RACHUNEK PREDYKATÓW

        Rozpatrzmy  przykłady  zdań:   

„Warszawa  jest  miastem”,  „  jest  liczbą”,  „Zosia 

jest ładna”

Wyrażenia  typu 

„...  jest  A”

  nazywane  są 

predykatami.

  Na  przykład  „...  jest 

miastem”,  „...  jest  młoda”  itp.  są  to 

predykaty

.  W  miejsca  wykropkowane  można 

wstawiać  nazwy  indywidualne,  które  w  tej  nowej  terminologii  nazywa  się 
argumentami predykatów. Stąd też cały dział logiki nazw nazywa się często  logiką 
predykatów lub rachunkiem predykatów. Poza dwoma wymienionymi pojęciami tzn. 
pojęciem: „predykat”, będącemu odpowiednikiem orzeczenia w zwykłej gramatyce 
języka  i  pojęciem  „argument”  będącego  odpowiednikiem  podmiotu,  w  logice  nazw 
występuje  trzecie  podstawowe  pojęcie,  którym  jest  pojęcie  kwantyfikatora. 
Rozróżnia się dwa rodzaje kwantyfikatorów:

a) kwantyfikator ogólny
b) kwantyfikator szczegółowy

.

        Pierwszy  z  nich  odpowiada  wyrażeniu  „każdy”  lub  „dla  każdego”  drugi  zaś 
wyrażeniu „niektóre”, „dla pewnego” lub też wyrażeniu „istnieje”. 
Symbolicznie powyższe dwa wyrażenia zapisywane są następująco:

 x : P(x)

x : P(x)

 

które odczytuje się odpowiednio w sposób następujący:

„dla każdego x, x ma własność P”
„istnieje takie x, że x ma własność P”.

   Symbole 



 i 



 są to odwrócone litery A oraz E, które z kolei są pierwszymi literami 

wyrazów All (wszystkie), i Exists (istnieje).

WYKŁAD 6

        Ze  względu na kwantyfikatory,  ten  dział logiki oprócz  wymienionych już nazw, 
nazywa się też 

rachunkiem kwantyfikatorów.

 Czasem też nazywa się go również 

rachunkiem  funkcji

  zdaniowych

  lub  krótko  rachunkiem  funkcyjnym.  Ta  z  kolei 

nazwa wynika  z tego, że  predykat  tzn. wyrażenie tego typu jak „... jest  miastem”, 
może  być  zapisane  jako  „x  jest  miastem”  i  traktowane  jest  jako  funkcja,  której 
argumentem jest x zaś „wartością” jest prawda lub fałsz.    Jeśli zamiast x wstawimy 
jakąś  nazwę np. „Kraków jest miastem” lub „książka jest miastem”, to otrzymamy 
zdanie  w  sensie  logicznym  tzn.  takie  które  jest  albo  prawdziwe  albo  fałszywe. 
Ponieważ  po  podstawieniu  w  miejsce  x  nazwy  otrzymujemy  zdanie  to  wyrażenie 
typu 

„x jest P”

 lub krócej 

„P(x)”

 nazywa się funkcją zdaniową. 

„P(x)” odczytuje się jako „x ma własność P” lub „x ma cechę P”.

Język rachunku predykatów.

        Podstawowe  elementy  języka,  które  nazywane  są  formułami  zdaniowymi 
klasycznego  rachunku  predykatów  lub  krótko  formułami,  czy  też  wyrażeniami, 
oznaczone  będą  w  metajęzyku  literami  A,  B,  C  itd.  Formuły  te  budowane  są  z 
symboli  stanowiących  alfabet  KRP.  Alfabet  ten  składający  się  z  przeliczalnie  wielu 
symboli podzielony jest na następujące grupy:

- zmienne indywiduowe,
- stałe nazwowe,
- symbole predykatów,
- symbole funkcji,
- stałe logiczne,
- symbole pomocnicze.

        Najbardziej  elementarną  jednostką  języka  jest 

term.

  Termy  z  kolei  stanowią 

podstawę  tworzenia 

formuł  atomicznych

  zwanych  krótko  atomami.  Formuły 

atomiczne  łączone  za  pomocą  spójników  logicznych  stanowią 

formuły 

molekularne

.  Te  wreszcie  stanowią  podstawę  tworzenia  wszystkich  pozostałych 

wyrażeń  języka  KRP

,  które  z  kolei  dzielą  się  na  formuły  otwarte  oraz  formuły 

domknięte. 
       Jak  widać  z powyższego  zdefiniowania  języka  KRP  wymaga zdefiniowaniu wielu 
nowych pojęć, które w KRZ nie występowały. 
   Rozpatrzmy teraz podstawowe grupy alfabetu języka KRP.
Słownik czyli alfabet klasycznego rachunek predykatów (KRP) składa się z rodzajów 
symboli:
a) 

Zmienne indywiduowe:

x

1

, x

2

, x

3

, ...

      Dla  uproszczenia  zapisów,  kiedy  numeracja  zmiennych  nie  będzie  ważna,  to 
stosowane  też  będą  symbole  x,  y,  z.  Zmienne  te  nazywane  też  są  zmiennymi 
nazwowymi,  gdyż  za  zmienne  te  można  podstawiać  dowolne  nazwy  dowolnych 
przedmiotów a więc nazwy indywidualne.
b) 

Stałe nazwowe:

a

1

, a

2

,...

podobnie  jak  poprzednio,  jeśli  numeracja  nie  będzie  ważna,  to  stosowane  będą 
pierwsze litery alfabetu łacińskiego a, b, c, itd.
    Stałe nazwowe reprezentują imiona własne przedmiotów. Jeżeli na przykład w KRP 
opisywany  byłby  rachunek  prawdopodobieństwa,  to  stałymi  nazwowymi  by  były   
dwa zdarzenia:  - niemożliwe i  - pewne.

c) 

Symbole predykatowe

P

1

, P

2

,...

które będą zapisywane też jako 

P, Q, R, S.

        Z  kontekstu  będzie  wiadomo  czy  są  to  predykaty  jedno-,  dwu-  lub  więcej 
argumentowe.
d) 

Symbole funkcyjne

F

1

, F

2

, F

3

,...,

jeśli  nie  będzie  ku  temu  potrzeby,  to  zapisywane  będą  jako  litery  F,  G,  H,  oraz  z 
kontekstu będzie wiadomym ilu argumentowe są funkcje.
e) 

Stałe logiczne:

spójniki międzyzdaniowe (, , , , ), oraz kwantyfikatory (,).

f) Symbole pomocnicze:
przecinek, oraz nawiasy okrągłe.

DEFINICJE

        Termem

  języka  KRP  nazywa  się  każdą  zmienną  indywiduową,  każdą  stałą 

indywiduową  a  ponadto,  jeżeli 



1

,  

2

,...,  

n

  są  to 

termy,

  to  napis 

F(

1

,  ...,  

n

)

  jest 

również 

termem.

Przykłady:

 

a) x

                zmienna indywiduowa,

b) F(x)

                symbol funkcji i jeden argument

c) G(F(x),y)

symbol funkcji i dwa argumenty: jeden jest termem z punktu  b), 

drugi zmienną indywiduową.
   Termem nie jest na przykład napis 

P(F(x),y)

 gdyż litera 

P

 nie jest symbolem 

funkcji. Napis ten jest tzw. formułą zdaniową atomową.

      Formułą  atomiczną

  nazywa  się  napis  postaci: 

P(

1

,  

2

,  ...,  

n

)

  gdzie 

P

  jest 

symbolem predykatu, zaś 



1

, 

2

, n są to dowolne termy.

   Formułą zdaniową

 jest:

a) każda formuła atomiczna (atomowa)
b)  jeśli 

A

  jest  dowolną  formułą  zdaniową,  to  formułami  zdaniowymi  są  też 

następujące napisy:    

(A),    x : (A),     x : (A),

c) jeśli 

A 

i 

B

 są to formuły zdaniowe, to 

(A)  (B),   (A)  (B),  (A) (B),   (A)  (B)

są to również formuły zdaniowe. 

Przykłady poprawnie zbudowanych formuł zdaniowych:

a) 

P(x,y)

b) 

x : P(x,y)

c) 

(x : P(x,y))  (y : Q (y))

Natomiast wyrażenia:
a) 

F(x,y)

b) 

(x : F(x,y))  (P(y))

nie są formułami zdaniowymi.
W  pierwszym  przypadku 

F(x,y)  nie  jest  atomem

,  znakiem  negacji  zaś  można 

poprzedzać tylko atomy.
W drugim przypadku podobnie, kwantyfikator może występować tylko przed formułą 
zdaniową, zaś 

F(x,y) jest termem,

 nie jest zaś atomem a więc nie jest też i formą 

zdaniową.

    Rozpatrzmy następujący przykład wyrażenia:  

x : (P(x,y)  Q(y))  R(x)

Jest  to  poprawne  wyrażenie  KRP,  część  tego  wyrażenia  zawarta  w  nawiasach 
okrągłych występująca po symbolu kwantyfikatora tzn. wyrażenie  

(P(x,y)  Q(y)) 

nazywa  się 

zasięgiem  kwantyfikatora.

  Zmienna  indywiduowa  zapisana  po 

symbolu  kwantyfikatora  i  znajdująca  się  w  zasięgu  kwantyfikatora  nazywa  się 

zmienną związaną

. Jeżeli zmienna nie jest związana żadnym kwantyfikatorem, to 

nazywa  się  ją 

zmienną  wolną

.  Tak  więc  w  wyrażeniu 

(P  (x,y)    Q(y))

  zmienną 

związaną jest zmienna 

x,

 zaś zmienna 

y

 jest zmienną wolną.

   Zauważmy, że w wyrażeniu 

x : (P(x,y)  Q(y))  R(x)

 zmienna 

x

 występująca 

jako  argument  predykatu 

R

  jest  zmienną  wolną,  znajduje  się  ona  bowiem  poza 

zasięgiem  kwantyfikatora.  Podobnie  w  wyrażeniu 

x  :  (y  :  (P(x,y,z)    Q(z))   

R(y))  Q(y)

zmienna 

x

 jest zmienną związaną kwantyfikatorem 



, zaś zmienna 

y

 w wyrażeniu 

P(x,y,z)    Q(z)  oraz  R(y)

  jest  zmienną  związaną  kwantyfikatorem 



,  zmienna  o 

takiej  samej  nazwie  tzn. 

y

  w  wyrażeniu 

Q(y)

  jest  zmienną  wolną,  nie  jest  bowiem 

objęta  zasięgiem  kwantyfikatora 



.  Zmienna 

z

  jest  również  zmienną  wolną,  gdy 

mimo  iż  znajduje  się  w  wyrażeniu należącym  do zasięgu  obu  kwantyfikatorów,  nie 
jest jednak wiązana przez żaden z nich.
   Jeżeli w danej formule 

wszystkie zmienne są zmiennymi wolnymi

, to formułę 

taką nazywa się 

formułą otwartą

.

      Jeżeli  formuła  otwarta  poprzedzona  zostanie  kwantyfikatorami  ogólnymi 
wiążącymi  wszystkie  zmienne,  to  uzyskaną  formułę  nazywa  się  zamknięciem 
formuły  otwartej.  Na  przykład  zamknięciem  formuły  otwartej 

P(x,y)    (Q(y)   

R(y,z)) 

jest formuła

x : y : z : (P(x,y)  (Q(y)  R(y,z))), 

którą krócej zapisuje się w postaci:

x,y,z  :  (P(x,y)    (Q(y)    R(y,z))) 

lub  nawet  w  postaci:

x,y,z  :  P(x,y)    (Q(y)   

R(y,z)).

    Formuły nie zawierające zmiennych wolnych nazywa się też formułami 
domkniętymi lub zdaniami języka rachunku predykatów. 
Rozpatrzmy  dla  przykładu  poniższy  fragment  „tekstu”  zapisanego  w  tym 
języku.

y x : (P(x,y)  Q(y)), R(F(x),y,z), x, y, Q(x)  R(y,x,z)

 Przecinkami 

oddzielone są tu poszczególne formuły języka.
    W podanym fragmencie formuła: 

y x : (P(x,y)  Q(y))

 jest zdaniem 

języka  KRP,  zaś  formuła 

R(F(x),  y,z)

  jest  formułą  otwartą  i  zdaniem  nie 

jest.

      Można  postawić  pytanie:  czy  ktoś  gdzieś  tym  językiem  się  posługuje? 
jeśli tak, to gdzie i w jakich okolicznościach. Czy nie lepiej posługiwać się 
zwykłym „ludzkim” językiem?
   Czy znajdą się chociaż dwie osoby, które potrafią się porozumiewać za 
pomocą  tego  języka?  Otóż  okazuje  się,  że  język  klasycznego  rachunku 
predykatów  jest  niezwykle  ważnym  językiem,  jest  w  pewnym  sensie 
absolutnie  uniwersalnym  językiem,  w  którym  można  wyrazić  prawie 
wszystkie teorie.
      Warto  jednak  pamiętać,  że  w  pewnym  sensie  przedstawiony  język 
językiem  nie  jest.  To  co  zostało  tu  nazwane  językiem  KRP  stanowi  w 
zasadzie  jedynie  formę  i  dopiero  po  jej  napełnieniu  staje  się  użytecznym 
językiem.  Napełnianie  form  językowych  nazywa  się  interpretacją  języka 
(formalnego).

Zapisz poniższe zdania używając kwantyfikatorów.

1. Wszystko, co jest materialne, jest poznawalne.

2. Każdy, kto potrafi pisać, potrafi tym samym czytać.

3. Żaden pisarz nie jest analfabetą.

4. Niektórzy pisarze są również poetami.

5. Niektórzy aktorzy nie są piosenkarzami.

6. Istnieją białe gęsi.

7. Wszyscy wąsacze są palaczami fajek.

8. Niektóre grzyby nie są trujące.

9. Niektórzy żonaci mężczyźni są wierni swoim żonom.

10.Jeśli istnieje sprawiedliwość, to każdy przestępca poniesie karę. 

11.Jeśli ogłoszono alarm lawinowy, to każdy turysta powinien zachować ostrożność.

12.Istnieje liczba pierwsza, która jest liczbą parzystą.

13.Między dowolnymi liczbami wymiernymi znajduje się co najmniej jedna liczba 

wymierna.

14.Istnieją trójkąty, w których każdy kąt jest prosty.

15.Nie istnieje wielościan mający więcej ścian niż krawędzi.

16.Po każdym piątku następuje sobota.

17.Nie istnieje największa liczba naturalna.

18.Nie ma darmowych obiadów.

19.Wszystkie kwadraty są podobne.

20.W tym mieście nie ma złodziei.