Szymon Kraut

Informacje na temat:

•

 stanów rezonansowych maszyn i 

urządzeń

•

 tłumienia

•

 metod wyznaczania charakterystyki 

dynamicznej oraz dalszej 

syntezy

 układów 

dyskretnych

czwartek 29 kwietnia 2021

2

Wstęp teoretyczny

Ważne pojęcia

Synteza

 – zadanie poszukiwania parametrów 

oraz struktury układów, spełniających zadane 
własności dynamiczne w postaci widma 
częstości.

czwartek 29 kwietnia 2021

3

Stany rezonansowe maszyn i 
urządzeń

Stany rezonansowe są to 

częstotliwości w których w urządzeniu 

powstają największe drgania. Ze 

względu na ich szkodliwe działanie, 

pożądany jest taki dobór 

częstotliwości drgań własnych, aby 

były one poza zakresem częstotliwości 

drgań generowanych przez urządzenie 

podczas prawidłowej pracy. Istnieją 

także przypadki, w których stany 

rezonansowe działają pozytywnie.

czwartek 29 kwietnia 2021

4

Tłumienie a stany 
rezonansowe

Tłumienie obniża amplitudę drgań, 
co pozwala maszynie na wyjście ze 
stanu rezonansu. W maszynie 
pojawia się wiele częstotliwości 
drgań własnych.

czwartek 29 kwietnia 2021

5

Hz

Problem syntezy układów

Aby dokonać syntezy układu 
mechatronicznego, należy najpierw 
wyznaczyć 

charakterystykę 

dynamiczną

.

czwartek 29 kwietnia 2021

6

3 kroki wyznaczania charakterystyki 
dynamicznej

1.

Przyjąć rodzaj syntezowanej funkcji, 
czyli określić czy dana funkcja będzie 
ruchliwością V(s), czy też powolnością 
U(s).

2.

Przyjąć wymagania odnośnie tłumienia 
(jeśli układ ma mieć tłumienie).

3.

Wyznaczyć charakterystykę 
dynamiczną V(s) [U(s)] w postaci 
funkcji wymiernej z dokładnością do 
stałej H.

czwartek 29 kwietnia 2021

7

Synteza charakterystyki

Istnieje wiele możliwości syntezy 
charakterystyki zgodnie z 
założeniami. Liczba możliwych 
struktur zależy od częstości 
rezonansowych i nałożonych na 
układ utwierdzeń.

czwartek 29 kwietnia 2021

8

Synteza powolności układów 
przytwierdzonych.

czwartek 29 kwietnia 2021

9

Przykład rozwiązania 
zadania

Wymagania

Wymagania, jakie spełnić ma układ 
podane są w postaci ciągu częstości 
rezonansowych i antyrezonansowych:

czwartek 29 kwietnia 2021

10





















zera

s

rad

s

rad

bieguny

s

rad

s

rad

2

,

0

3

,

1

2

0

3

1









1

Hz

Założenia

1.

Poszukiwana funkcja 
charakterystyczna jest powolnością 
U(s).

2.

Przyjmuje się wymagania odnośnie 
tłumienia:



w układzie brak jest tłumienia

czwartek 29 kwietnia 2021

11

Tworzenie 
charakterystyki

Kolejnym krokiem jest utworzenie 
charakterystyki w takiej postaci, aby dało się 
ją poddać syntezie jedną ze znanych metod

czwartek 29 kwietnia 2021

12

 











s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

4

9

10

3

2

4

2

2

2

2

3

2

2

1

2























2

Wstęp do właściwej 
syntezy

Sprecyzowane wcześniej wymagania 
w postaci charakterystyk 
dynamicznych (

12.2

) poddaje się 

syntezie jedną z metod:



rozkładu na ułamek łańcuchowy



rozkładu na ułamki proste



metodą mieszaną



wykorzystując algorytm wyznaczania 
elementu sprężystego

czwartek 29 kwietnia 2021

13

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję 
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi 

na ułamek łańcuchowy

czwartek 29 kwietnia 2021

14

3

 



































9

6

5

,

2

6

1

1

9

6

4

1

4

9

6

4

9

10

2

2

3

3

2

3

2

4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

9

5

,

2

1

4

,

2

1

6

1

1

5

,

2

9

4

,

2

1

6

1

1

5

,

2

9

6

1

6

1

1

2

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

























Ostatecznie otrzymuje się charakterystykę 
dynamiczną w następującej postaci ułamka 
łańcuchowego:

Porównując 

15.4

 z otrzymanym wcześniej 

ułamkiem łańcuchowym (

14.3, 15.5

) odczytuje 

się wartości poszczególnych parametrów

czwartek 29 kwietnia 2021

15

 

2

2

1

1

1

1

1

c

s

s

m

c

s

s

m

s

U









4

5

 

9

5

,

2

1

4

,

2

1

6

1

1

s

s

s

s

s

U









Otrzymany układ 
dyskretny

czwartek 29 kwietnia 2021

16

Wartości liczbowe:

m

1

m

2

c

1

c

2

m

N

5

18

,

m

N

6

kg

5

12

,

kg

1

2

1

2

1









c

c

m

m

6

Sprawdzenie wyniku

czwartek 29 kwietnia 2021

17

Wynik można sprawdzić np. za 
pomocą równań różniczkowych ruchu 
układu

Po przekształceniach uzyskuje się:





























0

m

0

m

2

2

2

1

1

2

2

2

1

1

1

1

x

c

x

x

c

x

x

x

c

x





7





0

2

1

2

1

2

1

1

2

1

4

2

1











c

c

m

c

m

c

m

c

m

m





8

Sprawdzenie wyniku

czwartek 29 kwietnia 2021

18

Szukając miejsc zerowych wyrażenia 

17.8

 otrzymuje się:

9

1

2

2

2

1









9

3

1

2

1









1

0

Liczba możliwości

czwartek 29 kwietnia 2021

19

Bibliografia:



Buchacz A., Dymarek A., Dzitkowski T.: Projektowanie i 

badanie wrażliwości ciągłych i dyskretno-ciągłych układów 

mechanicznych o żądanym widmie częstotliwości w ujęciu 

grafów i liczb strukturalnych. Monografia, Politechnika Śląska, 

Gliwice 2005.



Dymarek A.: Odwrotne zadanie dynamiki tłumionych 

mechanicznych układów drgających w ujęciu grafów i liczb 

strukturalnych. Politechnika Śląska, Gliwice 2001.



Kordos M.: Lepsze ułamki. Artykuł miesięcznika Delta 07.2006

czwartek 29 kwietnia 2021

20