Typy zadań na
Typy zadań na
mnożenie
mnożenie
Typy zadań na
Typy zadań na
mnożenie
mnożenie
Katarzyna Sałata, PWD III rok
Katarzyna Sałata, PWD III rok
Typy zadań na
Typy zadań na
mnożenie
mnożenie
Typy zadań na
Typy zadań na
mnożenie
mnożenie
Katarzyna Sałata, PWD III rok
Katarzyna Sałata, PWD III rok
Podstawa programowa
• Klasa I
Mnożenie:
- Liczenie przedmiotów np. po 3 lub po 4
- Wielokrotne dodawanie i odejmowanie tej samej liczby
(głośne liczenie typu: 0,3,6,9)
- Przykłady konkretnych sytuacji typu „ wiele razy po tyle
samo (w zakresie 20 lub 25)
- Wprowadzenie mnożenia liczb i znaku mnożenia
- Zadania dotyczące mnożenia rozwiązywane na konkretach
Zadania tekstowe
jednodziałaniowe:
- Przykłady przybliżające uczniom, czym jest zadanie
matematyczne
- Stopniowe przechodzenie od zadań dotyczących
przedmiotów znajdujących się przed dzieckiem,
poprzez zadania słowno-rysunkowe, do zadań czysto
tekstowych
- Dostrzeganie, które liczby są w zadaniu są dane, która
jest szukana i jakie są związki między nimi
- Rozwiązywanie zadań przez symulację ich treści na
konkretach i pomocniczych rysunkach oraz przez
wykonanie odpowiednich działań na liczbach
•Klasa II
Mnożenie:
- Przypomnienie sytuacji typu „tyle po tyle”, w których
wykonuje się mnożenie; znajdowanie wyniku mnożenia
na konkretach oraz przez wielokrotne dodawanie tej
samej liczby
- Obliczanie liczby identycznych kwadratów w danym
prostokącie (np. kafelków)
- Praktyczne wykorzystanie przemienności mnożenia w
obliczeniach
- Obliczanie iloczynów w zakresie tabliczki mnożenia
- Praktyczne stosowanie rozdzielności mnożenia
względem dodawania
- Wstępne przybliżanie tego że mnożenie i dzielenie są
działaniami wzajemnie odwrotnymi
- Nazwy: iloczyn, czynnik
- Równania z okienkami typu 4• = 24
- Przykłady obliczeń, w których występuje mnożenie wraz
z dodawaniem lub odejmowaniem; stopniowe
zastępowanie dwóch pojedynczych działań jednym
zapisem złożonym
- Umowy dotyczące kolejności wykonywania działań,
użycie nawiasów
Zadania tekstowe:
- Kształtowanie rozumienia sensu zadania tekstowego
- Rozwiązywanie zadań jednodziałaniowych
- Matematyzowanie sytuacji konkretnych przez układanie
i rozwiązywanie zadań
- Układanie zadań jednodziałaniowych do rysunku i do
działania arytmetycznego
- Przykłady rozbudowywania zadań jednodziałaniowych
do dwudziałaniowych
- Próby ujmowania rozwiązania zadania złożonego w
jednym zapisie
•Klasa III
Mnożenie:
- Przypomnienie w jakich sytuacjach wykonuje się mnożenie
- Mnożenie przez 0 i przez 1
- Pamięciowe opanowanie tabliczki mnożenia
- Wzajemna odwrotność dzielenia i mnożenia
- Równania z okienkami typu 4• = 24, •8 = 32
- Umowy dotyczące kolejności wykonywania działań, użycie
nawiasów
- Porównywanie ilorazowe; kontrastowanie z porównywaniem
różnicowym
- Przykłady wielokrotności liczb
- Mnożenie przez 10 i przez 100
- Obliczanie iloczynów typu 4•57 przez rozdzielenie czynnika
dwucyfrowego (4•57= 4•50 + 4•7)
- Iloczyn trzech czynników
- Zaznajomienie z algorytmem mnożenia pisemnego
Zadania tekstowe:
- Matematyzowanie sytuacji konkretnych : Rozwiązywanie
zadań jednodziałaniowych oraz łatwych zadań
złożonych
- Próby ujmowania rozwiązania zadania tekstowego w
jednym zapisie
- Układanie zadań i do działań arytmetycznych
- Rozbudowywanie zadań jednodziałaniowych do
złożonych
- Dobieranie pytań do danych historyjek
jednodziałaniowych
Dwa typy zadań na
mnożenie
• Zadania sprowadzające się do
znalezienia liczebności iloczynu
kartezjańskiego dwu zbiorów
• Zadania polegające na przeliczeniu
miary przy jednej jednostce na miarę
przy innej jednostce. Zadania te
dotyczą różnych wielkości: długości,
ciężarów, pól, cen.
Iloczyn kartezjański
jako działanie na
zbiorach
Przypuśćmy że A i B są dowolnymi
zbiorami. Iloczynem kartezjańskim
tych zbiorów nazywamy zbiór A × B
określany jako zbiór wszystkich par
uporządkowanych (x, y), w których na
pierwszym miejscu jest dowolny
element x zbioru A, a na drugim
dowolny element y zbioru B.
Iloczyn kartezjański
Zbiór A
Zbiór B
x
1
x
2
y
5
y
4
y
1
y
3
y
2
A× B: (x
1
, y
1
); (x
1
, y
2
); (x
1
, y
3
); (x
1
, y
4
); (x
1
, y
5
);
(x
2
, y
1
); (x
2
, y
2
); (x
2
, y
3
); (x
2
, y
4
); (x
1
, y
5
)
2•5=10
Przykład
Witanie się drużyn sportowych
Do dobrych zwyczajów należy wzajemne przywitanie się
przeciwników przed meczem. W przypadku dwóch
drużyn siatkarskich będą to 2 sześcioosobowe zespoły:
A – w niebieskich
koszulkach
B – w czerwonych
koszulkach
Idą gęsiego, każdy w kierunku drugiego.
B
A
B
1
A× B : (A
1
, B
1
); (A
1
, B
2
)…
6 • 6 = 36
Zadania polegające na przeliczeniu
miary przy jednej jednostce na
miarę przy innej jednostce -
przykłady
Przedstawienie na klockach różnej długości:
Czerwone
Zielone
Brązowe
Żółte
Niebieskie
12 • 1 = 12
6 • 2 = 12
4 • 3 = 12
3 • 4 =
12
2 • 6 = 12
Zadanie tekstowe
W wiaderku mieści się 5 dzbanków wody, w dzbanku mieszczą
się 3 szklanki wody. Ile szklanek wody mieści się w wiadrze?
Rozwiązanie: 5 • 3 = 15
Odp. : W wiadrze mieści się 15 szklanek wody.
=
+
+
+
+
+
+
=
Typologia zadań
tekstowych
1) Ze względu na liczbę działań jakie należy
wykonać aby rozwiązać zadanie:
Zadania PROSTE – można rozwiązać za pomocą jednego
działania
na dodawanie
na odejmowanie
na mnożenie
na dzielenie (na mieszczenie lub na
podział)
Zadania ZŁOŻONE – należy rozwiązać za pomocą więcej
niż jednego działania
2) Ze względu na liczbę prawidłowych
rozwiązań
Zadania ZAMKNIĘTE – posiadają dokładnie jedno
rozwiązanie
Zadania OTWARTE – posiadają więcej niż jedno, uważane za
poprawne rozwiązanie
należy do nich zaliczyć zadania celowo
źle sformułowane:
z niedoborem danych
z nadmiarem danych
z danymi sprzecznymi
3) Ze względu na budowę
Zadania ARYTMETYCZNE – każdy podtyp wymaga innej
operacji (klasa I)
na dodawanie
na odejmowanie
na mnożenie
na dzielenie (na mieszczenie lub na podział)
Zadania TYPOWE (klasa I i II)
na porównywanie różnicowe
na porównywanie ilorazowe
na sprowadzanie do jedności –
zawierają dane półjawne powiązane zależnościami.
Np. Jedna gazeta kosztuje 6 zł. Ile trzeba zapłacić za 2 takie gazety?
Zadania ALGEBRAICZNE – można je rozwiązywać
za
pomocą równań (klasa
II)
Na obliczanie pierwszego niewiadomego składnika przy
danej sumie i drugim składniku
Na obliczanie drugiego niewiadomego składnika przy
danej sumie i pierwszym składniku
Na obliczanie niewiadomego odjemnika przy danej
różnicy i odjemnej
Na obliczanie niewiadomej odjemnej przy danej różnicy
i odjemniku
Na obliczanie pierwszego niewiadomego dzielnika przy
danej dzielnej i ilorazie
Na obliczanie pierwszego niewiadomej dzielnej przy
danym dzielniku i ilorazie
Na obliczanie pierwszego niewiadomego czynnika przy danym
iloczynie i drugim czynniku
Np. W sadzie rosły jabłonie, po 5 w każdym rzędzie.
Razem rosło 15 jabłoni. W ilu rzędach rosły jabłonie?
x • 5 = 15
Na obliczanie drugiego niewiadomego czynnika przy danym
iloczynie i pierwszym czynniku
Np. Krawcowa uszyła 4 bluzki. Do każdej przyszyła po tyle samo
guzików. Zużyła 12 guzików. Po ile guzików zużyła do jednej
bluzki?
4 • x = 12
Wprowadzanie prostych zadań
arytmetycznych na mnożenie
Pojęcie mnożenia wyjaśnia się uczniom jako dodawanie
jednakowych składników, wymagając przy tym operowania
grupami przedmiotów, czynności te powinny być również
stosowane przy wprowadzaniu zadań tekstowych na
mnożenie.
I ETAP
Żeby skłonić uczniów do liczenia grupami, dobrze jest redagować
zadania w następującej formie:
Weronika brała z cukiernicy 3 razy po 2 kostki cukru. Ile
kostek cukru wzięła Weronika z cukiernicy?
W trakcie tego zadania zwrócimy uwagę na 2 elementy:
1) Ile razy brała Weronika cukier z cukiernicy?
2) Ile kostek cukru brała za każdym razem?
„trzy razy po dwa”
Po takiej analizie uczniowie mogą już samodzielnie imitować
praktyczne czynności wskazywane w zadaniu i opisywać je
werbalnie.
II ETAP
W następnym etapie realne manipulacje grupami
przedmiotów możemy już zastępować czynnościami
umownymi na rysunkach
.
Powinniśmy przy tym
uświadomić uczniom, że zapis formuły mnożenia jest
prostszy i oszczędniejszy od rozwiniętej formuły
dodawania.
Możemy to pokazać na przykładzie analizy następującego
zadania:
Tata podlewał warzywa na działce. Przyniósł 5 razy po dwa
wiadra wody. Ile wiader przynosił zużył tata do
podlewania?
1) Czynności orientacyjne:
- Ile razy przynosił tata wodę na grządki
- 5 razy
- Po ile wiader przynosił tata za każdym razem?
- Po 2 wiadra
2) Czynności ruchowe:
- Ułóżcie na stolikach patyczki tak, jak tata przynosił
wodę w wiadrach
3) Czynności werbalne
- Jak ułożyliście swe patyczki?
- 5 razy po 2 patyczki
- W jaki sposób tata nosił wiadra z wodą?
- Pierwszy raz 2 wiadra, drugi raz 2... i piąty raz 2 wiadra
4) Czynności umowne
- Zilustrujcie to zadanie w zeszycie tak żeby było widać
jak tata nosił wodę
5) Czynności werbalne:
- Jak narysowaliście swe kreseczki w zeszycie?
- 5 razy po 2 kreseczki
- Dlaczego narysowaliście kreski parami?
- Bo tata nosił po 2 wiadra
- Ile takich par narysowaliście?
- 5, bo tata nosił 5 razy po 2 wiadra
- Co mamy obliczyć w tym zadaniu?
-
Ile wiader przyniósł tata razem
- Jakim działaniem możemy to obliczyć?
-
Dodawaniem
6) Czynności symboliczne:
- Zapiszcie to działanie pod rysunkiem i obliczcie jego
wynik
Zapis: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
7) Czynności werbalne:
- Ile razy powtarza się składnik 2 w tym wzorze?
- 5 razy
Wyjaśnienie nauczyciela: ten wzór można zapisać krócej
w taki sposób:
Zapis: 5 · 2 = 10
Czytamy go tak: 5 razy 2 równa się 10.
III ETAP
Na następnych lekcjach uczniowie mogą już ilustrować
zadania na mnożenie za pomocą rysunków konkretnych i
schematów.
Zadanie:
Adam zapakował po 6 bombek do 4 pudełek. Ile bombek było
w tych pudełkach?
6 + 6 + 6 + 6 =
24
4 • 6 =
24
Odp. : W pudełkach były 24 bombki.
IV ETAP
Kiedy dzieci będą już bez trudu przekształcać formuły
dodawania w formuły mnożenia, zrezygnujemy z
zapisywania podwójnych wzorów matematycznych,
polecając im zapisywać tylko same formuły mnożenia.
Najpierw należy formuły te rejestrować na schematach:
grafach strzałkowych czy drzewkach, a dopiero później w
postaci symbolicznej.
Zadanie:
Mama kupiła 3 bułki po 8 zł. Ile zapłaciła?
•
8
3
•
8 =
24
Odp. : Mama kupiła 24 bułki.
Zadanie:
Każdy koń ma ... nogi. Ile nóg ma 6 koni?
6
4
•
6 • 4 = 24
Ułóż podobne zadania o palcach, żeby pasowały do
wzorów:
5 • 4 =
4 • 10 =
2 • 20 =
Odp. : 6 koni ma 24 nogi.
V ETAP
Rozwiązywaniu zadań na mnożenie powinny stale towarzyszyć
próby układania takich zadań. Podstawą tej pracy mogą być:
Rysunki:
Ułóż zadanie do rysunku i pytania: Ile tulipanów jest w
tych wazonach?
Schematy:
Dokończ zadanie i rozwiąż je:
Tomek robił ramkę z listewek. Uciął ............
Wzory:
Ułóż zadanie pasujące do wzoru i pytania podanego poniżej:
6 • 2 =
Ile pieniędzy miał Dawid w skarbonce?
Przykłady zadań złożonych
• Zadania arytmetyczne
Mama kupiła 4 pudełka po 6 szklanek w każdym.
Ustawiła te szklanki w kredensie w 3 równych rzędach.
Po ile szklanek stało w każdym rzędzie?
4 • 6 : 3 =
Monika dostała od mamy 8 monet pięciozłotowych. 3
monety wrzuciła do skarbonki, a za resztę kupiła
słodycze dla siebie i koleżanek. Ile kosztowały
słodycze?
(8 – 3) • 5 =
Klasa III wybrała się do kina. Dla 24 chętnych uczniów
kupiono bilety i popcorn - w sumie po 19 zł, a dla
reszty same bilety po 14 zł. Klasa liczy 33 uczniów. Ile
zapłacono za wszystko?
24 • 19 + [(35-24) • 14] =
• Zadania typowe – na porównywanie ilorazowe
Siostra Mateusza ma 4 lata, Mateusz jest 2 razy starszy
od siostry, a mama jest 5 razy starsza od Mateusza. Ile
lat ma mama?
(4 • 2) • 5 =
Paulina zerwała w ogrodzie 16 tulipanów, róż 4 razy
mniej, a konwalii 2 razy więcej niż tulipanów. Ile
kwiatów zerwała Paulina w ogrodzie?
16 + (16 : 4) + (16 • 2) =
Zadania typowe – na sprowadzanie do
jedności
Za 5 jogurtów zapłacono 10 zł. Ile trzeba zapłacić za 8
jogurtów?
(10 : 5) • 8
Tata kupił dla mamy za 981 zł 4 m materiału białego i 5
m materiału niebieskiego. Oba rodzaje materiału były w
tej samej cenie za metr. Ile kosztował materiał biały a
ile niebieski?
[207 : (4 + 5)] • 4 =
[207 : (4 + 5)] • 5 =
W 6 pojemnikach jest jest 48 litrów benzyny, a w
beczce mieści się 5 razy więcej benzyny niż w
pojemniku. Ile benzyny mieści się w cysternie skoro
można do niej wlać 20 beczek benzyny?
(48 : 6) • 5 • 20 =
Zadania algebraiczne
Do klasy przyniesiono 3 tace, a na każdej 10 szklanek
herbaty. Po wypiciu herbaty przez uczniów na tacach
zostało 7 szklanek z herbatą. Ile szklanek herbaty wypili
uczniowie?
(3 • 10) – x = 7
30 – x = 7
x = 30 - 7
Do sklepu obuwniczego dostarczono obuwie. Wśród
dostawy było 6 kartonów zawierających po 10 par
butów męskich, 9 kartonów mieszczących po 8 par
butów damskich i 5 kartonów z obuwiem dziecięcym.
Łącznie dostawa zawierała 232 pary butów. Po ile par
butów dziecięcych zawierał każdy karton?
6 • 10 + 9 • 8 + 5 • x = 232
60 + 72 + 5 • x = 232
132 + 5 • x = 232
5 • x = 232 – 132
x = (232 – 132) : 5
Bibliografia:
• Maria Cackowska: Rozwiązywanie zadań tekstowych w
klasach I-III
• Maria Frindt, Joanna Jednoralska : Myślę i liczę.
Matematyka klasa 3
• Grażyna Lech: Kształcenie zintegrowane : szkoła
podstawowa. (Ja i mój uczeń pracujemy aktywnie.
Scenariusze lekcji z wykorzystaniem metod
aktywizujących)
• Zbigniew Semadeni : Edukacja matematyczna dla szkoły
podstawowej : etap I "Przyjazna matematyka" : klasy I-III
• Zbigniew Semadeni: Nauczanie początkowe matematyki
(Tom I i III)
• Edmund Stucki: Nauczanie matematyki w klasach niższych
( Część II i III)