2. Równania różniczkowe pierwszego rzędu
2.1. Równanie o zmiennych rozdzielonych
Def. 74
Równanie postaci
(albo równoważnie - h(y)dy=f(x)dx) nazywamy
r. r. o zmiennych rozdzielonych
)
(
)
(
y
g
x
f
dx
dy
Rozwiązanie otrzymamy całkując obie strony równania
Przykład
Rozwiązać równanie y’ =e
-y
cos2x przy warunku początkowym y(0)=0
Mamy f(x)=cos2x, g(y)=e
y
Rozdzielamy zmienne e
y
dy=cos2xdx
Całka szczególna przy warunku początkowym y(0)=0
Inny sposób obliczenia całki szczególnej: znajdujemy całkę ogólną
i wyznaczamy stałą C z war. pocz.:
C
dx
x
f
dy
y
g
)
(
)
(
Tw. 60
Jeżeli f(x) ciągła w przedziale (a, b) a g(x) ciągła w przedziale (c, d) i
różna od zera, to powyższy wzór
przedstawia całkę ogólną r.r. o stałych rozdzielonych. Ponadto przez każdy punkt
tego prostokąta przechodzi
dokładnie jedna krzywa całkowa, którą można wyznaczyć ze wzoru
x
x
y
y
dt
t
f
dt
t
g
0
0
)
(
)
(
2
2
sin
1
ln
2
2
sin
1
2
2
sin
2
cos
0
0
0
0
x
y
x
e
t
e
tdt
dt
e
y
x
y
t
x
y
t
C
x
e
y
2
2
sin
2
2
sin
1
ln
1
2
2
sin
1
0
1
2
0
2
sin
0
x
y
x
e
C
C
C
e
y
2.2. Równania dające się sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych
2.2.1. Równanie jednorodne
Niech f(u) będzie funkcją ciągłą w przedziale (a, b) taką, że f(u) ≠ u
Równanie
o niewiadomej y(x) nazywa się równaniem różniczkowym jednorodnym
Równanie jednorodne można sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych
za pomocą podstawienia u(x)=y/x
x
y
f
dx
dy
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania
Najpierw trzeba sprawdzić, czy jest to równanie jednorodne. Wykonując wskazane dzielenie
otrzymamy
. Podstawmy za y/x u(x) czyli
x
y
x
dx
dy
x
y
dx
dy
1
Cx
x
x
y
C
x
u
x
dx
du
dx
du
x
x
u
dx
du
x
x
u
dx
du
x
x
u
dx
x
xu
d
dx
dy
x
xu
y
ln
ln
1
)
(
1
)
(
)
(
)]
(
[
i
)
(
2.2.2. Równanie y’=f(ax+by+c)
Jeżeli b≠0, równanie y’=f(ax+by+c) można sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych
za pomocą podstawienia u(x)=ax+by+c
Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania y’=(4x+y+7)
2
przy warunku y(0)=-5
Podstawiamy u(x)=4x+y+7. Stąd y=u-4x-7 i
Teraz z warunku początkowego wyznaczamy stałą całkowania C
I ostatecznie szukana całka szczególna
7
4
)
4
/
2
(
2
4
/
2
2
7
2
5
7
4
)
2
(
2
)
2
(
2
7
4
)
2
(
2
2
2
1
2
1
2
2
1
4
4
4
4
'
1
2
2
2
2
x
x
tg
y
C
tgC
tgC
x
C
x
tg
y
C
x
tg
y
x
C
x
tg
u
C
x
u
arctg
dx
u
u
d
dx
u
du
u
dx
du
u
dx
du
dx
du
dx
dy
y
2.2.3. Równanie
Równanie takie można sprowadzić do równania jednorodnego
lub do równania o zmiennych rozdzielonych
1. Jeżeli wyznacznik
stosuje się podstawienia
gdzie stałe h i k wyznacza się z układu równań
Po takim podstawieniu równanie przyjmie postać
(równanie jednorodne)
2. Jeżeli wyznacznik
wówczas
Podstawiając
otrzymamy równanie o zmiennych rozdzielonych
2
2
2
1
1
1
'
c
y
b
x
a
c
y
b
x
a
f
y
0
2
2
1
1
b
a
b
a
W
y-k
η
h
x
ξ
i
0
0
2
2
2
1
1
1
c
k
b
h
a
c
k
b
h
a
2
2
1
1
b
a
b
a
f
d
d
0
2
2
1
1
b
a
b
a
W
2
1
2
1
b
b
a
a
y
b
x
a
z
2
2
2
1
2
2
c
z
c
z
f
b
a
dx
dz
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania
Zachodzi przypadek 1. Rozwiązujemy układ równań
Układ ma jedno rozwiązanie h=3, k=-1
Podstawiamy
co daje
Jest to równanie jednorodne, żeby je rozwiązać podstawiamy
W ten sposób otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych
Po scałkowaniu
Podstawiamy teraz
co daje ostateczne rozwiązanie
4
2
y
x
y
x
dx
dy
0
2
1
1
1
1
W
0
4
0
2
k
h
k
h
1
i
3
y
η
x
ξ
1
1
d
d
u
d
du
u
u
u
1
2
1
2
2
2
2
1
2
)
1
2
(
ln
ln
1
2
ln
5
,
0
C
u
u
C
u
u
3
1
i
3
x
y
u
x
ξ
C
y
x
y
xy
x
8
4
2
2
2
2.3. Równanie liniowe
Def. 75
Równanie
o niewiadomej y(x), gdzie p(x) i f(x) są to dane funkcje,
ciągłe w pewnym przedziale (a, b) nazywa się
równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu.
Równanie takie nazywa się jednorodnym, gdy f(x)=0 i niejednorodnym w przeciwnym przyp.
)
(
)
(
x
f
y
x
p
dx
dy
2.3.1. Równanie liniowe jednorodne
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Jednym z rozwiązań jest
Jeżeli y(x)≠0, można rozdzielić zmienne
0
)
(
y
x
p
dx
dy
0
)
(
x
y
dx
x
p
e
C
y
dx
x
p
C
y
C
dx
x
p
y
dx
x
p
y
dy
)
(
1
1
)
(
ln
ln
)
(
ln
)
(
Tw. 61
Jeżeli p(x) ciągła w przedziale (a, b), to powyższy wzór przedstawia
całkę ogólną równania liniowego jednorodnego. Ponadto przez każdy punkt
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.
Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania y’-y ctgx=0 przy warunku y(
π
/2)=2
x
C
Ce
Ce
y
x
x
xdx
ctgxdx
dx
x
p
x
dx
x
p
sin
sin
ln
sin
cos
)
(
sin
ln
)
(
2.3.2. Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach
Jest to przypadek szczególny równania liniowego jednorodnego, w którym p(x)=k (stała).
y’ +ky=0
Rozwiązanie tego równania otrzymamy z rozwiązania równania liniowego jednorodnego
Teraz z warunku początkowego wyznaczamy stałą całkowania C.
Ale najpierw trzeba zobaczyć, czemu jest równy
. Nasz warunek początkowy
jest podany dla x=
π
/2. Dla 0<x<
π
, zatem w tym przedziale
całka ogólna naszego równania y = C sinx
2 = C sin
π
/2 = C
czyli
C=2
i ostatecznie szukana całka szczególna
y = 2 sinx
x
sin
x
x sin
sin
kx
kdx
dx
x
p
Ce
Ce
Ce
y
)
(
2.3.3. Równanie liniowe niejednorodne
Rozwiązuje się w oparciu o rozwiązanie równania jednorodnego jedną z dwóch metod:
1. Uzmienniania stałej
2. Przewidywań
2.3.3.1. Metoda uzmienniania stałej
Polega ona na tym, że w rozwiązaniu równania jednorodnego stałą C
zastępuje się nieznaną funkcją C(x), którą dobiera się tak, by wzór
przedstawiał rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego.
Jak to zrobić?
Można zróżniczkować powyższy wzór:
Wstawiając oba te wzory do równania różniczkowego niejednorodnego
otrzyma się
Po uporządkowaniu
czyli
a stąd
Udowodniliśmy zatem
dx
x
p
e
x
C
y
)
(
)
(
Tw. 62
Jeżeli p(x) i f(x) ciągłe w przedziale (a, b), to całka ogólna równania
liniowego niejednorodnego wyraża się wzorem
Ponadto przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego
równania.
dx
e
x
f
e
e
C
x
y
dx
x
p
dx
x
p
dx
x
p
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
dx
x
p
dx
x
p
e
x
p
x
C
e
x
C
dx
dy
)
(
)
(
'
)]
(
)[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(
)[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
'
x
f
e
x
C
x
p
e
x
p
x
C
e
x
C
dx
x
p
dx
x
p
dx
x
p
)
(
)
(
)
(
'
x
f
e
x
C
dx
x
p
dx
x
p
e
x
f
x
C
)
(
'
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
C
dx
e
x
f
x
C
dx
x
p
Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania y’-y ctgx=sin
2
x przy warunku y(-
π
/2)=1.
Mamy zatem p(x)=-ctg x i
f(x)= sin
2
x
Można skorzystać z tw. 62, ale łatwiej jest wykorzystać obliczone poprzednio rozwiązanie
równania jednorodnego i obliczyć C(x) jak w dowodzie tego twierdzenia.
Przyjmijmy zatem y = C(x) sin x. Różniczkując otrzymamy
y’ = C’(x) sin x + C(x) cos x
a wstawiając y i y’ do równania wyjściowego dostaniemy
C’(x) sin x + C(x) cos x – ctg x C(x) sin x= sin
2
x
Stąd
C’(x) = sin x
więc
C(x) = -cos x + C
1
Zatem ostatecznie
y(x) = C(x) sin x = -cos x sin x + C
1
sin x = -0,5 sin 2x + C
1
sin x
Z warunku początkowego
1=-0,5 sin(-
π) +
C
1
sin (-
π
/2)= - C
1
C
1
=-1
i rozwiązaniem szczególnym jest
y(x) = -(0,5 sin 2x + sin x)
Tw. 63
Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego jest sumą całki ogólnej
równania jednorodnego i jakiejkolwiek całki szczególnej równania
niejednorodnego.
2.3.3.2. Metoda przewidywań
Oparta jest o tw. 63.
Wystarczy odgadnąć jakąkolwiek całkę szczególną równania
niejednorodnego.
Zakres zastosowań:
1. Równanie jest równaniem o stałych współczynnikach tzn. p(x)=k
i
2. Funkcja f(x) jest jednej z poniższych postaci:
a. Wielomian W
n
(x)
b. Funkcja typu a
1
sinωx + a
2
cosωx
c. Funkcji postaci a e
bx
y gdy b różne od –k
d. Suma lub iloczyn funkcji tych trzech typów
Całkę szczególną przewidujemy w tej samej postaci co f(x)
zachowując odpowiednio:
a. Stopień wielomianu n
b. Liczbę ω
c. Liczbę b
Pozostałe stałe (współczynniki wielomianu, stałe a
1
, a
2
i a) wyznaczmy
z równania.
Przykład 1
Znaleźć całkę ogólną równania
y’+4y =x
3
Równanie jest o stałych współczynnikach (p(x)=4), a f(x)= x
3
jest
wielomianem, zatem można próbować rozwiązać to równanie metodą
przewidywań.
f(x) jest wielomianem stopnia 3, zatem odgadywana całka szczególna y
1
też
będzie wielomianem stopnia 3 czyli
y
1
=Ax
3
+B x
2
+C x+D
y
1
musi spełniać równanie
y’+4y =x
3
Liczymy
y
1
’=3A x
2
+2B x+C
Wstawiając do równania otrzymamy
3A x
2
+2B x+C+4[Ax
3
+B x
2
+C x+D]= x
3
Po uporządkowaniu
4Ax
3
+(3A+4B)x
2
+(2B+4C) x+(C+4D)= x
3
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x
otrzymamy:
4A=1
3A+4B=0
2B+4C=0
C+4D=0
Po rozwiązaniu tego układu równań liniowych
A=1/4; B=-3/16;
C=3/32;
D=-3/128
i całką szczególną jest y
1
= 1/4 x
3
-3/16 x
2
+ 3/32 x -3/128
Całką ogólną równania jednorodnego jest y=Ce
-4x
zatem całką ogólną równania jest (zgodnie z tw. 63)
y=Ce
-4x
+ 1/4 x
3
-3/16 x
2
+ 3/32 x -3/128
Przykład 2
Znaleźć całkę szczególną równania
y’+2y =xe
x
spełniającą warunek początkowy y(0)=2
Równanie jest o stałych współczynnikach (p(x)=4), a f(x)= xe
x
jest iloczynem
wielomianu stopnia 1 i f. wykładniczej zatem można próbować rozwiązać to
równanie metodą przewidywań.
Odgadywana całka szczególna y
1
też będzie iloczynem wielomianu stopnia 1
i funkcji wykładniczej czyli
y
1
=(A x+B) e
x
y
1
musi spełniać równanie
y’+2y =xe
x
Liczymy
y
1
’=Ae
x
+ (A x+B) e
x
Wstawiając do równania otrzymamy
Ae
x
+ (A x+B) e
x
+2(A x+B) e
x
=xe
x
Po podzieleniu przez e
x
i uporządkowaniu otrzymamy
3Ax+(A+3B)=x
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x
otrzymamy:
3A=1
A+3B=0
Po rozwiązaniu tego układu równań liniowych A=1/3; B=-1/9
i całką szczególną jest y
1
= 1/3 (x-1/3) e
x
Całką ogólną równania jednorodnego jest y=Ce
-2x
zatem całką ogólną równania jest (zgodnie z tw. 63)
y=Ce
-2x
+ 1
/3 (x-1/3)
e
x
Uwzględniając warunek początkowy y(0)=2 mamy 2=C e
0
+1/3(0-1/3) e
0
=C-1/9
Stąd C=19/9 i ostatecznie szukane rozwiązanie
y=19/9e
-2x
+ 1
/3 (x-1/3)
e
x
Tw. 64
Suma całki szczególnej
równania
I całki szczególnej
równania
Jest całką szczególną
równania.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
x
f
x
f
y
x
p
dx
dy
x
f
y
x
p
dx
dy
x
f
y
x
p
dx
dy
Twierdzenie przydatne, gdy prawa strona jest sumą funkcji różnych dopuszczalnych typów
Porównanie metod rozwiązywania równań liniowych niejednorodnych
1. Metoda uzmienniania stałej:
Uniwersalna, może być zawsze stosowana, ale często mozolna
2. Metoda przewidywań:
Prostsza, zwykle mniej obliczeń, ale bardzo ograniczony zakres zastosowań
3. Równania różniczkowe drugiego rzędu
3.1. Równania sprowadzalne do równań różniczkowych pierwszego rzędu
Przykład
Znaleźć całkę ogólną i całkę szczególną przy warunkach pocz. y(0)=2, y’(0)=1 równania
y’’=y’ lny’
Po podstawieniu y’=u; y’’=u’ dostaniemy
u’=u ln u
Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.
Rozwiązaniem jest
ln u=Ce
x
Stąd
ln y’=Ce
x
y’ =e
Cex
=(e
C
)
ex
=(C
1
)
ex
Z warunku y’(0)=1 można wyznaczyć stałą C
1
1 =(C
1
)
e0
=C
1
Stąd
Z warunku y(0)=2 mamy 2=0+ C
2
i ostatecznie y=x+2
2
1
)
(
C
dx
C
y
x
e
3.1.1. Równanie typu F(x, y’, y’’)=0
Nie występuje w nim zmienna y(x)
Równanie takie można sprowadzić do równania pierwszego rzędu za
pomocą podstawienia u(x)=y’
bo y’’=u’ i otrzymujemy równanie F(x, u, u’)=0
2
2
2
2
1
1
1
)
(
C
x
C
dx
C
dx
C
dx
C
y
x
x
e
e
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania
1+(y’)
2
=2yy’
Po podstawieniu y’=u(y); y’’=u’y’=u’u dostaniemy
1+u
2
= 2yuu’
Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.
3.1.2. Równanie typu F(y, y’, y’’)=0
Nie występuje w nim zmienna x
Równanie takie można sprowadzić do równania pierwszego rzędu za
pomocą podstawienia y’=u(y)
bo y’’=u’y’=u’u i otrzymujemy równanie F(y, u, uu’)=0
1
'
1
ln
ln
ln
ln
ln
)
1
ln(
1
2
1
2
1
1
1
2
2
y
C
y
u
u
y
C
y
C
C
y
C
y
C
y
u
y
dy
u
udu
Jest to ponownie równanie o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
gdzie
,
1
)
(
4
e
ostateczni
i
)
(
)
1
4(
,
1
2
2
2
,
2
zatem
2
1
2
i
1
2
mamy
1
ac
Podstawiaj
1
C
C
C
C
x
C
C
y
C
x
C
y
C
C
x
C
y
C
C
x
C
z
dx
C
dz
dx
dz
C
dz
C
y
C
dy
y
C
dy
C
dz
z
y
C
dx
y
C
dy
3.2. Równanie liniowe
Def. 75a
Równanie y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x), gdzie p(x), q(x) i f(x) są to dane funkcje,
ciągłe w pewnym przedziale (a, b) nazywa się równaniem różniczkowym
liniowym drugiego rzędu.
Równanie takie, podobnie jak liniowe równanie pierwszego rzędu,
rozwiązuje się rozwiązując najpierw odpowiadające mu równanie
jednorodne y’’+p(x)y’+q(x)y=0
3.2.1. Równanie liniowe jednorodne
y’’+p(x)y’+q(x)y=0
Def. 76
Dwie całki y
1
(x) i y
2
(x) równania liniowego jednorodnego nazywamy
układem podstawowym całek tego równania, jeżeli wrońskian
Józef Maria Wroński (1778-1853)
0
)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
2
1
2
1
x
y
x
y
x
y
x
y
Tw. 65
Jeżeli dwie całki
y
1
(x) i y
2
(x)
równania liniowego jednorodnego stanowią układ
podstawowy całek tego równania, to rozwiązanie ogólne tego równania
przedstawia wzór
y=C
1
y
1
(x)+C
2
y
2
(x)
Nie istnieje ogólna metoda znajdowania układu całek
podstawowych
dla dowolnych funkcji p(x) i q(x). Potrafimy rozwiązać
równanie liniowe jednorodne tylko w szczególnych
przypadkach
z których najważniejszym jest
3.2.2. Równanie liniowe jednorodne o stałych
współczynnikach
y’’+py’+qy=0 (p, q – stałe)
Rozwiązanie zależy od pierwiastków tzw. równania
charakterystycznego dla naszego równania różniczkowego
r
2
+pr+q=0
Rozwiązanie zależy od wyróżnika tego równania Δ= p
2
-4q
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
Przypadek A – Δ>0
Równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki
rzeczywiste
)
2
2
,
2
2
(
2
2
2
1
2
,
1
p
r
p
r
p
r
e
C
e
C
y
x
r
x
r
2
1
2
1
Przypadek B – Δ=0
Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek
rzeczywisty
(podwójny)
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
x
r
e
C
x
C
y
0
)
(
2
1
2
0
p
r
Przypadek C – Δ<0
Równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków
rzeczywistych – ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone
2
4
2
;
2
,
2
2
1
p
q
p
i
r
i
r
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
x
C
x
C
e
y
x
)
cos
sin
(
2
1
Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania
y’’+4y’+5y =0
Spełniające warunki początkowe y(0)=0, y’(0)=1
Równanie charakterystyczne tego równania różniczkowego
r
2
+4x+5=0
Δ=16-20<0
Przypadek C
Całka ogólna tego równania
gdzie
Zatem
y=e
-2x
(C
1
sin x + C
2
cos x)
Do uwzględnienia war. pocz. trzeba policzyć pochodną y
y’=-2e
-2x
(C
1
sin x + C
2
cos x)+e
-2x
(C
1
cos x - C
2
sin x)
Dostajemy układ równań
0=e
0
(C
1
sin 0 + C
2
cos 0)=C
2
1=-2e
0
(C
1
sin 0 + C
2
cos 0)+e
0
(C
1
cos 0 - C
2
sin 0)=-2C
2
+C
1
Stąd
C
2
= 0; C
1
=1
i ostatecznie
y=e
-2x
sin x
x
C
x
C
e
y
x
)
cos
sin
(
2
1
1
2
16
20
2
4
;
2
2
2
p
q
p
3.2.3. Równanie liniowe rzędu drugiego niejednorodne
y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)
otrzymuje się z rozwiązania równania jednorodnego tymi
samymi metodami, co równanie liniowe niejednorodne
rzędu pierwszego, tj.
1. Uzmienniania stałej
2. Przewidywań
i wykorzystując tw. 63 i 64
3.3. Równanie Eulera
x
2
y’’+xpy’+qy=0
(p, q – stałe)
Równanie Eulera można sprowadzić do równania różniczkowego
liniowego o stałych współczynnikach przez podstawienie x=e
u
0
)
1
(
2
2
qy
du
dy
p
du
y
d
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania
x
2
y’’+xy’-y =0
Po podstawieniu
x=e
u
otrzymuje się
Rozwiązaniem tego równania jest y=C
1
e
u
+ C
2
e
-u
= C
1
x + C
2
/x
0
2
2
y
du
y
d
4. Równania różniczkowe n-tego rzędu
4.1. Równanie liniowe
y
(n)
+p
n-1
(x)y
(n-1)
+ ... +p
2
(x)y’’+p
1
(x)y’+ p
0
(x) y=f(x)
Rozwiązuje się tak samo, jak równanie liniowe rzędu drugiego
tj. rozwiązując najpierw odpowiednie równanie
jednorodne, a potem otrzymując z niego rozwiązanie
równania niejednorodnego metodą uzmienniania stałej lub
przewidywań.
Def. 76 i tw. 65 stosuje się analogicznie:
Def. 76a
n całek y
1
(x), y
2
(x), ... y
n
(x) równania liniowego jednorodnego nazywamy
układem podstawowym całek tego równania, jeżeli wrońskian
0
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
1
2
1
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
n
n
n
n
n
n
Tw. 65a
Jeżeli całki
y
1
(x), y
2
(x), ... y
n
(x)
równania liniowego jednorodnego stanowią
układ podstawowy całek tego równania, to rozwiązanie ogólne tego równania
przedstawia wzór
y=C
1
y
1
(x)+C
2
y
2
(x)+ ... + C
n
y
n
(x)
Nie istnieje ogólna metoda znajdowania układu całek
podstawowych
4.1.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach
y
(n)
+p
n-1
y
(n-1)
+ ... +p
2
y’’+p
1
y’+ p
0
y=f(x)
(p
n-1
, ... p
2
, p
1
, p
0
– stałe)
Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne.
Jego rozwiązanie zależy od pierwiastków równania
charakterystycznego dla naszego równania różniczkowego
r
n
+ p
n-1
r
n-1
+ p
2
r
2
+p
1
r +p
0
=0
Przypadek A – równanie charakterystyczne ma n różnych
pierwiastków
rzeczywistych
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego w tym przypadku przedstawia wzór
e
C
e
C
e
C
y
x
r
n
x
r
x
r
n
2
1
2
1
Analogicznie postępujemy w innych przypadkach
IV. Równania
różnicowe
1. Ciągi liczbowe a funkcje
1.1. Sposoby przedstawiania ciągów liczbowych
Ciąg
Znany opis ciągu
Inny
opis ciągu
2
,
2
}
2
{
,...
16
,
8
,
4
,
2
1
,
2
}
1
2
{
,...
7
,
5
,
3
,
1
,
}
{
,...
,
,
,
1
1
1
1
1
1
y
y
y
y
y
y
y
n
y
a
y
y
y
a
y
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1.2. Ciąg liczbowy jako funkcja
Ciąg liczbowy możemy uważać za funkcję, której wartość
określona jest tylko dla wybranych (całkowitych) wartości
argumentu, czyli funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb
naturalnych – D={N}
Wiele pojęć dla funkcji (pochodna, różniczka, całka, równanie
różniczkowe) ma swoje odpowiedniki dla ciągów.
2
)
1
(
,
12
'
2
0
)
0
(
,
4
'
4
)
(
),
,
(
'
)
(
2
3
0
0
y
x
y
x
y
y
y
x
y
y
x
y
y
x
f
y
x
f
y
1.3. Różnica Δ
Różnicę wyrazu y
n
możemy uważać za odpowiednik pochodnej
funkcji w punkcie x
0
=n, a nowy ciąg różnic – jako
odpowiednik (funkcji) pochodnej danej funkcji f(x).
Odpowiednikiem drugiej pochodnej będzie druga różnica ciągu
y
n
Def. 77
Wyrażenie y
n+1
- y
n
nazywamy różnicą wyrazu y
n
, i oznaczamy Δ y
n
=y
n+1
-
y
n
Przykład
Dany jest ciąg 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... czyli y
n
={n
2
}
Δ y
1
= y
2
- y
1
= 4-1=3
Δ y
2
= y
3
- y
2
= 9-4=5
Δ y
3
= y
4
- y
3
= 16-9=7
Δ y
4
= y
5
- y
4
= 25-16=9
Otrzymujemy nowy ciąg (ciąg różnic) Δ y
1
, Δ y
2
, Δ y
3
, Δ y
4
,...
3, 5, 7, 9, ... czyli Δ y
n
={2n+1}
Przykład poprzedni
Δ (Δ y
1
)= Δ y
2
- Δ y
1
= 5-3=2
Δ (Δ y
2
)= Δ y
3
- Δ y
2
= 7-5=2
Δ (Δ y
3
)= Δy
4
- Δ y
3
= 9-7=2 itp.
Czyli otrzymujemy ciąg drugich różnic Δ
2
y
n
= {2}
Def. 77a
Wyrażenie Δ
k
y
n
= Δ (Δ
k-1
y
n
)
nazywamy k-tą różnicą wyrazu y
n
.
Δ
2
y
n
= Δ (Δy
n
)
Δ
3
y
n
= Δ (Δ
2
y
n
)
Δ
4
y
n
= Δ (Δ
3
y
n
)
itp
Ponieważ różnicę możemy uważać za odpowiednik pochodnej
funkcji, to własności różnicy są podobne do własności
pochodnej, w szczególności:
Δ (y
n
+ z
n
)= Δy
n
+ Δz
n
Δ (cy
n
)= cΔy
n
Δ (y
n
z
n
)= y
n+1
Δz
n
+z
n
Δy
n
1
n
n
n
n
n
n
n
n
z
z
y
y
y
z
z
y
Def. 78 operatora Δ
-1
Δ (Δ
-1
y
n
)= y
n
Łatwo wykazać, że:
Analogia z sumowaniem, a dla funkcji ciągłych – z operacją
odwrotną do różniczkowania czyli całkowaniem
1
1
1
n
k
k
n
y
C
y
Równanie różnicowe to zależność między różnicami pewnego
ciągu w jednym lub kilku punktach
Każdą różnicę można wyrazić poprzez wyrazy ciągu:
Δ y
n
=y
n+1
- y
n
Δ
2
y
n
= Δ (Δy
n
)
=
Δ(y
n+1
- y
n
)= Δy
n+1
- Δy
n
= (y
n+2
- y
n+1
)- (y
n+1
-y
n
)=
y
n+2
- 2y
n+1
+ y
n
itp., w szczególności Δ
k
y
n
można wyrazić przez y
n
, y
n+1
, y
n+2
, ..., y
n+k
zatem w równaniu różnicowym zamiast różnic można wstawić
odpowiednie wyrazy ciągu
2. Równania różnicowe
Przykłady
Δy
n+1
-n
2
Δ
2
y
n-1
=1
(Δ
2
y
n
)
2
-y
n+2
+3=0
Przykłady
y
n+2
- y
n+1 -
n
2
(y
n+1
- 2y
n
+y
n-1
)
=1
(y
n+1
- 2y
n
+y
n-1
)
2
-y
n+2
+3=0
Def. 79 (równania różnicowego)
Równaniem różnicowym k-tego rzędu nazywamy równanie
F(n, y
n
, y
n+1
, y
n+2
, … y
n+k
)=0
w którym niewiadomą jest ciąg y
n
Por. def. 70 równania różniczkowego!!!!
Podobnie jak dla równań różniczkowych możemy poszukiwać dla równania
różnicowego
1. rozwiązania ogólnego
2. rozwiązania szczególnego
Rozwiązanie ogólne równania różnicowego rzędu pierwszego zawiera
jedną dowolną stałą C,
a równania rzędu k – k dowolnych niezależnych stałych.
Aby znaleźć rozwiązanie szczególne równania różnicowego, należy podać
(podobnie jak dla równania różniczkowego), odpowiednie warunki
początkowe (brzegowe).
Przykład
y
n+1
=(n+1) y
n
Rozwiązaniem ogólnym jest
y
n
=Cn! (C- dowolna stała)
Jeżeli znamy warunek brzegowy
y
2
=6, to C=3 i y
n
=3n!
Tw. 66
(por. def. Zagadnienia Cauchy’ego dla równania różniczkowego)
Równanie różnicowe k-tego rzędu
F(n, y
n
, y
n+1
, y
n+2
, … y
n+k
)=0
wraz z k niezależnymi dodatkowymi warunkami umożliwiającymi wyznaczenie k
wartości ciągu
y
n
ma jednoznaczne rozwiązanie
3. Równania różnicowe liniowe
Równaniem różnicowym liniowym k-tego rzędu nazywamy równanie
postaci:
y
n+k
+p
k-1
(n) y
n+k-1
+ ... +p
2
(n) y
n+2
+p
1
(n) y
n+1
+ p
0
(n) y
n
=f(n)
3.1. Równania o stałych współczynnikach
y
n+k
+p
k-1
y
n+k-1
+ ... +p
2
y
n+2
+p
1
y
n+1
+ p
0
y
n
=f(n) (p
k-1
, ... p
2
, p
1
, p
0
– stałe)
Gdy f(n)=0 – równanie jednorodne; dla dowolnego f(n) – równanie
niejednorodne.
3.1.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach jednorodne
Równanie pierwszego rzędu
y
n+1
+ py
n
=0
y
n+1
=-py
n
Rozwiązanie ogólne
y
n
=C(-p)
n
Rozwiązanie szczególne przy warunku y
k
=a
y
k
=C(-p)
k
=a
Stąd C(-p)
k
=a (-p)
-k
czyli y
n
=a(-p)
n-k
Przykład
y
n+1
-3 y
n
=0
Rozwiązaniem ogólnym jest
y
n
=C 3
n
(C-
dowolna stała)
Jeżeli znamy warunek brzegowy
y
1
=6, to C=2
i y
n
= 2 3
n
Równanie drugiego rzędu
y
n+2
+ py
n+1
+ qy
n
=0
Rozwiązanie zależy od pierwiastków tzw. równania charakterystycznego dla naszego
równania różnicowego
r
2
+pr+q=0
a te pierwiastki zależą z kolei od wyróżnika tego równania Δ= p
2
-4q
Przypadek A – Δ>0
Równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki
rzeczywiste
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
Przypadek B – Δ=0
Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek
rzeczywisty
(podwójny)
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
Przypadek C – Δ<0
Równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków
rzeczywistych
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
r
C
r
C
y
n
n
n
2
2
1
1
2
2
2
,
1
p
r
2
0
p
r
C
n
C
r
y
n
n
)
(
2
1
0
p
p
q
arctg
p
arctg
n
C
n
C
q
y
n
n
2
2
1
2
4
2
2
gdzie
)
cos
sin
(
Przykład
Rozwiązać równanie
y
n+2
- 7y
n+1
+10 y
n
=0
Równanie charakterystyczne
r
2
-7r+10=0
Δ= 49-40=9 =>
r
1
=2, r
2
=5
Rozwiązaniem ogólnym jest
y
n
=C
1
2
n
+
C
2
5
n
(C
1
, C
2
-
dowolne stałe)
Jeżeli znamy warunki brzegowe
y
1
=12, y
2
=54
to y
1
= C
1
2
1
+
C
2
5
1
=12
y
2
= C
1
2
2
+
C
2
5
2
= 54,
stąd C
1
=1, C
2
=1 i y
n
= 2
n
+2 5
n
Równania wyższego rzędu
Rozwiązuje się analogicznie przez wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego
dla naszego równania różnicowego
r
k
+ p
k-1
r
k-1
+ p
2
r
2
+p
1
r +p
0
=0
Np. gdy równanie charakterystyczne ma wszystkie różne pierwiastki
rzeczywiste,
to
rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
r
C
r
C
r
C
y
n
k
k
n
n
n
...
2
2
1
1
3.1.2. Równanie liniowe o stałych współczynnikach niejednorodne
Rozwiązuje się tak samo jak równania różniczkowe korzystając z
Tw. 63a
Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego
i jakiegokolwiek rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.
Rozwiązanie szczególne znajduje się metodą przewidywań
Przykład
Rozwiązać równanie
y
n+2
- 7y
n+1
+10 y
n
=n-1
Rozwiązaniem ogólnym jest
y
n
=C
1
2
n
+
C
2
5
n
(C
1
, C
2
-
dowolne stałe)
Rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y
n
=an+b
a(n+2)+b-7[a(n+1)+b]+10(an+b)=n-1
4an+4b+2a-7a+10b=n-1
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach n
4a=1
-5a+14b=-1
Stąd
a=1/4, b=1/56
Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego y
n
=n/4+1/56
Ponieważ rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest y
n
=C
1
2
n
+
C
2
5
n
to rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest y
n
=C
1
2
n
+
C
2
5
n
+n/4+1/56
3.2. Równania o współczynnikach zależnych od n
3.2.1. Równanie pierwszego rzędu
Równanie jednorodne
y
n+1
- p(n)y
n
=0
y
n+1
=p(n)y
n
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
y
n
=Cp(1)p(2)...p(n-1)
Przykład
Rozwiązać równanie
y
n+1
-n y
n
=0
Rozwiązaniem ogólnym jest
y
n
=C
.
1
.
2
.
3...(n-1)=C(n-1)!
Równanie niejednorodne
y
n+1
- p(n)y
n
=f(n)
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
Przykład
Rozwiązać równanie
y
n+1
-n y
n
=1
Rozwiązaniem ogólnym jest
gdzie C- dowolna stała
k
p
p
p
k
f
C
n
p
p
p
y
n
k
n
1
1
)
(
...
)
2
(
)
1
(
)
(
)
1
(
...
)
2
(
)
1
(
k
C
n
y
n
k
n
1
1
!
1
)!
1
(
4. Równania różnicowe nieliniowe
Łatwo rozwiązuje równania sprowadzalne do równań liniowych
Przykład
Rozwiązać równanie
n
z
z
z
y
n
y
y
n
n
n
n
n
n
n
n
4
3
y
otrzymujem
ąc
Podstawiaj
4
3
1
2
2
2
1
KONIEC
Document Outline