PRZYBLIŻONE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
• Odnalezienie „z grubsza” przybliżonej
wartości pierwiastków.
• Uściślenie odnalezionych przybliżeń.
1
PRZYBLIŻONE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
• Odnalezienie „z grubsza” przybliżonej
wartości pierwiastków.
• Uściślenie odnalezionych przybliżeń.
1
SZACOWANIE PIERWIASTKÓW
”Z GRUBSZA”
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a,b]
i wartości funkcji f(x) na końcach przedziału [a,b] mają
różne znaki, tzn. f(a) f(b)<0
to między a i b leży przynajmniej jeden pierwiastek
równania f(x)=0
Biorąc różne wartości a i b można zawsze otrzymać
przedział dostatecznie wąski, w którym leżeć będzie
tylko jeden pierwiastek
2
SZACOWANIE PIERWIASTKÓW
METODA GRAFICZNA
Stosowana gdy równanie można przedstawić
w postaci:
1
(x)=
2
(x),
przy czym wykresy
1
i
2
mogą być łatwo
sporządzone.
Wtedy pierwiastki równania równe są odciętym
punktów przecięcia krzywych y=
1
(x) i y=
2
.
METODA PODSTAWIANIA
3
UŚCIŚLANIE PRZYBLIŻEŃ
WYZNACZANIE JEDYNEGO PIERWIASTKA
RÓWNANIA ALGEBRAICZNEGO NIELINIOWEGO W
ZADANYM PRZEDZIALE
Dane równanie f(x)=0
funkcja f(x) ciągła i ściśle monotoniczna
w przedziale [a,b],
tzn. f’(x) i f”(x) mają stały znak
wtedy w przedziale [a,b] istnieje dokładnie jeden
pierwiastek x* równania f(x)=0
4
UŚCIŚLANIE PRZYBLIŻEŃ
•METODA ITERACJI
•METODA STYCZNYCH (Metoda Newtona)
•METODA CIĘCIW (Interpolacja liniowa)
Rozpoczynamy od znanej wartości
przybliżonej rozwiązania i krok po kroku
wyznaczamy ciąg kolejnych przybliżeń, który
jest możliwie szybko zbieżny do
poszukiwanego rozwiązania
5
METODA ITERACJI
Rozważane równanie przekształcamy do postaci x=
(x)
Mając „grube” przybliżenie x
0
obliczamy jak najbardziej
dokładne przybliżenie pierwiastka x, posługując się
wzorami
x
1
=(x
0
)
x
2
=(x
1
)
.....
x
n+1
=(x
n
)
6
METODA ITERACJI
TWIERDZENIE
Niech [a,b] będzie przedziałem izolacji pierwiastka
równania x=(x) i we wszystkich punktach tego
przedziału jest spełniona nierówność
k=const
Jeżeli przy tym zachodzi warunek
to
proces iteracyjny jest zbieżny, przy czym za zerowe
przybliżenie można przyjąć dowolny punkt z
przedziału [a,b]
1
k
x
x
)
x
(
)
x
(
*
*
b
)
x
(
a
7
METODA ITERACJI
WARUNEK DOSTATECZNY ZBIEŻNOŚCI
procesu iteracji
w rozpatrywanym przedziale
Gdy ten warunek nie jest spełniony, to równanie
należy przekształcić (np. funkcja odwrotna)
1
)
x
(
8
METODA STYCZNYCH (Metoda Newtona)
Wyznaczanie kolejnych przybliżeń x
0
, x
1
, x
2
,...,x
n
pierwiastka równania f(x)=0 w przedziale [a,b]
Zakładamy, że funkcja y=f(x) ma pierwszą i drugą
pochodną różną od zera w przedziale
Jeżeli x
0
jest przybliżoną wartością pierwiastka x*
równania f(x)=0 to za przybliżenie dokładniejsze
przyjmuje się
b
x
a
9
METODA STYCZNYCH
.......
(n=0,1,2,…., x
o
– zadane)
)
x
(
f
)
x
(
f
x
x
1
1
1
2
)
x
(
f
)
x
(
f
x
x
n
n
n
1
n
)
x
(
f
)
x
(
f
x
x
0
0
0
1
10
METODA STYCZNYCH
WARUNEK KONIECZNY zbieżności metody
pierwiastek x* jest jednokrotny,
tzn.
WARUNEK WYSTARCZAJĄCY
k=const
0
)
x
(
f
1
k
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
f
2
''
11
METODA STYCZNYCH
Warunki zbieżności muszą być spełnione
w otoczeniu rozwiązania x* zawierającym
wszystkie punkty x
n
oraz x*
Jeżeli procedura Newtona jest zbieżna, to
zbieżność jest tak dobra, że w każdym
kolejnym kroku liczba dokładnych miejsc
dziesiętnych ulega w przybliżeniu podwojeniu
– mówimy o tzw. zbieżności kwadratowej
12
METODA STYCZNYCH
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
Idea: lokalna aproksymacja krzywej y=f(x)
za pomocą stycznej.
Styczną do krzywej wyprowadzamy z końcowego
punktu przedziału [a,b], za x
0
należy wziąć tę
z liczb a i b, dla której f(x
0
) i f”(x
0
) mają taki sam
znak, czyli
0
)
x
(
"
f
)
x
(
f
0
0
13
METODA STYCZNYCH
Przybliżona wartość pierwiastka to odcięta x
1
punktu, w którym styczna przecina oś OX
Równanie stycznej w punkcie (a, f(a))
Punkt przecięcia z osią OX: y=0 x=x
1
czyli:
)
a
x
)(
a
(
f
)
a
(
f
y
14
)
a
x
)(
a
(
f
)
a
(
f
1
METODA STYCZNYCH
)
a
(
f
)
a
(
f
a
x
)
a
(
f
)
a
(
f
a
)
a
(
f
x
)
a
(
f
)
a
(
f
a
)
a
(
f
x
)
a
(
f
a
)
a
(
f
x
)
a
(
f
1
1
1
1
15
METODA CIĘCIW (Interpolacja liniowa)
Dane jest równanie f(x)=0
Niech f(x) jest funkcją ciągłą, która na
krańcach przedziału [a,b] przybiera
wartości różniące się znakiem
Zakładamy:
1. Niech f’(x
0
) ma stały znak dla
wtedy f(x) jest ściśle monotoniczna i
przecina oś OX dokładnie jeden raz
2. Niech f”(x
0
)≠0 dla
wtedy linia y=f(x) nie ma punktów
przegięcia w tym przedziale
b
,
a
x
0
b
,
a
x
0
16
METODA CIĘCIW
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
Za przybliżoną wartość pierwiastka zawartego
w przedziale [a,b] przyjmujemy odciętą punktu
przecięcia cięciwy AB z osią OX
17
METODA CIĘCIW
Równanie cięciwy:
prosta przechodząca przez 2 punkty A i B
A(a, f(a)),
B(b, f(b))
Dla y=0 obliczamy x
1
– odciętą punktu
przecięcia cięciwy AB z osią OX
To jest przybliżona wartość pierwiastka x*
)
a
x
(
a
b
)
a
(
f
)
b
(
f
)
a
(
f
y
)
a
(
f
)
b
(
f
a
b
)
a
(
f
a
x
1
18
METODA CIĘCIW
Ten proces powtarzamy, szukając kolejnych
przybliżeń x
2
, x
3
, …, x
n
z następujących
zależności
1. Gdy: f’(x) f”(x)<0 dla x[a,b]
x
n
– ciąg malejący
a
f
b
f
a
b
b
f
b
x
0
a
f
x
f
a
x
x
f
x
x
n
n
n
n
1
n
a
f
x
f
a
x
x
f
x
x
0
0
0
0
1
19
METODA CIĘCIW
2. Gdy: f’(x) f”(x)>0 dla x[a,b]
……
x
n
– ciąg rosnący
a
f
b
f
a
b
a
f
a
x
0
n
n
n
n
1
n
x
f
b
f
x
b
x
f
x
x
0
0
0
0
1
x
f
b
f
x
b
x
f
x
x
20
BŁĄD otrzymanego przybliżenia to
moduł różnicy pomiędzy przybliżoną
wartością pierwiastka x
n
a dokładną
wartością pierwiastka x*
gdzie k – kres dolny modułu pochodnej f’(x) w
rozpatrywanym przedziale
k
)
x
(
f
*
x
x
n
n
21
PRZYKŁAD 1
Znaleźć dodatnie rozwiązanie równania
x-sin(2x)=0 metodą stycznych
22
PRZYKŁAD 1
f x
( )
x sin 2x
( )
4
2
0
2
4
4
2
0
2
4
f x
( )
x
23
PRZYKŁAD 1
„Grube” przybliżenie
Metoda podstawiania
f(0,5)=0,5-sin1=-0,3415
f(1)=1-sin2=0,0907
Metoda graficzna
f(x)=x
g(x)=sin(2x)
24
PRZYKŁAD 1
f x
( )
x
g x
( )
sin 2x
( )
10
5
0
5
10
2
0
2
f x
( )
g x
( )
x
25
PRZYKŁAD 1
f x
( )
x
g x
( )
sin 2x
( )
0.5
0
0.5
1
1.5
1
0
1
2
f x
( )
g x
( )
x
26
PRZYKŁAD 1
f x
( )
x
g x
( )
sin 2x
( )
0.5
0.75
1
1.25
1.5
0
0.5
1
1.5
f x
( )
g x
( )
x
27
PRZYKŁAD 1
[a,b]=[0,5; 1]
styczna z punktu x
o
=1
6372
,
3
)
1
(
f
0907
,
0
)
1
(
f
56
,
0
)
5
,
0
(
f
34
,
0
)
5
,
0
(
f
)
x
2
sin(
4
)
x
(
f
)
x
2
cos(
2
1
)
x
(
f
28
PRZYKŁAD 1
x
0
=1
)
x
2
cos(
2
1
)
x
(
f
)
x
2
sin(
x
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
f
x
x
0
0
0
1
0907
,
0
)
1
(
f
8323
,
1
2
cos
2
1
)
1
(
f
9504
,
0
8323
,
1
0907
,
0
1
x
1
29
PRZYKŁAD 1
00008
,
0
8954
,
1
sin
9477
,
0
)
x
(
f
9477
,
0
6481
,
1
0044
,
0
9504
,
0
x
2
2
0044
,
0
)
9008
,
1
sin(
9504
,
0
)
x
(
f
1
6481
,
1
)
9008
,
1
cos(
2
1
)
x
(
f
1
30
PRZYKŁAD 2
Znaleźć dodatnie rozwiązanie równania
4x-5lnx-5=0 metodą iteracji
PRZYKŁAD 3
Znaleźć dodatnie rozwiązanie równania
x
2
+5-e
x
=0 metodą cięciw
31