R
s
i
s
i
L
1
1
R
sL
sL
s
i
s
i
R
3
• Obliczenie wartości początkowych prądów:
Twierdzenia o wartościach
granicznych
2
1
2
1
1
1
0
R
R
E
R
R
sL
sLR
sC
E
s
Z
E
s
si
i
lim
lim
lim
s
s
s
2
1
2
1
1
1
1
1
1
0
R
R
E
R
R
sL
sLR
sC
sL
R
sLE
sL
R
sL
s
si
i
lim
lim
s
s
R
0
1
0
2
1
1
1
1
1
1
R
R
sL
sLR
sC
sL
R
E
R
sL
R
R
s
si
i
lim
lim
s
s
L
4
• Obliczenie wartości początkowych napięć:
Twierdzenia o wartościach
granicznych
0
1
1
0
2
1
1
R
R
sL
sLR
sC
sC
E
s
i
sC
s
U
lim
lim
s
s
C
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
R
R
ER
R
R
sL
sLR
sC
sL
R
sLER
sL
R
sL
R
s
si
U
U
lim
lim
s
s
L
R
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
0
R
R
E
R
R
R
sL
sLR
sC
E
R
R
s
si
U
lim
lim
s
s
R
5
• Obliczenie wartości końcowych prądów:
Twierdzenia o wartościach
granicznych
0
1
2
1
1
0
0
R
R
sL
sLR
sC
E
s
si
i
lim
lim
s
s
0
1
2
1
1
1
0
1
0
1
R
R
sL
sLR
sC
sL
R
sLE
sL
R
sL
s
si
i
lim
lim
s
s
R
0
1
2
1
1
1
1
0
1
1
0
R
R
sL
sLR
sC
sL
R
E
R
sL
R
R
s
si
i
lim
lim
s
s
L
6
• Obliczenie wartości końcowych napięć:
Twierdzenia o wartościach
granicznych
E
R
R
sL
sLR
sC
sC
E
s
i
sC
s
U
lim
lim
s
s
C
2
1
1
0
0
1
1
0
1
2
1
1
1
1
0
1
1
0
1
R
R
sL
sLR
sC
sL
R
sLER
sL
R
sL
R
s
si
U
U
lim
lim
s
s
L
R
0
1
2
1
1
2
0
2
0
2
R
R
sL
sLR
sC
E
R
R
s
si
U
lim
lim
s
s
R
7
Charakterystyka sieci liniowych
• Funkcja przenoszenia:
pocz.
war.
zer.
przy
s
x
s
y
s
K
8
Charakterystyka sieci liniowych
• Funkcja przenoszenia K(s) umożliwia znalezienie
odpowiedzi na
dowolne pobudzenie:
s
x
s
K
s
y
t
y
1
1
L
L
• Wyróżnić można następujące funkcje przenoszenia
:
• Napięciowa
• Prądowa
• Napięciowo-prądowa
• Prądowo-napięciowa
0
1
2
s
i
przy
s
U
s
U
s
K
2
u
0
1
2
s
U
przy
s
i
s
i
s
K
2
i
0
1
2
s
U
przy
s
U
s
i
s
K
2
ui
0
1
2
s
i
przy
s
i
s
U
s
K
2
iu
9
Charakterystyka sieci liniowych
• Obliczyć napięciową funkcję przenoszenia K(s) :
sC
R
sC
s
U
sC
R
sC
s
U
s
i
przy
s
U
s
U
s
K
2
u
1
1
1
1
0
1
1
1
2
10
Charakterystyka sieci liniowych
• Obliczyć odpowiedź na pobudzenie x(t) = E1(t).
sC
R
E
s
E
s
E
sC
R
sC
s
x
s
K
t
y
1
1
1
1
1
1
L
L
L
t
e
E
sC
R
E
s
E
t
y
RC
t
1
1
1
1
L
11
Charakterystyka sieci liniowych
-5
0
5
10
15
20
0
1
2
3
4
5
x
y
N
a
p
ię
ci
e
Czas
12
Charakterystyka sieci liniowych
• Odpowiedź na skok jednostkowy może
charakteryzować układ.
s
s
s
U
sC
R
R
s
U
s
i
przy
s
U
s
U
s
K
2
u
1
1
1
2
1
0
RC
1
gdzie
13
Charakterystyka sieci liniowych
• Niech przebieg pobudzający ma postać:
t
i
t
dla
t
dla
,
t
,
t
x
0
0
0
1
,
t
t
1
1
1
2
1
2
3
3
1
t
t
,
t
x
1
1
1
14
t
dt
d
t
t
lim
,
t
x
lim
t
1
1
1
1
0
0
Charakterystyka sieci liniowych
0
0
0
t
dla
t
dla
t
1
1
0
0
t
dt
dt
,
t
dt
,
t
x
Nie zależnie
od wartości
!!!
Funkcja nosi nazwę funkcji impulsowej, funkcji
delta lub funkcji delta Diraca. Nie jest ona funkcją w
tradycyjnym znaczeniu.
t
15
Charakterystyka sieci liniowych
• Transformata funkcji x(t, ) ma postać:
• Transformata odpowiedzi przyjmie zatem postać:
• Odpowiedź można wyrazić w postaci:
s
e
s
t
t
,
t
x
,
s
x
1
1
1
1
1
1
L
L
L
s
e
s
s
K
,
s
x
,
s
y
1
1
t
t
s
e
t
e
t
s
e
,
s
x
s
K
,
t
y
1
1
1
1
1
1
L
L
16
Charakterystyka sieci liniowych
t
t
e
t
e
t
,
t
y
1
1
1
t
t
t
e
t
dt
d
e
t
e
t
lim
,
t
y
lim
1
1
1
1
0
0
t
e
t
dt
d
e
e
t
dt
d
,
t
y
lim
t
t
t
1
1
1
0
Dla t > 0
otrzymamy:
t
e
,
t
y
lim
0
17
Charakterystyka sieci liniowych
Dla t 0
otrzymamy:
t
e
t
e
t
e
t
dt
d
e
,
t
y
lim
t
t
t
t
1
1
1
0
t
y
t
e
t
t
e
t
e
,
t
y
lim
t
t
t
1
1
0
• Obliczenie transformaty
funkcji delta:
s
e
s
lim
t
1
1
0
L
Z uwagi na problem
nieoznaczoności 0 / 0, stosujemy
regułę de l’Hospitala.
18
Charakterystyka sieci liniowych
s
e
lim
t
s
1
0
L
d
d
d
d
1
0
s
se
lim
t
s
L
1
t
L
t
1
1
L
• Obliczenie transformaty odwrotnej
funkcji K(s):
t
y
t
k
t
e
t
s
s
s
s
K
t
1
1
1
1
1
L
L
L
Pobudzając układ impulsemDiraca można
wyznaczyć jego funkcję przenoszenia k(t)!!!
19
Funkcję
nazywamy
splotem lub mnożeniem splotowym.
Charakterystyka sieci liniowych -
twierdzenie Borela
• Jeżeli funkcje f
1
(t) i f
1
(t) są bezwzględnie
transformowalne, oraz chociaż jedna jest
ograniczona w każdym przedziale [0, ] dla > 0 to:
s
f
s
f
d
t
f
f
t
2
1
0
2
1
L
t
f
t
f
d
t
f
f
t
t
2
1
0
2
1
20
Charakterystyka sieci liniowych
• Odpowiedź układu może być obliczona przy
wykorzystaniu
operacji splotu:
t
x
t
k
d
t
x
k
t
y
t
0
t
k
t
x
d
t
k
x
t
y
t
0
s
K
t
k
1
L
gdzie
• Dla
• Odpowiedź układu stanowi
t
t
x
t
k
d
t
k
t
y
t
0
21
Charakterystyka sieci liniowych
• Dla pobudzenia
• Odpowiedź układu stanowi
t
t
x
1
t
h
d
t
k
t
y
t
0
1
s
H
t
h
1
L
gdzie
1
0
s
K
d
t
k
s
y
t
L
• Przy pobudzeniu impulsem Diraca:
• Przy pobudzeniu impulsem
jednostkowym:
1
1
1
0
s
H
s
s
K
d
t
k
s
y
t
L
22
Charakterystyka sieci liniowych
Pobudzenie układu opisanego funkcją k(s) impulsem
jednostkowym jest równoważne pobudzeniu układu
opisanego funkcją h(t) impulsem Diraca.
t
t
d
t
h
d
t
k
s
y
0
0
1
L
L
1
1
s
H
s
s
K
23
• 1) Przy pobudzeniu impulsem Diraca:
Charakterystyka sieci liniowych
• Związek między odpowiedzią impulsową k(t) a
odpowiedzią
jednostkową h(t) :
s
s
s
K
RC
1
gdzie
t
t
x
t
U
1
24
Charakterystyka sieci liniowych
s
s
s
s
K
t
k
t
y
1
1
1
1
L
L
L
t
U
t
e
t
t
k
t
y
t
2
1
• 2) Przy pobudzeniu impulsem jednostkowym:
t
t
x
t
U
1
1
s
s
K
s
H
s
U
s
K
s
U
1
1
2
t
e
s
s
H
t
h
t
1
1
1
1
L
L
25
Charakterystyka sieci liniowych
t
k
t
e
t
dt
t
h
d
t
d
1
• Pojęcie pochodnej
dystrybucyjnej:
• Pochodna funkcji h(t) w zwykłym
sensie:
0
h
s
sH
t
h
dt
d
L
Na mocy
własności 7
0
h
s
K
t
h
dt
d
L
0
h
t
t
k
t
h
dt
d
L
L
L
26
Charakterystyka sieci liniowych
0
h
t
t
k
t
h
dt
d
L
L
L
0
h
t
t
k
t
h
dt
d
0
h
t
t
h
dt
d
t
k
0
h
t
dt
t
dh
dt
t
h
d
d
Jeżeli h(0
+
) = 0 wówczas wartość pochodnej
dystrybucyjnej jest równa pochodnej w
zwykłym sensie.
27
Charakterystyka sieci liniowych
• Związek między odpowiedzią y(t) i pobudzeniem
x(t) przy
znajomości h(t):
s
x
s
sH
s
x
s
K
s
y
0
h
t
dt
t
dh
dt
t
h
d
d
0
h
s
sH
t
h
dt
d
L
t
h
s
dt
t
h
d
d
L
L
t
x
t
h
dt
d
t
y
28
Charakterystyka sieci liniowych
• Jeżeli funkcja h(t) jest dla t 0 funkcją ciągłą,
oraz funkcja x(t) ma dla t > 0 ciągłą pochodną to
można różniczkować splot:
lub jeżeli funkcja x(t) jest dla t 0 funkcją ciągłą,
oraz funkcja h(t) ma dla t > 0 ciągłą pochodną to
t
'
t
d
t
x
h
x
t
h
d
t
x
h
dt
d
t
x
t
h
dt
d
t
y
0
0
0
t
'
t
d
t
h
x
h
t
x
d
t
h
x
dt
d
t
h
t
x
dt
d
t
y
0
0
0
29
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
Obliczyć napięcie na wyjściu czwórnika korzystając z
operacji splotu:
RC
1
gdzie
s
s
K
E
T
t
U
1
(t)
t
e
s
s
K
t
k
t
1
1
1
L
L
30
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
t
k
t
U
d
t
k
U
t
U
t
1
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
k(
)
Czas -
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
k(-
)
Czas -
31
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
k(t -
)
Czas -
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
U
1
(
)
k(-
)
Czas -
Dla t < 0, iloczyn
podcałkowy jest równy
zeru - brak wspólnego
obszaru dla funkcji k(t-)
oraz funkcji U
1
().
32
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
T
33
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
t
t
t
d
e
E
d
t
k
U
t
U
0
0
1
2
W przedziale 0 < t < T napięcie wyjściowe można
wyrazić:
t
t
t
t
t
t
t
e
E
e
Ee
d
e
e
E
d
e
E
t
U
1
0
0
0
2
34
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
35
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
T
t
T
t
d
e
E
d
e
E
t
U
0
0
2
W przedziale t > T napięcie wyjściowe można
wyrazić:
1
0
0
2
T
t
T
t
T
t
e
Ee
e
Ee
d
e
e
E
t
U
T
t
dla
e
Ee
T
t
0
dla
e
E
0
t
dla
t
U
T
t
t
1
1
0
2
36
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
0
1
2
3
4
5
6
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
T
U
2
(t
)
Czas - t
37
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
t
U
t
k
d
t
U
k
t
U
t
1
0
1
2
Przypadek
2)
0
1
2
3
4
5
6
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
k(
)
Czas -
38
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
T
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
t - T
t
U
1
()
U
1
(-
)
39
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
t
t - T
Dla t < 0, iloczyn
podcałkowy jest
równy zeru - brak
wspólnego obszaru
dla funkcji k()
oraz funkcji U
1
(t -
).
40
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
41
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
t
t
d
e
E
d
t
U
k
t
U
0
0
1
2
W przedziale 0 < t < T napięcie wyjściowe można
wyrazić:
t
t
t
t
e
E
Ee
d
e
E
d
e
E
t
U
1
0
0
0
2
42
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
t
t - T
43
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
t
T
t
t
T
t
d
e
E
d
e
E
t
U
2
W przedziale t > T napięcie wyjściowe można
wyrazić:
1
2
T
t
T
t
t
t
T
t
e
Ee
Ee
d
e
E
t
U
T
t
dla
e
Ee
T
t
0
dla
e
E
0
t
dla
t
U
T
t
t
1
1
0
2
44
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
Obliczyć napięcie na wyjściu czwórnika przy
różnych pobudzeniach:
RC
1
gdzie
s
s
K
Dla =
1,
1
1
s
s
K
45
1
1
t
U
1a
(t)
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
1
1
1
1
t
t
t
U
a
Rozważmy nastepujące
pobudzenia:
1
0
t
U
1b
(t)
t
t
U
b
1
1
1
t
U
1c
(t)
1
4
3
2
1
4
1
4
1
1
t
t
t
t
t
U
c
46
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
Obliczmy
odpowiedzi:
s
e
s
s
s
U
s
K
t
U
s
a
a
1
1
1
1
1
1
2
L
L
s
s
a
e
s
s
s
e
s
s
t
U
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
L
L
1
1
1
1
1
2
s
e
s
s
e
s
t
U
s
s
a
L
1
1
1
1
1
1
1
2
t
e
t
e
t
t
t
U
t
t
a
47
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
-1
0
1
2
3
4
5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
B
C
D
E
F
P
rz
e
b
ie
g
i
n
a
p
ię
ci
a
Czas - t
48
t
e
t
k
s
K
t
U
t
b
1
1
2
L
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
-2
0
2
4
6
8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
k(
t)
Czas - t
49
1
4
3
2
1
4
1
4
1
1
t
t
t
t
t
U
c
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
1
4
3
2
1
4
1
2
1
1
4
3
1
2
1
1
4
1
1
4
1
t
t
t
t
c
e
t
e
t
e
t
e
t
t
U
4
4
4
4
1
1
4
3
2
1
4
1
1
1
1
2
s
s
s
s
c
c
e
e
e
e
s
s
U
s
K
t
U
L
L
50
Zastosowanie splotu do sieci
liniowych
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
B
C
D
E
F
G
P
rz
e
bi
eg
i
n
ap
ię
ci
a
Czas - t