TWIERDZENIE
PITAGORASA
TWIERDZENIE
PITAGORASA
Spis treści:
•
•
Układanka wprowadzająca do twierdzenia Pitagorasa.
•Dowód I
•Dowód II
•
Twierdzenie odwrotne do tw. Pitagorasa
Trójkąt egipski i pitagorejski.
•Zastosowanie w zadaniach:
Obliczanie długości przeciwprostokątnej
Obliczanie długości przyprostokątnej
Obliczanie odległości punktów
Sprawdzanie czy trójkąt jest prostokątny
Obliczanie długości przekątnej: prostokąta i kwadratu
Obliczanie długości wysokości w trójkącie
Obliczanie długości promienia okręgu wpisanego
Konstrukcja odcinków o długościach wymiernych
Dyplom dla najlepszego ucznia
OGÓLNE WIADOMOŚCI O TWIERDZENIU.
W matematyce często formułujemy zdania, wyrażające pewną
prawdę matematyczną. Zdania te nazywamy
twierdzeniami
twierdzeniami.
Najczęściej twierdzenie ma postać zdania warunkowego.
Na przykład w twierdzeniu: Jeżeli czworokąt jest
równoległobokiem, to ma przeciwległe kąty równe. – pierwsza
część zdania, zaczynająca się po słowie „jeżeli”, nazywa się
założeniem , druga, następująca po słowie „to” nazywa się
tezą.
W założeniu twierdzenia podajemy warunki, przy których
ma być spełniona teza, tzn. podajemy informacje, które są nam
znane.
W tezie twierdzenia formułujemy własność, która ma być
spełniona tzn. to co mamy udowodnić.
W dowodzie twierdzenia korzystamy z tego, co jest dane w
założeniu i przeprowadzamy rozumowanie, które doprowadza
do wykazania tezy.
W matematyce spotykamy się także z takim pojęciem jak
aksjomat-jest to twierdzenie, które przyjmuje się bez
dowodu.
Pitagoras – to grecki matematyk i filozof. Żył w VI wieku
p.n.e.Położył wielkie zasługi dla rozwoju matematyki,
astronomii i fizyki. W mieście Krotonie założył na wpół tajemny
związek znany pod nazwa pitagorejskiego. Związek przetrwał
swego twórcę i działał przez następne 100 lat.
Twierdzenie Pitagorasa to jedno z najstarszych twierdzeń
matematycznych. Znane było w starożytnym Babilonie, w
Chinach, w Egipcie na długo przed Pitagorasem. Pierwsze
dowody tego twierdzenia przypisuje się jednak
pitagorejczykom.
Ta układanka jest stara jak świat.
Na pierwszym rysunku widać cztery
jednakowe trójkąty prostokątne o
bokach a, b i c ułożone w taki sposób,
że wewnątrz powstał kwadrat o boku
c.Na dolnym rysunku te same trójkąty
zostały ułożone inaczej, tak że pojawiły
się dwa mniejsze kwadraty. Te dwa
mniejsze kwadraty mają taki samo
pole, jak wewnętrzny kwadrat na
górnym rysunku.
Jakie jest pole wewnętrznego
kwadratu na górnym rysunku?
Zapisz wyrażenie, opisujące pola
kwadratów na dolnym rysunku.
Czy dostrzegasz jakąś regułę?
TWIERDZENIE PITAGORASA
TWIERDZENIE PITAGORASA
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat zbudowany na
przeciwprostokatnej ma takie samo pole jak suma pól
kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.
Lub inaczej:
W trójkącie prostokątnym o bokach a, b i c, zachodzi równość
c
2
=a
2
+b
2
Dowód I
Dalej
ADC i ABC (ponieważ kąt A jest wspólny i
trójkąty mają po jednym kącie prostym ). Stąd:
BCD i ABC (kąt B jest wspólny i trójkąty mają
po jednym kącie prostym). Stąd:
AB
AC
AC
AD
AB
BC
BC
DB
C
A
B
D
Obliczając proporcje otrzymamy:
2
2
BC
AB
DB
AC
AB
AD
Dowód I
– ciąg
dalszy
Ponieważ:
AC = b,
BC = a,
AB = c
Stąd:
a
2
+ b
2
= c
2
Co należało udowodnić.
Przez dodanie stronami równań otrzymujemy:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AB
BC
AC
AB
AB
BC
AC
BD
AD
AB
BC
AC
AB
DB
AB
AD
BC
AC
Dowód II
Dowód – Przyjmijmy, że a, b są długościami
przyprostokątnych rozważanego trójkąta, c –długością
przeciwprostokątnej.
Należy wykazać, że
c
2
= a
2
+ b
2
.
Rozważmy kwadrat o boku a+b, na każdym zaznaczmy
odcinki a i b.
b
b
a
b
b
a
a
a
c
c
c
c
Dalej
Pole kwadratu o boku a+b
jest sumą pola kwadratu o
boku c oraz pól czterech
trójkątów prostokątnych o
przyprostokątnych a i b. Pole
każdego takiego trójkąta
prostokątnego wynosi:
½*a*b,
zatem:
Dowód II
– ciąg dalszy
( a + b )
2
= c
2
+ 4 *1/2* ab,
a
2
+ 2ab + b
2
= c
2
+ 2ab,
a
2
+ b
2
=c
2
Co należało dowieść.
Znając długości dwóch
boków trójkąta
prostokątnego możemy na
podstawie twierdzenia
Pitagorasa wyznaczyć
długość trzeciego boku
tego trójkąta.
Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia
Pitagorasa
Jeżeli w trójkącie długości
boków: a, b, c są takie, że
c
2
=a
2
+b
2
to
trójkąt jest
prostokątny
oraz a i b są
przyprostokątnymi, a bok
c jest
przeciwprostokątną.
Trójkąt prostokątny, którego
długości boków są liczbami
naturalnymi nazywamy
trójkątem pitagorejskim.
Trójkąt o bokach 3, 4, 5
nazywamy trójkątem
egipskim.
ZADANIE 1
Znając długości przyprostokątnych trójkąta,
oblicz długość przeciwprostokątnej.
a
b
c
a=3cm, b=4cm
c=?
c
2
=
a
2
+b
2
c
2
=3
2
+4
2
c
2
=9+16
c
2
=25
c=5
Rozwiązanie:
Odpowiedź
:Długość przeciwprostokątnej wynosi
5cm.
ZADANIE 2
Oblicz długość przyprostokątnej, wiedząc że
druga przyprostokątna wynosi 8cm, a
przeciwprostokątna jest równa 10cm.
b
c
a
c
2
=
a
2
+b
2
10
2
=8
2
+b
2
b
2
=100-64
b
2=
16
b=4
Odpowiedź
: Długość
przyprostokątnej wynosi
4cm.
ROZWIĄZANIE
a=8cm,
c=10cm
b=?
ZADANIE 3
Oblicz odległość punktów A=(x
1
,y
2
),B=(x
1
,y
2
)
X
Y
x
1
x
2
Y
1
y
2
A
B
C
ROZWIĄZANIE:
Rzutując punkty A i B na osie układu
otrzymujemy trójkąt prostokątny, więc z
tw. Pitagorasa : AB
2
= AC
2
+ BC
2
Z rysunku wynika, że:
podstawiając do pierwszego wzoru
otrzymamy:
2
1
2
2
2
2
1
2
x
x
BC
y
y
AC
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
x
x
y
y
AB
x
x
y
y
AB
ZADANIE 3a
Oblicz odległość punktów A=(1,3), B=(3,-1).
ROZWIĄZANIE:
Korzystając ze wzoru obliczonego w
poprzednim zadaniu i po podstawieniu do
niego danych otrzymamy:
5
2
20
16
4
4
2
1
3
3
1
2
2
2
2
AB
AB
AB
AB
AB
5
2
Odpowiedź
: Odległość między punktami A i B wynosi
ZADANIE 4
Sprawdź, czy trójkąt o bokach: 2, 4, 3 jest
prostokątny?
5
Przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym to bok
najdłuższy, więc oznaczmy
c=3 , b=4, a=2
Podstawiamy dane do twierdzenia Pitagorasa i zgodnie z
tw. odwrotnym do tw. Pitagorasa, jeżeli będzie zachodziła
równość to trójkąt będzie prostokątny.
c
2
=a
2
+b
2
(3 )
2
=2
2
+4
2
45=4+16
45=20
5
5
ROZWIĄZANIE:
Odpowiedź
:Ponieważ lewa strona nie równa się stronie
prawej, to znaczy, że trójkąt o podanych bokach nie jest
prostokątny
Spis treści
ZADANIE 4 a
Sprawdź, czy trójkąt o bokach: 25, 20, 15, jest
prostokątny?
ROZWIĄZANIE:
c=25
b=20
a=15
Podstawiamy do wzoru Pitagorasa: c
2
=a
2
+b
2
25
2
=15
2
+20
2
625=225+400
625=625
Odpowiedź:
Ponieważ zachodzi równość, więc
trójkąt o bokach 25, 20 i 15 jest prostokątny.
ZADANIE 5
Oblicz długość przekątnej prostokąta o
bokach
a=4cm, b=6cm.
ROZWIĄZANIE:
b
a
d
Odpowiedź
:Długość przekątnej prostokąta wynosi 2
cm.
13
Przekątna w prostokącie dzieli go
na dwa trójkąty prostokątne, więc
możemy zastosować twierdzenie
Pitagorasa do policzenia długości
przekątnej d.
d
2
=a
2
+b
2
d
2
=4
2
+6
2
d
2
=16+36
d
2
=52
d= =2
52
13
ZADANIE 6
Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku 5cm.
ROZWIĄZANIE:
a
a
d
a
Przekątna dzieli kwadrat na dwa
równoramienne trójkąty prostokątne,
więc możemy zastosować tw.
Pitagorasa do obliczenia długości
przekątnej.
d
2
=a
2
+a
2
d
2
=2a
2
d
2
=2*5
2
d
2
=2*25
d=
2
5
50
ODPOWIEDŹ
: Przekątna kwadratu wynosi cm.
2
5
ZADANIE 7
W trójkącie równoramiennym długość ramienia ma
6 cm, a podstawa 8 cm. Oblicz jego wysokość.
ROZWIĄZANIE:
a
b
h
a=6cm, b=8cm
h=?
Wysokość podzieliła trójkąt na dwa
trójkąty prostokątne, podstawa
została podzielona na połowę. Do
policzenia wysokości tego trójkąta
zastosujemy tw. Pitagorasa.
a
2
=h
2
+(1/2b)
2
6
2
=h
2
+4
2
h
2
=36-16
h=
5
2
20
Odpowiedź
:Wysokość trójkąta wynosi cm.
5
2
ZADANIE
8
Oblicz promień okręgu wpisanego w sześciokąt
foremny, którego bok jest równy 6cm.
ROZWIĄZANIE:
Sześciokąt foremny można podzielić
na sześć trójkątów równoramiennych o
boku równym bokowi sześciokąta
foremnego. Promień okręgu wpisanego
w ten sześciokąt dzieli bok sześciokąta
(trójkąta), na połowę i jest wysokością
trójkąta równoramiennego. Do
obliczenia promienia zastosować
można tw. Pitagorasa.
a=6cm
a
2
=r
2
+(1/2a)
2
r
2
=a
2
-1/4a
2
r
2
=3/4*6
2
r
a
a
a
a
a
O
ciąg dalszy zadania 8
r
2
=3/4*36
r
2
=27
r=3 3
Odpowiedź
: Promień okręgu wpisanego w
sześciokąt foremny wynosi 3 3 cm.
ZADANIE 9
Oblicz promień okręgu opisanego na sześciokącie
foremnym, którego bok jest równy 6cm.
ROZWIĄZANIE:
Sześciokąt foremny można podzielić
na sześć trójkątów równoramiennych o
boku równym bokowi sześciokąta
foremnego. Promień okręgu opisanego
na tym sześciokącie jest równy
długości boku sześciokąta. Jeżeli więc:
a=6cm, to r=6cm.
Odpowiedź
: Promień okręgu opisanego
na sześciokącie foremnym jest równy
bokowi tego sześciokąta, czyli 6cm.
a
a
r
a
O
Spis treści
ZADANIE 10
Narysuj odcinki, których długość jest
pierwiastkiem kolejnych liczb naturalnych.
ROZWIĄZANIE:
Rysunek przedstawia metodę rysowania odcinków, będących
pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych.
Wszystkie trójkąty prostokątne
jedną przyprostokątną mają o
długości 1 (pierwszy drugą
również). Wykorzystując wzór
Pitagorasa liczymy długość
przeciwprostokątnej. W ten
sposób można skonstruować
odcinek o dowolnej długości.
Spis treści
1
1
1
1
1
1
2
2
3
5
6
7
1
Spis treści
Jest alfabetem, przy pomocy którego
Bóg opisał wszechświat.
Galileusz
Niniejszym nadajemy
......................................................
...........
honorowy, dożywotni tytuł
W zastępstwie Pitagorasa
Nauczyciel matematyki
................................................