POSTAĆ 

ILOCZYNOWA 

FUNKCJI 

KWADRATOWEJ

Dany jest wzór funkcji f, przekształćmy go do postaci 
ogólnej: 

a) f(x)=-4(x+1)(x-5)
      f(x)=-4(x

2

-5x+x-5)

      f(x)=-4(x

2

-4x-5)

      f(x)=-4x

2

+16x+20 - 

postać ogólna funkcji       

                                                     kwadratowej

b)    f(x)=2(x-8)x
      f(x)=2(x

2

-8x)

      f(x)=2x

2

-16x  

- postać ogólna funkcji kwadratowej

Funkcje zapisane w postaci iloczynowej przekształciliśmy do 
postaci ogólnej.

 

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci ogólnej 

y=ax

2

+bx+c

może być zapisana w postaci iloczynowej:

1))  Jeżeli Δ>0 to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca 

zerowe:

wtedy postać iloczynowa wyraża się wzorem:

y=a(x-x

1

)(x-x

2

)

2)) Jeżeli Δ=0 to funkcja ma jedno miejsce zerowe:

wtedy postać iloczynowa wyraża się wzorem:

y=a(x-x

0

)(x-x

0

)

y=a(x-x

0

)

2

3)) Jeżeli Δ<0 to funkcja nie ma miejsc zerowych, nie 

można funkcji przedstawić w postaci iloczynowej. 

Zadanie1: Przedstaw funkcję w postaci iloczynowej:

a) 

f(x)=4x

2

-6x+2

 
  a=4  b=-6  c=2

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = (-6)

2

 - 4·4·2 = 36 - 32 = 4

   Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

                                            

- postać iloczynowa  

b)  

h(x)=-3x

2

+x+2

  
  a=-3  b=1  c=2

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 1

2

 - 4·(-3)·2 = 1 + 24 = 25

   Δ >  0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

c)  

g(x)=x

2

+6x+10

  
  a=1  b=6  c=10

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 6

2

 - 4·1·10 = 36 - 40 = -4 

   Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych; nie 

można jej 

           przedstawić w postaci iloczynowej 

d)  

y=x

2

-3x+3

  
  a=1  b=-3  c=3

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = (-3)

2

 - 4·1·3 = 9 - 12 = -3 

   Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych; nie 

można jej 

           przedstawić w postaci iloczynowej 

e)  

h(x)=x

2

-4x+4

  
  a=1  b=-4  c=4

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = (-4)

2

 - 4·1·4 = 16 - 16 = 0

   Δ =  0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

f)  

y=-2x

2

+12x-18

  
  a=-2  b=12  c=-18

   Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 12

2

 - 4·(-2)·(-18) = 144 - 144 = 0

   Δ =  0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

Zadanie2: Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego:

a)  

y=(x+3)(x-30)

Miejscami zerowymi (pierwiastkami) są liczby: -3 oraz 
30. 

b)  

y=-2(x+0,4)(x-3,2)

Miejscami zerowymi (pierwiastkami) są liczby: -0,4 
oraz 3,2.

c)  

y=-4x(x-8)

 Miejscami zerowymi (pierwiastkami) są liczby: 0 oraz 
8.

Zadanie3: Oblicz współczynniki b i c funkcji 
kwadratowej 
             

y=-2x

2

+bx+c 

o podanych 

pierwiastkach:

a)3 i 5 
Przedstawimy najpierw funkcję w postaci 
iloczynowej: 
  y=-2(x-3)(x-5)
  y=-2(x

2

-5x-3x+15)

  

y=-2(x

2

-8x+15)

  y=-2x

2

+16x-30 

             porównując wzory odczytamy że b=16, c=-30

b)   2 i -8

  y=-2(x-2)(x+8)
  y=-2(x

2

+8x-2x-16)

  y=-2(x

2

+6x-16)

  y=-2x

2

-12x+32 

             porównując wzory odczytamy że b=-12, c=32

Zadanie4: Miejscami zerowymi funkcji 
kwadratowej są liczby 5 i 10. Napisz wzór funkcji, 
wiedząc że punkt P=(2,24) należy do jej wykresu.

Przedstawimy najpierw funkcję w postaci 
iloczynowej: 
  y=a(x-x

1

)(x-x

2

)

  y=a(x-5)(x-10)

Punkt P należy do wykresu funkcji   
  y=a(x-5)(x-10) 
  24=a(2-5)·(2-10)
  24=a(-3)·(-8)
  24=a·24
    a=1 
y=(x-5)(x-10) – postać iloczynowa
y=x

2

-15x+50 – postać ogólna funkcji kwadratowej

Zadanie5: Wyznacz równanie osi symetrii wykresu 
funkcji f, której miejscami zerowymi są liczby -2 oraz 
8. Wierzchołek paraboli ma współrzędne W=(3,50). 
Napisz wzór funkcji f. 

Oś symetrii wykresu funkcji to prosta przechodząca 
przez
wierzchołek paraboli, dlatego szukana prosta ma 
równanie: x=3.
Przedstawimy najpierw funkcję w postaci 
iloczynowej: 
  y=a(x-x

1

)(x-x

2

)

  y=a(x+2)(x-8)

Wierzchołek W należy do wykresu funkcji   
  y=a(3+2)(3-8) 
  50=a·5·(-5)
  50=a·(-25)
  a=-2
y=-2(x+2)(x-8) – postać iloczynowa
y=-2x

2

+12x+32 – postać ogólna funkcji kwadratowej

Zadanie6: Mając wzór funkcji kwadratowej 

f(x)=-

2x

2

+8 

a)przedstaw ją w postaci iloczynowej
b)napisz równanie osi symetrii wykresu
c)oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są 
punkty przecięcia wykresu z osią x oraz wierzchołek 
W.

Ad.a) 
Obliczamy miejsca zerowe funkcji:   a=-2  b=0  c=8

 Δ = b

2

- 4ac

   Δ = 0

2

 - 4·(-2)·8 = 0 + 64 = 64

   Δ >  0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

f(x)=-2(x-2)(x+2)

Ad.b) 
Obliczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:
W=(p,q)

                                                      W=(0,8)

Osią symetrii wykresu jest prosta o równaniu x=0

Ad.c)
Szukamy punktów przecięcia wykresu funkcji z 

osiami układu

współrzędnych.

Z OSIĄ X:               f(x)=0   
                       -2(x-2)(x+2)=0
                        x=2   lub   x=-2

PUNKTY PRZECIĘCIA: A=(2,0) oraz B=(-2,0)

Z OSIĄ Y:               f(0) = -2 · 0 + 8 = 8   

PUNKT PRZECIĘCIA:    C=(0,8)

Wierzchołki trójkąta to punkty A, B, C.

P

Δ

= ½ ·a ·h

P

Δ

= ½ ·|AB| ·h

P

Δ

= ½ ·4 ·8

P

Δ

= 16 j

2

 
 

C

B

A

Zadanie7: Dana jest funkcja 

g(x)=- ½x

2

-x+4 

a)przedstaw ją w postaci iloczynowej
b)napisz równanie osi symetrii wykresu
c)oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są 
punkty przecięcia wykresu z osiami układu 
współrzędnych.

Ad.a) 
Obliczamy miejsca zerowe funkcji:   a=-½   b=-1  c=4

 Δ = b

2

- 4ac

   Δ = (-1)

2

 - 4·(-½)·4 = 1 + 8 = 9

   Δ >  0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

g(x)=-½(x-2)(x+4)

Ad.b) 
Obliczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:
W=(p,q)

                                                    W=(-1,4½)

Osią symetrii wykresu jest prosta o równaniu x=-1

Ad.c)
Szukamy punktów przecięcia wykresu funkcji z 

osiami układu

współrzędnych.

Z OSIĄ X:               g(x)=0   
                       - ½ (x-2)(x+4)=0
                        x=2   lub   x=-4

PUNKTY PRZECIĘCIA: A=(-4,0) oraz B=(2,0)

Z OSIĄ Y:               g(0) = - ½ · 0 - 0 + 4 = 4   

PUNKT PRZECIĘCIA:    C=(0,4)

Wierzchołki trójkąta to punkty A, B, C.

P

Δ

= ½ ·a ·h

P

Δ

= ½ ·|AB| ·h

P

Δ

= ½ ·6 ·4

P

Δ

= 12 j

2

 
 

B

C

A