Geodezja Wyższa i 

Astronomia Geodezyjna

Treść ćwiczeń

1.

Sfera niebieski, okręgi kół wielkich i małych, dwukąt 
i trójkąt sferyczny,  miara kątów i boków trójkąta 
sferycznego, trójkąt biegunowy. Podstawowe  wzory 
trójkąta sferycznego.

2.

Transformacja układów współrzędnych jako przykład 
rozwiązywania 

trójkątów sferycznych.

3.

Zjawiska ruchu dobowego - analiza i obliczanie 
efemeryd tych zjawisk. 

4.

Zależność pomiędzy czasem słonecznym średnim a 
gwiazdowym,  zależność pomiędzy czasem  
słonecznym średnim a czasem słonecznym 
prawdziwym - równanie czasu. 

5.

Rozwiązywanie małych trójkątów sferycznych. 
Przenoszenie współrzędnych 

zadanie wprost i 

odwrotne.

6.

Przeliczanie współrzędnych ortokartezjańskich na 
elipsoidalne i odwrotnie.

7.

Przeliczenie współrzędnych elipsoidalnych na 
współrzędne płaskie w 

wybranym odwzorowaniu.

8. Obliczenie poprawek odwzorowawczych do 

pomierzonych kątów i  długości.

9. Azymut astronomiczny, geodezyjny, kąt kierunkowy w 

odwzorowaniu. 

10.Transformacje pomiędzy przestrzennymi układami 

odniesienia 

 

stosowanymi w Polsce.

11.Obliczanie poprawek niwelacyjnych – ortometrycznej i 

normalnej.

Treść ćwiczeń

Geometria sfery

SFERA

  –  zbiór  punktów  przestrzeni,  których 

odległość  r  od  pewnego  obranego  punktu  o  jest 
stała.  Odległość  r  jest  promieniem  sfery,  punkt  O  – 
środkiem sfery.

KOŁO

 – przekrój powierzchni sfery płaszczyzną.

Jeżeli płaszczyzna sieczna przechodzi przez środek sfery to 
przekrój  nazywamy 

kołem  wielkim

,  jeżeli  nie  –  przekrojem 

jest 

koło małe

.

Geometria sfery

Biegun  koła  wielkiego

  jest  to  miejsce  geometryczne  na 

powierzchni sfery (kuli), którego odległość od danego koła 
wielkiego wynosi 1/4 obwodu koła wielkiego

Geometria sfery

ODLEGŁOŚĆ SFERYCZNA

 – długość mniejszego łuku koła 

wielkiego przechodzącego przez dwa punkty leżące na 
sferze.

Geometria sfery

Dwukątem  sferycznynym

  nazywamy  wycinek  sfery  (kuli) 

który tworzą dwa przecinające się koła wielkie.

Dwa przecinające koła wielkie tworzą 4 dwukąty sferyczne.

Geometria sfery

TRÓJKĄT  SFERYCZNY

  –  część  powierzchni  sfery  ograniczona 

łukami trzech kół wielkich.

KĄT  TRÓJKĄTA  SFERYCZNEGO

  –  kąt  pomiędzy 

stycznymi  do  kół  wielkich  wychodzących  z  danego 
wierzchołka.

Geometria sfery

 

Geometria sfery

1. w trójkącie sferycznym naprzeciw większego 

(mniejszego) boku leży większy (mniejszy) kąt i 
odwrotnie – naprzeciw większego (mniejszego) kąta leży 
większy (mniejszy) bok.

2. w trójkącie sferycznym naprzeciw równych boków leżą 

równe kąty: jeżeli a=b to A=B.

3. w trójkącie sferycznym suma dwóch boków jest większa 

od boku trzeciego (a+b>c), zaś suma dwóch kątów jest 
mniejsza od sumy kąta trzeciego i kąta półpełnego 
(A+B<C+180°).

4. jeżeli w trójkącie sferycznym suma dwóch boków jest 

większa, równa lub mniejsza od 180° to suma 
pozostałych kombinacji boków jest również większa, 
równa lub mniejsza od 180°.

WŁASNOŚCI TRÓJKĄTA SFERYCZNEGO:

TRÓJKĄTY EULERA

 – trójkąty sferyczne o bokach i kątach mniejszych od 180°.

Geometria sfery

TRÓJKĄTEM  BIEGUNOWYM  A’B’C’

  względem  danego 

trójkąta  sferycznego  ABC  nazywamy  trójkąt  utworzony 
przez  bieguny  kół  wielkich,  które  tworzą  boki  trójkąta 
danego.

Trójkąt  wyjściowy  jest  trójkątem  biegunowym  dla 
swojego trójkąta biegunowego.

Geometria sfery

Pomiędzy  elementami  trójkąta  danego  (bokami  a,  b,  c  i 
kątami  A, B, C),  a  elementami  trójkąta  biegunowego 
(bokami a’, b’, c’ i kątami A’, B’, C’) zachodzą zależności:

a + A’ = 180°

A + a’ = 180°

b + B’ = 180°

B + b’ = 180°

c + C’ = 180°

C + c’ = 180°

NADMIAR SFERYCZNY:



 = A + B + C –180°

0° < 



 < 180°

Geometria sfery

WARIANTY ROZWIĄZYWANIA 

TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

DANE

OPIS DANYCH

SZUKANE

Wariant 

1

a

b

c

3 boki

A

B

C

Wariant 

2

a

b

C

2 boki i kąt 

pomiędzy nimi

A

B

c

Wariant 

3

a

b

A

2 boki i kąt 

przyległy 

do jednego z nich

B

C

c

Wariant 

4

B

C

c

2 kąty i bok 

przyległy 

do jednego z nich

a

b

A

Wariant 

5

A

B

c

2 kąty i bok 

pomiędzy nimi

a

b

C

Wariant 

6

A

B

C

3 kąty

a

b

c

Geometria sfery

Wzory do rozwiązywania trójkątów

WZÓR SINUSOWY 

C

c

B

b

A

a

sin

sin

sin

sin

sin

sin





WZÓR COSINUSOWY (ALBATANIEGO)

C

b

a

b

a

c

B

c

a

c

a

b

A

c

b

c

b

a

cos

sin

sin

cos

cos

cos

cos

sin

sin

cos

cos

cos

cos

sin

sin

cos

cos

cos













Geometria sfery

C

a

b

a

b

B

c

C

b

a

b

a

A

c

B

a

c

a

c

C

b

B

c

a

c

a

A

b

A

b

c

b

c

C

a

A

c

b

c

b

B

a

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

























WZÓR SINUSOWO-COSINUSOWY

WZORY PODSTAWOWE TRÓJKĄTA BIEGUNOWEGO

B

a

b

A

a

A

C

A

C

c

A

a

C

B

C

B

b

A

a

C

B

C

B

A

sin

sin

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

cos

sin

sin

cos

cos

cos

















Sfera niebieska

Sfera  o  nieskończenie  wielkim,  bliżej  nieokreślonym 
promieniu, której środek zależnie od potrzeb umieszcza się 
np. w miejscu obserwacji, centrum mas Ziemi czy centrum 
mas  Słońca.  Zamiast  rozpatrywać  pęk  kierunków  do  ciał 
niebieskich  znajdujących  się  w  przestrzeni  w  różnych 
odległościach  od  obserwatora  rozpatruje  się  ich  rzuty  na 
sferę 

niebieską, 

będące 

punktami 

przecięcia 

tych 

kierunków ze sferą niebieską.

s f e r a   n i e b i e s k a

Sfera niebieska

ZENIT  I  NADIR

  (Z,  Nd)  –  punkty  przecięcia  sfery 

niebieskiej  przez  linię  pionu  wystawioną  w  miejscu 
obserwacji.

HORYZONT  NIEBIESKI

  –  linia  przecięcia  płaszczyzny 

horyzontu ze sferą niebieską.

WERTYKAŁ 

–  linia  przecięcia  płaszczyzny  przechodzącej 

przez linię pionu ze sferą niebieską.

ALMUKANTARAT 

– linia przecięcia płaszczyzny równoległej 

do płaszczyzny horyzontu ze sferą niebieską.

BIEGUNY NIEBIESKIE (Pn, Ps)

 – punkty przecięcia sfery 

niebieskiej z osią obrotu Ziemi.

RÓWNIK NIEBIESKI

 – linia przecięcia się płaszczyzny 

równika ziemskiego ze sferą niebieską.

POŁUDNIK NIEBIESKI

 – linia przecięcia się płaszczyzny 

południka ziemskiego ze sferą niebieską.

RÓWNOLEŻNIK NIEBIESKI

 – linia przecięcia się 

płaszczyzny równoleżnika ziemskiego ze sferą niebieską.

Sfera niebieska

Sfera niebieska

EKLIPTYKA 

– linia przecięcia płaszczyzny 

heliocentrycznej orbity Ziemi ze sferą niebieską.

BIEGUNY EKLIPTYKI

 

(



n, 



s)

 – punkty przecięcia się 

linii prostopadłej do płaszczyzny ekliptyki i 
przechodzącej przez środek sfery niebieskiej ze sferą. 

POŁUDNIK MIEJSCOWY

 – koło wielkie przechodzące 

przez bieguny niebieskie oraz zenit i nadir. 

I WERTYKAŁ

 – wertykał prostopadły do południka 

miejscowego.

STRONY ŚWIATA

 – punkt południa (S) i punkt północy 

(N): miejsca przecięcia się południka miejscowego i 
horyzontu, punkt wschodu (E) i punkt zachodu (W) 
miejsca przecięcia się I wertykału i horyzontu.

Sfera niebieska

r ó w n ik  n ie b ie s k i

p u n k t   B a r a n a

p u n k t  W a g i

e k lip t y k a

o ś   e k lip t y k i

o ś  o b r o t u  Z ie m i

Sfera niebieska